STH2, Maple 2013
La suite logistique
Nous allons étudier dans ce problème les propriétés de la suite logistique dénie récursivement par u0 ∈[0,1] et pour tout entier n,
un+1=aun(1−un),
aétant un réel positif. Cette suite permet de modéliser des évolutions de populations.
Le terme un peut représenter la quantité (normalisée) d'individus d'une certaine population à l'année n. En l'absence de contraintes, l'évolution est donnée par la relation un+1 = aun, a représentant alors le coecient d'accroissement naturel de cette population.
Mais ce modèle est peu réaliste car la population ne peut pas croître indéniment.
Sa croissance est en eet limitée par la quantité de ressources disponibles. Plus il y a d'individus, plus ces ressources deviennent insusantes. Le facteur(1−un)permet de modéliser cela. La quantité 1 est la taille limite de la population. Plus celle-ci s'approche de cette valeur, plus son accroissement est faible.
Dans les deux premières parties, nous xerons u0 = 0,3. Nous regarderons dans la troisième partie l'inuence deu0 sur le comportement de la suite.
Représentation de la suite
1. Écrire un programmelogistique(a, n)qui renvoie la liste desnpremiers termes de la suite logistique.
2. Représenter la suite logistique pour
a= 0,8 1,5 2,6 3,25 3,5 3,82 3,9.
3. Dans chaque cas, quel est le comportement limite de la suite ?
Diagramme de Feigenbaum
Le diagramme de bifurcation de Feigenbaum permet de décrire les valeurs limites de la suite en fonction de a. Nous allons essayer de le retrouver (en partie) de deux manières.
1. Écrire un programme qui pour a donné renvoie les 16 valeurs u101, . . . , u116 de la suite.
2. Représenter en fonction de a les 16 valeurs obtenues.
Expliquer l'idée de cette méthode.
3. On sait que si la suite converge, elle converge vers une solution de f(x) = x où f est la fonction f(x) = ax(1−x). Ce n'est pas toujours le cas ici, mais on peut généraliser ce résultat : lorsqu'elle oscille à la limite entre plusieurs valeurs, ces valeurs limites sont des points xes d'itérées de f.
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Écrire des programmes qui pour a donné renvoient les listes des points xes def,f ◦f et f◦f ◦f◦f.
Représenter ces valeurs en fonction deaet comparer avec le diagramme obtenu à la question précédente.
Chaos
On étudie ici la sensibilité de la suite à la condition initiale u0.
1. Pour une valeur de axée, comparer la suite obtenue pour u0 = 0,3avec celle obtenue pour une valeur de u0 très proche de 0,3. On pourra en particulier rechercher l'écart maximal entre ces deux suites.
2. Pour quelles valeurs deale comportement de la suite est-il stable ? Pour quelles valeurs est-il chaotique ?
Fonctions utiles : listplot, max
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