MN 51

MN51_FIN_A20 1 UTBM

MN 51

ELEMENTS FINIS

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EXAMEN

FINAL

Automne

2020

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Page 1/4 Sujet 1 (10 points) :

Considérons une structure 2D illustrée à la Fig.1. Le maillage est fait avec 4 éléments triangulaires (CST) et 1 élément quadrilatéral à 8 nœuds (Q8). On applique une pression linéaire sur le côté 1-2-3-4. Au nœud 1 la pression est 0 et au nœud 4 elle est p.

• Calculer les forces équivalentes nodales aux nœuds 1, 2, 3, 4.

• Vérifier que la somme des forces équivalentes est égale à la pression « continue ».

Faire les calculs sur le brouillon et reporter les solutions sur la feuille réponses (en word), en PJ.

L

Fig. 1 4

3 3

2

1 4

5

L L 2L

L 5 2

8 7

1

11 10 9 6

p

x y

MN51_FIN_A20 2 Page 2/4 On rappelle les fonctions de forme des éléments CST et Q8 dans le repère local (ξ, η), avec la numérotation locale des nœuds (en chiffres romains), voir COURS 5.2.

η

III

I

II ξ

1 1

ξ η

1 1 -1 -1

I II III

IV VI V

VII

VIII

Elément CST N1 = 1- ξ - η, N2 = ξ, N3 = η

0≤ ξ ≤1, 0≤ η ≤1

Elément Q8

N1 = - (1- ξ)( 1 - η)(1+ ξ + η), N2 = (1- ξ²)( 1 - η),

N3 = - (1+ξ)(1- η)(1 – ξ + η), N4 = (1+ ξ)(1- η²),

N5 = - (1+ ξ)(1+ η)(1 - ξ – η), N6 = (1- ξ²)( 1 + η),

N7 = - (1- ξ)(1+ η)(1 + ξ – η), N8 = (1- ξ)(1- η²)

-1≤ ξ ≤1, -1≤ η ≤1

MN51_FIN_A20 3 Page 3/4 Sujet 2 (10 points) :

Considérons une plaque à double symétrie illustrée à la Fig. 2. Les contours extérieur et intérieur (trou) sont sur un appui continu. Il n’y a pas de sollicitations appliquées.

Tenir compte de la double symétrie et considérer un quart de la plaque ABCDEFGH avec un maillage de 3 éléments carrés de plaque (voir Fig.2).

• Déterminer les conditions aux limites et les conditions de symétrie (voir feuille de réponses)

• Définir les ddl (voir feuille de réponses)

• Déterminer les matrices de rigidité élémentaires et les ddl correspondant (voir feuille de réponses)

• Assembler la matrice de rigidité globale (voir feuille de réponses).

Faire les calculs sur le brouillon et reporter les solutions sur la feuille réponses (en word), en PJ.

On rappelle la matrice de rigidité élémentaire de plaque à la page suivante.

A

B

C D E

G F H

1

2 3

Fig. 2

a a

a

a

a a

a a

appui continu

MN51_FIN_A20 4 page 4/4

0 0 1

0 0

15

0 0

0 0 0

0 0 0

e

SA SB SC SD SE SF

SG SH SA

SI SJ SB SC

SH SJ SM SD SE SF

K ab SN SO SP SQ SA

SR SS ST SU SB SC

SO SS SX SQ SU SY SD SE SF

SP SQ SN SO SG SH SA

ST SU SR SS SI SJ SB SC

SQ SU SY SO SS SX SH SJ SM SD SE SF

 

− 

 

− 

 

 

 

 

−

 

=  



 − − − − −

 − −

 − −

 − − − − − −

 









