PSI* — 2019/2020 Pour le 06/03/2020.
D.M. 7
Exercice : temps d’attente à un guichet
Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notésC1,C2,C3 arrivent en même temps. Les clients C1 et C2 se font servir tandis que le client C3 attend puis effectue son opération dès que l’un des deux guichets se libère.
On définit X1, X2, X3 les variables aléatoires égales à la durée de l’opération des clients C1, C2, C3
respectivement. Ces durées sont mesurées en minutes et arrondies à l’unité supérieure ou égale. On suppose que les variables aléatoires X1,X2,X3 suivent la loi géométrique de paramètrep,p∈]0; 1[et qu’elles sont indépendantes. On note q= 1−p.
On note A l’événement : “C3 termine en dernier son opération”.
Ainsi l’événement A est égal à l’événement : min (X1, X2) +X3>max (X1, X2) . On se propose de calculer la probabilité deA.
1) Rappeler la loi deX1 ainsi que son espérance E(X1) et sa variance V (X1).
On définit la variable aléatoire∆par ∆ =|X1−X2|.
2) Calculer la probabilité P (∆ = 0).
3) Soit nun entier naturel non nul.
a)Justifier : P (X1−X2 =n) =
+∞
k=1
P (X2 =k) P (X1=n+k) b)En déduire : P (∆ =n) = 2 pqn
1 +q.
4) a)Montrer que ∆admet une espérance E(∆) et la calculer.
b)Montrer : E (X1−X2)2 = 2V (X1). En déduire que∆admet une varianceV (∆)et la calculer.
5) Montrer que l’événement A est égal à l’événement(X3>∆).
6) a)En déduire : P (A) =
+∞
k=0
P (∆ =k) P (X3 > k).
b)ExprimerP (A) à l’aide dep etq.
Problème : le critère de Kelly
Dans certaines situations (paris sportifs, investissements financiers. . . ), on est amené à miser de l’argent de façon répétée sur des paris à espérance favorable. On se propose de mettre en place une stratégie afin d’optimiser les gains à long terme.
On adopte ici le cadre simplifié suivant : on considère une suite de variables aléatoires (Xn)n∈N∗
indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètrep.
Un joueur mise une partie Mn de son capital sur la réalisation de l’événement (Xn= 1), pour chaque n >1. La variable Mn est supposée indépendante des variables Xk, k∈N∗.
En cas de victoire, il double sa mise (son capital est donc augmenté de Mn), en cas de défaite il perd sa mise (son capital diminue de Mn).
Initialement, le joueur dispose du capitalC0 >0, puis on note Cnla variable aléatoire égale au capital détenu à l’issue du n-ième pari.
On a ainsi l’encadrement : 0≤Mn+1≤Cn pour tout entier n.
Le jeu est supposé favorable, on considérera dans tout le problème que : 1
2 < p <1.
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I. Quitte ou double
1) Déterminer deux réels aetb vérifiant : ∀n∈N Cn+1=Cn+ (aXn+1+b)Mn+1. 2) Établir : ∀n∈N∗ E(Cn) =C0+ (2p−1)
n k=1
E(Mk).
En déduire que pour maximiser E(Cn) il faut miser tout son capital à chaque pari.
3) Montrer que cette stratégie, dite du “quitte ou double”, conduit de façon quasi-certaine à la ruine du joueur et déterminer le nombre moyen de parties conduisant à la ruine (on parle de ruine s’il existe un entier naturel npour lequelCn= 0).
II. Stratégie à mises proportionnelles
La stratégie précédente étant risquée, le joueur décide d’engager dans chaque pari une fraction du capital dont il dispose : on a ainsi Mn+1 =αCn, avecα∈]0,1[ (indépendant den).
1) Établir : ∀n∈N Cn+1= (1 +α)Xn+1(1−α)1−Xn+1Cn. 2) On poseSn=
n k=1
Xk. Que représente la variable aléatoireSn? Déterminer la loi deSnet son espérance.
3) Établir : ∀n∈N∗ Cn= (1 +α)Sn(1−α)n−SnC0. 4) Montrer que : E 1
nln Cn C0
=pln (1 +α) + (1−p) ln (1−α).
Par la suite, on cherche à maximiser cette quantité, ce qui équivaut à maximiser l’espérance du taux moyen de croissance du capital.
III. Optimisation : le critère de Kelly
On pose, pour tout x∈[0,1[, f(x) =pln (1 +x) + (1−p) ln (1−x).
1) Étude de f
a)Étudier les variations de f sur]0,1[et montrer que f′ est décroissante.
Montrer que f admet un maximum sur ]0,1[, atteint en un unique réel αK que l’on exprimera en fonction de p.
b)Déterminer la limite de f en1 et interpréter le résultat.
c)Montrer que f s’annule deux fois exactement sur [0,1[: en 0 et en un réelαcvérifiant αK < αc. d)Donner l’allure de la courbe représentative de f sur [0,1[.
2) Conclusion: le choixα=αK est celui qui optimise la croissance de gain à long terme.
Que donnerait l’expression deαK dans les cas limitesp= 1/2etp= 1? Interpréter ces deux résultats.
IV. Étude de la valeur critique
αcLes choix deαau delà de la valeur critiqueαcconduisent à une perte de capital. On cherche dans cette partie un équivalent de αc lorsquep est proche de1/2.
On considèrera dans ce qui suit que αc est une fonction dep (on écrira ainsiαc(p)).
1) On définit la fonctionϕ sur]0,1[par ϕ(x) = ln (1 +x) ln (1−x).
a)Montrer que ϕest prolongeable par continuité sur l’intervalle [0,1].
On notera encore ϕce prolongement.
b)Justifier queϕ est dérivable sur]0,1[et mettre l’expression de sa dérivée sous la forme ϕ′(x) = h(x)
(1−x2) [ln (1−x)]2
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c)Déterminer les variations de hsur ]0,1[.
d)Montrer que ϕréalise une bijection de [0,1]sur un intervalle à préciser.
2) Montrer que ϕest dérivable en0 et que ϕ′(0) = 1.
3) a)Établir : ∀p∈]1/2,1[ αc(p) =ϕ−1(1−1/p).
b)En déduire que αc, est prolongeable par continuité en1/2, que ce prolongement est dérivable en1/2 et que :
α′c(1/2) = 4 c)Établir l’équivalence, au voisinage de 1/2 :
αc∼2αK
Conclusion : pour des valeurs de pproches de 1/2 (c’est-à-dire des paris “légèrement” favorables, un cas très fréquent), il faut prendreα <2αK.
Par sécurité (p n’est en pratique connu qu’approximativement), les parieurs choisissent souvent α=αK/2, la moitié de la valeur de Kelly.
V. Simulation informatique
La fonction kelly1qui suit, écrite en langage Python, permet d’illustrer ce qui précède :
•le capital initial est fixé à 100 ;
•la fonction reçoit pour paramètres la valeur de p, la valeur deα à utiliser et le capital cible que l’on souhaite atteindre ;
•la fonction renvoie le nombre de parties jouées pour atteindre l’objectif et le capital réellement atteint.
1 from random import random
2 def kelly1(p, alpha, cible):
3 cap = 100
4 n = 0
5 while **************** :
6 u = random()
7 if u < p :
8 ****************
9 else :
10 ****************
11 ****************
12 return n, cap
On rappelle que random() renvoie un flottant “aléatoire” de l’intervalle [0,1[.
1) Compléter les quatre lignes 5, 8,10 et11.
2) Afin de vérifier que la stratégie de Kelly est optimale, on modifie la fonctionkelly1de la façon suivante :
∗ les paramètres restent les mêmes ;
∗ la nouvelle fonction calcule la valeur de KellyαK ;
∗ en sortie, la nouvelle fonction renvoie, en plus du nombre de parties jouées pour atteindre l’objectif demandé, le capital que l’on aurait obtenu si l’on avait choisi la valeur αK à la place de αpendant ces mêmes parties.
Écrire la fonctionkelly2qui réalise ces modifications, uniquement en insérant de nouvelles instructions dans la fonctionkelly1.
