DevoirBilandeNoël CorrectionDevoirSurveillén˚5

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Correction Correction DS n˚5 - Quatrième -

Correction Devoir Surveillé n˚5

Devoir Bilan de Noël

Durée 1,5 heure - Coeff. 6

Exercice 1. QCM, sur cette feuille (2 points)

1. A= (−1)×(−2)×(−3)× · · ·×(−100)

est de signe positif

2. Le produit d’un nombre non nul et de son

inverse est égal à 1

3. Si M N² = M P²+N P², alors le tri-

angle MNP est rectangle en P

4. Dans le triangle DEF ci-dessus ... DE≈3,46cm

Exercice 2. Vrai ou Faux (4 points)

1. VRAI: Le tiers du quart de 12 est égal à 1.

1 3×1

4 ×12 =12 12 = 1

2. VRAI:

• Si je donne le tiers des 33 000 euros que j’ai gagné au loto à ma soeur, je lui donne : 1

3×33 000euros= 11 000euros Il me reste alors 33 000 - 11 000 =22 000 euros

• Si je donne la moitié de ce qui reste à mes parents soit 22 000/2 =11 000 euros

• Il me reste alors11 000 eurossoit un tiers des 33 000 euros de départ.

3. VRAI ou FAUX: L’inverse du carré d’un nombre relatif est toujours positif.

• FAUX: On peut considérer qu’il y a un problème dans l’affirmation car zéro n’a pas d’inverse et on doit donc parler le l’inverse d’un relatifnon nul.

• VRAI: En notantxun relatif non nul, alorsx²est toujours strictement positif et son inverse noté 1 x² aussi.

Les deux réponses, bien justifiées, étaient acceptées.

4. FAUX: L’expressionA= 1 5−1

5×2

3 est égale à0.

A=1 5 −1

5×2 3 = 3

15− 2 15 = 1

15

www.math93.com / M. Duffaud 1/4

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Exercice 3. Comme au Brevet 1/2 (5 points)

1. [1,5 point]On pose B=2

5 +1 4 = 13

20 ; C=2

5 −1 4 = 3

20 et D= B

C =13 20×20

3 = 13 3 . 2. [1,5 point]On considère le nombre

E= 7 15− 2

15×9

4 = 7×2 15×2− 9

30 = 5 30 = 1

6

3. [2 points]

F= 3 4 +5

4 : 4×2

3×2 −1×3 2×3

= 3 4 +5

4 : 5 6

= 3 4 +5

4 ×6 5

= 3 4 +6

4

F= 9 4

Exercice 4. Comme au brevet 2/2 (5 points)

On considère l’expression

g(x) = (x+ 1)(x+ 2)−(x+ 1)(2−3x)

1. [1,5 point] g

−2 3

=−8 9 .

2. [2 points]Développer et réduire g(x) = 4x²+ 4x.

3. [1,5 point]On retrouveg

−2 3

=−8

9 avec la forme développée.

[Bonus 2 points]La forme factorisée est g(x) = 4x(x+ 1) et les solutions de l’équationg(x) = 0sont 0 et −1 .

Exercice 5. Choisir la bonne expression (4,5 points)

On considère les expressions suivantes :

D(x) =x²−5x+ 5 ; E(x) = (x−2)(x−3)−1 ; F(x) = (x−1)(x−2)−2(x−1) + 1

1. [1,5 points] D(−2) = 19 =E(−2) =F(−2).

2. [1,5 points] E(x) =x²−5x+ 5 =F(x).

3. On remarque alors que ces trois expressions sont égales pour toutes les valeurs dex,D(x) =E(x) =F(x).

[1,5 points]En utilisant la forme de votre choix, calculer la valeur de cette expression pour : 3. a. Pourx= 3, on trouve E(3) =−1 ;

3. b. Pourx=−1

2, on trouve D

−1 2

= 31 4 .

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Exercice 6. CHEZ LE GLACIER : Un exercice du test Pisa 2012 (3,5 points)

Chaque carré de la grille représente 0,5 mètre sur 0,5 mètre. Le plus simple est de faire figurer des lettres sur la figure. La longueurℓcherchée est alors celle de la ligne brisée :

ℓ=AB+BC+CD

• D’une part :AB=CD= 1mètre doncℓ= 2 +BC;

• Dans le triangle BCE rectangle en E on a d’après le théorème de Pythagore : BC²=BE²+EC²= 2²+ 1,5²= 6,25 et comme BC est une longueur, BC est positif et de ce fait

BC=p

6,25 = 2,5m

• On a donc

ℓ= 2,5 + 2 = 4,5m Bonus [1 point]

Évaluer la surface de la zone de service, comptoir compris.

On obtient

A=

6×5−4×3 2

×0,25m² soit A= 6m²

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Exercice 7. Déjà vu (4 points)

b

A

b B

bC

b

D

135 40

15 140 On a :

• AC= 40m ;

• AB= 135m ;

• CD= 15m ;

• BD= 140m.

Le triangle BCD est-il rectangle ? [2 points] CalculonsC B.

• Données.

Le triangleABCest rectangle enA. L’hypoténuse est donc le côté[CB].

• Le théorème.

Donc d’après lethéorème de Pythagore:

CB²=CA²+AB² CB²= 40²+ 135² CB²= 19 825

• Conclusion: (pas utile en fait ici car seulBC²est nécessaire).

Et puisqueCBest une longueur, on a

BC=√

19 825m.

[2 points] Le triangle BCD est-il rectangle?

• Données.

Si le triangle BCD est rectangle, c’est en D car [BC] est le plus grand côté.

• Le test.

BC² = 19 825

BD²+DC² = 140²+ 15² = 19 825

• Conclusion.

On a donc égalité,BD²+DC²=BC².

De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en D.