Sur les <span class="mathjax-formula">$G$</span>-structures de type quaternionien

C AHIERS DE

TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CATÉGORIQUES

E DMOND B ONAN

Sur les G-structures de type quaternionien

Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome 9, n

^o

4 (1967), p. 389-463

<http://www.numdam.org/item?id=CTGDC_1967__9_4_389_0>

© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1967, tous droits réservés.

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SUR LES G-STRUCTURES DE TYPE QUATERNIONIEN

par Edmond BONAN

D’après

^Marcel

Berger

le groupe d’holonomie

d’une variété

^rieman-

nienne orientable

Vm

^non localement

symétrique,

^non localement réduc-

tible,

^fait

partie

^{de la liste suivante :}

Par l’introduction d’un

système

^de

biconjugaisons o-’ , or" ,

^o-’"

sur le corps de

quaternions,

nous avons rendu

possible

^{une étude des struc-}

tures presque

quaternioniennes,

^{sur une variété}

différentiable,

^{dans le}

cadre d’une scission

globale

^de

l’hypercomplexifié

^{du fibré} tangent ^en quatre ^sous- espaces deux à deux

biconjugués.

^{Cette méthode} permet de conduire les recherches d’une manière tout à fait

analogue

à celle clas-

sique

^des structures presque

complexes :

^{on retrouve} l’existence

équiva-

lente de trois

champs d’opérateurs globaux g, g ^{et K}

^tels

qu’ils

^{ont été}

définis

premièrement

par C.

Ehresmann, puis

^étudiés par P.

Libermann,

M. Obata et H. Ylakakuwa.

Nous

dégageons

quatre

projecteurs globaux

^{sur les tenseurs notés}

S, S’, S., Sm qui

^{se révèlent}

indispensables

pour

expliciter

^{le tenseur}

de la

G L ( n , H ) - structure.

^Nous

développons

la notion de connexion presque

quatem ionienne

^dans ce nouveau

cadre;

il existe alors une con-

nexion

canonique

^{dont le tenseur de} torsion s’identifie avec le tenseur de

structure T mis en évidence _{pour la}

première

^{fois :}

où

[g, g]

par

exemple

^{est le tenseur de structure de la structure} presque

complexe

^définie

par 9.

On peut

toujours

construire une

métrique

^{sur une variété} presque

quaternionienne

conduisant à une structure presque hermitienne _quater- nionienne subordonnée ^ou

Sp ( n ) -

structure. Nous définissons deux con-

nexions presque hermitiennes

quaternioniennes canoniques :

- La

première,

^induite par la connexion

riemannienne,

^{est essen-}

tielle dans l’étude des transformations affines : Etant donnée une variété presque hermitienne compacte

V4n,

^le

^{plus grand}

^{groupe connexe de trans-}

formations de

V l1-n’

^{affines pour la}

^première

^connexion

^canonique

^et

^qui

préservent

^{la structure} presque

quaternionienne,

^{coïncide avec le}

plus grand

groupe ^connexe

d’automorphismes

^{de la structure presque} hermitienne

quaternionienne

^de

V ijn .

- La deuxième connexion est induite par la connexion presque

quaternionienne canonique :

^{sa torsion} s’identifie ^au tenseur de la struc- ture presque hermitienne

quaternionienne.

La réductibilité des variétés riemanniennes à groupe d’holonomie

Sp ( n )

^{ne fait} intervenir que des variétés de même type ^{ou localement} unitaires.

Mais cette notion de structure presque

quaternionienne

^{est insuf-}

fisante : par

exemple l’espace projectif quaternionien

n’en admet _pas.

Soit

H ( V 4n )

^un fibré de base V

4n de fibre type

l’algèbre

H des quater-

nions,

^de groupe structural le groupe

SO ( 3 )

^des

automorphi smes d’ algèbre.

Soit

T( V4n )

le fibré tangent. Une ^structure presque

quaternale

^{est la}

donnée d’un

champ global

associant à tout x de

V4n

^une

représentation

effective de

Hx

^dans

Tx .

^Les conditions suivantes sont alors

équiva-

lentes :

1)

V

4n est presque

quaternale.

2 ) V 4n

^est recouverte par ^une famille d’ouverts U ,

V , ... Chaque

ouvert est presque

quaternionien (gu, ju).

Dans U ri V les

algèbres engendrées

par

(gU, JU)

^{ou par}

(JV, 9V)

coïncident.

3) Il

^{existe un}

champ global

associant à tout x un sous- espace

Hx- vectoriel Sx

^de

Tx x Hx

^de

Tx x Hx

⁼

Sxx Sx’ x S"x x Sx pour ^n’importe

quel système

^de

biconjugaisons cr’, o-x" ,

^{o-x de Hx .}

4)

^{Le fibré}

principal

^des

repères

^{tangents admet un} sous- fibré

principal

de groupe structural G L

( n , H ) x H Sp ( 1 ) .

Une variété _presque

quaternionienne apparaît

^ainsi comme un cas

particulier :

^celui où le fibré

H ( V4n )

^{est trivial.}

L’un des

projecteurs Su

^{associé aux} structures presque quater- nioniennes locales est en fait

global.

^Il caractérise la structure : Une condition nécessaire et suffisante _pour

qu’une

connexion soit presque

quaternale

^est

que S

^{soit à} dérivée covariante nulle.

On peut construire ^une

métrique

^{sur une variété} presque

quaternale

conduisant à une

Sp ( n ) x H Sp ( 1 ) - structure

^{ou structure} presque hermi- tiale. Le

projecteur global S

^fournit par

complète antisymétrisation

^une

n

4 - forme

M de rang maximum :

A M =1= 0.

^Cette 4 - forme est à dérivée covariante nulle dans toute connexion presque hermitiale.

L’espace projec-

tif

quaternionien

^{muni de sa}

métrique

^{naturelle est un}

exemple

^{de variété}

riemannienne _{à groupe} d’holonomie

Sp ( n ) xH Sp ( 1 ) .

La réductibilité de ^cette dernière n’introduit en dehors de variétés de même type que des variétés localement unitaires.

Des résultats très

partiels

^{sur les} structures presque

quaternales

avaient

déjà

^{été obtenus} par E. Martinelli et ensuite

indépendemment de,

et simultanément _avec, l’auteur _{par Y.} Kraines.

Nous étudions enfin deux variétés riemanniennes

exceptionnelles.

La

première V 7,

^{à groupe} d’holonomie

G2 ,

^{admet une}

^{3 - forme globale}

^à

dérivée covariante nulle. La seconde

V 8’

^{à groupe} d’holonomie

Spin ( 7 ) ,

admet une 4 - forme

globale

à dérivée covariante nulle. Ces deux variétés

sont à courbure de Ricci nulle.

Certains des résultats de ce travail ont été annoncés dans sept

notes aux

Comptes

^{Rendus de} l’Académie des Sciences.

Je

^{suis heureux}

d’ exprimer

^ma

profonde

reconnaissance à M. André

Lichnerowicz,

^dont

je

^{suis fier d’être}

l’élève, qui

^{n’a cessé de me}

prodi-

guer ^ses conseils et encouragements ^avec la

plus grande

bienveillance .

Je

^{tiens aussi à} remercier Monsieur C. Ehresmann ^et Monsieur C. Pisot pour l’honneur

qu’ils

m’ont fait en ayant

accepté

de constituer le

Jury

^{de cette thèse}

(Paris 1967).

TABLE DES MATIERES

P ages

1. Préliminaires

algebriques...

⁴

2. Structures presque

quaternioniennes

5

3.

Espaces

fibrés attachés cr une structure presque

quaternio-

n ienne 10

4. Structures

quaternioniennes 13

5. Structures _presque hermitiennes

quaternioniennes ... 15

6. Structure _presque

symplectique... ¹⁶ 7. Espaces

fibrés attachés à ^une structure presque hermitienne

quatern ion i enn e... 19

8. Connexions linéaires à valeurs

quaternioniennes

²²

9. Connexions _presque quaternioniennes...

23

10. Relation avec une connexion lineaire reelle... 24 11. Connexions _presque hermitiennes qucternioniennes...

26

12. Les deux connexions

canoniques

d’une variété _presque her-

mitienne

quaternionienne...

²⁷ 13. Tenseur de structure d’une variété presque qua ter ni 0 nie n ne. -. 29 14. Tenseur de structure d’une variété presque hermitienne qua-

ternionienne...

33

15. Transformation affine d’une variété _presque hermitienne _qua-

ternionienne munie de sa

première

^connexion

canonique...

³⁵ 16.

Propriétés

^{relatives aux} groupes d’holonomie 38 17. Réductibilité des variétés kbhlériennes

pseudo-quaternionien-

nes ... 41 18.

Equivalence

^{de deux} structures

quaternioniennes ...

⁴⁴

19. Structure _presque

quaternole

^{sur une variété 46}

20.

Espaces

fibrés attachés à une structure presque

quaternale...

⁴⁸

21. Invariants associés à une structure presque

quaternale... 49

22. Structure _presque hermitiale 51

23. Connexions _presque

quaternales ...

53

24. Connexions presque hermitiales

56

25 Réductibilité ^des variétés

pseudo-

k Õ h 1 é ria 1 es... , 58

26. Etude

particulière

^de

l’espace projectif

quaternionien... 59 27. Constructions

d’exemples...

⁶⁴

28.

G 2 et ^Spin

^{( 7} )- variétés... 67

Bibliographie

72

1. Préliminaires algébriques.

Nous

désignerons par H

^le corps des

quaternions

^{muni de trois}

involutions

d’algèbre

^{non triviales notées}

0-’, o-" ,

^{o-’" telles} que

Nous dirons que

q’ = o-’ q (resp. q", q-)

^{est un}

quaternion biconjugué de q

Puisque H

^{est une}

algèbre

^centrale

simple,

^ces involutions sont

des

automorphismes

intérieurs : on peut ^{donc trouver trois}

quaternions

i , j , k

de norme 1 avec

De

o-’ 2

⁼

id,

^on tire

i 2 - _{± 1 ,}

mais o-’ n’étant _pas triviale

i 2

= .- 1 . De

même j 2 = -1 . D’après ( 1 , 1 )

^{on a} certainement

Il existe alors au moins une base

( 1 , i, j, k)

de H satisfaisant aux

relations suivantes :

D’une manière évidente nous avons la

PR O P OSITION 1. Tout calcul

algébrique

^{reste encore valable}

lorsqu’on remplace chaque quaternion qui

^y

figure par

^son

biconjugué relativement

à l’une des

involutions

o-’ , o"- , o-’"’ .

Tm ^désignant

maintenant un espace vectoriel réel de dimension m , nous poserons

C’est un espace vectoriel à droite ^sur les

quaternions,

muni de trois semi- involutions :

Nous dirons que

TH

^est

l’hypercomplexifié,

^à

^droite,

^de

Tm

^et

^qu’une

semi- involution étendue à

l’algèbre tensorielle, sur R ,

^de

THm

^transforme

un élément t en un

hypercomplexe biconjugué

^{noté t’, t" ou} t"’. Si q - q ^est la

conjugaison habituelle,

anti- involution de H et

T m

^{le dual}

de

Tm’

^nous

désignerons

par

le

dual, l’opposé

^et

l’opposé

^{du dual de}

Tm .

^{Un élément} invariant par

une semi- involution sera dit

complexe;

^{on donnera le nom de réel à un}

élément invariant par ^toutes les semi- involutions.

Nous introduirons les notations suivante

( P. C ) exprime qu’une proposition

^{reste vraie}

lorsqu’on

^substitue

à ses éléments d’autres éléments subordonnés à une ou

plusieurs

permuta- tions circulaires simultanées.

( F. H. B ) indique

que l’on doit

adjoindre

^au groupe de formules

déjà

^écrites leurs formules

hypercomplexes biconjuguées.

2. Structures

presque

quaternioniennes.

1°)

^Soit

Tx ^l’espace

^{tangent en un}

^point

^x d’une variété diffé- rentiable

V

^{de classe}

^COO

^et de dimension 4 n .

DEFINITION 1. Une structure

presque quaternionienne

^est

définie

^sur

V 4n

^{par la} donnée d’un

champ

^{de classe}

COO

de

sous- espaces

^vectoriels

Sx

de

TH

tel que

TH

soit somme directe de

SH

^{et de ses trois bicon-}

jugu és :

P R O P OS I T IO N 2 . Une structure

presque quaternionienne

^{sur V} _4n

définit

deux

champs globaux g et j d’opérateurs

^linéaires

qui appliquent chaque

T sur lui- même avec x

En

effet,

tout vecteur a de

TH x

^{peut être mis} d’une manière

unique

sous la forme

où les

vecteurs X , 03BC,c , v ,

p

appartiennent à Sx .

^{On a}

et par suite les ^vecteurs réels a de Tx sont les vecteurs de

T H

admet-

tant la

décomposition

Nous définissons ainsi un R -

isomorphisme h de S H

sur Tx . A tout vec- teur réel ^{a =}

h (l )

^les

vecteurs - À i, - À j, - À k font correspondre

par

( 2. 1 )

^{les vecteurs réels}

et l’on vérifie que

2° ) Inversement,

^{soit sur une variété}

V m

^deux

opérateurs

^vérifiant

les

hypothèses

^{de la}

proposition

^{2 :} considérons les extensions semi- linéaires des

opérateurs g, g ^{et X =} gj

^à

TH

^{définies par}

Ces

opérateurs

^de

Tx

^satisfont encore aux relations

Appelons

^vecteur

tri propre

pour

(0, f3, y)

^{un vecteur}

À E Tt

^{tel que}

PROP OSITION 3.

A) g (resp. g, K)

^admet

pour

seules valeurs

propres

^{+- i}

(resp.

± j,

^±

^{k ).}

B )

L’ensemble des vecteurs

tripropres ^pour (-:i , - j , ^-Je)

^{est un}

sous-

espace

^vectoriel

S x

^de

T x .

C )

Le sous-

espace T Sx

^est

^{tripropre pour} ( - i , -j , -k ) .

D )

Les

champs d"opérateurs 1 et j

^tels

que 12 = g 2

^{= - id et}

gg+ gg

^{= 0 ne}

peuvent

exister que ^{sur une} variété de dimension 4 n .

E) SH ^définit

^{une structure presque}

quaternionienne

^de

v4n

DEMONSTRATION.

a)

^{Soit v un vecteur} propre de

g

^dans

H

a)

^{Soit v un vecteur} propre

de

dans

THx

En faisant

opérer i

^{sur les deux membres et}

puisque v #

^{0 ,nous voyons}

que le

quaternion

^a satisfait à aa’ = - 1 , ^soit

(ai)2

= 7. Par suite

a, ⁼ ± i et la

propriété A

^s’obtient par

( P. C ) .

Supposons

^en

particulier que g v

^{= vi et}

soit q

^un

quaternion arbitraire;

il vient successivement

Il ^en résulte que les ^vecteurs propres de

l’opérateur 9

pour l’une des valeurs ± i forment un sous- espace vectoriel ^de

Tx .

b)

^{Soit a un vecteur}

réel : 9

induit

l’opérateur ^{réel 9}

^sur

T x

^et

par

suite,

^{si nous} considérons le ^vecteur

À.

de

TH

^{défini par}

il vient en faisant

opérer 1

^{sur cette}

égalité

v

Le

vecteur x

est donc un vecteur propre

de Î (resp. g, K)

^{avec la valeur}

propre - ⁱ

(resp. -. j , - ^{k ),}

^{d’ où la}

propriété

^{B .}

c ) Soit Sx _l’espace

vectoriel des vecteurs

tripropres

pour

(-i, -j , ^{-k ).}

Par

biconjugaison T = T’ , T" ,

T’" il vient alors la

propriété

^{C .}

d)

La relation

(2. 2)

^s’inverse par addition avec ses trois

(F.

^H.

B) :

nous obtenons

T’x est donc R -

isomorphe à S H

^et par suite m ⁼ 4 n .

e)

^{Montrons enfin} que

Pour

cela,

il suffit de montrer que l’intersection

de SH avec

la somme de

ses trois

biconjugués

^{se ,réduit au vecteur} nul. Soit donc À un vecteur de

Sx

^et supposons de

plus

que

g"

commutant avec les semi- involutions

17 ,

À

s e réduit à

X =

T’ 11 , ^mais

et

À.

est par suite le ^vecteur nul.

3° ) L’espace

vectoriel réel

Tx

^{muni des}

opérateurs g et j

peut être identifié

à Sx au

^{moyen de}

l’application b

^définie par

( 2. 1 ).

Soit

U H

^un sous- espace de

SH

de dimension

hypercomplexe p .

Il lui

correspond par h

^{un sous-} espace de

Tx

^{de dimension 4 p invariant}

par g et g

^et inversement.

Ainsi les sous- espaces de

T x

invariants

par g et j

^{sont donc}

identifiés aux sous- espaces

de SH

L’espace (SH) *,

^{H - dual de}

SHx , ^définit

^{aussi sur}

^l’espace

^dual

T* de Tx

^{une structure}

quaternionienne.

Pour tout vecteur

X de SH

nous devons avoir les relations

x

Le

produit

^tensoriel

peut être

décomposé

^{en la somme} directe des 16 _espaces

pour

En

particulier

^{un tenseur réel d’ordre 2 se}

décompose

^{en 4 familles}

de 4 tenseurs : dans

chaque

^{famille les tenseurs sont} deux à deux bicon-

jugués

^et par suite

chaque

^{famille définit un tenseur}

réel, qui

^sera dit pur du genre

0 , 1 ,

2 , 3 selon _{que le}

produit ^{T T’}

^vaut

id , T’’ , T" ,

^{T"’ .}

Ainsi :

P RO P OSITI ON 4. Tout tenseur réel d’ordre deux ^se

décompose

^d’une

manière

unique

^{en la somme de}

quatre

^tenseurs

purs.

A cette

décomposition correspondent

^les

projecteurs,

^notés

S, §’ , S", IJ"’ .

On peut

exprimer

^ces

projecteurs

à l’aide des

opérateurs g, g

^et

K.

Un tenseur t d’ordre 2 pur ^et de

type jl

satisfait nécessairement aux

deux

égalités

où

(u, v)

^{est un}

couple

d’entiers valant

(0, 0), (0, 1 ), ( 1 , 0), ( 1 , 1 )

suivant que le genre ^est

0,

1 ,

2 ,

^{3 . On en} déduit pour ^{un tenseur}

quel-

conque d’ordre 2 la

décomposition

suivant les tenseurs purs

ô t :

P RO P OSITION 5 . Un tenseur ne peut ^être

pur

relativement à des

paires

d’indices non

disjointes

^{sans s’annuler.}

Il suffit de le prouver pour ^un élément de

T* 0 T e Tx.Lesautres

cas

s’ y apparentent.

Supposons

donc que, pour ^tout

couple

^{de vecteurs}

( X , Y ) ,

^nous ayons :

Il vient successivement

et,par

permutation circulaire,

et

Mais aussi

et par suite t ^se réduit à

l’opérateur

^nul.

En

particulier

^si nous avons

( 2. 5 ), t

^ne peut être

symétrique

^ou

antisymétrique

^{en X et Y sans} être nul. Ce résultat sera fondamental dans l’existence d’une connexion

canonique.

Remarquons

^enfin

que

^sont purs de genre

respectivement 1, 2,

^3.

3. Espaces fibrés attachés

à une structure presque

quaternionienne.

Nous ferons dans la suite les conventions suivantes : tout indice grec

prend

^{les valeurs}

1 , 2, ... ,

^{n et tout} indice latin les valeurs 1 ,

2, ..., n, 1’ , 2 ,..., n , 1 , 2 ,... ,

^{n .}

Nous introduirons les

opérateurs ’ , " , "’ ,

sur les indices avec

La structure

précédente

peut ^encore être définie _par un recouvre- ment de

V ijn

^{par des ouverts}

^{U ,}

^{V , ... sur chacun}

^desquels

^{on se donne}

n formes à valeurs

quaternioniennes

telles _que les 4n formes soient linéaire-

ment

indépendantes

^dans

l’hypercomplexe

^et

vérifient pour

^{tout x E U (1 V :}

L

où

GL ( n, H ) désigne

le groupe linéaire

quaternionien.

Le

champ

^{de sous-}

espaces Sx

^{est alors défini par :}

Si

{

⁸

1

^{est une} base

de S H ,

^{duale de}

{ 8a},

^le

système

^{de vec-}

teurs

est une base de

T’x ^qui

^{sera dite}

^adaptée

^{à la structure}

quaternionienne

de

Tx

Les

changements

^{de bases}

adaptées s’effectuent

^selon les relations

a

où les coefficients

A B*

^sont

^définis

^par

Les extensions linéaires des

opérateurs 9, j ^{et K} admettent, d’après

^{l’étude des vecteurs} propres de leurs extensions

semi-linéaires,

les composantes suivantes ^{des tenseurs} les

représentant

les autres composantes ^{étant toutes} nulles.

Pour des bases

adaptées,

tout vecteur

réel,

élément de

T x ,

^admet

des composantes

vi

^telles que

Plus

généralement,

^les composantes ^{d’un tenseur} réel

qui

^{se déduisent}

l’une de l’autre en tildaifiant tous les indices sont

hypercomplexes

^bicon-

juguées

par

cr .

Etant donnée une base

adaptée ⁽ Ea, Ea , Ea" , Ea"’ )

^de

Tfl ,

considérons les 4 n vecteurs réels

( ea, ea, , ea", em)

^{définis par}

On ^en déduit inversement :

Les ^vecteurs

( ea )

a définissent ainsi ^{une base de}

T’x

^{donc de}

^{Tx .}

^Inver-

sement de toute base du type

on déduit _{par les} formules

précédentes

^{une base}

^adaptée

^de

THx.

Si ^nous posons

où L, M, N P sont des matrices n X n, les bases

(ei )

^et

( e j .* )

^de

^{T x}

définies à l’aide des bases

(8 )

^et

(EB2*)

^de

SHx

^{se déduisent l’une de}

l’ autre au moyen des formules

Désignons

par

a

A v

^{est la}

représentation

réelle de

A ;

son déterminant est strictement

positif.

Dans une base

adaptée

^{réelle les tenseurs}

représentant

^les

opéra-

teurs g, g , R

^{sont :}

La

représentation

^réelle du groupe linéaire à n variables

quaternioniennes

G L ( n , H )

peut être caractérisée ^comme le sous- groupe de

G L ( 4 n , R )

commutant avec 1,

J ,

^{K . Soient}

respectivement Ea( V 4n) Eg( V4n) Eh ( V _ijn)

les ensembles formés par ^tous les

repères

^réels

( e a ) , ^repères

hypercomplexes ( sa)

^et

sous-repères hypercomplexes ( ea) ^adaptés

^{à la}

structure presque

quaternionienne

^et ayant leurs

origines

^{en tous}

points

^de

V l1-n.

^{Ils admettent}

^chacun,

^{pour la}

projection naturelle,

^{une structure}

d’espace

^fibré

principal

^{de classe}

^Coo

ayant pour base

V l1-n

^{et pour grou-}

pes structuraux les groupes

Ga , G 9 ^Gh

^tous

isomorphes

^à

G L ( n , H ) ,

a b

formés _{par les} ^p matrices des types ^yp

respectifs A aUV,

^{p v}

AgUV ,

^v

Au

^v

La

représentation

^{réelle des} matrices A de

G L ( n , H )

^{étant à} déterminant

positif

^est donc dans la composante ^de l’identité de

GL (4n , R) :

il en résulte _que ^toute variété _presque

quaternionienne

^{est orientée.}

4. Structures quaternioniennes.

f

^{étant une} fonction à valeurs

quaternioniennes,

différentiable des variables réelles x, y, z, t,on po.se

Les conditions

d’holomorphie

^{à droite} peuvent s’écrire

où nous avons

posé

Nous n’obtenons comme il est bien ^connu _que les fonctions affines à droite.

Si

V 4n

^{est une variété} réelle de dimension 4 n admettant ^une

structure «

analytique quaternionienne » ,

^{nous voyons avec C. Ehresmann}

que V _4n ^est localement

affine.

^{Il est} clair que :

PROPOSITION 6. Une structure

quaternionienne

^{sur une variété induit sur}

elle une structure

presque quaternionienne.

PROPOSITION 7. Si deux structures

quaternioniennes,

subordonnées à la même structure

différentiable, définissent

^{sur la variété}

V 4n

^{les mêmes}

opérateurs 9

^et

g,

elles coincident.

En

effet,

^{soit x un}

point

^de

V , ^(qa.)

^et

(q À*)

^deux

systèmes

de coordonnées locales

quaternioniennes

^{dont les} domaines contiennent x

et

qui correspondent respectivement

^{aux deux} structures

quaternioniennes

.

envisagées.

^Les

( q X* )

^{sont, à}

priori,

^{R -} différentiables des

(xi)

^et par suite des

( qi )

^avec

On en déduit :

Mais à la structure

quaternionienne g, g correspond

^{un sous-} espace

Sx

bien déterminé et par suite

La condition

bl*a’,

^{= 0}

^signifie

^ici

On en déduit que les

(q À*)

^sont des fonctions

analytiques quaternioniennes

des

q’),

^{et les deux} structures

quaternioniennes

coïncident.

II

5.

Structures

presque

hermitiennes quaternioniennes.

Une structure presque

quaternionienne

étant donnée ^sur

V4n ,

^posons:

DEFINITION 2. Une structure

presque

hermitienne

quaternionienne

^est

définie par

^{une structure} riemannienne dont le tenseur

métrique

g ^est

pur

de genre 0.

Cette condition

s’exprime

par les relations

où X, ^Y sont deux

champs

^{de vecteurs.}

Etant donnée sur

V ijn

^{une structure} riemannienne arbitraire de

tens eur

métrique ^{h ,}

^{on en déduit une structure} presque hermitienne _quater- nionienne subordonnée

à 4, g

^en prenant ^sa composante pure de genre ⁰

qui

^{est encore définie}

positive :

Une structure presque hermitienne

quaternionienne

^détermine

canonique-

ment trois

formes quadratiques

extérieures

F,

G, ^H partout de rang maxi-

mum 4 n . Elles sont définies _par

d’où l’on tire inversement

En tenant compte ^de

Sg

= g ^on déduit les relations

Nous traduirons

(5. 3 )

^{en disant} que les deux formes F et G ^sont

orthoéchangeabl e s

^{avec la}

^métrique

^{g .}

Réciproquement,

^{soient F et G deux formes}

quadratiques

^exté-

rieures

orthoéchangeables

^{avec une}

métrique riemannienne g

^{d’une variété}

Vm .

^A

^partir

^{des formules}

^{( 5. 2 )}

^et

^{( 5. 3 )}

^{on montre}

que g et J

^définis-

sent une structure presque

quaternionienne

^de

Vm .

Ainsi une structure

presque

hermitienne

quaternionienne peut

^être

définie

^sur

V 4n ^par

^deux

formes quadratiques

extérieures F ^et G ortho-

échangeables

^{avec une}

métrique

riemannienne.

6. Structure

_presque

symplectique complexe.

Soit

V 2 m

^{une variété à structure presque}

complexe K.

DEFINITION 3 (C. Ehresmann).

V 2 m

^{sera dite}

^presque symplectique complexe

^{s’il existe une}

forme quadratique

extérieure 03BC ^de

type ( 2. 0 ) partout

de rang ^{m .}

Il résulte d’une étude faite dans

[19]

p. 84 _que m est lui- même

pair.

^En posant

nous définissons deux formes

quadratiques

extérieures de rang maximum 2 m . Celles-ci définissent

canoniquement

^deux

champs d’applications

linéaires 9 ^{et 5}

inversibles de

T x

^{sur son dual et le}

champ § ?

^d’auto-

morphismes

^de

Tx

^{n’est autre que la structure presque}

^complexe

^de

^départ

K.

PROPOSITION 8. On

peut toujours

construire à

partir

^d’une

métrique

arbitraire une autre

métrique

riemannienne

orthoéchangeable

^{avec F et G}

et

par

^{suite une structure}

presque

hermitienne

quaternionienne

^{les admet-}

tant comme

formes quadratiques fondamentales.

A

partir

^d’une

métrique arbitraire,

^on peut ^{tout d’abord} construire la nouvelle

métrique

telle

que K

^soit

échangeable avec Ip -

ce

qui

peut

également

^s’écrire

Dans ce

qui ^suit,

^{la seule}

métrique

^{utilisée est la}

métrique y ;

^{c’est celle}

qui

intervient pour définir la dualité _que nous faisons

jouer.

gF= K s’exprime

par

Posons

( 6 . 2 )

s’écrit

également

et par suite

Introduisons maintenant les deux

opérateurs

^{sur les vecteurs définis par}

(6. ⁴⁾ implique

immédiatement

Ces

opérateurs

^sont

réguliers

^{et nous avons}

Par

exemple,

^{la dernière}

égalité

s’ établit comme suit :

Construisons le tenseur

symétrique

La forme

quadratique

définie par les

kij

^{est définie}

positive :

^considé-

rons les valeurs propres ^{et vecteurs} propres de

( k ij )

relativement à

(hii) -

Si u est un vecteur propre

correspondant

^{à la valeur} propre

p 2 ( p &#x3E; ^{0 )}

^t

on a :

Par

multiplication

contractée par

pt _(resp. G hj ) ,

^{il vient}

soit

Ainsi î u

^et

mu

sont vecteurs propres associés à la même valeur _propre

p 2 .

^De

plus ( 6. 5)

^et

( 6. 8 ) expriment

que

si Sx

^est le sous- espace de

Tx

^{des vecteurs} propres associés ^{à la} valeur _propre

p 2,

^alors

^{1. î}

^et

2. m

_P le laissent invariant et définissent sur lui une structure

quaternio-

nienne.

Ceci

posé,

^soient

p â ( a = 1 , 2 , ... , q )

les différentes valeurs propres

étudiées, Sax ^l’espace

^{des vecteurs propres associés à}

p2a .

L’ espace T x

^{admet la}

décomposition

^{en somme directe}

où les

Sx

^sont deux à deux

orthogonaux

^et invariants par les

opérateurs .£

et

m.

Pour une base de Tx , soit

( et),

^{déduite de bases}

( ei )

^des

Sx

i

a

^x

on a donc

et

d’ après ⁽

^6.

⁷⁾ appliquée

^{à un vecteur de}

^{Sa .}

Il en résulte

d’ après ( 6. 4 ) , ( 6. 6 ) , ( 6. 9 )

que la

métrique _g..

^définie

par

est

orthoéchangeable

^avec les deux formes

envisagées.

Si

F’i

et

G’j

^{sont les tenseurs}

représentant F- 1etg-1 ,nous

allons montrer

qu’on

peut ^les obtenir à

partir

^de

Fi,

^et

Gzj

^{à l’aide de la}

nouvelle

métrique gij .

^{En effet en posant}

par suite

Fij

⁼

pif

^{et ceci}

quelle

que soit la

métrique gii échangeable

avec F.

Les

opérateurs 9 et J

^{définis comme l’ont}

été £ et ?

^mais à

partir

^de

gij

définissent une structure

quaternionienne

^de

T . L’opérateur K

⁼

g - 1 F

^{n’est autre que}

99;

^car

PROPOSITION 9 . Il _{y a} identité entre la classe des variétés admettant

une structure

presque quaternionienne

^{et celles}

qui

^{admettent une structure}

presque symplectique complexe.

7 . Espaces fibrés attachés

à une structure presque

hermitienne quater-

nionienne.

1° ) Supposons

que V _4n soit munie d’une structure presque ^her- mitienne

quaternionienne.

^On peut construire ^sur

chaque

^{ouvert un}

champ

de

corepères adaptés

^{à la structure} presque

quaternionienne. L’équation

Sg

= g

exprime

que ^toutes les composantes ^{dans de} tels

corepères

^du

tenseur

y ij représentant

g ^sont nulles sauf celles de type

Du caractère réel du teneur 19 =

(yi. )

^{on déduit}

Posons

où les

gab

du second membre sont les composantes réelles

de g

^{dans le}

corepère

^{réel associé au}

corepère adapté envisagé.

Du caractère

symétrique

^de g, il résulte immédiatement

Ce

qui

^{se traduit} par

La forme

quadratique

^définie par le tenseur

métrique

peut s’écrire

Adjoignons

^{à celle-} ci la forme

quadratique

^extérieure

Elle est reliée aux 3 formes fondamentales _par

2° )

^Soit

e 1

^un

champ

^{local de vecteurs}

unitaires;

^soient

ses transformés

respectifs.

Ces quatre

champs

^{locaux sont} orthonormés.

Si de

plus _{e 2}

^{est un}

champ

^{local de vecteurs unitaires}

orthogonal

^en

chaque point

^{au 4 -}

plan engendré par

^les

précédents,

^{les huit vecteurs en x}

sont orthonormés. En

continuant,

^{on construit de}

proche

^en

proche

^un

champ

^{local de}

repères

^réels

adaptés

^{à la structure} presque hermitienne

quaternionienne.

Soit

( wa)

^le

_champ

^{local de}

corepères,

^{dual du}

précédent.

^Dans

ces conditions

Considérons

^les vecteurs

hypercomplexes

qui

définissent un

champ

^{local de}

repères adaptés

^{à la structure} presque

quaternionienne

^de

V 1f.n .

Le

produit

scalaire étant défini sur

TH

_{par le} tenseur

y..,

^il

vient :

Il en résulte :

Deux bases

( 8 et)

^et

(8/3*) ^adaptées

^{à la structure presque} hermitienne

quaternionienne

^de

T x

^{se déduisent l’une de l’autre par}

où A

= ( AaB* ) appartient

^au groupe unitaire

quaternionien Sp (n),

^défini

par les matrices de

G L ( n , H)

satisfaisant à

où (

La

représentation

^{réelle de}

Sp (n )

peut être caractérisée comme

le sous- groupe de

S O ( 4 n )

^{commutant avec les matrices I}

et J

^définies

antérieurement.

Son

algèbre

^{de Lie est réalisée comme} l’ensemble des matrices 4 n ^X 4 n

antisymétrique

pures du genre zéro.

Nous considérerons de manière

analogue

^au

paragraphe

^{3 les es-}

paces fibrés

principaux

des

repères réels, hypercomplexes,

^{et sous-}

repères hypercomplexes,

^tous

adaptés

^{à la structure} presque hermitienne

quaternionienne

^{en tous}

points

de

V 4n

^{La base est}

V 4n

^et les groupes structuraux sont

isomorphes

à

Sp ( n ) .

8. Connexions linéaires à valeurs quaternioniennes.

Etant donnée une variété différentiable

Vm ,

^{de classe}

C°° ,

^soit

E ( Vm ) ^{{ resp.} EH ( Vm ) } ^l’espace

^{fibré des}

^repères

^tangents

^(resp.

^de

leurs

hypercomplexifiés) :

D E FIN ITION 4. Nous

appellerons

^{connexion linéaire}

hypercomplexe

^une

connexion

infinitésimale

^sur

EH ( V m ) .

Elle peut être définie par la donnée ^sur

chaque

^{ouvert U d’un}

recouvrement de

Vm ,

^d’un

^champ

^{local de}

^corepères hypercomplexes OU =(0’)

^{et d’une} 1 - forme locale

wu

^{à valeurs} matricielles dans l’al-

gèbre

^de

Lie,

^sur

R,

^de

G L ( m , H ) ,

^{ces matrices}

quaternioniennes

m X m satisfaisant dans U r1 V à la condition de cohérence

Si nous posons

ú)u

⁼

(wij ) ,

^les

wij ( i , j = 1 , 2 , ... , ^{m )}

^{sont des 1 -}

formes

hypercomplexes.

Si les

voisinages

^ont été munis de sections locales de

E ( V m ) ,

nous avons les mêmes

formules,

^{mais avec A} appartenant ^à

G L ( m , R )

cette fois.

A toute connexion linéaire

hypercomplexe

^{de forme co} correspon- dent trois connexions dites ses

biconjuguées

^dont les formes ^seront res-

pectivement

^notées

6c)’, w" , w’ ;

^{toute connexion linéaire sur}

E ( V m )

définit une connexion linéaire sur

EH ( V m )

^avec

^laquelle

elle peut être identifiée et

qui

^{coïncide avec ses}

biconjuguées :

^{elle sera dite connexion}

linéaire réelle.

La différentielle absolue dans une connexion linéaire

hypercom- plexe

^d’un tenseur est donnée par la formule habituelle

où R

^est la

représentation

^{induite sur}

l’algèbre

^{de Lie} par la

représen-

tation 1

du tenseur t

envisagé.

En coordonnées

locales,

^avec des notations

évidentes,

^{nous avons}

le groupe des formules :

d x

^{E U C}

V

Torsion et courbure sont définies _par

et satisfont aux identités de Bianchi

généralisées

9. Connexions

_presque

quaternioniennes.

Etant donnée une variété _presque

quaternionienne V4n ,

^{posons :}

DEFINITION 5. Nous

ap pellerons

^connexion

presque quaternioni enne

toute connexion

infinitésimale

^sur

Eh ( V4n).*

Elle peut être définie par la

donnée,

^{sur tout ouvert U}

h d’ un

recouvrement de

V 4n ,

^d’un

^champ

^{local de}

sous- corepères adaptés 8U=

=

((9a)

^{et d’une} 1 - forme locale

7T U

^{à valeurs} matricielles dans

l’algèbre

de Lie du groupe structural

G L ( n , H ) .

Ces matrices n X n satisfaisant dans U n V à la condition de cohérence

h _ A

où,

^{si nous} posons

wu == ( wab ),

^les

w Î8

^sont des 1 - formes

hypercom- plexes.

Cette connexion rr peut être identifiée ^à celles

qui

^{sont définies}

sur

Eg (V ijn) (connexion

^linéaire

hypercomplexe)

^et

E a( V4n) ( connexion

linéaire

réelle)

par les matrices :

où nous avons

posé rraB= waB + iw"’ + jwaB"

^{+ k}

waB"

^{avec les}

wij 1

^réelles.

Une connexion presque

quaternionienne

^{est donc un cas}

particulier

de connexion linéaire réelle.

10. ^Relation

^{avec une connexion}

^{linéaire réelle.}

a) Inversement,

donnons-nous sur la variété presque

quaternio-

nienne

V 4n

^une connexion linéaire réelle

arbitraire,

^{de forme 7T . Pour}

-un

recouvrement de

V4n

^{par des}

voisinages

^{munis de}

repères adaptés,

^la

matrice de connexion dans un

voisinage

^U

(resp. ^{V )}

^est donnée par

(TTij)

.*

(resp. (TTij* * ) ) .

La réalité de la connexion se traduit _{par les} relations

Introduisons pour x ^{e U r1 V la} matrice de passage ^{A =}

( AaB* )

d’un

repère adapté

^{à un autre. Il vient}

Ces relations prouvent que :

- Les éléments

TTaB

définissent sur

V4n

^{une connexion presque}

quaternionienne, désignée

ultérieurement _par

STT ,

^et

qui

^{sera dite induite}

par la connexion linéaire réelle

envisagée;

- Les éléments

TTaB, ^(resp. TTaB"; TTaB’" )

définissent une 1 - forme tensorielle _pure

hypercomplexe

et ,par

biconjugaisons

^{et somme, une 1 -}

forme tensorielle _pure réelle de type

représentation adj ointe

^{et de}

genre 1 (resp. ^{2 , 3 )}

^notée ultérieurement

à’ 7T _(resp. §"77 , 7T

La formule

qui

permet ^de

décomposer

^{un tenseur réel de} type

représentation adjointe

en tenseurs purs

s’étend,

^{dans des}

repères adaptés,

^sans

modification

^à

la connexion

envisagée.

Il convient de rendre cette formule valable en

repères quelconques.

^{A cet}

effet,

^nous

profitons

^{de la constance des com-}

posantes

de 9, J, K

pour écrire successivement :

et

puis que dg

⁼ 0 ,

Ainsi en

injectant

^{ces relations dans}

^{( 10. 1 )}

^et

( 10. 2 ) ,

^{il vient}

Ces formules étant désormais vraies dans tout

repère.

b)

Evaluons maintenant dans une connexion linéaire réelle arbi- traire de forme 7T les différentielles absolues des

tenseurs 9 et 1 . Rap-

portons tenseur et connexion à des

repères adaptés.

^{Il vient :}

Nous en déduisons immédiatement 1 a

PR O P OS ITI ON 10. Toute connexion linéaire réelle sur une variété

pres-

que

quaternionienne V 4n

^{induit sur cette variété une connexion}

^presque quaternionienne.

Pour que la connexion linéaire soit

naturellement

asso-

ciée à la connexion

presque quaternionienne qu’elle induit,

^il

faut

^{et il}

suffit

^{que les}

différentielles

^{absolues des}

tenseurs 9 et J

^{de la connexion}

linéaire soient nulles.

COROLLAIRE. Les

projecteurs

introduits

S, S’, S"

^et

S’"

commutent avec la

di f férentiation

^{absolue dans une connexion}

^presque quaternionienne.

11 . Connexions

_presque

hermitiennes quaternioniennes.

D E FI NITION 6. Sur la variété

presque

hermitienne

quaternionienne V4n

nous

appelons

^connexion

presque

hermitienne

quaternionienne

^{une con-}

nexion

infinitésimale

^sur

l’espace fibré principal iSh ( _V4n).

Une telle connexion définit ^une connexion infinitésimale sur

§g(V4n )

et une connexion infinitésimale sur

Sa( V ijn)

^avec

lesquelles

elle peut être identifiée. Il en résulte

qu’à

^toute connexion presque hermitienne

quaternionienne 7T

^{sont associées} naturellement une connexion presque

quaternionienne

^{et une} connexion euclidienne ^et _par suite une connexion linéaire réelle telle que les différentielles absolues des tenseurs presque

quaternioniens

^{et du tenseur}

métrique

^{soient nulles.}

Si ^la connexion linéaire est

rapportée

^{à des}

repères

^de

§g( V4n)

elle est

représentée

^{dans un}

voisinage

par la matrice de connexion

puisque

les différentielles absolues des tenseurs presque

quaternioniens

sont nulles.

Evaluons la différentielle absolue du tenseur

métrique :

Une connexion _presque hermitienne

quaternionienne

^{est ainsi}

définie,pour

^un recouvrement par des

voisinages

^{munis de} sections locales de

§h( Vn ) ,par

¹⁸ des matrices de connexion

(7tua )

^{telles que}