Problème A539 – Solution de Jean Drabbe
QUESTION 1
Il n'est évidemment pas possible que x et y soient de même parité.
Nous pouvons donc supposer (sans perte de généralité ) que x = 2 . Alors,
y est impair et y^2 ≡ 1 mod 3 lorsque y ≠ 3 2^y ≡ 2 mod 3 .
Il en résulte que les seules solutions sont :
(x , y , z) = (2 , 3 , 17) et (x , y , z) = (3 , 2 , 17)
QUESTION 2
Lemme. Les seuls entiers strictement positifs m et n tels que 2^m + 3^n est un carré sont respectivement 4 et 2 .
Une démonstration est donnée dans [1] (pages 35 et 36) . J'en reprends les lignes directrices en annexe.
Si le couple (x,y) satisfait à l'énoncé, on doit avoir
1 ≡ 5^z mod 3 ce qui entraîne que z est pair.
L'application du lemme précédent montre que la seule solution est (x , y , z) = (2 , 2 , 2) .
[1] BORNSZTEIN, P. Hypermath, Librairie Vuibert, Paris (2001)
Annexe – La démonstration de Bornsztein.
Soient m , n , t tels que 2^m + 3^n = t^2. Il est trivial que t doit être impair.
L'arithmétique modulaire permet de vérifier que m et n doivent être pairs.
Posant n = 2 • a , on obtient 2^m = (t – 3^a) • (t + 3^a) .
Le pgcd d des deux facteurs de ce produit doit diviser 2 • t . Par conséquent d = 2 . On en déduit que 1 + 3^a = 2^(m – 2) ≡ 0 mod 4 et que a est impair.
Si a > 1 , l'identité remarquable x^a + y^a = (x + y) • z (avec z convenable) montre que 2^(m – 2) est de la forme 4 • k où k est impair. Contradiction !!!
Donc, a = 1 , n = 2 et m = 4 .
