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Université Mohammed V LSE4

Faculté des Sciences de Rabat Année Universitaire 2019/20

Correction de la série de TD N° 1

Electronique Numérique : Systèmes de numération

1) Représentation interne des entiers

a) Quelles sont les représentations binaires des nombres suivants:

+10, +127, -9, +257

dans les codes binaire pur, binaire signé et en complément à 2. Donner dans chaque cas le nombre d'octet(s) nécessaire(s) au codage.

Solution

Binaire pur (N): Division du nombre à coder par 2. Le 1^er reste est le bit le moine significatif b0, le deuxième reste est b1,….., le dernier reste est le bit le plus significatif sur n bits.

Etendu de codage ou domaine de définition pour n bits: 0 à 2ⁿ -1

 +10 nécessite 4 bits car 2³ = 8 < 10 < 2⁴ =16 b3b2b1b0=1010

 +127 nécessite 7 bits car 2⁶ =64 < 127 < 2⁸ =256 b6b5b4b3b2b1b0=111 1111

 - 9 impossible de le coder en Binaire Pur car il est négatif

 +257 nécessite 9 bits car 2⁸ =256 < 257 < 2⁹ =512 b8b7b6b5b4b3b2b1b0= 100000001

Binaire signé (Z):

Le dernier bit (le plus significatif sur n bits): bn-1 = 0 si le nombre est positif, bn-1 = 1 si le nombre est négatif. Les autres bits représentent la valeur absolue du nombre. Elle appartient à N donc on utilise le binaire pur. Chaque bit représente le reste de la division du nombre à convertir par 2.

Etendu de codage ou domaine de définition pour n bits: -(2^n-1 -1) à -0 et +0 à +(2^n-1 -1), on n bits et on enlève 1 bit pour le signe il reste n – 1 bit. Donc les valeurs absolues sont entre 0 et +2^n-1-1

Problème de ce code: +0= 00000……0 et -0= 10000……0, ainsi le "0" à deux codes!!.

 +10 la valeur absolue nécessite 4 bits car 8 < 10 < 16 plus un bit pour le signe:

b4b3b2b1b0=01010 (5 bits)

 +127 la valeur absolue nécessite 7 bits car 64 < 10 < 256 plus un bit pour le signe:

b7b6b5b4b3b2b1b0=0111 1111 (8 bits)

 -9 la valeur absolue = +9 on la code en Binaire Pur, elle nécessite 4 bits 8<9<16 +9=1001

On ajoute un bit pour le signe: b4b3b2b1b0=11001 (5 bits)

 +257 la valeur absolue nécessite 9 bits car 256 < 257 < 512 +257=100000001

On ajoute un bit pour le signe: b9b8b7b6b5b4b3b2b1b0= 0100000001 (10 bits)

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Complément à 2: si le nombre est positif on le code avec le binaire pur, sinon on le code par: -X = ̅̅̅̅ , +X est codée en binaire pur.

Etendu de codage ou domaine de définition pour n bits: -2^n-1 à 0 à +2^n-1-1, on n bits et on enlève 1 bit pour le signe il reste n – 1 bit. Donc les valeurs absolues sont entre 0 et +2^n-1-1 Avec ce code le problème du 0 est résolu: +0= 00000……0 et -0= 00000……0, ainsi le "0" à un seul code.

 +10 la valeur absolu nécessite 4 bits car 8 < 10 < 16 plus un bit pour le signe:

b4b3b2b1b0=01010 ( 5 bits)

 +127 la valeur absolue nécessite 7 bits car 64 < 10 < 256 plus un bit pour le signe:

b7b6b5b4b3b2b1b0=0111 1111 (8 bits)

 -9 la valeur absolue = +9 on la code en Binaire Pur, elle nécessite 4 bits 8<9<16 plus un bit pour le signe

+9=01001 -9 = ̅̅̅̅ = 10110 +1 = 10111 b4b3b2b1b0=10111 (5 bits)

 +257 la valeur absolue nécessite 9 bits car 256 < 257 < 512 +257=100000001

On ajoute un bit pour le signe: b9b8b7b6b5b4b3b2b1b0= 0100000001 (10 bits) b) Donner les valeurs décimales des représentations binaires suivantes:

11111111, 00000111, 10001000

représentées en binaire pur puis en complément à 2.

Solution

1^er cas: les informations sont représentées en binaire pur donc:

1111111 = 255 on x chaque bit par le poids de sa colonne et on fait la somme 00000111 = 7 on x chaque bit par le poids de sa colonne et on fait la somme 10001000 = 136 on x chaque bit par le poids de sa colonne et on fait la somme

2^ème cas: les informations sont représentées en complément à 2 donc:

1111111 = -1 c'est un nombre négatif car le bit le plus significatif = 1, on calcul sa valeur absolue par -X = ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =00000000+1=00000001=+1

donc 11111111=-1

00000111 = 7 on x chaque bit par le poids de sa colonne et on fait la somme

10001000 = -120 c'est un nombre négatif car le bit le plus significatif = 1, on calcul sa valeur absolue par -X = ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =01110111+1= 01111000=+120 donc 10001000 = -120

2) Représentation externe des informations:

a) Représenter en Hexadécimal les codes binaires suivants:

11110111 11111111, 1111 1100 1111 0111.

Solution

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La base 16 ou l'Hexadécimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F) permet de remplacer 4 bits de la base 2 par un élément de la base 16:

11110111= 1111 0111= F 7 11111111= 1111 1111 = FF 1111 1100 1111 0111 = F C F 7

b) Donner les équivalents binaires de FF01 et ABCD.

Solution

FF01 = 1111 1111 0000 0001 ABCD = 1010 1011 1100 1101

c) Quels sont les valeurs décimales des représentations Hexadécimales FFFF et 0011.

Solution

FFFF

= Fx16

⁰

+ Fx16

¹

+ Fx16

²

+ Fx16

³

= 15x16

⁰

+ 15x16

¹

+ 15x16

²

+ 15x16

³

= 65535

0011

= 1x16

⁰

+ 1x16

¹

+ 0x16

²

+ 0x16

³

= 17.

3) Capacité de codage (étendu du codage ou domaine de définition)

En utilisant deux octets donner les capacités de codage en binaire pur, en binaire signé et en complément à 2.

Solution

Binaire pur: 0 à 2ⁿ-1 , n = 2 octets = 16 bits, 0 à 2¹⁶-1, donc de 0 à 65535

Binaire signé: -(2^n-1 -1) à -0 et +0 à +(2^n-1 -1), n = 2 octets = 16 bits donc -(2¹⁵ -1) à -0 et +0 à +(2¹⁵ -1), ainsi le domaine de définition est -32767 à +23767.

Complément à 2: : -2^n-1 à 0 à +2^n-1-1, n = 2 octets = 16 bits donc -2¹⁵ à 0 à +2¹⁵-1 ainsi le domaine de définition est -32768 à +32767.

4) Opérations arithmétiques

a) Solution de compléter les additions suivantes, indiquer le résultat, la retenue notée CF : 1011 1111 1111 1010 01000110

+ + +

1100 0001 1111 1001 0110 1001 --- --- ---

1000 0000 et CF =1 1111 1011 et CF =1 10101111 et et CF =0

5) Déclaration de variables

Mentionner le code approprié et le nombre d'octets nécessaires aux variables suivantes:

Age d'une personne, Température en °C de l'eau liquide, nombre d'étudiants de la faculté des Sciences de Rabat, Vitesse d'une voiture.

Solution

Pour évaluer le nombre de bits d'une variable on utilise les connaissances qu'on a sur cette variable (par apprentissage ou par expérience,….)

 Age d'une personne: Si on considère que l'espérance de vie de l'homme est 80 ans, le chiffre 80 est toujours positif donc on utilise le binaire pur, il est < à 128 donc n=7 bits.

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

Température en °C de l'eau liquide: on sait que cette température est < 100 et elle est toujours positive, donc le binaire pur sera utilisé. Le chiffre 100 est < à 128 donc n=7 bits



Nombre d'étudiants de la faculté des Sciences de Rabat

: Le nombre

d'étudiants de cette faculté

est 12000 étudiants ce nombre

est toujours positif, donc le binaire pur sera utilisé

.

Le chiffre

12000 est < à 16384 = 2

¹⁴

don n=14 bits



Vitesse d'une voiture

: la vitesse moyenne est de 240 KM/h, ce nombre est toujours positif on utilise également le binaire pur, il est < à 255 donc n=8bits.

6) Environnement de développement.

Des applications sont développées dans un environnement 64 bits avec une capacité de la mémoire vive de 16 Go (sous forme de barrettes mémoires). Déduire l’organisation de la mémoire et calculer sa capacité de stockage réelle (effective).

Solution

Un environnement 64 bits signifie que n = 64 bits=8 octets, toutes information sera donc codée 64 bits. Une mémoire ayant une capacité de stockage = 16 Go = (16 G octets)/(8 octets) = 2 x G x mots un mot = 64 bits = 8 octets

Donc la capacité de stockage réelle est de 2 G mots.