Si a0 = 1998, il faut qu’il n’y ait aucun 0 parmi les ai (i= 3 `a 7), eyt on voit que ce n’est pas r´ealisable

Enonc´e n^oE207 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Premi`ere famille

Dans les 2008 nombresa₀ `a a<sub>2007</sub>,a<sub>0</sub> s’´ecrit avec 4 chiffres (au moins) car il y a 1998 nombres nuls, dea<sub>10</sub> `a a₂₀₀₇.

Cela conduit `a 2011 chiffres ´ecrits si les autres ai n’ont qu’un chiffre. Avec cette hypoth`ese, la diff´erence entre la somme desa_i et la somme des chiffres P

i(ia_i) vient de a₀ et vaut 1971 si a₀ <2000, 1998 si a₀ ≥2000.

Si a0 = 1998, il faut qu’il n’y ait aucun 0 parmi les ai (i= 3 `a 7), eyt on voit que ce n’est pas r´ealisable. De mˆeme, si a<sub>0</sub> = 1999, il faut qu’il n’y ait qu’un 0 parmi lesa<sub>i</sub> (i= 3 `a 8), et ce n’est pas r´ealisable.

Donc a0 = 2000 +t,^P_i(iai) = 13 et on arrive `a at = 1, a2 = 1, a1 = 3 et a<sub>3</sub> = 1 avec t= 5. D’o`u la suite

2005, 3, 1, 1, 0, 1, 0, . . ., 0.

Seconde famille

A nouveau le nombre des z´eros se distingue largement des autres, mais il n’y a plus de diff´erence entre les sommes ^P_i(ia_i) et^P_i(a_i), valant toutes deux 2008.

Si a0 = t, on aura at = 1, contribuant d’une unit´e `a a1, mais a1 ne peut valoir 1 puisque ce serait un second 1, et on peut prendrea<sub>1</sub> = 2 aveca<sub>2</sub>= 1 et les autresai nuls. Alorst= 2008−2−1−1 = 2004. D’o`u la suite 2004, 2, 1, 0, . . ., 0,a2004 = 1, 0, 0, 0.

Si l’on avaita₁>2, il faudrait un autre ou d’autresa_m = 1, mais on ne voit pas quels pourraient ˆetre ces rangsm.

Remarque. Pour les premi`eres valeurs den, les deux familles se confondent et on a

– pourn= 3, deux solutions 2, 0, 2, 0 et 1, 2, 1, 0 ; – pourn= 4, la solution 2, 1, 2, 0, 0 ;

– pourn= 6, la solution 3, 2, 1, 1, 0, 0, 0 ; – pourn= 5, apparemment pas de solution.

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