PST2 – P2016 Final : 1h30

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PST2 – P2016 Final : 1h30

Mercredi 22 juin 2016 interdite - interdits

NOM Prénom groupe signature

K

Si besoin, les calculs sont à détailler sur copie avec les justifications nécessaires. Reporter les réponses dans les cadres.

Une réponse juste non justifiée pourra être comptée comme nulle. Seules les questions dont les réponses exactes apparaissent clairement dans les cadres seront corrigées.

I. Q

UESTIONS DE COURS

1. Donner la définition d’une force conservative.

2. Donner une expression mathématique caractérisant les mouvements suivants : mouvement rectiligne uniforme

mouvement rectiligne uniforme (autre possibilité) mouvement uniforme

mouvement uniforme (autre possibilité)

3. Donner l’écriture générale du vecteur accélération dans la base de Frenet + schéma.

4. Une masse ponctuelle m=500g est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale V₀. En plus de son poids, la masse subit une force de frottement verticale d’intensité constante f =3N. Calculer la valeur de V₀ pour que la masse monte d’une hauteur h=2m^.

V0 = a =

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II. P

ENDULE SIMPLE

c) Exprimer h en fonction de

d) Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du pendule en fonction de prenant comme niveau de référence

e) Établir l’expression littérale de l’énergie potentielle du pendule en fonction de

( )

^θ

Ep sous une forme montrant qu’on peut la modéliser par un polynôme d’ordre 2 dans le cadre de l’approximation des petite

Rappels :

2 2 cos

sin² 1 a

a= −

On considère un pendule simple de longueur

position est repérée par l’angle θ que fait le fil avec la verticale (cf. figure).

a) Justifier l’expression y_M = −L.cos

θ

b) Que vaut y_M lorsque le pendule passe par sa position d’équilibre stable ?

en fonction de L et θ^.

Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du pendule en fonction de prenant comme niveau de référence Ep =0 la position d’équilibre stable du système

Établir l’expression littérale de l’énergie potentielle du pendule en fonction de

sous une forme montrant qu’on peut la modéliser par un polynôme d’ordre 2 dans le cadre de l’approximation des petites oscillations

(

sin

α

≈

α )

.

; ^cos

(

^a+^b

)

=^cos^a^cos^b−^sin^a^sin^b^; ²^cos

un pendule simple de longueur L dont la que fait le fil avec la

.cos

θ

^.

lorsque le pendule passe par sa position

Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du pendule en fonction de y en la position d’équilibre stable du système ?

Établir l’expression littérale de l’énergie potentielle du pendule en fonction de θ . On mettra sous une forme montrant qu’on peut la modéliser par un polynôme d’ordre 2 dans le

a a

asin sin2

cos =

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III. M

OUVEMENT D

’

UN SATELLITE

On considère un satellite de masse m, tournant autour de la Terre de masse M . Le satellite est suffisamment haut pour que seule la force de gravitation universelle intervienne (frottements négligés). On raisonnera dans un référentiel géocentrique supposé galiléen. On supposera à priori que le mouvement du satellite se fait dans un plan fixe passant par le centre O de la Terre. La position du satellite sera donc repérée par ses coordonnées polaires

( )

^r^,

^θ

associées à la base polaire

(

^u^r^,^u^θ

)

dont l’axe polaire a pour origine O.

On rappelle les composantes de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires :

v u r u et a r u 2 r u

ou ^a

(

^r ^r

θ ) (

^ur ^r

θ

^r

θ )

^uθ

ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺ − + +

= ² 2

1. Rappeler ce qu’est le référentiel géocentrique.

2. Compléter le schéma en faisant apparaitra la force exercée par la Terre sur le satellite, les coordonnées polaires et la base polaire.

3. Rappeler la loi vectorielle de la gravitation universelle donnant la force d’interaction exercée sur m par M (on notera G la constante de gravitation universelle) en utilisant les notations du schéma précédent.

4. En appliquant une des lois de Newton compléter les équations suivantes : justifications :

r 2 r

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IV. O

SCILLATEUR ÉLASTIQUE

Un oscillateur élastique horizontal est constitué d’un ressort de raideur k et d’une masse m pouvant se déplacer le long d’une tige rectiligne horizontale. La position x=0 correspond à la position d’équilibre du système.

Partie 1 : le mouvement est considéré sans frottements

1. Représenter sur le schéma les forces auxquelles la masse est soumise.

2. Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par la fonction position ^x

( )

^t ^.

3. Le système est-il conservatif ? OUI NON

justification :

4. Quelles sont les formes d’énergie de type mécanique que possède le système ? on donnera leurs expressions littérales (les énergies potentielles dont dérivent le poids et la réaction du support seront prises nulles).

5. Déduire du graphique ci-dessous les valeurs (avec les unités) des grandeurs suivantes :

amplitude du

mouvement x^M

raideur du ressort k énergie mécanique E_m

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justifications :

Partie 2 : le système est maintenant soumis à une force de frottement f =−hv . 1. Quelle est la nouvelle équation différentielle vérifiée par la fonction position ^x

( )

^t ^?

2. Si le système est en régime pseudopériodique, établir l’expression de

ω

, pseudo-pulsation des oscillations, en fonction de la pulsation propre

m

= k

ω0 et des paramètres du système (h, k et m).

réponse sous la forme

ω

=

ω

₀ 1−K^oùK =