Optique

Sécurité : Il faut avoir réussie la formation en Sécurité Laser de l'Université pour eec- tuer cette expérience. Demander au moniteur de vous indiquer quelles sont les lunettes d'alignement disponibles pour la longueur d'onde utilisée.

1 Introduction

Dans cette expérience, nous étudierons quelques propriétés des ondes électromagnétiques du domaine du visible. Premièrement, nous verrons comment obtenir diérentes polarisations d'un faisceau lumineux : linéaire, circulaire ou elliptique. Pour produire ces polarisations, nous utiliserons des polariseurs ainsi que des lames quart d'onde et demi-onde.

Nous passerons ensuite à l'étude de l'angle de Brewster, angle auquel le faisceau rééchi à la surface d'un dioptre est complètement polarisé. Ce phénomène est mis à prot lors de la construction de lasers à gaz polarisés. L'optique de Fourier sera le prochain sujet abordé.

Nous souhaitons ici donner une intuition physique à que l'on appelle les fréquences spatiales, qui constituent les composantes de Fourier d'une image bidimensionnelle. Il y a beaucoup d'analogie à faire avec les fréquences temporelles contenues dans un signal électrique. Entre autres, nous aborderons la notion de ltrage, qui permet de modier le contenu en fréquence d'une image.

Finalement, nous nous intéresserons à la diraction ainsi qu'à l'interférence. Ces phéno- mènes sont facilement mis en évidence à l'aide de fentes et d'un laser. Nous ferons une étude quantitative du patron d'interférence produit par des fentes de Young.

2 Théorie

2.1 BIRÉFRINGENCE : lames quart d'onde et demi-onde

La vitesse de la lumière dans un milieu d'indice de réfraction n est donnée par v = c/n (n est généralement une fonction de λ). Dans les cristaux, la vitesse de la lumière dépend généralement de la direction de propagation relativement aux axes cristallins. En eet, plusieurs cristaux sont biréfringents : ils possèdent un indice de réfraction n₀ dit

"ordinaire" dans un plan et un indice de réfractionn_edit "extraordinaire" dans la direction perpendiculaire à ce plan.

Note : Un cristal est un arrangement périodique d'atomes disposés sur un réseau virtuel (ex : cubique, hexagonal, etc...)

2.1.1 Lame quart d'onde

Soit une onde plane (polarisée linéairement) de longueur d'onde λ et se propageant suivant l'axey. Cette onde traverse un cristal d'épaisseur d. Le champ électrique de cette onde forme un angle θavec l'axex.

E θ

z x

Figure 1: Champ électrique d'une onde lumineuse polarisée linéairement.

On cherche la valeur deθ ainsi que la condition reliant d,n_x ,n_z etλpour obtenir une lumière polarisée circulairement à la sortie de la lame. Avant la lame, on a :

Ex=E0cosθcosω

t− y v_x

(1) E_z =E₀sinθcosω

t− y

vz

(2) à la sortie de la lame, on aura donc :

E_x =E₀cosθcos

ωt−ωdn_x c

(3)

E_z=E₀sinθcosω

t−dn_z c

=E₀sinθcos

ωt−ωdn_x c + ∆φ

(4) où ∆φ = ^ωd(nx_c^−nz) est la diérence de phase entre les deux composantes du champ élec- trique. En choisissant correctement le repère du temps, les composantes du champ électrique peuvent s'écrire, à une position y située après la lame :

E_x=E₀cosθcos (ωt−ky) où k= ωn

c (5)

Ez =E0sinθcos

ωt−ky−ωd(nz−nx) c

(6) ce qui représente en général une polarisation elliptique. On obtient le cas particulier de la polarisation circulaire sous certaines conditions. En eet, si on pose ωd^(nz−n_c ^x) = ^π₂, le champ électrique s'exprime alors comme :

E_x=E₀cosθcos (ωt−ky) (7)

E_z =E₀sinθsin (ωt−ky) (8)

où on a utilisé la propriété cos (A+B) = cosAcosB−sinAsinB. Dans le cas où θ=π/4, on aEcosθ=Esinθ=E⁰, les composantes du champ électrique s'écrivent nalement :

E_x =E₀⁰ cos (ωt−ky) (9)

Ez=E₀⁰ sin (ωt−ky) (10)

ce qui est la polarisation circulaire recherchée. Pour résumer, les conditions nécessaires pour obtenir une lumière polarisée circulairement à la sortie de la lame sont donc :

∆φ= ωd(n_z−n_x)

c = π

2 θ= π

4

On parle dans ce cas d'une lame quart d'onde, puisque le déphasage ∆φ qui est introduit entre les deux composantes correspond à un quart de cycle, ou un quart de longueur d'onde.

2.1.2 Lame demi-onde

De manière analogue à la lame quart d'onde, on aura une lame dite "demi-onde" lorsque l'épaisseur de celle-ci est telle que ∆φ=π.

2.2 Polarisation et angle de Brewster

φ' φ φ

verre air

T O

Ψ' Ψ Ψ

S S R

R

T

90^o

O

Figure 2: Réexion et transmission à l'angle de Brewster.

Considérons un faisceau de lumière non polarisée ayant un angle d'incidence φ avec la normale de la surface d'un diélectrique. Il y a toujours une partie du faisceau qui est rééchie (OR) et une partie qui est transmise (OT) dans le diélectrique. On observe que le faisceau rééchi (OR) est partiellement polarisé linéairement. Lorsque l'angle d'incidence atteint une certaine valeur notéeΨ, le faisceau rééchi devient entièrement polarisé linéairement. C'est Brewster qui fut le premier à observer qu'à cet angle d'incidenceΨ, le faisceau rééchi et le faisceau transmis étaient à angle droit. Cette observation nous permet de déterminer l'indice de réfraction. En eet, utilisons la loi de Snell-Descartes :

sinφ

sinφ⁰ =n (11)

où on a posé n_air = 1. Comme l'angle ROT = 90^o lorsque l'angle d'incidence est Ψ, on a alors quesin Ψ⁰ = cos Ψ. Ceci nous permet d'écrire :

sin Ψ

sin Ψ⁰ = sin Ψ

cos Ψ = tan Ψ =n (12)

Cette relation s'appelle la loi de Brewster, à partir de laquelle on peut déterminern connaissant Ψ.

Question : Expliquer pourquoi la lumière polarisée dans le plan d'incidence n'est pas rééchie à l'angle de Brewster (le plan d'incidence est le plan contenant le vecteur normal à l'interface au point d'incidence et le vecteur donnant la direction de propagation de la lumière).

2.3 Optique de Fourier

Dans la théorie de l'optique géométrique, seulement quelques tracés des parcours des faisceaux lumineux sont nécessaires pour déterminer la position ainsi que la taille des images produites par un système optique. Cette approche ignore la nature ondulatoire de la lumière qui conduit aux phénomènes de diraction et d'interférence, lesquels peuvent avoir une inuence importante sur la formation des images.

Ce qui sera décrit et démontré expérimentalement dans cette partie de l'expérience, est qu'il est possible, après qu'un faisceau lumineux (cohérent) ait traversé une diapositive et une lentille mince, de modier d'une façon autre que géométrique l'image obtenue. Cette approche à la modication (traitement) des images a trouvé bon nombre d'applications dans l'optique moderne. Avant d'entreprendre l'étude de ces concepts, il faut d'abord revoir brièvement la diraction produite par un réseau.

Supposons un réseau de diraction composé d'une série alternée de bandes sombres et transparentes également espacées et éclairées uniformément. Il est mathématiquement possible de déterminer les directions des faisceaux diractés ainsi que leur intensité relative.

On sait que les positions angulaires des pics d'intensité observés à grande distance du réseau, ou dans le plan focal d'une lentille placée devant le réseau, sont données par (diraction de Fraunhofer) :

sinθm= mλ

d (13)

où m est entier etdest le pas du réseau.

2.3.1 Fréquences spatiales

Nous sommes tous très familiers avec les signaux qui sont répétitifs dans le temps. On pense par exemple aux signaux électriques générés par un générateur de fonctions, ou encore à une onde lumineuse. Prenons le cas d'un signal électrique formé du produit de deux signaux de forme sinusoïdale. La transformée de Fourier de ce signal montre deux pics situés aux fréquenceω1+ω2 etω1−ω2. Elle conrme donc que ce signal peut être représenté comme la

somme de deux composantes sinusoïdales de fréquences diérentes (dans ce cas-ci, on vérie tout simplement l'identité sinAsinB=¹₂cos (A−B)−cos (A+B)). L'analyse de Fourier permet ainsi de représenter la variation temporelle d'un signal comme une superposition de composantes sinusoïdales dont l'amplitude et la fréquence dépendent de la forme du signal étudié. De manière tout à fait analogue, on peut étudier la variation spatiale d'un signal (par exemple, la variation d'intensité de la lumière dans une image donnée) en la représentant comme la somme de fonctions sinusoïdales d'intensité. Il s'agit alors de composantes d'inten- sité variant de façon sinusoïdale dans l'espace, chacune de ces composantes étant caractérisée par une amplitude et par une fréquence spatiale, qui s'exprime en cycles/mm ou mm^-1. C'est donc dire que si une image contient un patron répétitif, sa transformée de Fourier (spatiale) contiendra au moins une fréquence spatiale de grande amplitude. Si l'image contient un fond continu, on obtiendra une amplitude élevée pour la fréquence spatiale nulle. Si l'image contient un carré, on obtiendra une multitude de fréquences spatiales d'amplitude non nulle, comme dans le cas de la transformée de Fourier d'un signal électrique formé d'une impulsion de largeur nie. Le spectre des fréquences spatiales nous indique donc comment l'intensité de la lumière varie dans l'espace pour une image donnée. Ainsi, une image présentant des variations très rapides (spatialement) de l'intensité de la lumière contiendra beaucoup de composantes de fréquence spatiale élevée. On dira dans ce cas que cette image possède de forts contrastes.

Comme pour la plupart des signaux électriques ou sonores, un patron répétitif spa- tialement ne consiste pas en général en une seule fréquence mais peut contenir beaucoup d'harmoniques. Un bon exemple d'un objet possédant un nombre restreint de fréquences spatiales est le réseau de diraction. Si le réseau consiste en une variation sinusoïdale de transparence, il y aura seulement un ordre zéro ainsi que les ordres −1 et +1. Par contre, tous les autres ordres de diraction sont présents dans le cas d'un réseau formé de franges sombres et transparentes rectangulaires alternées. Tout cela se représente mathématique- ment de manière rigoureuse dans le cadre de la théorie de Fourier. Par exemple, dans le cours d'Optique et Ondes, on montre que si on éclaire un diaphragme possédant un coef- cient de transmission t(x, y), la distribution d'intensité dans le patron de diraction sera proportionnelle à :

I ∝

Z Z

t(x, y)e−2πi(ux+vy)dx dy

2

(14) Cette double intégrale n'est rien d'autre que la transformée de Fourier spatiale (à deux dimensions) de la fonction t(x, y), u et v étant les fréquences spatiales selon les axes x et y, respectivement. Dans le contexte de cette expérience, nous nous contenterons de repré- senter graphiquement et aussi simplement que possible les résultats attendus : les personnes intéressées à approfondir l'optique de Fourier pourront trouver un complément (optionnel) à la n de ce texte.

2.3.2 Décomposition et synthèse de Fourier

Selon le théorème de Fourier, toute fonction périodique peut être exprimée en série de sinus et de cosinus de fréquence fondamentale f et de ses harmoniques supérieures (2f, 3f, 4f, ...). Dans le cas d'un spectre continu, l'amplitude de chacune des harmoniques contribuant à la fonction originale peut être calculée à l'aide des intégrales de Fourier. Cette

décomposition d'une fonction périodique en une somme de sinus ou de cosinus de fréquence f et de ses harmoniques est appelée décomposition de Fourier. Cette décomposition déter- mine l'amplitude de chacune des composantes harmoniques ainsi que la phase relative (0^o ou 180^o) à la composante fondamentale (de fréquence f ).

0 2 f 4 f 6 f 8 f

0 2 f f

f

4 f 6 f 8 f coefficients de Fourier pour un sinus

coefficients de Fourier pour un réseau carré

a

b

Figure 3: Coecients de Fourier pour un sinus et un réseau carré.

Cette procédure peut également être inversée. En eet, en combinant un signal à la fréquence fondamentale avec plusieurs de ses harmoniques (avec des poids appropriés), il est possible d'approximer n'importe quelle fonction périodique de fréquence f. Ce procédé est appelé synthèse de Fourier. Dans l'expérience qui sera décrite plus loin, nous verrons quelques techniques utilisant la décomposition et la synthèse de Fourier pour créer des images.

=

sin x

sin x

sin 3x 1

+ +

+

+ 3

sin 3x 13

sin 5x 15

sin 5x 15

Figure 4: Addition de trois signaux.

2.3.3 Formation d'images

Si le réseau noir et blanc décrit précédemment est illuminé avec des ondes planes mono- chromatiques, plusieurs ordres de diraction seront générés. Il est possible de les focaliser à l'aide d'une lentille placée près du réseau et ainsi d'obtenir une image du patron de dif- fraction à l'inni (diraction de Fraunhofer). Les positions des pics d'intensité sont données par l'équation (13). Compte tenu de ce qui a été énoncé ci-haut, ce patron de diraction correspond au carré de la transformée de Fourier spatiale du réseau de diraction. En ob- servant l'image du patron de diraction dans le plan focal de la lentille, on visualise donc le spectre des fréquences spatiales composant la distribution d'intensité dans le réseau : en d'autres mots, on observe la transformée de Fourier de ce réseau. Expérimentalement, c'est la combinaison de l'utilisation d'un faisceau laser et d'une lentille qui permettra de faire l'analyse de Fourier du signal transmis par le réseau.

-2 -1

0 1

2 faisceau monochromatique réseau de diffraction

lentille

plan focal

Figure 5: Diraction par un réseau de fentes.

Si l'objet éclairé n'est pas un réseau ou une série de lignes ayant une certaine répétition,

le patron obtenu sur le plan focal contiendra toujours le spectre des fréquences spatiales de l'objet éclairé. Les gros objets ayant de faibles contrastes ne possèderont essentiellement que des composantes de faibles fréquences spatiales et diracteront peu le faisceau laser incident.

Par conséquent, l'intensité diractée se retrouvera principalement près de l'axe optique du système. Les objets ayant de forts contrastes produiront une diraction importante et leurs composantes spectrales s'étendront davantage loin de l'axe optique sur le plan focal de la lentille.

Supposons maintenant qu'on utilise un treillis à la place de notre réseau. Ceci peut être considéré comme la superposition de deux réseaux croisés. Lorsque ce treillis est illuminé par le faisceau laser, les diérents ordres de diraction seront focalisés en une série de points sur le plan focal de la lentille. Le spectre de fréquences spatiales obtenu formera donc une grille bidimensionnelle de maxima d'intensité. La séparation relative de ces maxima sera déterminée par la distance séparant les ls qui forment le treillis (i.e. le pas de ce nouveau réseau).

Si la lentille est placée adéquatement, il y aura formation d'une image réelle derrière le plan de la transformée de Fourier. Le point intéressant ici est que l'on peut considérer cette image comme une distribution d'intensité provenant de l'interférence entre les diérentes composantes de fréquences spatiales associées à l'objet. C'est donc dire que l'image obtenue est la synthèse de Fourier des fréquences spatiales du réseau.

Cette formation d'image peut donc être vue comme le résultat de deux processus : une première décomposition de Fourier, suivie par la synthèse des fréquences spatiales obtenues.

Cette nouvelle approche à l'analyse des images fut proposée par Ernst Abbe, étudiant à l'Université de Jena, à qui Carl Zeiss avait demandé de fabriquer des lentilles de microscope performantes. Après quelques études, il aboutit à la conclusion que plus l'angle de collection de la lentille est grand, plus la résolution de l'image obtenue est bonne, ceci étant dû au fait que les fréquences spatiales élevées se retrouvent loin de l'axe optique de la lentille. En eet, même si peu de lumière est collectée près du bord de la lentille, c'est quand même celle-ci qui contribue à reproduire les détails ns des images à haute résolution.

2.3.4 Filtrage spatial

Comme la fréquence spatiale augmente en s'éloignant de l'axe optique dans le plan de la transformée de Fourier, il est possible, à l'aide d'un masque, de modier la distribution des fréquences obtenue. Ceci aectera le contenu de l'image tout en étant prévisible. Ce procédé de modication des images basé sur la modication des fréquences spatiales est appelé Filtrage spatial.

Il existe plusieurs applications basées sur le principe du ltrage spatial. L'une d'elles est l'épuration d'un faisceau laser. La distribution d'intensité d'un faisceau laser est souvent gaussienne. Par contre, la poussière et les défauts présents sur la surface du miroir de sortie du laser peuvent modier cette distribution pour la rendre un peu irrégulière. La distribution gaussienne représente une basse fréquence spatiale dans la forme du faisceau, alors que les irrégularités produisent des fréquences spatiales élevées. Si on focalise le faisceau à l'aide d'un objectif de microscope à travers un petit trou, seulement la partie basse fréquence

(celle contenant la distribution gaussienne) sera transmise. Toutes les irrégularités de la distribution d'intensité du faisceau seront éliminées produisant ainsi un faisceau laser bien épuré.

D'autres applications utilisant le concept de fréquence spatiale se retrouvent dans les techniques de reconnaissance de formes. Dans certaines photographies aériennes par exemple, la quantité d'information contenue sur la pellicule est énorme. Si un élément présentant un certain intérêt possède un ensemble particulier de fréquences spatiales (des supports de chemin de fer par exemple), l'utilisation d'un laser et d'une lentille peut servir à vérier la présence de ces objets sur la photographie. D'autres applications se retrouvent dans le contrôle de la qualité de certains produits. Dans l'inspection de la pointe des seringues hypo- dermiques, on enregistre une moyenne du contenu des fréquences spatiales dans la mémoire d'un ordinateur. Le spectre de chaque nouvelle pointe de seringue produite est ensuite com- paré au spectre de l'ordinateur. Certains critères de similitude sont ensuite vériés pour décider du rejet ou non du produit.

2.4 Diraction et interférence

Supposons un faisceau laser (monochromatique) passant au travers deux fentes de faible largeur b (comparable à la longueur d'onde utilisée) et séparées par une distance a.

l

b y

x

a P z

θ

Figure 6: Fentes de Young.

Sur un écran placé à bonne distance des fentes, on peut apercevoir un patron d'interférence semblable à celui de la prochaine gure.

L

θ

z

Figure 7: Expérience des fentes de Young.

On peut montrer que le patron d'interférence obtenu peut s'exprimer comme :^[4]

I(θ) = 4I0 sinc²β

cos²α

(15) où I0 est l'intensité lumineuse traversant une fente et :

β = kb

2 sinθ (16)

α= ka

2 sinθ (17)

L'interférence entre les deux fentes est responsable de la variation rapide du cosinus au carré, alors que la modulation plus lente provient de la diraction de chacune de fentes (sinus cardinal au carré). Les maximums du patron d'interférence ont lieu à chaque fois que :

asinθ=mλ (m= 0,±1,±2, ...) (18) Les minimums du patron de diraction d'une fente eux ont lieu à chaque fois que :

bsinθ=m⁰λ (m⁰ =±1,±2, ...) (19)

b

−λ a

−λ a λ

b 0 λ

4I0

( ) Iθ

sinθ

Figure 8: Patron d'interférence des Fentes de Young.

Expérimentalement, on place l'écran où l'on observe le patron d'interférence loin des fentes de Young. On mesure ensuite l'intensité en fonction de z en déplaçant un détecteur optique.

On peut donc approximer que sinθ≈θet donc quez≈Lθ. Ceci permet d'écrire que : I(z)≈Asinc²(Bz) (cos²Cz) (20) C'est cette équation que vous utiliserez pour faire un lissage du patron obtenu (A, B et C seront les 3 paramètres ajustables).

3 Partie expérimentale

3.1 Partie I : Lame quart d'onde

Attention : Les lasers à gaz sont alimentés par une très haute tension. Ne jamais débrancher le laser de son alimentation électrique lorsque ce dernier est en fonction.

laser

a

écran

M1

M2 Figure 9: Montage pour l'étude de la lame quart d'onde.

1. Installer les miroirs M1 et M2 à l'extrémité de la table (Fig. 9). Faire en sorte que les faisceaux rééchis par les miroirs soient parallèles à la surface de la table optique et se dirigent vers l'écran blanc.

2. Vérier que la polarisation de la lumière au point "a" est verticale. Si ce n'est pas le cas, tourner le laser. Attention de ne pas trop serrer les vis qui entourent le laser.

3. En vous servant de deux polariseurs (dont le premier est vertical) et d'une lame quart d'onde (λ/4), expliquer comment trouver les axes optiques de la lame.

Expliquer ensuite la procédure à suivre pour obtenir une polarisation circulaire (conguration quart d'onde). Comment pouvez-vous vérier que la polarisation obtenue est bien circulaire ?

laser écran

M1

P1 M2 P2

vertical λ/ 4

4. Insérer maintenant une lame séparatrice ("beam splitter" BS) devant la lame quart d'onde et ajouter un miroir M3 de façon à faire rééchir le faisceau vers l'écran blanc (Fig. 10). Prendre soin de placer un stoppeur de faisceau pour éviter qu'un rayon lumineux ne quitte la table optique. Utiliser encore un polariseur vertical (P). Quel est l'état de polarisation de la lumière au niveau de l'écran ? Expliquer.

laser écran

M1

M3 M2

stoppeur BS P λ/4

Figure 10: Double passage dans une lame quart d'onde.

5. Obtenir maintenant la conguration quart d'onde pour deux lames quart d'onde. Les positionner ensuite l'une après l'autre sur le parcours optique (Fig. 11) à la suite du polariseur vertical (P). Quel est maintenant l'état de polarisation obtenu après le passage dans les deux lames ? Retourner une lame de façon à changer la face d'entrée pour la face de sortie. Qu'arrive-t-il à la polarisation à la sortie des deux lames (attention : le résultat dépend du choix de la face d'entrée de la deuxième lame) ?

Remplacer maintenant les deux lames quart d'onde par la lame demi-onde disponible au laboratoire. Expliquer son principe de fonctionnement et son utilité principale.

laser écran

M1

P M2 λ/4

λ/4

Figure 11: Utilisation de deux lames quart d'onde.

6. Placer maintenant la lame demi-onde entre deux polariseurs verticaux (Fig. 12).

Régler la direction des axes optiques de la lame de façon à avoir une intensité nulle à la sortie de P2. Si vous tournez le polariseur P1 d'un angle de +15^o, de combien de degrés faut-il tourner le polariseur P2 pour retrouver une intensité nulle à la sortie du système ? Expliquer.

laser M1

M2 écran

P2 λ/2 P1

Figure 12: Montage pour l'étude de la lame demi-onde.

3.2 Partie II : Polarisation et angle de Brewster

laser ^M1

RA P M2 écran λ/4

Figure 13: Montage pour l'étude de l'angle de Brewster.

1. Installer le laser au bout de la table optique. En utilisant les miroirs M1 et M2, diriger le faisceau comme dans la gure précédente.

2. Ajuster le polariseur de façon à obtenir une polarisation parallèle au plan d'incidence (horizontal).

3. Comme la polarisation est verticale à la sortie du laser, ajuster la lame quart d'onde pour obtenir une polarisation circulaire.

4. Placer la lamelle de microscope et son support de rotation gradué RA sur le parcours optique.

5. Tourner la lamelle de verre de façon à ce que le faisceau rééchi par celle-ci se su- perpose au faisceau incident. Noter l'angle obtenu sur le support de rotation de la lamelle.

6. En utilisant des polarisations verticale et horizontale, trouver l'angle de Brewster.

Quel est l'indice de réfraction de la lamelle de verre ?

7. Quelle est la direction de le polarisation de la lumière rééchie à l'angle de Brewster ? Démontrer ceci à votre moniteur.

Question : Supposons que vous possédez une lampe de poche, un bloc de verre (dont l'indice de réfraction est inconnu) et un polariseur dont vous ne connaissez pas l'orientation de l'axe de polarisation. Comment pourrait-on déterminer la position de cet axe en utilisant seulement ces trois composantes ?

3.3 Partie III : Optique de Fourier

laser écran

M1

M2 D BE

L f

Figure 14: Montage pour l'étude de l'optique de Fourier.

1. Obtenir un faisceau élargi (environ 2.5 cm de diamètre) avec l'élargisseur de faisceau ("beam expander" BE) commercial disponible au laboratoire. Expliquer graphique- ment comment fonctionne un élargisseur de faisceau construit à l'aide de deux lentilles biconvexes.

2. Aligner le faisceau élargi sortant de l'élargisseur de faisceau sur le miroir M2 et le centrer sur la lentille biconvexe L (f = 20 cm) qui doit être placée à 10 cm de M2.

3. Insérer une diapositive (D) à environ 15 cm de M2. Retoucher les positions de D et L pour avoir une image nette à l'écran. Ne pas mettre les doigts sur la partie transparente des diapositives !

4. Vérier que vous obtenez bien un plan focal à la position f. C'est à cette position que vous allez insérer un ltre spatial pour modier les composantes de Fourier de votre image.

5. Vous avez à votre disposition plusieurs diapositives contenant des images diérentes.

Commencer par installer celle contenant le treillis à la position D. Décrire ce que vous observez dans le plan de la transformée de Fourier ? Comment est modiée l'image obtenue sur l'écran lorsque l'on bloque les points situés sur l'axe vertical dans le plan de la transformée de Fourier ? Expliquer.

6. En utilisant d'autres diapositives contenant des portraits d'objets, montrer qu'il est possible d'accentuer les contrastes. Que doit-on faire ?

7. Avec la diapositive contenant le visage d'un homme dont l'image est uniquement composée de petits carrés, utiliser les 3 trous de ltrage disponibles pour couper les hautes fréquences de l'image. Discuter vos observations.

Demander au moniteur de vous montrez que l'on peut eectuer du ltrage spatial avec un ordinateur et des images en deux dimensions.

Vous pouvez utiliser un logiciel en ligne pour eectuer des transformées de Fourier sur des images à l'adresse suivante :

http ://www.ejectamenta.com/Imaging-Experiments/fourierimageltering.html Un autre écrit en Labview (pour Windows) est disponible sur le site des T.P..

note : L'image du bonhomme à lunettes, utilisée pour votre expérience, est aussi disponible sur le site Web des T.P..

3.4 Diraction et interférence

Attention : Le détecteur est très sensible. Ne jamais diriger le faisceau du laser directement sur ce dernier.

Réaliser le montage suivant :

laser ^M1

vers le mur du comptoir F

Figure 15: Montage pour la diraction et l'interférence.

Ne pas allumer le détecteur tout de suite. Choisir le mode volt CC sur le multimètre Rigol.

La lumière provenant du laser (6328 ˚A) va se rééchir sur le miroir (M1) pour être dévier d'exactement 90^o. Le faisceau doit être dirigé vers le mur (sous les armoires) à une hauteur de 8 pouces (20.3 cm) au dessus du comptoir. On place ensuite le support contenant les deux fentes face au laser sur le coin de la table optique. Le patron d'interférence est projeté sur le mur du comptoir. Commencer par observer les patrons de diraction des diérentes fentes ainsi que les patrons d'interférence des diérentes fentes de Young.

On insère maintenant le détecteur et on vérie que le patron d'interférence est bien à la même hauteur que la fente du détecteur.

1. Sélectionner maintenant la paire de fentes de Young marquée d'une èche. Déplacer verticalement les deux fentes an d'obtenir le plus beau patron d'interférence possible.

2. Vérier que le détecteur soit à la même hauteur que le patron d'interférence. La fente devant le détecteur se situe à droite du ruban blanc. Son ouverture est si petite que vous ne pouvez la voir à l'÷il. Éviter de toucher au ruban.

3. S'assurer que le patron d'interférence soit bien horizontal.

4. Allumer le détecteur à l'aide du commutateur situé en bas à droite de ce dernier (il est alimenté par une pile).

5. Placer le cylindre de carton devant le détecteur pour éviter la lumière parasite.

6. Enregistrer le patron de diraction en faisant un balayage du détecteur de 80 mm centré sur le maximum central. Utiliser une résolution d'au moins 0.2 mm.

7. Il faudra modier vos données pour que la frange centrale soit à zéro (mettre une valeur très près de zéro pour éviter une divergence dans votre lissage). Soustraire également la ligne de base du spectre obtenu ou ajouter une constante dans l'équation du lissage.

8. Faire un lissage du spectre obtenu et en déduire la largeur des fentes ainsi que la distance entre les fentes (voir la théorie). Comparer avec les spécication du fabricant : la largeur d'une fente est de 100 µm et la séparation entre les fentes est de 250 µm.

La distance centre-centre des deux fentes est donc de 350µm.

9. Fermer le détecteur.

note : Un chier Mathematica et un autre en Python sont disponibles sur le site des T.P. pour vous aider à réaliser le lissage. Si vous utilisez le logiciel Origin pour le lissage, vérier que vous n'avez pas de point en abscisse égal à zéro. Il faut procéder ainsi car Origin donnera une divergence au point zéro. De plus, ne pas oublier de spécier des paramètres de départ assez près de ceux escomptés.

Références

[1] Nussbaum A. Contemporary Optics for Scientists and Engineers. Prentice Hall, 1976.

[2] O'Shea D. C. Elements of Modern Optical Design. Wiley-Interscience, 11985.

[3] Hecht E. Optics. Addison-Wesley, 2001.

[4] Hecth E. Optics (Schaum's outline series). McGraw-HIll, 1975.

[5] Jenkins F. & White E. Fundamentals of Optics. McGraw-Hill, 1957.

[6] Goodman J. Introduction to Fourier Optics. Robets and Company Publishers, 2004.

[7] Spiegel M. R. Fourier Analysis. MMcGraw-Hill (Schaum's series), 1974.

Annexe A COMPLÉMENT MATHÉMATIQUE

Remarque : Ce complément est facultatif.

Toutes les fonctions f(x) raisonnables de période λ, telle quef(x+l) =f(x) quel que soit x, peuvent être développées en série de Fourier de la forme :

f(x) =

∞

X

n=0

[Ansinαnx+Bncosαnx] (A-1)

f(x) =B0+

∞

X

n=1

Ansinαnx+

∞

X

n=1

Bncosαnx où αn= 2πn/λ

le termeα_n sera appelé fréquence spatiale. Les coecientsB₀ ,A_netB_nsont donnés par : B0 = (1/λ)

Z x1+λ x1

f(x)dx (A-2)

A_n= (2/λ) Z x1+λ

x1

f(x) sinα_nxdx (A-3)

Bn= (2/λ) Z x1+λ

x1

f(x) cosαnxdx (A-4) exemple : onde en créneau

0

etc.

0 1

-1

L 2L

λ

Figure A-1: Onde en créneau.

Soitf(x)tel que :

f(x) = 0 pourx= 0etx=L f(x) = +1 0< x < L

f(x) = −1 L < x <2L D'après les équations (A-1) à (A-4) on trouve :

B0 = 0

Bn = 0pour toutn An = 0pournentier pair A_n = 4/nπpournentier impair Donc, f(x) peut s'écrire :

f(x) = B₀+

∞

X

n=1

B_ncosα_nx+

∞

X

n=1

A_nsinα_nx

= 4

π sinα1x+sin 3α1x

3 +sin 5α1x 5 +...

f(x) a)

0

0 x

1

1+3+5=

3 5

L

L b)

f(x)

f₁₊₃₊₅

Figure A-2: Premières composantes de Fourier d'une onde en créneau.

dans la représentation intégrale, on écrit : f(x) =

Z ∞ 0

[A(α) cosαx+B(α) sinαx]dα

A(α) = 1

π Z ∞

−∞

f(x) cosαxdx où

B(α) = 1

π Z ∞

−∞

f(x) cosαxdx

On peut aussi montrer que f(x) peut s'écrire (cf. Schaum Fourier Analysis p.80) :

f(x) = 1

π Z ∞

α=0

Z ∞ u=−∞

f(u)e^iα(x−u)dudα f(x) =

1 2π

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

f(u)e^iα(x−u)dudα f(x) =

1 2π

Z ∞

−∞

e^iαxdα Z ∞

−∞

f(u)e^−iαudu c'est cette dernière forme qui est intéressante puisqu'on dénira :

F(α) =R∞

−∞f(u)e^−iαudu comme étant la transformée de Fourier de la fonction f(x) notéeT.F.[f(x)].

f(x) = _2π¹ R∞

−∞F(α)e^iαxdα comme étant la transformée de Fourier inverse deF(α)notée T.F⁻¹.[F(α)]

Comme nous nous intéressons principalement à la formation d'images bidimensionnelles, il sera utile d'étudier des fonctions à deux variables (x, y). Reprenons donc les dernières dénitions d'une façon plus tangible et énumérons quelques propriétés des transformées de Fourier et de leurs inverses.

1 Transformée directe

Soitg(x, y) une fonction connue, par dénition : G(f_x, f_y) =T.F.[g] =

Z Z ∞

−∞

g(x, y)e^{−2πi(fxx+fyy)}dxdy (A-5) où fx etfy sont appelées fréquences spatiales, x et y étant des coordonnées spatiales.

2 Transformée inverse

En appelantG(fx, fy) laT.F.[g], on écrit : T.F.⁻¹[G] =

1 2π

Z ∞

−∞

G(f_x, f_y)e^{2πi(fxx+fyy)}df_xdf_y (A-6)

3 Propriétés de la T.F.

3.1 Linéarité

T.F.[αg+βh] =α T.F.[g] +β T.F.[h] où αetβsont des constantes. (A-7)

3.2 Similitude

T.F.[g(ax, by)] = 1

|ab|G fx

a, f_y b

(A-8) oùG=T.F.[g]et a et b sont des constantes. Une multiplication dans le domaine de l'espace réel résulte en une division dans le domaine des fréquences.

3.3 Translation

T.F.[g(x−a, y−b)] =G(f_x, f_y)e^{−2πi(afx+bfy)} (A-9) Une translation dans l'espace ne change pas la T.F. à un facteur de phase près.

3.4 Théorème de convolution :

T.F.[g⊗h] =G·H T.F.[g·h] =G⊗H (A-10) La transformée de Fourier d'un produit de convolution est égal au produit des transformées, et vice-versa.

3.5 Convolution

Soient deux fonctions g(x) eth(x) :

x x

g(x) h(x)

Figure A-3: Fonctions à convoluer.

On dénit k(x)le produit de convolution g⊗h : k(x) =

Z ∞

−∞

g(ξ)h(x−ξ)dξ (A-11)

h(x- )

k(x)=g h

ξ

g( )^ξ

ξ

⊗

x

Figure A-4: Produit de convolution.

4 Diraction optique

Soit Σ une ouverture quelconque dans un écran situé dans le plan x₁, y₁. On appelle P₁(x₁, y₁) un point de l'ouverture etU(P₁) l'amplitude lumineuse en ce point.

P

z Σ

y

y

r x

x

1 1

1 1

0 0 0

0 P

Figure A-5: Diraction lumineuse.

On observe l'amplitude lumineuse enP0 du plan d'observation (x0, y0) situé à la distance z du planx₁, y₁. D'après le principe de Huygens, il faut sommer toutes les ondes sphériques issues des points P₁ du plan (x₁, y₁) et ayant parcouru la distance r₀₁. Sous certaines conditions d'approximation, on écrit :

U(P₀) = Z

Σ

h(P₀, P₁)U(P₁)dS (A-12) où

h(P0, P1) =h(x0, y0;x1, y1)

h(P₀, P₁) = e^ikz

iλze^(ik/2z)[^(x0−x1)²−(y0−y1)²] (A-13) et dS = (dx1,dy1) est l'élément de surface d'intégration. En sortant de l'intégration les termes constants, on a :

U(x0, y0) = e^ikz

iλze^(ik/2z)(^x20+y₀²)Z Z

Σ

h

U(x1, y1)e^(ik/2z)(^x21+y²₁)i

e−(i2π/λz)(x₀x1+y0y1)dx1dy1

(A-14) Donc,

U(x₀, y₀) =T.F.h

U(x₁, y₁)e^(ik/2z)(^x21+y²₁)i

(A-15)

avec comme fréquences spatiales : f_x=x₀/λz f_y =y₀/λz.

Dans le plan d'observation, (x0, y0), les coordonnées peuvent donc être exprimées en termes des fréquences spatiales de la fonction objet U(x1, y1) multipliée par un facteur de phase :

e^(ik/2z)(^x21+y²₁) (A-16)

Nous allons voir que lorsque l'observation se fait dans le plan focal d'une lentille, ce facteur de phase disparait.

U

d onde plane

lentille

1 U' onde sphérique

foyer

1

Figure A-6: Eet d'une lentille convergente sur une onde plane.

Une onde plane est transformée en onde sphérique convergente par une lentille convergente.

D'une façon générale, en appelant U₁(x, y) l'amplitude de l'onde émergente et t(x, y) le facteur de transformation, on écrit :

U₁⁰(x, y) =t(x, y)U₁(x, y) (A-17) et pour une lentille mince d'indice n et d'épaisseur∆₀ (au centre) ayant une distance focale d, le calcul donne :

t(x, y) =e^ikn∆0e^{−(ik/2d)(x2+y2)} (A-18) par conséquent, avec le montage suivant :

U(x,y)

d

plan d'observation objet

lentillet(x,y)

Figure A-7: Résultat produit par la lentille dans le plan d'observation.

on obtient dans le plan d'observation que : U(x₀, y₀)∝T.F.h

U(x₁, y₁)e^{(ik/2d)(x21+y21)}e^{−(ik/2d)(x21+y12)}i

(A-19)

i.e. ∝ T.F.[U(x₁, y₁)] (A-20)

Le facteur de proportionnalité est de la forme : e^ikd

iλd e^{(ik/2d) (x20+y02)}e^ikn∆0

Les termes en exponentielle n'ont pas d'importance lorsqu'on observe l'éclairement, i.e le module carré de l'amplitude. Les fréquences spatiales peuvent donc être mesurées dans le plan de Fourier en utilisant les relations :

f_x= x₀

λd f_y = y₀

λd (A-21)

où x0 ety0 sont les coordonnées dans le plan focal et d est la distance focale de la lentille.