PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

COLLÈGE LA PRÉSENTATION

BREVET BLANC Décembre 2011 classe de 3^e

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures

Présentation et orthographe : 4 points

Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments usuels de dessin.

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

Exercice 1 (2 points)

A=

3 2−1 1 2+1

= 3 2−2

2 1 2+2

2

= 1 2 3 2

=1 2×2

3=1 3

B=1,2×10⁻²¹ 3×10⁻²⁰ =1,2

3 ×10⁻²¹

10⁻²⁰=0,4×10⁻¹=4×10⁻²

Exercice 2 (4 points)

On considère l'expression : D=(3x−1)²−81. 1. Développer et réduire D.

D=(3x−1)²−81=9x²−6x+1−81=9x²−6x−80 2. Factoriser D.

D=(3x−1)²−81=(3x−1)²−9²=[(3x−1)−9][(3x−1)+9]=(3x−10)(3x+8) 3. Résoudre l'équation : (3x−10)(3x+8)=0.

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul.

Donc 3x−10=0 ou 3x+8=0 soit x= 10

3 ou x=−8 3

Les solutions de cette équation sont donc −8

3 et 10 3 . 4. Calculer D pour x = – 5 .

On utilise la forme développée de D : _D=9x²_−6x−80.

D=9×(−5)²−6×(−5)−80=9×25+30−80=225+30−80=175

Exercice 3 (3 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.

Pour chacune des expressions numériques, quatre réponses sont proposées mais une seule est exacte.

Recopier sur la copie chaque expression numérique et la réponse exacte.

Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D

1 1

9+1

6 est égal à : 2

15 0,277 5

18

1 15 2 Un article coûte 1 240 €. Son

prix diminue de 5%. Le montant

de cette réduction est égal à : 0,05 € 5 € 620 € 62 €

3 L'équation (2x−1)(3x+5) = 0

a pour solutions : 1 et 5 1

2 et −5

3 2 et −3

5 −1

2 et 5 3

4 x²−100 est égal à : (x−10)² (x−10)(x+10) (x−50)² – 98

Exercice 4 (3 points)

Soient les nombres a=1170 et b=1830.

1. Quel est le PGCD des deux nombres a et b ?

En utilisant la méthode des divisions successives de l'algorithme d'Euclide : 1830 = 1170× 1 + 660

1170 = 660× 1 + 510 660 = 510×1 + 150 510 = 150×3 + 60 150 = 60×2 + 30 60 = 30×2 + 0

Le dernier reste non nul est 30, donc PGCD(1830 ; 1170) = 30.

2. Simplifier la fraction a

b de manière à obtenir une fraction irréductible.

1170

1830=1170÷30 1830÷30=39

61

3. Les nombres 175 et 208 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

Écrivons la décomposition en facteurs premiers de ces deux nombres.

175 = 5²× 7 et 208 = 2⁴ ×13

Ces deux nombres n'ont aucun diviseur commun en dehors de 1, donc ils sont premiers entre eux.

PARTIE 2 : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (12 POINTS)

Exercice 1 (4 points)

1. Construire un triangle ABC tel que : AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm.

2. Démontrer que ce triangle est rectangle en A.

Le plus grand côté du triangle ABC est [BC].

Or BC² = 10² = 100 d'une part, et AC² + AB² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 d'autre part.

On constate que BC² = AC² + AB². Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3. On appelle O le centre du cercle circonscrit de ce triangle.

a) Où se trouve le point O ? Justifier la réponse.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Or, si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.

Donc le point O est le milieu de [BC].

b) En déduire le rayon de ce cercle.

Le rayon de ce cercle a pour longueur la moitié de BC, soit 10÷2 = 5cm.

4. Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.

Le point D appartient-il au cercle circonscrit du triangle ABC ? Justifier.

Le quadrilatère ABDC est un rectangle, donc ses diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu O et la même longueur. Donc OA = OD, et comme A appartient au cercle circonscrit, le point D aussi.

Exercice 2 (5 points)

EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et GF = 13 cm.

La figure donnée n'est pas réalisée à l'échelle.

1. Calculer la mesure de l'angle EFG. Arrondir au degré près.

Le triangle EFG est rectangle en E.

En utilisant la trigonométrie, on a : cos EFG = EF

FG = 5 13

On en déduit EFG = arc cos

(

)

F

E

N

M G

2. Montrer que EG = 12 cm.

Le triangle EFG est rectangle en E.

D'après le théorème de Pythagore, on a : FG² = EF² + EG² Soit : 13² = 5² + EG²

On en déduit : EG² = 13² – 5² = 169 – 25 = 144 = 12² Donc EG = 12 cm.

3. On considère le point M sur [EG] tel que EM = 3 cm. Calculer GM.

GM = GE – EM = 12 – 3 = 9 cm.

4. La perpendiculaire à (EG) passant par M coupe [FG] en N.

Les droites (MN) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier.

Le triangle EFG est rectangle en E, donc (EF)  (EG).

De plus par construction, (MN)  (EG).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Donc (EF) // (MN).

5. Calculer GN.

Les droites (FN) et (EM) sont sécantes en G et les droites (EF) et (MN) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on a : GM G E =GN

GF = MN EF . En remplaçant par les valeurs numériques : 9

12=GN

13 = MN 5 On en déduit : GN=9×13

12 =9, 75 Donc GN = 9,75 cm.

Exercice 3 (3 points)

ABC est un triangle tel que AB = 16 cm, AC = 14 cm et BC = 8 cm.

1. a) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.

b) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

D'une part AB² = 16² = 256 ; d'autre part AC² + BC² = 14² + 8² = 196 + 64 = 260.

On constate que AB² ≠ AC² + BC².

Donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.

2. Le mathématicien Héron d'Alexandrie (I^er siècle) a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant a, b, c les longueurs des trois côtés et p son périmètre, l'aire A du triangle est donnée par la formule :

A=

√

⁽

⁾⁽

⁾⁽

⁾

Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC.

Donner le résultat au cm² près.

On appelle a = BC = 8 cm ; b = AC = 14 cm ; c = AB = 16 cm ; Soit p le périmètre : p = a + b + c = 14 + 16 + 8 = 38 cm.

A=

√

⁽

⁾⁽

⁾⁽

⁾

^√

√

√

PARTIE 3 : PROBLÈME (12 POINTS)

Dans ce problème, on étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille.

Première partie

Dans le graphique figurant en annexe, on lit pour une taille comprise entre 150 cm et 200 cm :

– en abscisse, la taille exprimée en cm ;

– en ordonnée, le poids exprimé en kg.

A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

1) Donner le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm. On donnera les valeurs arrondies des poids au kg près.

D'après le graphique, une personne mesurant 180 cm doit avoir un poids minimum de 60 kg et un poids maximum de 81 kg.

2) Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Elle dépasse le poids maximum conseillé.

De combien ? Donner la valeur arrondie au kg près.

Cette personne dépasse le poids maximum conseillé de 4 kg.

3) Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille.

Quelle peut être sa taille ?

Une personne de 72 kg peut mesurer entre 169 et 197 cm.

Deuxième partie

Dans cette partie, t représente la taille d'une personne, exprimée en cm.

On calcule ce qu'on appelle le poids idéal, que l'on note p.

p, exprimé en kg, est donné par la formule : p=t−100−t−150 4 . 1) Calculer le poids idéal de personnes mesurant respectivement :

* 160 cm ; p=160−100−160−150

4 =60−10

4 =60−2,5=57,5kg

* 165 cm ; p=165−100−165−150

4 =65−15

4 =65−3,75=61,25kg

* 180 cm. p=180−100−180−150

4 =80−30

4 =80−7,5=72,5kg Placer les points correspondants sur le graphique figurant en annexe.

Tracer la droite passant par ces points.

2) Démontrer que la formule donnant le poids idéal en fonction de la taille peut s'écrire : p=0,75t−62,5.

p=t−100−t−150

4 =4t−400−(t−150)

4 =4t−400−t+150

4 =3t−250 4 =3t

4 −250

4 =0,75t−62,5 3) Une personne mesure 170 cm et son poids idéal est égal au poids idéal augmenté de 10 %.

Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ?

Le poids idéal pour une personne de 170 cm est 65 kg : p=0,75t−62,5=0,75×170−62,5=127,5−62,5=65kg.

Si on augmente ce poids idéal de 10%, cela donne : 65 + 6,5 = 71,5 kg.

Or, d'après le graphique, une personne mesurant 170 cm doit avoir un poids compris entre 53 et 72 kg. Donc elle ne dépasse par le poids maximum autorisé.

NOM : PRÉNOM : CLASSE :

ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

Figures