D611-Les bancs publics Solution
La construction géométrique suivante permet de résoudre le problème :
Soit AB = d = 300 mètres. Le cercle de centre C et de rayon d coupe CA en A . Le cercle de 1 centre A et de rayon d coupe la parallèle xx’ à BC au point 1 N .Le cercle de centre 1 N et de 1 rayon d coupe la ligne BC en B . 1
Comme AB =N1B1= d, ABB1N1 est un parallélogramme AB et B1N1 sont parallèles. Soit N l’intersection de CN et de AB. Les triangles CBN et C1 B1N1sont semblables
BN/B1N1= CN/CN = k. 1
La parallèle menée de N à A1N1 coupe AC en un point M. les triangles CMN et CA1N1 sont semblables MN/A1N1 = CN/CN =k1 MN=BN=k*d.
Par ailleurs CM/CA = CM/d = CN/C1 N = k 1 CM = k*d.
Les trois segments CM,MN et BN sont donc égaux.
La construction n’est possible que si M est entre A et C, c’est à dire quand l’angle AN1A1 est inférieur à l’angle ABC. Or sin(AN1A1) / (AB – AC) = sin(ACB) / A1N1= sin(ACB) / AB = sin(ABC) / AC. Il en résulte que
sin(AN1A1) < sin(ABC) AB – AC < AC ou encore AB < 2AC. Avec AB = 300 mètres et AC = 200 mètres, cette inégalité est satisfaite et la construction de l’allée MN est donc
possible. A l’inverse avec AB = 300 mètres et AC = 120 mètres, le point M est extérieur au parc et la construction de l’allée MN répondant aux critères demandés est impossible.
Application numérique avec AB = 300 mètres, AC = 200 mètres et BC = 250 mètres.
