1. Principe de Hamilton et lagrangien

RR. V - PRINCIPE DE MOINDRE ACTION RELATIVISTE

1. Principe de Hamilton et lagrangien

• On suppose ici qu'on peut raisonner pour un point matériel à l'aide de coor- données généralisées {q_i} et que le principe de Hamilton peut s'écrire comme en mécanique non relativiste à l'aide d'un “lagrangien”

L

^({q_i^{}, {q}_i^{•}, t).}

Pour simplifier l'écriture, on écrira souvent

L

^{(q, q•}, t) en sous-entendant les sommations sur les différents termes correspondants.

• En considérant qu'à deux instants t₁ et t₂ les positions du système corres- pondent à q(t₁) et q(t₂) données, on définit alors l'action :

S

⁼

∫

_t1^t2

L (

^{q, q•, t}

)

^dt.

◊ remarque : ici q et q^• représentent des fonctions q(t) et q^•(t) cherchées.

• Les équations du mouvement sont ensuite données par les relations d'Euler- Lagrange (déduites de δ

S

^{= 0) : ∂}

L

∂q_i − ∂

L

∂q_i^•

#

$%% &

'((

•

= 0.

2. Formulation analogue à celle de la mécanique non relativiste 2.1. Point matériel isolé

• L'homogénéité et l'isotropie de l'espace imposent que le lagrangien ne dé- pende que de la norme de la vitesse :

L

⁼

L

^(v2).

• L'invariance par changement de référentiel galiléen impose que l'action soit un scalaire vis à vis de la transformation de Lorentz ; ceci impose une expres- sion de la forme :

S

_∝

∫

^{ds =}

∫

^{1− β2 c dt}, avec β = v

c ^.

◊ remarque : le minimum de l'action correspond ainsi à un mouvement dont la durée propre pour le point étudié est extrémale.

• Pour les faibles vitesses : c 1− β^{2 ≈ c -} v²

2c doit redonner la limite non relativiste

L

^{≈ m}

2 ^v

2.

Or, les lois sont inchangées si on ajoute un terme égal à la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction f(M, t) ; c'est le cas pour toute constante.

On peut donc considérer :

L

^{= -mc2 1− β2 et}

S

^{= -mc}

∫

^ds.

◊ remarque : par construction, ceci concerne une particule matérielle ; la description corpusculaire d'un photon nécessite une étude plus approfondie.

2.2. Impulsion et énergie

• L'impulsion relativiste correspond à : p_i = ∂

L

∂x_i^• (avec des coordonnées cartésiennes) ; ainsi : p

= γ mv

avec γ = 1 1− β²

.

• De même qu'en mécanique non relativiste, le hamiltonien peut être défini par :

H

⁼

∑

^p_i^x_i^{• -}

^L

^{= p•v -}

^L

^{= γ m c2 = m2c4+c2p2} (exprimé en fonction de l'impulsion).

Il correspond à l'énergie “massi-cinétique” : E = m²c⁴+c²p² = γ m c² ; cette quantité est constante pour tout système dont le lagrangien (le hamilto- nien) ne dépend pas explicitement du temps.

2.3. Interaction avec un champ électromagnétique

• L'expérience montre que les effets d'un champ électromagnétique peuvent être exprimés à l'aide d'un potentiel scalaire V et d'un potentiel vecteur A

.

◊ remarque : cela correspond à un quadrivecteur A

= ( V c ^; A

) mais on considère d'abord ici l'approche calquée sur la mécanique non relativiste.

• Pour une particule de charge q, on peut utiliser :

S

^{= -mc}

∫

^{ds - q}

∫

^{Aαdxα =}

∫ ^L

^{dt ;}

L

^{= -mc2 1}− β^{2 +} qA

•v

- qV.

◊ remarque : on retrouve l'analogie avec

L

^{= E}_c ^{- E}_p, où E_p = qV est l’énergie potentielle en électrostatique non relativiste.

• On en déduit une impulsion généralisée

P

^ = p

+ qA

, puis pour le hamilto- nien (en fonction de l'impulsion généralisée) décrivant l’énergie “totale” :

H

⁼

∑

^p_i^x_i^{• -}

^L

⁼

^P

^{•v-}

^L

^{= γ m c2 + qV = m2c4+c2.(}

^P

⁻

^q

^{A)2 + qV.}

2.4. Équations du mouvement

• Le mouvement est décrit par les relations d'Euler-Lagrange, qui peuvent ici s’écrire ceci sous la forme : d

P

^

dt ⁼ ∇

L

^{= q∇(A•v) - q∇V}, avec par ailleurs :

∇

(A

•v

) = (v

•∇

)A

+ v

×(∇

×A

) (puisque x_i et x_i^• sont des variables indépen- dantes).

En outre, puisque la particule se déplace, la variation de A

en un point fixe donné est : ∂A

∂t ⁼ dA

dt ^- (v

•∇

)A

; ceci donne finalement : dp

dt ⁼ qE

+ qv

×B

avec E

= -∇

V-∂A

∂t ^; B

= ∇

×A

.

3. Formulation quadrivectorielle 3.1. Propriétés de base

• Les différences entre les conventions de notation “classique” et quadrivecto- rielle font apparaître des ambiguïtés dans les signes de certaines quantités si on les définit à partir du principe de moindre action.

Pour contourner ces difficultés, certains physiciens n’utilisent que les proprié- tés de base du principe de Hamilton. On applique ici cette démarche à l’étude d’une particule chargée en interaction avec un champ électromagnétique fixé.

• Avec U^α = dx^α

dτ (où τ est le temps propre), l’action peut s’écrire :

S

^{= -mc}

∫

^{ds - q}

∫

^{AαUαdτ = -mc}

∫

^{ηαβdxαdxβ - q}

∫

^Aαdxα.

Ceci donne :

δ

S

^{= -mc ηαβdx}

αδ(dx^β) η_µνdx^µdx^ν

∫

^{- q}

∫

^{Aαδ(dxα) = -}

∫

^{(mUα +}

^q

^{Aα) d(δxα).}

L'intégration par parties donne : δ

S

^{= -}⎡^(mU_α +

q

A_α)δx^α

⎣ ⎤

⎦ ⁺ η_αβ d(mU^α +qA^α) dσ δx^β

∫

^dσ.

Pour des δx^α nuls aux extrémités du mouvement : δ

S

⁼ η_αβd(mU^α +qA^α)

dσ δx^β

∫

^dσ.

Pour des δx^α quelconques durant le mouvement, la condition δ

S

= 0 impose les équations du mouvement : d(mU^α +qA^α)

dσ = 0 ; en particulier une quadri- vitesse constante pour un point matériel isolé : dU^α

dσ ^{= 0.}

◊ remarque : on paramètre généralement par τ, mais ici un paramètre σ “quel- conque” peut convenir.

◊ remarque : la description d'un photon nécessite d'utiliser un autre paramètre car d τ = 0 (U^α n’est pas défini) ; la méthode doit être adaptée pour éviter qu'un terme (quel qu'il soit) proportionnel à d τ apparaisse au dénominateur.

3.2. Formulation la plus “simplement ressemblante”

• Ceci suggère qu'on peut raisonner en paramétrant par τ et que le principe de Hamilton peut s'écrire à l'aide d'un “lagrangien”

L

^{({xα}, {xα•}}, τ), avec x^α• = dx^α

dτ ^{= Uα.}

Pour un point isolé, on utilise généralement :

L

^{= -mc} η_αβU^αU^β = -mc² et

S

^{= -mc}

∫

η_αβU^αU^β dτ^.

Cette écriture est formelle puisque η_αβU^αU^β = c, mais pour appliquer le principe de Hamilton il faut distinguer la quadri-distance ds (dans l'action), qu’il faut exprimer en fonction des coordonnées, elles mêmes paramétrées éventuellement en fonction de τ (ou s).

Pour contourner cette ambiguïté, on peut choisir un paramètre σ “arbitraire”, en notant

L

^{({xα}, {xα•},} σ) = -mc η_αβ

U

^α

U

^β , avec x^α• = dx^α

dσ ⁼ U^α, quitte à considérer ensuite la limite σ→ τ par continuité.

• Les équations du mouvement sont ensuite données par les relations d'Euler- Lagrange (déduites de δ

S

^{= 0) : ∂}

L

∂x^α − ∂

L

∂

U

^α

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

•

= 0.

Puisque ∂

L

∂x^α = 0, ceci donne pour un point matériel isolé :

∂

L

∂

U

^{α = -}

mc

U

_α

U

_β

U

^{β = -m} dx_α

dσ dσ

dτ ^{= -mUα = Cste.}

• Si alors on conserve la méthode de Hamilton pour définir un quadrivecteur énergie-impulsion, on obtient la grandeur généralisée : P_α = ∂

L

∂

U

^{α = -mUα.}

Or l'énergie-impulsion relativiste p^α = mU^α obtenue précédemment par une autre méthode fait apparaître un signe pour le moins étrange : P^α = -p^α (ou l'analogue pour les coordonnées covariantes, car la métrique η_αβ n'influence pas les équations).

• Cette étrangeté vient du fait que l'impulsion construite pour et selon les conventions de la mécanique non relativiste ne respecte pas les notations quadrivectorielles.

Quand on écrit : P_i “=” ∂

L

∂

U

ⁱ (avec i = 1 ; 2 ; 3), on l'interprète comme ce qui devrait s'écrire : Pⁱ “=” ∂

L

∂

U

ⁱ avec des indices co/contravariants. Or ceci est incohérent puisque dans un changement de coordonnées (typiquement une transformation de Lorentz) la grandeur contravariante Pⁱ subit la transforma- tion inverse de celle pour la quantité covariante ∂

L

∂

U

^{i .}

Il faudrait donc adapter la méthode et définir maintenant les “impulsions con- juguées” par P_i = - ∂

L

∂

U

ⁱ , correspondant à : P ⁱ = ηⁱⁱ P_i = pⁱ = mUⁱ (sans sommation sur les indices, avec ηⁱⁱ = -1).

• Étant donné que η⁰⁰ = +1, il faut vérifier que le signe est le même pour la composante P₀ = - ∂

L

∂

U

⁰ (décrite à l'aide du hamiltonien

H

dans la formula- tion non quadrivectorielle).

En mécanique non relativiste, les notations de Hamilton-Jacobi correspondent à : d

S

^(x_i ^{; t) = -}

H

^{dt +}

Σ

^p_i ^dx_i (sans indices co/contravariants). Cela corres- pond à p_i = ∂_i

S

^et

H

c ^{= -∂0}

S

^.

La généralisation semble devoir s’écrire : d

S

^{(xα) =}

L

^{dτ = -p}_α ^dxα. Ainsi, le cas non relativiste correspondrait en fait plutôt à : pⁱ = - η^ij ∂_j

S

(avec indices co/contravariants).

La formulation relativiste peut d'ailleurs s’écrire : d

S

= -mc ds = -m dx_α

dτ ^dxα correspondant effectivement à : p_α = -∂_α

S

^{= mU}_α ^{= - ∂}

L

∂

U

^{α .}

• Rien n'interdit de raisonner avec les quantités P_α = ∂

L

∂

U

^{α = -mUα} même s'il peut être parfois ambigu de les nommer “impulsions". Après tout, quand on raisonne avec une variable angulaire, l'impulsion généralisée conjuguée est un moment cinétique ; donc le signe étrange rencontré ici n'a en fin de compte rien de rédhibitoire.

• Certains physiciens choisissent alors de conserver la définition p_α = ∂

L

∂

U

^α

mais imposent le signe “usuel” en changeant le signe de l’action (seule la condition d’extremum est utilisée, il suffit de renommer en “principe d’action stationnaire”). Les relations d’Euler-Lagrange ne sont pas modifiées ; seule la limite du lagrangien aux faibles vitesses change de signe par rapport à l’expression non relativiste (mais l’important est surtout la limite des lois du mouvement).

• D’autres conservent le signe de l’action, mais choisissent de raisonner avec l’énergie-impulsion : P_α = p_α = - ∂

L

∂

U

^{α = mUα} ; c'est ce qui est proposé ici.

• Si on cherche alors une formulation hamiltonienne, il faut l'adapter aux nota- tions : d

L

^{= ∂}

L

∂x^{α dx}

α + ∂

L

∂

U

^{α dUα.}

Compte tenu des équations du mouvement :

∂

L

∂x^{α =} d dσ

∂

L

∂

U

^{α = - pα• ;}

d

L

^{= - p}_α^{• dxα - p}_α ^{dUα = - p}_α^{• dxα - d(p}_α^{Uα) + Uα dp}_α ^;

d

H

^{= d(p}_α^{Uα +}

L

^{) = - p}_α^{• dxα + Uα dp}_α^.

On retrouve la formulation hamiltonienne : p_α^• = - ∂

H

∂x^{α ;} U^α = ∂

H

∂p_α ^.

• Pour un point isolé :

H

^{= p}_α^{Uα +}

L

^{= mc}

^U

^α

^U

^α

U

_β

U

^{β +}

L

^{= mc}

^U

_α

^U

^{α +}

L

^{= 0.}

Cette relation semble sans intérêt, il est vrai que la grandeur énergie est dans ce cas décrite par p⁰.

◊ remarque : en choisissant (seulement) maintenant de paramétrer par τ et en utilisant le fait qu'alors

L

^{= -mc2}, on peut obtenir

H

^{= c p}_α^{pα - mc2 qui}

donne ∂

H

∂p_α ⁼

cp^α p_βp^β

= p^α m ^{= U}

α ; le résultat est conforme à ce qu'on pourrait attendre, mais le “bricolage formel” peut toutefois difficilement être considéré comme totalement satisfaisant.

◊ remarque : certaines difficultés de “transition” à partir du cas non relativiste sont liées à la paramétrisation par τ ; il faut l'utiliser avec circonspection.

& exercices n° I, II et III.

3.3. Interaction avec un champ électromagnétique

• Pour une particule de charge q, on peut utiliser :

L

^{= -mc}

^U

_α

^U

^{α - q A}_α^Uβ.

• On en déduit une quadri-impulsion généralisée : P^α = - ∂

L

∂

U

^{α = mUα + q Aα}

(correspondant à

P

^ = p

+ qA

).

• Les équations d'Euler-Lagrange donnent ensuite les équations du mouve- ment : d

P

_α

dσ ^{= -}

∂

L

∂x^{α =} q U^β ∂_αA_β.

Ceci peut s'écrire plus “usuellement” : d

P

_α

dτ ⁼ q U^β ∂_αA_β.

• Par ailleurs d

P

_α dτ ⁼

dp_α

dτ ⁺ q ^dAα

dτ ; en outre A^α(x^β) ne dépend pas expli- citement de τ : dA_α

dτ ^{= ∂βAα} dx^β

dτ ^.

Finalement les équations du mouvement peuvent s'écrire : dp_α

dτ ⁼ q U^β F_αβ avec un champ électromagnétique F_αβ = ∂_αA_β - ∂_βA_α.

◊ remarque : le tenseur F_αβ comporte 16 composantes ; puisqu'il est antisymé- trique, les composantes diagonales sont nulles et seules six des autres sont indépendantes ; on les note par deux “pseudo-notations tri-vectorielles” :

◊ champ électrique : E!"

= c.(F¹⁰ ; F²⁰ ; F³⁰) ; E¹ = -∂₁V - ∂A¹

∂t ^{= c ∂}

1A⁰ - c ∂⁰A¹ ;

◊ champ magnétique : B!"

= (F³² ; F¹³ ; F²¹) ;

B¹ = ∂₂A³ - ∂₃A² = ∂³A² - ∂²A³.

◊ remarque : attention à ne pas confondre l'énergie et le champ E!"

.

3.4. Formulation quadratique

• La formulation relativiste peut s’écrire : d

S

= -mc ds = -m dx_α

dτ ^dxα peut aussi s'écrire : d

S

= -mc ds = -m dx_α

dτ

dx^α dτ ^dτ.

Ceci suggère d'utiliser un lagrangien quadratique (parfois appelé “lagrangien géodésique”), paramétré par τ, en ajustant le coefficient :

L

^{= -m}

2 ^UαU

α.

◊ remarque : cette écriture formelle sans radical est plus pratique dans cer- tains calculs.

• Puisque ∂

L

∂x^α = 0, ceci donne pour un point matériel isolé la quadri- impulsion : p_α = - ∂

L

∂U^{α = mUα = Cste.}

• On obtient alors le hamiltonien

H

^{= p}_α^{Uα +}

L

^{= 1}

2m ^pαp

α (on peut considé- rer que

H

^{= m}

2 ^c

2 représente “qualitativement” l'énergie de masse).

Ceci donne ∂

H

∂p_α ^{= U}

α ; les expressions proposées peuvent dont aussi être utilisées avec la méthode hamiltonienne.

◊ remarque : pour les faibles vitesses, ce lagrangien ne tend pas vers l'ex- pression non relativiste (facteur 1

2 ) ; toutefois sa forme est analogue (vis à vis de τ) à celle non relativiste (vis à vis de t), or τ tend vers t pour les faibles vitesses ; c'est pourquoi il est efficace de façon opportuniste.

& exercices n° IV, V et VI.

3.5. Description corpusculaire d'un photon

• Le cas d'un photon peut être étudié à partir de celui d'une particule massive, en passant à la limite pour m → 0.

Avec la notation quadratique, l'action d'une particule massive peut s'écrire :

S

^{= -mc2}

2

ds² dτ² dτ

∫

^{= -}₂¹

∫

^pµdxµ avec l'impulsion p^µ = mU^µ = m 1− β²

dx^µ dt ^. L'indétermination de U^µ provient de la limite β → 1 quand m → 0 ; la limite pour les photons correspond alors à substituer : m

1− β²

→ hν c^{2 .}

Ceci donne :

S

^{= - hν}

2c²

∫ U

_α

U

^α dt avec U^α = dx^α

dt ; donc un lagrangien

L

^{= - hν}

2c² U_αU^α de forme analogue, mais avec une paramétrisation par t.

◊ remarque : pour les particules massives, le lagrangien peut être choisi afin de déterminer les variations des xⁱ(t) ; l'usage de notations invariantes relati- vistes conduit à étudier les x^α(s), non indépendantes puisque reliées par l'expression ds² ; toutefois, on ne fait ainsi qu'introduire une équation de plus avec une inconnue de plus : il faut déterminer

∫

ds ; pour les photons, il n'y a pas cette inconnue supplémentaire puisque

∫

ds = 0, par contre la contrainte supplémentaire impose d'utiliser la variable t pour paramétrer.

◊ remarque : seule la méthode quadratique permet de décrire les photons ; elle s'adapte à la relativité générale, mais avec un paramètre différent de t.

◊ remarque : on peut s'inquiéter du fait que la paramétrisation par t brise l'invariance relativiste, mais la formulation

S

^{= - 1}

2

∫

p_µdx^µ la respecte.

• Puisque ∂

L

∂x^α = 0, ceci donne pour un photon la quadri-impulsion : p_α = - ∂

L

∂

U

^{α =} hν

c² U_α = Cste.

• On obtient par ailleurs le hamiltonien

H

^{= p}_α^{Uα +}

L

^{= c2}

2hν^pαp

α.

Ceci donne ∂

H

∂p_α ⁼ U^α ; p_α^• = - ∂

H

∂x^α = 0 ; les expressions proposées sont donc conformes à l'usage “classique”.

& exercice n° VII.