MÉTHODE GRAPHIQUE POUR L'ÉTUDE DES OSCILLATIONS DANS UNE CHAMBRE D'ÉQUILIBRE DONT LE CANAL D'AMENÉE COLLECTE DES APPORTS DE DÉBIT PAR DES PUITS DE SECTION NÉGLIGEABLE

SrWI'.-()CT. 1!J4ï - - - - L\ II 0 cr 1LLE Il L.\:\ ellE 365

1

METHODE GRAPHIOUE

POUR L'ÉTUDE DES OSCILLATIONS DANS UNE CHAMBRE D'ÉOUILIBRE DONT LE CANAL D'AMENÉE COLLECTE DES _AI~PORTS DE DÉBIT PAR DES PUITS DE SECTION NÉGLIGEABLE

Application à l'Usine d'Olette de la S. N. C. F.

par L.

ESCANDE

Ingénieur 1. E. T.

Professeurà la Faculté des Sciences de Toulouse

Direcleur de l'instilut Electrotechnique et de l'instilui de Mécanique des Fluides

SECONDE PARTIE

Extension du problème précédent. - Etude des oscillations dans un système comprenant un canal d'amenée aboutissant à une chambre d'équilibre il étranglement, dans le cas où des débits d'apport interviennent, soit dans la chambre d'équilibre, soit par divers puits de section négligeable sur le

parcours du canal d'amenée.

Considérons un canal d'amenée en charge (fig. 1) aboutissant il une chambre d'l'quilibre, que nous supposerons, pour plus de généralité, munie d'un étranglement inférieur.

Ce canal collecte, en cours de route, n-1 déhi ts d'apport constants q" , q" en des points qui le subdivisent en n tronçons de longueurs respectives LI' L, L", de section l'l,

L ,

l'" ; la chambre d'équilibre reçoit, clIe-llll\me un débit d'apport Cfl'

Si tous ces apports n'intervenaient .pas, en cours de route, el si le débit demeurait clonc constant, il chaque instant, sur toute la longueur du canal d'amenée et l'gal, en rl'gime permanent, au débit Q

=

FI li absorbé par les turbines (FI désigne la section horizontale supposée constante dl' la cham- bred'équilibre), tout se passerait, au point de vue des oscillations dans la chambre d'équilibre, con11ne si le canal d'amenée avait une longueur L et une section constante F telles que l'on ait:

L L₂ Ln

(1) - = - +

---+-

f ~ fn

En particulier, en l'absence d'étranglement et de pertes de charge, on aurait une pl'l'iode d'oscil- lations :

T =2IJ

~ /~ V -;-t

ct, dans le cas d'une fermeture complète instantanée du débit Qi' =c FI Un appelé par les turbines, une amplitude:

T

VU

(3)

z

=

u -,- =

U _ 1

" 0 2 IJ 0 9 f

Nous aIIons voir comment on peut étudier trt~s simplement le canal avec apports de débit consi··

c1éré, lorsqu'on suppose les puits de captation de seelion assez petite pour (Iue l'on puisse négliger les volumes engendrés par les oscillations du plan d'eau il l'intérieur de ces puits, dans les conditions de continuité.

Nous désignerons .par Z¹ • • • • • • Z" les cotes du plan d'e'lll, dans ces divers puits, il l'instant l.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1947039

366 LA HOUILLE f1LA:\CflE - - - SEPT.-Or.T. l !l47

lz ]zL_zl ^t

- - - ^{--!...:..3 _ _}

- - -

^..L

^V

¹

F,

W"3 W

₂

W

₁

----..

- --

^{r- -}

^\1

L

_{n- 1}

,f

n_

1

L

f - - - -

L

f

n-2' n-2

"3'

"3

Fiy. /. C ..\:\'AL D''\:\II~:\(:ECOLLECTANT DES n{:BITS n'APPOHT :·;r,'H ~:O;'\ PAItCOt'HS

Etude d'une fermeture complète instantanée de débit maximum Q des turbines, en négligeant les pertes de charge et la présence de l'étranglement.

On a les relations:

f₁W₁ F₁ V_{1 -} Ql

f₂W₂ f, W, - q2 F,V₁ ^- (ql+ q2)

f₃W₃

=

^fi'W_{2 -} q3 F, V₁ ^- (ql+ Q2+ q3)

d'où:

dV₁

F; dt

dW, f , - -

dt

dW₂

f_{2 - -}

=

---~---

=

fⁿ dt

et _L

1 dW,

Z1 Z2 0

- - +

^-

=

9 dt

L₂ dW₂

Z2 Z3

- - + -

- 0

9, dt

9 ou, par addition:

9 [L, :~'

^-1- ---+

dZ ¹ soit compte tenu du fait que VI =

d!

SEPT.-OC'I', l !J'! 7 - - - - LA HOUILLE BLANCHE 367

9 ou

avec les, conditions initiales pour LF;

gf

o

o

t

=

0 ce qlii donne :

o

Z =

V1 ,

dZ₁ 00

U_o

- - - -

dt ~

2IIt sin

T

Les oscillations sont rigoureusement les mêmes que si le débit total des turbines

Q

⁰ circulait sur toute la longueur du canal, au lieu de résulter en partie de tous les débits d'apports collectés en cours

de route.

On en déduit 'aisément les variations de en remarquant que:

Ln

Ln dW_n Ln F1 dV 1 = - fn

Lf=;

d²_{Z 1}

Zn

- - - -

9 dt ₉fn dt L gf dt²

Ln

- -

f ou Zn = an Z1 ^avec

---r,;-

an L

-

f

-[

ou

9

L f Zn_l = 0n_1 II avec

L F₁ gf

an-l

d²Z_i

dt²

-h

+ Ln-¹

fn f

n_ 1

L f

LnF_{1 L n-l} F_l

+ - - -

gf_n gf_n_ l

dV, dt

a, Zl avec ai

avec Q2=

Ln Li

- +---+-

fn fi

L f

Lp L₂

- +----'--+-

f^p f²

L f

368 L\ HOUILLE BLANCHE SEPTAkT. 19·17

Les hauteurs On voit que l'on a :

,--- , Z2 sont, il chaque insLmt, proportionnelles aux hau teu rS

Ln Li

-+---+-

fn fi

Ln L,

-+---+-

fⁿ f,

L

!7.; étant le quotient du ( r ) du canal équivalent ù la portion de canal située en amont du puits considéré, au ( L

) du canal entier.

l

Il résulte de cette remarque que, dans le cas d'un canal il seclion constante, la répartition des pressions serait linéaire ù chaque instant, tout le long du cana!.

II

Equations générales des oscillations, avec emploi de grandeurs relatives, dans le cas d'une manœuvre quelconque, en tenant compte des pertes de cho,-ge et de la présence de l'étranglement.

Soit POl' Pli, P"", n, les pertes de dlarge qu'il y aunüt dans les divers tronçons du canal d'amenc'e et dans l'étranglement s'ils étai en t traversés par le· débit maximum Q ahsorhc~

par les turhines.

--- Soit Pl' P, P",

n,

les pertes de charge etreclives dans les divers trc)]l(;ons du canal et dans l'étranglement, il l'instant t.

Posons:

En appelant Q= FI U le Mbit absorbé par les turbines ù l'instant t, et en posant, d'autre pal'!, {JI =--= FI HI!' on a:

f1W1

=

^{F, V}1 +Q - q, F₁ ( V₁+ U - Ua )

.J

f₂ W₂ f. ^{Wj - '1}₂

=

Fi ^(Vj+ LI - u) _. _q2

f:3 W₃ ^f₂ W_{2 - q 3} ^F₁ ^{( \/1} +U - LI,,) - (q2+ q:3) ,

"

que ]'on peut écrire sous la forme:

Les conditions de force vi\t~ donnent, pal' ailleurs:

SEPT.-Ocr. 1D·l7 - - - - L\ HOUILLE BLANCHE ³⁶⁹

(6)

Ln_

t dW

n_ t

Zn-t- Zn

+

En - 1Pn- t =0

- - +

9 dt

Ln dW_n

Zn P_n 0

- - + +

^{En -}

9 dt

o

[1 l', '" . . ' [ n [ ayant pOUl' valeur absolue J'unité el pour signes respeelifs, ceux de \V1 \V"

... \V,,' cl V, - CT" ; en effet, le débit qui traverse l'étl"tmglement de bas en haut est égal il :

et la perle de ehm'ge [/ H est bien de la forme:

E' R

=

^{E' À}_{1 FI}² (YI -U

a )2

[/ ayant le signe de V, CT".

l<:n ajoutant membre il membre les relations (li), on obtient:

.--' +

dW, - - - + L

dt n

or, les relations (5) donnent:

( ^~+~)

_{dt dt.}

on a donc:

dW_n

---'dt

^{'( dY,- - + - -}_dt ^dL')_dt

F, ( S +

+~)(

^dY,

+~)+l

^+E P+---+E P+E'R 0

9 f, f

n dt dt 1 , 1 n n

ou, compte tenu de (1)

( dY, dU)

"'dt

⁺

dt

+ Z, + Et P, + ---+ En Pn or, d'après (3)

o

dV, dt (l

)2

\U:

^VI

(~

_Ua

y

^{Z "}_Ua ^-_2H^T

dY₁ dl, dV,

-

- - _V,

^{- -}

dl, dt dZ 1

dV, l* T dU

ëiZ+U-

2I1 dt + ^l,+ E1 P,

+ - - - +

^En P_n +E ' R 0

1 a

ou en divisant par Z",:

2I1

( U \

d - - )

Ua ^En Pn E R

+----+ - - +

- - = 0 Z" Z*

370 LA HOUILLE BLANCHE

Introduisons les grandeurs relatives suivantes:

SEPT.-OeT. 1 (J·li

v,

^U

v,

⁼ u

U

_o

,

U

_o

p,

- --

P,

^--...-

^...- Z*

= ^{W, W}

^z

w

₁ ^~. _Wz

-

Wo,

, W

_oz

Ua W_oz'

Ua Uo

,

Woz=

W₀₂

Z,

2.!..

Z,..

P_n

Pn

Z*

f =

--

^f

T r - R

Z*

w=_n W n WOn

Won⁼

--

Won WOn Divisons membre il membre les équations (5) par les suivantes:

F; Ua

=

f₁Wo, ⁼ - - - - fn Won nous obtenons l'équation de continuité, entre grandeurs relatives:

( 8) V1-V'u - u0= W1 = Wz

+

_Woz

= - - - =

wn

+

won Posons enfin

Pol ^{1 - - - - ,} Pen ==

Les pertes de charge étant proportionnelles au carré des vitesses, on a :

.?, = _Poi

On a, de même, pour l'étranglement R

z,..

^r0

Hetenons donc les expressions :

!

¹⁰⁾

Compte tenu des résultats précédents, l'équation des forces vives 'l)l'end la forme suivante:

(11 ) v,

+

1 2D

-du_dt' + z

+

^€ p

+ --- +

1 1 1

+

€' r

o

€,

^{1 €n}

,

€ ' ayant les signes de

Finalement, les èqU'ations générales cherchées, en Lre grandeurs relatives, sont fournies par la relation (11) des forces vives, la condition de continuité (8) et les relations diverses (7), (9) et (10).

Remarque Posons

Zz Z,..

et cherchons à déterminer ces quantités On a, d'après (6) :

Zn

Zn Z,..

SEPT.-OCI'. 1~J47 - - - - LA HOUILLE BL,\:,\CHE ³⁷¹

Z

Zⁿ

[

^{Ln dWn P Ln FI dVI}

_~J

-

+

^{+ - E p}

dt n

gfn ^dt

9 ^dt

Ln fn L FI

(~ ~)

_dt

₊

_dt ^- " n Pn

L gf

f cl dOllc d'après (4) et CG bis)

Zn

= +

an [Z, + ", ^P1

+ - - - - +

"n Pn

+

^{'R] - " nP}n

ou, ell tre grandeurs relatives:

zn an Zt + ", 'P, + - - - - + _{En Pn + E)} r - linPn

On a de même, en ajoutant membre à membre les deux dernières équations CG) Ln dWn L n _1 dWn _,

+ - - -

dt

+

Zn_'+ En Pn

+

"n-'Pn-^t = 0

9 dt 9

avec Ln dWn ^~+ Ln-' ^dWn_1 [ LJl

^{- - +}

L n_ 1F^t

(~+~)

9 dt 9 ^dt 9fn 9fn- , ^{dt dt}

Ln L n-¹

- -

fn fn-l LFI _{[ dV}t dU

]

- - -+

^{- -}

L gf dt dt

a n_1 ( Z, +

",

^P, +----+"nPn + ^{l i '} R ) et donc

Zn_¹ °n_1 ( Z, + E, P,

+---+E

_n ^.pn + E'R) - (" n Pn+En-1 Pn - 1

Zn_' an-1 ( Z 1 + El P, + ---+ (Cn Pn + E'r ) - (E n Pn+En ...:., Pn -

On obtiendrait, de même

ZI

Nous appellerons (12) les relations fournissant les valeurs de : - - - , Zn

III

Etude d'une fermeture complète instantanée du débit QI) en tenant compte des pertes de charge et de la présence de l'étranglement.

Nous nous limiterons à l'étude de la première montée.

Dès l'instant zéro, on a u

=

⁰ du ^{- 0} ',~- de telle sorte que les relations (11) et (8) deviennent;

dv z +" P +---E P +,,'r

(13) _ _1

= __

^{1 t 1 n n}

dz.

(14\ V, + W"'n 1

372 L\ 110 l'ILLE BL\:\C[IE - - - SEPT.-OCl'. ID-Ii

Dans le cas d'un canal parcouru sur loute sa longueur par le débil Q" dans le régime perma- nent initial on aurail, duranl loule la premilTe monlée :

dV₁ z l + p + E ' r

dz, v,

représenlanl la perle de charge qui exislerail, il l'inslant f, dans le canal d'amenée, comptée posili- yemenl de l'amonl vers l'ayaI. Or, dans le problèmc aeluel, il csl facile dc voir qne l'expression

E1 P, + --- + ^En P

n

représcnle préeisément l'elle perle de charge tolaie que nous appellerons donc p.

A l'instant inilial, le dl'bil Q" primiliycmenl absorbé par les lurbincs s'engouffre dans la cham- bre en donnan l il la vitesse VII a val eu l'initiale ( VI)" ==:

Q"

= l'" el ù^[JI 1a valcuri ni liale 1 ;

FI

[JI dl'croit cnsuite de l ^Ù zl'ro duranl loule la prelllÎlTe lllOnlée du plan d'ean,

Préahlblemcnt il toute aulre opération, on conslruira les courbes (fîg. ~) donnant, en fonction dé'

[Ji' pOlIr^[JI décroissanl de 1 il zéro, les perles de charge.

E2 P2

=

Pol (VI - Uo )2 _{avec le signe de}

VI - Uo 2

- ( U

O+W 02 ) E2 P 2 = _P02 (~-^U_{o - W02 )} avec le signe de v,

2

En P n

=

_{P on}(v, - _{Uo - Won)} avec le signe de

E'f

P

=

E, PI + E 2 P 2 + ---+ ^En P n 2

fo (VI-Uo ) avec le signe de v I - Uo

P courbe r

D

x A

1

1 /

1 /

1 1/

1 1

1 /

Courbe r

1 /

1 /

1 1

1 /

1 1

1 /

1 /

1 /

1 1

1 1/

1 /

- Zl....---~~.---,.---_--k:...-_,---l,..U.I.--T--"->o..._-

N /

...

1,5 1 D' 0,5

€3

P3

FiO, 2. ---- CO:-;STlWCTIO:-I DE L.I COUHBE

r

pOlit' ql = 0,2 Q"

q, = 0,1 Q"

q: ^=--=: 0,1 Q"

POl === p,," P,,:: == (J,(j

Cil == 1

C.IS Ill' !.. \ FEIDIE'ITH1,

SEPT.-OC'l'. 1!H7 LA HOUILLE BLANCHE ³⁷³

On en déduit également la courbe l' donnant les variations de la quan[iU' : y

=

P

+

fi' r La courbe Cr 1v1) part d'un point A, d'ordonnée VI 1 d'abscisse ZI négative et égale, en valeur absolue, ù la perte de charge p" existant dans le canal d'amenl'e, dans le rl~gime permanent initial; le point A est donc le point d'ordonnée VI

c=

1 sur la courbe fi de hl fig. ~.

(~)

_dz, ^{= -}

et que la droite D'C' a donc pour .pente La tangente en ce point ù la courbe (z¹ [1) a pour pente

. 2

- Po + Po

+

^r_{o ( 1 -} ^Uo )

Si J'on remarque que

on voit que la nornmle A N en A ùla courbe (z"

v, )

pourrait remarquer aussi, que la normale A N illacourbe en N où se projette sur cet axe le point k d'ordonnée VI ==:

Fi(/ . .'J.

r (1-u )2

o 0

ra(1 - ua )2 est parallèle ù l)'{: (fig. 8). On A coupe l'axe des abscisses au ,point 1 sur la courbe

r .

C + 1

374 LA' HOUILLE BLANCHE SEPT.-OCT. 1V-l7

Pour trouver le rayon de courbure en ce point, caleulons la valeur iniüale de remarquant qu'à l'instant initial, tous les CI. sont positifs.

en

z l + p + r

vl

VI

( ^1+~

dZ_I ⁺

^~)

dz,

avec: dr dV_I

2 r⁰ (VI - U0 )

dZI dz1

(~) ⁼

2ro (1- u o ) [ - ro (1- Uo )z ]

= -

_{2 r;(1- Uo} )3 dZI 0

d P . dPi d P_n

= - - + --- - + - -

dz, dZ_I dz,

2 [P01 ^(VI -ua )+P oz ^(VI -Uo-W aZ )+---+Pon ^(VI -Ua -wan)J

(~)

= - 2 ro (1-u )ztp (1-u )+p (1-u -w )+---+p (I-u -w )]

\ a 01 0 02 a 02 on a on

dZ_i 0

on a' donc

(1-u_a )4_ {1-2r^Z(1-U )3_ 2r (1-u )z[p (1-u )+p (1-u -w )+ . __

0 a 0 a 01 0 02 a 02

2

+

Pon ( 1 - Ua- Wan') ] }

= - 1 + ra (1-u a ){2[P01(1-U o )+ Po2 (1-u o ':"'-w a2 )+·---+Pon (1-u a -won

l]

=+- ro (1 - Uo² )

~

Le rayon de' courbure initial a donc pour valeur:

Connaissant ainsi le point de départ et le cercle de courbure initial en ce point, on peut construire imméc1iatement la courbe (Zt /)1) de .proche en proche, au moyen du procédé classique c1es normales.

La pente de la normale étant:

( ^~)

dz,

VI ZI+Y

la normale en un point quelconque 13 lion sur l'axe des .Z 1 de j'intersection

de la courbe s'obtient (fig. 4) en 13"13, 13" désignant la projec··

13' de la courbe

r,

donnant U avec l'horizontale de H.

SEPT.-OCT. 1!J47 LA HOUILLE BLANCHE

\ N

\

\ "V-

Courbe - r (v1 )

" " ^"'- "'-

"-

"-

"

LA=ON

375

FiU.'!. CO;-';STHUCTIO;-'; DE 1.\ COUHBE

r

pour Ifl

(12

If;;

P"l ^o

=

0,2 Q"

0,1 Q"

0,1 Q"

P,,~ = P,,:: 0,6

1" 1

CAS DE C'OUVEI\T\'l\E

On s'arrête au point NI olt la courbe coupe l'axe des abscisses, ce qui donne, puisqu'alors u¹

=

0, la cote relative de la montée maxima du plan d'eau, atteinte par lui à la fin de la première Illon tée.

La détermination des valeurs de sions (12) on a :

Remarque

z" se fait aisément. On voit que, d'après les expres-

ZI

=

^Q,

[z,+y] -

^{(En P}n

+

---+ ", ^p.

,

^\

Z1

+!J

est donné immédiatement, en 13, par exemple .pai; la valeur algébrique du segment 13'13, compté suivant 0 ZI les termes de la seconde parenthèse étant donnés par les courbes de la fig. 2.

IV

Etude d'une ouverture instantanée de 0 à

Q"

en tenant compte des pertes de charge et de la présence de l'étranglement.

Nous supposons que, dans le régime permanent initial, les turbines n'absorbent rien et que les débits Cfl' Cf" ... ·Cfll remontent le canal d'mnenée, cie l'aval vers l'amont, en constituant une accu- lllulation dans le réservoir de tète.

On a maintenant, dès l'instant initial:

Q

=

^Q U= LI u

=

1 ,

du

dt' =0

316 LA HOUILLE BLANCHE - - - SEPT.-OC[', 1D·lI

cl les équations générales peuvent s el'l'il'e, 1:' étant négatif pendant toute la première descente (pl'- ric)(!e à laquelle nous limiterons notre {>Lude) puisque l'eau traverse constamment l'étranglement de haul en bas:

dV₁ Zl+ E₁ P₁ + - - - + En P n

dZ1 V,

v_{1+ 1 - u a} = ""1 = W2 + Wa2= - - - = Wn +W an

A l'instant initial, par suite de l'inertie de l'eau en mouvement, le tron~~on 1 du canal d'amenée continue à absorber le débit q¹ provenant de l'apport qui se produit dans la chambre d'équilibre, de telle sorte que le débit total Q", des turbines est fourni par la chambre el que l'dranglement est traversl' par le débit Qi' q1 •

V1 part cIe ---. U" et croît jusqu'à zéro, de telle sorle que Il passe de - à zéro.

On construit les courbes donnant, dans ces limites de variation de ^UI 2

EtP,

=

Po' (vl+1 -'Ua) avec le signe de

?

E2P2=Pa2(x.+1-ua-wa2) oveclesigne de

En Pn⁼ Pan (V + l-u_o-wan ) avec le signe de

2

r ~ - rD (Vi - Ua) expression toujours négative.

[J - l'.

On en déduit immédiatement la courbe

r

donnant les variations de la quantité lf Déterminons la valeur initiale de z^{1 :}

a) IV_I IV, /VII conservent, à l'instant initial, les valeurs qu'elles possl~daientdans le ré- gime permnnent précéclant la manccuvre considérée; valeurs qui sont données par les équntions de continuité (8) dans lesquelles on fait li

=

^{0 UI} = () soit:

OU

(w₁)0= - ua

<

0,_{(w2 )}= - Ua -Wa2<0,---, (w n ) = -Ua- Wan

< °

et il leur correspond des ,pertes de charge.

Pol U~

Po (U_a+W02 )2

----,::;--- - - - - - -

2

(En Pn)o

= -

Pan (Ua+W an )

qui sont négatives parce que le mouvement se fait alors de la cheminée vers le réservoir de tète.

b) l'étranglement étant traversé de haut en bas, dans le régime permanent primitif, par le débit q, = F, Ua est le siège d'une perte de charge:

c) il en résulte la valeur initiale suivante de ':1

( ) 2 ( 2 2

z, ^{0 =} Po' Ua +^P02 Ua+Wa~+----+Pon (Uo+Wa )+ ra U~

OU (Zi) = Po

+

^{ra U:}

SEI'T.-OCT. l!ln LA HOUILLE BLANCHE ³⁷⁷

Z1 Z1

1.9....

_8..

-. -._--..+._-_ _._-

L

-... J _ _ \-_..__0_/-_... -j'+ /.-- ..

l'li/llche 1. La flèche correspondant il _{E~ p~} n'indique pas la bonne courbe; elle devrait être prolongêe de 2 ou

il mm. JUSqU'il la courbc voisinc qui n'est pas l'l'pérée par une nomenclature et qui est celle de E~

1\

378 LA HOUILLE BLANCHE SlWl'.-OCT. 1\).1ï

1\ désignant la perle de charge totnle dans le canal d'alllelll'e dans le reglllle perlllHnent primitif, donnée par l'abscisse kL du point où la courbe Ji de la fig. 4 coupe la droite ui

c== -

1 et

J'II Il,.' étant re,présenté par l'abscisse ON du point où la courbc; r =r_{o (V 1 -Ua})2 coupe J'axe des z1

le point de dl~part de la courbe ( z1 , v,

esl donc en A, d'ordonnée - 1 , d"abscisse KA KL - ON (fig. -1 el fi).

La perte de la tangente en cc point est donnée ]lnr ln "nleur initinle de dv,

dz, v, v,

l"es t-à-dire

(dV,) _dz

10

( cfV1 )

dZ₁ a

L'expression de montre (fig. f») que la normn!e à l'origine A, a

la courbe z, , v, est la droite AN, N étant ln projection sur ['nxe des _-1 du point K d'ordonnée ^III - 1, de ln courbe

r

donnnnt y = Ji - 1'.

Pour nvoir le rnyon de courbure en A, formons

Z1

+

P - r .--.v-_Z- -

1

- - - - -

d Y1 dZ1 v₁

d^Zv,

dZ1Z

[1

+

^{dp dr} l

(h-dZ"J

dZ₁ A l'instant initial

po+ro u;-po-ra (1+u a )2 [

J

x - r⁰ (1

+

2^U_o) 1

raz (1+2uo )z

DI~ pIns, on a. les ^lé éLant négatifs au début du phénomène

P = - P₁---Pn=- po,(VI+l-ua)2-P02(v,+1-ua+waz)2-- '---Pon (v\+1-u a- ^wan)2

dp dv,

dz, = - 2

dl, [

pol (vl+l-uo⁾⁺ Po2 (v,+1-uo-w02 )+ ---+Pon (v,+l-u a-won )]

(::):=-2ro (l+2u a ) [po,uo+Poz(ua+wa2)+---+Pon(uo+wonl]

dr dVI

- =

2 r_o (VI - ua )

dz, dz1

SEPT.-OCT. 1947 LA IIOUlLLE BLANCHE

v,

..._ j _ _.--+-'----_..- - + - - -10

379

/

z,

l'Ial/che 2. CSL\'E n'OLETTE: CH,\:\IBHE D'l~QCILIBHE. Dl:\GIU~I~IEU'OUVEHTUHE INSTA:\TANItE.

QIJ

=

5,200 1113/SCC. q" = 1,800 m3/sec.

380 LA HUUlLLE BL.\:\CHE SEI'T.-OCT. l U-l 7

On a donc:

(d 2._dzv^{1 )} 2. 2. 2. [ )

1

l

2. 2.=ro (1+2u ol +1-2r o (1+u o )(1+2u o)-2r o (1+2uo ) PotUo+Po2.(ua+wa2.+----+Pan(ua+wan)

( d2.

V1

) = 1- ra (1+2u a

l

Iro +2Pal ua +2Pa2. (u a+wa2 )+---+ 2Pan(Ua +wan

l]

dz~ ² ~

et le rayon de courbure initial de la courbe est donné par:

[1+r0

2 (1+2U a

)~]%

Le départ de la courbc (z^{1 III} )est ainsi connu, en assimilant celte courbe il son cerele de cour- bure, et la construetion se poursuit, de proche en prochc, pal' le procédé habituel, la normale en un point quelconque 13 étant 1313", en appelant 13" la projection sur l'axe oz du point 13' olt l'horizontale de 13 coupe la courbe

r

donnant ?J ^-1' (fig. i»).

Pif!. ;;. CONSTilUCTlON IlE L\ COUIllE: 1 (VI)

Relllllrql/e. Dans l'exemple choisi les perles de eharge ';()nt é-!en:'es et .l'oscilhlion eOlTespondanl il l'ou\'el'lurc l'si npe'l'iodique, Je max. de deseenle est égal il la perle de charge dnns le l'anal (vnleul' OB).

Conclusion générale

Nous avions déjà montré, dans des études antérieures, comment le calcul des oscillations pou- vait être efTeetué, clans le cas d'un nombre queleonque de chambres d'équilibre montées sur un même canal d'amenée et captant, comme la chambre elle-même, des débits d'apports. Les méthodes inc[i- quées, méthodes aux différences finies (méthodes D.F.) et méthode semi-graphique, conduisent tou- tefois à des calculs trl~s longs.

Dans la précédente l~tude, nous avons mOlltré comment, dans le caS réalisé presque toujours en pratique de puits de captatioll de section négligeable, le résultat peut être obtenu, dans le cas le plus gl'néral, par une méthode graphique particulièrement simple.