G161 Un élan de générosité
Dans ce petit royaume, il y a très longtemps, le roi fort généreux donnait un écu à chacun de ses sujets au moment de Noël.
Une année, souhaitant changer sa façon d’opérer, il consulta son chambellan qui avait la bosse des maths en lui proposant le scénario suivant :
"Je dispose dans mes coffres de dés en or qui ont tous la même forme d’icosidodécaèdres avec 12 faces pentagonales et 20 faces triangulaires numérotées de 1 à 20. Trois cents personnes tirées au hasard dans le royaume sont alignées devant le palais et de mon balcon je lance un certain nombre k dés. La première personne de la file d’attente reçoit les seuls dés dont la face triangulaire n°1 apparaît sur le dessus, me rapporte tous les autres dés puis s’en va. Je lance à nouveau tous les dés restants. La seconde personne emporte les dés dont la face triangulaire n°2 apparaît sur le dessus. Et ainsi de suite les personnes de la file d’attente emportent respectivement les dés dont les faces triangulaires n° 3,4,...20 prises dans cet ordre apparaissent sur le dessus puis à nouveau les n° 1, 2, 3,... 20, etc. La distribution s’arrête au 300ème lancer des dés ou bien avant si tous les dés ont été distribués."
Après avoir précisé que pour éviter le mécontentement des derniers servis, la 300ème personne de la file devrait avoir au moins 50 chances sur 100 d’emporter au moins un dé, le roi demanda à son chambellan de lui donner une estimation du nombre k.
Le chambellan fit ses calculs et lui donna cette estimation.
Le roi, convaincu qu’en augmentant le nombre de personnes, le nombre de dés à distribuer augmenterait grosso modo dans les mêmes proportions, eut un élan de générosité et demanda au chambellan de doubler le nombre de personnes à convoquer.
Quelle fut la réponse du chambellan ?
Nota : on suppose que les dés façonnés à la perfection avaient une probabilité de faire apparaître l’une quelconque des faces
proportionnelle à l’aire de cette face.
Source : d’après un problème posé par Gunnar Blom.
Solution proposée par Frédéric Chevallier
Chaque jet d’un dé s’assimile à une expérience de Bernoulli de probabilité p égale à la surface d’un triangle de l’icosidodécaèdre.
On sait que l’aire de ce polyèdre régulier est égale à S=
Avec a = longueur de l’arête commune du polyèdre archimédien.
On en déduit que la probabilité p recherchée est égale à
Donc la variable aléatoire X égale au nombre de triangle sur lequel est inscrit un numéro donné (compris entre 1 et 20) suit une loi binomiale de paramètres , où est le nombre de dés disponible au lancer n° t.
Au 300ème tirage, le nombre de triangle n° 20 obtenu suit une loi binômiale de paramètres Pour répondre à la dernière exigence royale, on souhaite que Ce qui revient à calculer l’entier tel que D’où l’on déduit . Le premier entier convenable est égal à 47.
A partir de ce résultat, il faut trouver une méthode pour déterminer k de telle sorte qu’à l’issue des 299 premiers tirages, on soit quasiment certain qu’il reste au moins 47 dés.
Les calculs sont fastidieux à déterminer et les résultats assez fluctuants.
Aussi, on peut essayer une autre voie (qui m’a été gentiment suggérée).
Pour un dé, chacun des numéros de chaque triangle a la même probabilité p d’apparaître.
est donc la probabilité que ce dé soit gagné par le 300ème invité.
S’il y a k dés initialement, la probabilité que le 300ème invité en obtienne au moins un est égale à . Pour que le désir royal soit respecté, il faut
. K=4.021 est le premier nombre entier convenable.
Quand le monarque imagina de doubler le nombre de bénéficiaire en doublant le nombre de dés, le chambellan s’écria : « Majesté, vous n’y pensez pas, le dernier invité n’a plus que 3 chances sur 200 de gagner au moins un dé ! »
