Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 03
Billard Elliptique
Exercice 1.
a) Exprimez les coefficients a, b, c du polynômeP(X) = aX2+bX+c à l’aide des dérivées successives deP évaluées en0
b)Ecrire une procédureracinequi prend en argument une expression polynômiale réellePet une variable X et qui renvoie une liste de deux complexes[r1, r2]avecr14r2où4est l’ordre lexicographique défini par :
a+ib4A+iB ⇐⇒a < A ou (a=A et b≤B) avec(a, b, A, B)∈R4
Exercice 2.
SoitF(x, y) = 0l’équation cartésienne d’une conique, oùF est polynômiale de degré 2 en(x, y).
a)SoitM0(x0, y0)un point de la conique etΓsa tangente enM0. Exprimez les coordonnées d’un vecteur normal àΓà l’aide des dérivées partielles deF évaluées en(x0, y0)
b) Ecrire une procédurevec_normalqui prend en argument la fonction fléchéeF et la liste[x0, y0]des coordonnées deM0 et qui renvoie la liste[α, β]des coordonnées d’un vecteur−→n unitaire et orthogonal à Γ
Exercice 3. SoitM un point à l’intérieur de l’ellipse d’équationF(x, y) = 0et −→
d un vecteur unitaire.
a)Montrer que la demi-droite issue deM dans la direction−→
d coupe l’ellipse en un seul pointP dont on caractérisera les coordonnées.
b) Soit∆une droite dirigée par un vecteur unitaire−→n, on noteS−→n la symétrie orthogonale par rapport à∆. Montrer que
−
→v =S−→n(−→u)⇐⇒ −→v = 2(−→u · −→n)−→n − −→u
Exercice 4. SoitM une boule dans un billard elliptique lancée dans la direction−→
d. Celle-ci rencontre la bande du billard en un pointP et rebondit suite à un choc élastique qui la renvoie dans une direction
−
→δ caractérisée par
−
→δ =−S−→n(−→
d) où −→n dirige la normale en P
a) Ecrire une procédure impact_ellipse prenant en argument la liste des coordonnées deM et −→ d et renvoyant une liste [P,−→
δ] où P et −→
δ sont les listes des coordonnées du point d’impact P et de la direction−→
δ après rebond
Exercice 5.
a) Tracez les trajectoires d’une boule dans un billard d’équation x2
25+y2 9 = 1
pour une boule lancée de l’origine dans la direction polaireθ=π/4sur 5 rebonds
b) même question pour une boule lancée depuis le sommetA(−5,0)en direction du sommetB(0,9)sur 100 rebonds (on se contentera d’un calcul numérique des trajectoires à l’aide de la fonctionevalf) c)même question pour un billard circulaire lancé, respectivement d’un point du cercle, du centre ou d’un point intermédiaire avec pour directions initialesθ∈ {π/2, π/3, π/4, π/6, π/12,1}
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