Valeurs limites pour les éléments des chaos

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VALEURS LIMITES POUR LES ÉLÉMENTS DES CHAOS

Gilles HARGÉ

Université d’Evry, équipe d’analyse et de probabilités Bd F. Mitterrand, 91025 Evry Cedex, France Received 03 January 2000, revised 05 February 2001

RÉSUMÉ. – On montre, essentiellement sans utiliser d’inégalité de décorrélation, que certains éléments des chaos sur l’espace de Wiener possèdent une limite approximative par rapport à tout représentant de toute norme mesurable au sens de Gross (1962, 1967). On utilise d’autre part une intégrale construite pour la première fois par Nualart et Zakai (1986) et Ogawa (1979, 1984) et qui a été exploitée dans le sens qui nous intéresse ici par Rosinski (1989) et Sugita (1989).

L’existence d’une limite approximative telle qu’elle est définie dans l’article est liée à l’existence de cette intégrale._2001 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Mots Clés: Espace de Wiener; Chaos; Analyse stochastique AMS classification: 28C20; 60H05

ABSTRACT. – Without using correlation inequalities, we show that a family of variables of the Wiener chaos possess an approximate limit with respect to mesurable norms defined by Gross (1962, 1967). We also use a stochastic integral which was first constructed by Nualart and Zakai (1986) and Ogawa (1979, 1984) and then used by Rosinski (1989) and Sugita (1989).

The existence of an approximate limit like the one we use here is related to the existence of this integral.2001 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

1. Introduction et notations

L’objet de cet article est la recherche de valeurs limites pour un élément X(w) du nième chaos de Wiener lorsque wse rapproche d’un élément de l’espace de Cameron–

Martin. Un grand nombre de résultats concernant ce type de questions utilisent des inégalités de décorrélation pour la mesure gaussienne surRⁿ ; il s’agit soit d’inégalités du type F.K.G., soit d’une inégalité permettant de décorréler deux convexes symétriques dansRⁿ. Cette dernière inégalité, sous sa forme la plus générale, en est encore au stade de la conjecture (voir [6] pour un historique de la question). Nous allons voir dans cet article que l’inégalité de décorrélation la plus générale n’est pas nécessaire pour obtenir des résultats sur le comportement des éléments des chaos par rapport à ces problèmes de limites.

E-mail address: harge@lami.univ-evry.fr (G. Hargé).

On noteW l’espace de Wiener :

W=f ∈C[0,1],R^d, f (0)=0 muni de la mesure de Wiener notéeP.

On considèrewt la réalisation canonique du mouvement brownien.

SoitH l’espace de Cameron–Martin :

H =h∈W, hest absolument continue eth˙ ∈L²[0,1],R^d etFt=σ (ws, st).

Rappelons tout d’abord des résultats connus (voir par exemple [12]).

On noteH=L²([0,1],R^d)muni de son produit scalaire habituel,.

SoitT = [0,1] × {1, . . . , d}muni de la mesure mobtenue comme produit tensoriel de la mesure de Lebesgue et de la mesure de comptage. On obtient alors :Hⁿ {f ∈ L²(Tⁿ), f symétrique} où Hⁿ désigne le produit tensoriel symétrique de H n fois avec lui-même.

On considère(w(f ), f ∈H )la mesure gaussienne d’intensitém. Pourf ∈Hⁿ, on note:

δⁿ(f )=

Tⁿ

f (s1, . . . , sn)dws₁· · ·dwsn

δⁿ(f )représente un élément quelconque du n^ieme` chaos deL²(W ). On peut écrire : δⁿ(f )=n!

d i₁,...,i_n=1

0<t₁<···<tn<1

fi1,...,in(t1, . . . , tn)dw_tⁱ¹₁· · ·dw_tⁱ_nⁿ

=n!

0<t₁<···<t_n<1

f (t 1, . . . , tn).(dwt₁ ⊗ · · · ⊗dwtn)

avec fi₁,...,in(t1, . . . , tn)=f ((t1, i1), . . . , (tn, in))(dans la suite,f etfseront notées de la même façon).

Enfin, on désignera sous le terme de base d’un espace de Hilbert séparable toute famille orthonormée maximale de cet espace de Hilbert.

Nous étudions dans cet article l’existence d’une limite en un sens faible pourδⁿ(f ) en tant que fonctionnelle de la variable w lorsque w se rapproche d’un élément h de H. Cette notion de limite dite approximative fait intervenir les normes mesurables sur H, notées N et leurs représentants N sur l’espace de Wiener. Précisons que la notion de norme mesurable intervenant dans cet article sera toujours celle définie par Gross [4,5].

Nous allons montrer sous des conditions assez fortes sur f que δⁿ(f ) admet une limite relativement à N indépendante du choix de N. La valeur de la limite de δⁿ(f ) sera donnée par les formules de Hu–Meyer qui relient dans les bons casδⁿ(f )avec des intégrales de Stratonovich ou, dans le cadre de cet article, avec des intégrales que nous appelerons intégrales itérées d’Ogawa. Le résultat le plus fort obtenu ici est l’existence

d’une limite approximative pour exp|δ˚ⁿ(f )|^2/n(sous certaines conditions), où ˚δⁿ(f )est l’intégrale itérée d’Ogawa def.

1.1. L’intégrale d’Ogawa itérée

Nous allons donc utiliser les formules de Hu–Meyer [8] dont le domaine de validité est lié à l’existence de traces (elles permettent par exemple de donner un sens à

“₀¹f (s, s)ds” quandf ∈L²([0,1]²)). Nous utilisons ici la notion de trace itérée dont nous allons rappeler la définition (pour plus de détails, voir [17] et [19]). Il existe d’autres notions de traces qu’on pourra trouver dans des articles de Solé et Utzet [22], Carmona et Nualart [3], Johnson et Kallianpur [10] et Budhiraja et Kallianpur [2]. Des comparaisons entre ces différentes définitions se trouvent aussi dans ces articles ainsi que dans un article de Nualart et Zakaï [14].

Parmis tous les articles cités ci-dessus, seuls ceux de Carmona et Nualart [3] et de Sugita [19] s’intéressent à l’existence de limites approximatives (ou à des notions proches) pour les éléments des chaos et leurs liens avec des traces; nous en reparlerons plus loin.

DEFINITION 1 ([17]). – SoitH un espace de Hilbert réel séparable. On considère k:T²→Hmesurable symétrique tel que_T2k(s, t)² dm(s)dm(t) <+∞.

SoitK:L²(T )→L²(T ,H)défini par:

Kϕ(t)=

T

ϕ(s)k(s, t)dm(s) pourϕ∈L²(T )

On dit que K (ou k) admet une trace si pour toute base (ϕn) de L²(T ), la série

n

T²ϕn(s)k(s, t)ϕn(t)dm(s)dm(t) converge dans H. On montre que la limite ne dépend pas du choix de(ϕn) (voir [17] et [19]). On la note TrKou Trk.

DEFINITION 2. – Soit f ∈Hⁿ, on dit que f admet une trace si Trk existe pour k(s, t)=f (., s, t). On poseTf =Trk.

Pour 0q[n/2], on définit par récurrenceT^q(f ) (T⁰(f )=f ).

On peut maintenant définir les intégrales itérées d’Ogawa.

DEFINITION 3. – On note Dom ˚δⁿ= {f ∈Hⁿ, ∀k∈ {0, . . . ,[n/2]}, T^k(f )existe}. Pourf ∈Dom ˚δⁿ, on pose:

δ˚ⁿ(f )=^[

n/2]

k=0

1 2

k

n!

k!(n−2k)!δ^n−2kT^kf. On montre ensuite la formule suivante:

δⁿ(f )=^[

n/2]

k=0

−1 2

k

n!

k!(n−2k)!δ˚^n−2kT^kf. Ces deux formules sont les formules de Hu–Meyer [8].

Remark 1. –

1. Dans la définition 1, le fait que K admette une trace ne signifie pas que K est nucléaire au sens habituel [1]. Il faudrait en effet avoir:

Pour toutes les bases(ϕk)deL²(T )et(ψk)deL²(T ,H), _k|Kϕk, ψk|<+∞. 2. Par contre, siH=R,Kest un opérateur de Hilbert–Schmidt symétrique. Dans ce

cas, dire queKest nucléaire signifie alors [1, théorème 3.4.3]:

Pour toute baseB=(ei)deH , ∞

i=1

|k, ei⊗ei|<+∞.

Ce qui, grâce à la théorie sur les séries commutativement convergentes, est équivalent à :

∀B=(ei), ^∞_i=1k, ei⊗eiconverge. On retrouve ici exactement la définition 1.

Plus précisément, on obtient pourf ∈H²:

f ∈Dom ˚δ² ⇔Kest nucléaire avecK:H→H défini parKh(s)=Th(s)f (s, t)dm(t).

3. On démontre en appendice quelques résultats complémentaires concernant Dom ˚δⁿ. En particulier, on donne une caractérisation dans certains cas de l’appartenance de f à Dom ˚δⁿen terme de nucléarité d’opérateurs.

δ˚ⁿ(f ) va se révéler être un bon intermédiaire de calcul pour étudier les “limites”

de δⁿ(f ). En effet, nous verrons que la limite approximative de ˚δⁿ(f ) lorsque w se rapproche d’un élémenthdeH s’écrit :

[0,1]ⁿ

f (t1, . . . , tn).h(t˙ 1)⊗ · · · ⊗ ˙h(tn)dt1. . .dtn

ce qui revient à remplacer formellement dwt parh(t)˙ dtdansδⁿ(f ).

Enonçons maintenant un résultat qui nous sera utile. À partir de la proposition 2 de [19], on peut écrire:

PROPOSITION 1. – SoitB=(eq)une base deH. Sif ∈Hⁿ, on note:

fR= R i₁,...,in=1

f, ei1⊗ · · · ⊗einei1 ⊗ · · · ⊗ein.

AlorsfR∈Dom ˚δⁿet:

δ˚ⁿ(fR)= R i₁,...,in=1

f, ei₁ ⊗ · · · ⊗ei_nXi₁· · ·Xi_n oùXi= 1 0

ei(s).dw(s)

De plus, sif ∈Dom ˚δⁿ, on a:

δ˚ⁿ(f )=L²− lim

R→∞δ˚ⁿ(fR).

Enfin, précisons la notation suivante qui sera utilisée tout au long de cet article.

Pourf∈Hⁿetx∈H^⊗k aveckn, on pose:

f, x =

T^k

f (t1, . . . , tk, .)x(t1, . . . , tk)dm(t1) . . .dm(tk)

1.2. La notion de limite approximative

On reprend les définitions introduites dans [7]. Nous allons travailler avec la notion de semi-normes mesurables introduite par Gross [4,5], voir aussi Kuo [11].

On munitH de la norme associée au produit scalaire : h, g = ˙h,g˙ H pourh, gdansH.

SoitQ:H→H une projection orthogonale telle que dimQH <∞.Qs’écrit : Qh=

n i=1

hi, hhi

où(h1, . . . , hn)est une base orthonormée deQH. On peut ainsi définir :

Qw= n i=1

1 0

h˙i(s).dws

hi pourw∈W (Qwest indépendant du choix de(h1, . . . , hn)).

Une suite croissante de projections orthogonales Qn est appelée une suite approxi- mante de projections si :

dimQnH <∞ et Qnhtend vershdansH pour touthdansH.

DEFINITION 4. – Une semi-norme N sur H est dite mesurable si il existe une variable aléatoire N (w) < +∞ p.s. telle que pour toute suite approximante de projections Qn, la suite N (Qn(w)) converge en probabilité vers N (w). Si de plus N est une norme surH, on dit queN est une norme mesurable.

La norme sup surW notée

|w|∞= sup

s∈[0,1]

_d

i=1

w_sⁱ² 1/2

est une norme mesurable, ainsi que les normes höldériennes d’indice strictement plus petit que 1/2 ([4, paragraphe 5]).

Soit N une semi-norme mesurable sur H. D’après le théorème 1 de [4], pout tout η >0,P (N < η) > 0; on peut donc introduire la définition suivante :

DEFINITION 5. – Soit N une semi-norme mesurable. Pour F ∈ L¹(W ), A∈ F1, h∈H etη >0 on pose:

E_η,h^N (F )=E(F 1_{N (w −h)<η}

P (N (w −h) < η)) et P_η,h^N(A)=P (A,N (w −h) < η) P (N (w −h) < η) . Sih=0, on omettra l’indiceh.

DEFINITION 6. – Soient F ∈L¹(W ), N une semi-norme mesurable, h∈H et p∈ [1,+∞[.

On dit queF admet uneL⁰_N, respectivementL^p_N, limite approximative enhsi il existe un réelltel que:

∀ε >0, lim

η→0P_η,h^N |F −l|> ε=0 respectivement:

ηlim→0E_η,h^N |F−l|^p=0 lest notéF (h).

On voit facilement que siF admet une L^p_N-limite approximative alorsF admet une L^r_N-limite approximative pourr < p.

Cette question a déjà été abordée par de nombreux auteurs (voir [7] pour une liste de références). Dans cet article, nous allons montrer que dans certains cas,δⁿ(f )admet une limite approximative par rapport à toute norme mesurableN et queδⁿ(f )(h)ne dépend pas du choix deN. Rappelons les résultats suivants ([18,20], voir aussi [7]) :

THEOREM 1. – SoitN une norme mesurable surH, alors:

∀h∈H , lim

η→0E_η^Nexp(δ(h))=1.

On en déduit:

∀p >0, ∀h∈H , lim

η→0E_η^N|δ(h)|^p=0.

THEOREM 2. – Soit N une semi-norme mesurable sur H et h un élément de H, alors:

∀ε >0, ∀η >0, P Nε,|δ(h)|ηP (Nε)P|δ(h)|η.

2. Construction de Dom ˚δⁿsans la notion de trace

Nous allons établir une caractérisation de l’appartenance d’un élément de Hⁿ à Dom ˚δⁿ. Pour cela nous avons besoin de deux lemmes. Dans la suite, nous désignerons parS(f )le symétrisé def sif ∈H^⊗n.

LEMMA 1. – Soientf ∈Hⁿ etg∈H^p avecn1 etp1. SiTf etT gexistent, alorsS(f ⊗g)possède une trace et:

TS(f ⊗g)= 1

(n+p)(n+p−1)

n(n−1)S(Tf ⊗g)+p(p−1)S(f ⊗T g)

+ 2np

(n+p)(n+p−1)S

T

f (., t)⊗g(., t)dm(t)

(sin=1 on poseTf=0).

Proof. – Soit(eq)une base deH. On note(EI)une base deH^n+p−2. On doit étudier la limite lorsqueRtend vers l’infini de:

R q=1

S(f⊗g), eq⊗eq

.

OrS(f⊗g), eq⊗eq⊗EI = f⊗g, S(eq⊗eq⊗EI)et : S(eq⊗eq⊗EI)(t1, . . . , tn+p)= 2

(n+p)(n+p−1)

1i<jn+p

eq(ti)eq(tj)

×EI(t1, . . . , ti−1, ti+1, . . . , tj−1, tj+1, . . . , tn+p).

D’où :

S(f⊗g), eq⊗eq⊗EI

= 2

(n+p)(n+p−1) _1i<jn

f, eq⊗eq ⊗g, EI

+

1in

n+1jn+p

f, eq ⊗ g, eq, EI

+

n+1i<jn+p

f⊗ g, eq⊗eq, EI

⇒S(f⊗g), eq⊗eq⊗EI

= 2

(n+p)(n+p−1)

n(n−1) 2

f, eq⊗eq ⊗g, EI

+npf, eq ⊗ g, eq, EI

+p(p−1)

2

f ⊗ g, eq⊗eq, EI

⇒S(f⊗g), eq⊗eq

= 1

(n+p)(n+p−1)

n(n−1)S(f, eq⊗eq ⊗g) +p(p−1)S(f ⊗ g, eq⊗eq)

+ 2np

(n+p)(n+p−1)S(f, eq ⊗ g, eq).

On remarque ensuite : R

q=1

f, eq⊗eq −→

R→∞Tf et

R q=1

g, eq⊗eq −→

R→∞T g dansL². Pour étudier ^R_q=1f, eq ⊗ g, eq, on constate :

• ^Rq=1eq⊗ g, eq −→

R→∞gdansL².

• Pour presque tout(u, v)∈Tⁿ⁻¹×T^p−1,f (., u)g(., v)∈L¹(T )et :

R q=1

f, eq ⊗ g, eq −

T

f (., t)⊗g(., t)dm(t)

2

=

T

f (., t)⊗ _R

q=1

eq(t)g, eq

dm(t)−

T

f (., t)⊗g(t, .)dm(t)

2

=

T^n+p−2 T

f (u, t) _R

q=1

eq(t)g, eq(v)−g(t, v)

dm(t) 2

dm^⊗n−1(u)

⊗dm^⊗p−1(v) f²

R q=1

eq⊗ g, eq −g

2

. Ce qui termine la démonstration du lemme. ✷

LEMMA 2. – Soit f ∈ Hⁿ, on suppose que f admet une trace. Notons fR =

R

q=1f, eq ⊗eq où(eq)est une base deH, alorsS(fR)admet une trace etT (S(fR)) tend versTf dansHⁿ⁻².

Proof. – On applique le lemme précédent, il est en effet facile de montrer quef, eq admet une trace et qu’elle vautTf, eq. D’où :

TS(fR)= R q=1

n−1

n+1S(Tf, eq ⊗eq)+ 2

n+1Sf, eq, eq

= n−1 n+1S

_R

q=1

Tf, eq ⊗eq

+ 2

n+1S _R

q=1

f, eq⊗eq

⇒ lim

R→∞TS(fR)=n−1

n+1S(Tf )+ 2

n+1S(Tf )=Tf. ✷ THEOREM 3. – Soitf ∈Hⁿ(n2), on a:

f ∈Dom ˚δⁿ ⇔







∀h∈H , f, h ∈Dom ˚δⁿ⁻¹, Pour toute base(eq)deH ,

R q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)converge dansL². On a alors ˚δⁿ(f )=limR→∞ R

q=1δ˚ⁿ⁻¹(f, eq)δ(eq).

Proof. – Commençons par le sens⇒.

• Soit h un élément de H. On montre facilement que T (f, h) existe et vaut Tf, h. On montre de même queT^k(f, h)existe et vautT^kf, h. Doncf, h ∈ Dom ˚δⁿ⁻¹.

• Considérons maintenant(eq)une base deH, on a:

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)=

[ⁿ⁻₂¹] k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−1−2k)!δ^n−1−2kT^kf, eqδ(eq).

OrT^k(f, eq)= T^kf, eq. D’autre part, d’après une formule due à Itô ([9, théorème 2.2]) :

δ^n−1−2kT^kf, eq

δ(eq)

=δ^n−2kT^kf, eq

⊗eq

+(n−1−2k)δ^n−2−2kT^kf, eq⊗eq

sin−1−2k1.

D’où deux formules ; sin=2p: R

q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)= p k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−1−2k)!δ^n−2k _R

q=1

T^kf, eq

⊗eq

+ p k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−2−2k)!δ^n−2−2k _R

q=1

T^kf, eq⊗eq

.(1) Et sin=2p+1 :

R q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)=

p−1 k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−1−2k)!δ^n−2k _R

q=1

T^kf, eq

⊗eq

+

p−1

k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−2−2k)!δ^n−2−2k _R

q=1

T^kf, eq⊗eq

+ 1

2 p

(2p)! p! δ

_R

q=1

T^pf, eq

eq

. (2)

On en déduit le résultat à l’aide de la formule de Hu–Meyer en constatant que : L²− lim

R→∞

R q=1

T^kf, eq

⊗eq=T^kf et L²− lim

R→∞

R q=1

T^kf, eq⊗eq

=T^k+1f.

On obtient donc :

δ˚ⁿ(f )=L²− lim

R→∞

R q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq).

Démontrons la réciproque. On peut écrire les formules suivantes (similaires à (1) et (2)).

Sin=2p: R

q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)= p k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−1−2k)!δ^n−2k _R

q=1

T^kf, eq⊗eq

+ p k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−2−2k)!δ^n−2−2k _R

q=1

T^kf, eq, eq

. Et sin=2p+1 :

R q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)=

p−1

k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−1−2k)!δ^n−2k _R

q=1

T^kf, eq⊗eq

+

p−1

k=0

1 2

k

(n−1)!

k!(n−2−2k)!δ^n−2−2k _R

q=1

T^kf, eq, eq

+ 1

2 p

(2p)! p! δ

_R

q=1

T^pf, eqeq

.

La difficulté provient du fait qu’on ne sait pas si T^kf existe et on ne peut donc pas remplacerT^k(f, eq)parT^kf, eq. Prenons par exemple le casn=2pet projetons la quantité obtenue sur le(n−2)ième chaos, on en déduit :

1

2(2p−1)(2p−2)δ^2p−2 _R

q=1

Tf, eq⊗eq

+(2p−1)δ^2p−2 _R

q=1

f, eq, eq

converge dansL²lorsqueRtend vers l’infini. Et donc : 3R=(2p−1)(p−1)

R q=1

ST (f, eq)⊗eq

+(2p−1) R q=1

f, eq⊗eq

a une limite dansHⁿ⁻², notons lal.

Pour montrer que Tf existe, nous devons montrer que le deuxième terme de 3R

possède une limite quandRtend vers l’infini.

Travaillons surS(T (f, eq)⊗eq)(sin=2, c’est-à-dire sip=1, ce terme n’apparaît pas) :

ST (f, eq)⊗eq

(s1, . . . , sn−2)

= 1 n−2

n−2

j=1

Tf, eq(s1, . . . , sj−1, sj+1, . . . , sn−2)eq(sj)

⇒ST (f, eq)⊗eq

, ei

=

T

ST (f, eq)⊗eq

(., sn−2) ei(sn−2)dm(sn−2)

=n−3

n−2ST (f, eq), ei ⊗eq

+ 1

n−2T (f, eq)δq,i. f, eq ∈Dom ˚δⁿ⁻¹doncf, eq, ei ∈Dom ˚δⁿ⁻²et :

T (f, eq), ei

=Tf, eq, ei

=T (f, eq⊗ei).

En utilisant le lemme 1, on obtient : TSf, eq⊗ei ⊗eq

=n−3

n−1ST (f, eq⊗ei)⊗eq

+ 2

n−1f, eq⊗eq⊗ei. D’où :

ST (f, eq), ei ⊗eq

=n−1

n−3TSf, eq⊗ei ⊗eq

− 2

n−3f, eq⊗eq⊗ei

⇒ R q=1

ST (f, eq), ei ⊗eq

=n−1 n−3T

S

_R

q=1

f, ei, eq

⊗eq

− 2 n−3

R q=1

f, ei, eq⊗eq

.

D’après le lemme 2, T (S( ^R_q=1f, ei, eq ⊗eq)) tend versT (f, ei)lorsque R tend vers l’infini. On en déduit :

Rlim→∞

R q=1

ST (f, eq), ei ⊗eq

=n−1

n−3T (f, ei)− 2

n−3T (f, ei)=T (f, ei).

Puis on obtient :

Rlim→∞

R q=1

STf, eq⊗eq

, ei

=T (f, ei).

Le calcul de3R, eidonne :

3R, ei =(2p−1)(p−1) R q=1

ST (f, eq)⊗eq

, ei

+(2p−1) R q=1

f, ei, eq⊗eq

.

D’où :

Rlim→∞3R, ei =(2p−1)(p−1)T (f, ei)+(2p−1)T (f, ei)

=p(2p−1) T (f, ei).

Or 3R, ei tend aussi vers l, ei et l = ^∞i=1l, ei ⊗ ei. On en déduit que

∞i=1T (f, ei) ⊗ ei converge. En reprenant l’expression de 3R, on obtient que

R

q=1f, eq⊗eqconverge pour toute base(eq)et doncf admet une trace.

Avec les projections sur les différents chaos, on montre quef admet des traces de tout ordre, ainsif ∈Dom ˚δⁿ. Ce qui termine la démonstration. ✷

Ce théorème permet de donner une nouvelle définition de ˚δⁿ(f ) équivalente à la définition 3 :

DEFINITION 7. – 1.Pourf ∈H ,on pose ˚δ(f )=δ(f )et Dom ˚δ=H.

2.Pourn2, on dit qu’un élémentf deHⁿest dans Dom ˚δⁿ si et seulement si:







∀h∈H , f, h ∈Dom ˚δⁿ⁻¹, Pour toute base(eq)deH ,

R q=1

δ˚ⁿ⁻¹f, eqδ(eq)converge dansL².

Dans ce cas, la limite ne dépend pas du choix de(eq)et on la note ˚δⁿ(f ).

3. Existence et valeur de la limite pour certains éléments des chaos Dans toute la suite, on fixe une fois pour toute une norme mesurableN surH. Le résultat suivant est démontré dans [7] :

THEOREM 4. – Soit f ∈H H telle que f ∈Dom ˚δ², alors, pour tout p, δ²(f ) admet uneL^p_N-limite approximative en tout pointhdeH et on a:

δ²(f )(h)= −Tf + f,h˙⊗ ˙h.

Commençons par rappeler des notations connues (voir par exemple [1]) .

SoitHun espace de Hilbert réel séparable. SiK:H→Hest un opérateur de Hilbert–

Schmidt symétrique, on note|K|τ sa norme nucléaire, c’est-à-dire:

|K|τ=^∞

k=1

|λk| où les réelsλk sont les valeurs propres deK.

On pose TrK= ^∞k=1λksi|K|τ<∞(c’est-à-dire siKest nucléaire).

À un élément f de H², on associe K(f ):H→H défini par K(f )h1, h2 = f, h1⊗h2. Lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité, K(f )sera noté K. On pose |f|τ =

|K|τ. On a :

|f|τ= sup

(u_k)base deH

_∞

k=1

f, uk⊗uk

.

On utilisera par exemple cette définition pour des élémentsf deH²ⁿ. On peut écrire dans ce cas :f ∈H²avecH=Hⁿ (ouH=H^⊗n).

3.1. Les hypothèses

Sif ∈Dom ˚δⁿ, d’après la proposition 2.1 de [17], on peut affirmer queK(f, h)est nucléaire pour touthdansH^⊗n−2et donc|f, h|τ<∞.

Les hypothèses que nous allons faire sur un élémentf deHⁿ pourn2 seront les suivantes :

∃B=(ek)base deH ,

∞ i1,...,in−2=1

f, ei₁⊗ · · · ⊗ei_n−2τ <∞, (3)

∃B=(ek)base deH ,

∞ i1,...,in=1

f, ei₁⊗ · · · ⊗ei_n<∞. (4)

Remark 2. – L’hypothèse (4) est la plus facile à vérifier; cependant, l’hypothèse (3) va se révéler être la plus générale.

Nous allons établir les liens entre ces hypothèses et l’existence de ˚δⁿf. PROPOSITION 2. – Sin=2 alors(3)⇔(4)⇔f ∈Dom ˚δ².

Et dans ce cas|f|τ=inf{ ^∞i,j=1|f, ui⊗uj|, (ui)base deH}.

Proof. – Pour n=2, l’hypothèse (3) s’écrit par convention |f|τ <∞, ce qui est équivalent àf ∈Dom ˚δ².

Pour l’hypothèse (4), l’équivalence à démontrer est : K(f )est nucléaire ⇔ ∃B=(ek)base deH ,

∞ i,j=1

f, ei⊗ej<∞.

Cette équivalence est certainement connue mais l’auteur n’a pas trouvé de références.

SiK(f )est nucléaire, alorsfs’écrit : f = ^∞i=1λiei ⊗ei avec ^∞_i=1|λi|<∞,(ei) étant une base deH diagonalisantK; le sens⇒en découle.

Pour la réciproque, considéronsB=(uk)une base quelconque deH. En écrivant f = ^∞i,j=1f, ei⊗ejei⊗ej, on obtient :

∞ k=1

f, uk⊗uk ^∞

i,j=1

f, ei⊗ej. DoncK(f )est nucléaire.

Maintenant, siK(f )est nucléaire, considérons(vk)une base deH diagonalisant K.

Avec un calcul similaire à celui donnant l’inégalité précédente, on montre : ∞

i=1

f, vi⊗vi ^∞

i,j=1

f, ui⊗uj pour toute base(ui)deH .

et donc :

|f|τ=^∞

i=1

f, vi⊗vi= ^∞

i,j=1

f, vi⊗vj

=inf _∞

i,j=1

f, ui⊗uj, (ui)base deH

. ✷

Pourn3, on a le résultat suivant :

PROPOSITION 3. – Pourn3,(3)⇒f ∈Dom ˚δⁿ.

Proof. – D’après la proposition 2.1 de [17], pour montrer que Tf existe, il suffit de montrer que ∀h∈H^⊗n−2, |f, h|τ <∞. On obtient, en utilisant la continuité de