E686 – Jeu de quilles
Zig a devant lui un certain nombre de quilles alignées tous les 10 cm.
Il essaie de les renverser toutes avec une boule de 12 cm de diamètre. Pour cela, il n’a que deux techniques : Ou bien il vise une quille unique et l’atteint systématiquement (seule).
Ou bien il vise entre deux quilles consécutives encore debout et alors,
• une fois sur deux il renverse les deux quilles ;
• une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de gauche ;
• une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de droite.
Une stratégie lui permet de renverser toutes les quilles en moins de 10 tirs (en moyenne),
mais aucune stratégie ne lui permettrait de renverser toutes les quilles en moins de 9 tirs (en moyenne).
Combien y-a-t-il de quilles ?
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Notons d’abord En, l’espérance du nombre de tirs pour renverser n quilles E1 = 1 ; E2 =1,5
La probabilité de succès en visant 2 quilles est supérieure à celle de ne viser qu’une seule quille ; Donc il faut se préserver le maximum de chances de garder au moins 2 quilles adjacentes ;
Donc il faut toujours viser les 2 quilles (de gauche par exemple), sauf s’i l’on a créé 1 quille isolée.
On peut écrire la relation de récurrence suivante justifiée par le schéma ci-dessous :
En = 1 + ½ En-2 + ¼ (1 + En-2) + ¼ En-1 4En = En-1 + 3En-2 + 5
Cela peut suffire pour calculer par récurrence les valeurs de En avec un tableur.
On constate d’ailleurs que la formule de récurrence permet de poser E0 = 0.
Toutefois essayons de trouver l’expression directe de En (pour ne pas céder à la facilité du tableur avec la formule de récurrence).
Par un calcul classique d’écriture et de sommation avec élimination de part et d’autre de l’égalité on obtient d’abord la nouvelle formule de récurrence :
4En = - 3En-1 + 5n - 1
Toujours par un calcul classique d’écriture et de sommation avec élimination de part et d’autre de l’égalité on obtient la valeur directe de En (il faut utiliser la somme de 1+x+x²+…, mais aussi sa dérivée pour évaluer la somme de 1+2x+3x²+…)
En = 5/7n + 8/49 [ 1 - ( -3/4)
n]
On a bien obtenu l’expression générale de En en fonction de n.
Revenons à la question posée :
En >= 9 et En < 10
La formule donne : 12 quilles : En = 8,73 13 quilles : En = 9,45 14 quilles : En = 10,16 Donc il y avait 13 quilles.
On vérifie que le rapport entre l’espérance du nombre de tirs pour renverser n quilles sur ce nombre de n quilles tend vers 5/7.
Lim (En/n) = 5/7 quand n ∞
De plus on pourrait certainement généraliser ce type de démonstration tant que la probabilité de
renverser 2 quilles adjacentes existe. Mais dans ce cas la lim(En/n) sera d’autant plus proche de 1 que cette probabilité sera faible.
Michel GOUDARD
