On ´etudiera ensuite la possibilit´e d’estimer l’erreur locale d’approximation lorsque la fonction est l’inconnue de l’´equation

Analyse Num´erique et Optimisation

Miniprojet : raffinement de maillage et adaptativit´e

Les m´ethodes adaptatives ont pour but d’am´eliorer le compromis entre l’erreur d’approximation et la taille du calcul dans la r´esolution num´erique des ´equations aux d´eriv´ees partielles, en utilisant un raffinement de maillage local. Une telle approche est particulierement justifi´ee lorsque la solution pr´esente localement des fortes variations ou des singularit´es. Le principe des m´ethodes adaptatives consiste typiquement `a partir d’un maillage uni- forme et raffiner la taille du maillage dans les r´egions o`u l’erreur locale d’approximation est la plus importante. On va tout d’abord apr´ehender num´eriquement l’int´erˆet d’une telle approche en travaillant sur une fonc- tion connue. On ´etudiera ensuite la possibilit´e d’estimer l’erreur locale d’approximation lorsque la fonction est l’inconnue de l’´equation. A partir de ces estimateurs locaux, on construira un algorithme adaptatif en 1D sur Scilab et on manipulera un algorithme similaire en 2D sur Freefem.

Partie 1. Approximation adaptative d’une fonction

On consid`ere ici la fonction u d´efinie sur [0,1]

u(x) =√

x+a+√

1−x+a−√ a−√

1 +a,

o`ua >0 est un param`etre dont la petitesse influence les variations deuen 0 et 1. Il sera utile au pr´ealable de tracer u pour quelques valeurs dea. Etant donn´e un maillage

0 = x₀ < x₁ <· · ·< x_n−1 < x_n= 1,

on note u_n l’interpolation des valeurs de u aux points x_k qui est affine par morceaux sur les intervalles [xk, xk+1].

1. On consid`ere tout d’abord une partition uniforme x_k = k/n. Etudier num´eriquement la d´ecroissance de l’erreur ku−unk en fonction den pour la norme sur H₀¹

kuk:= [

Z 1 0

|u⁰|²]^1/2, (1)

et pour diff´erentes valeurs a= 1,10⁻¹,10⁻²,10⁻³,10⁻⁴. On pourra tracer les courbes en ´echelles logarithmique pour n allant de 1 `a 10<sup>4</sup>. Interpr`eter le comportement de l’erreur.

2. On construit `a pr´esent la partition de mani`ere adaptative par l’algorithme de subdivision suivant: ´etant donn´e une partition de n intervalles, on fab- rique une partition de n+ 1 intervalles en d´ecoupant en deux par le milieu l’intervalle I pour lequel l’erreur locale

Z

I

(u⁰ −u⁰_n)² (2)

est la plus grande. On initialise l’algorithme pour n = 1 avec l’intervalle [0,1]. Etudier num´eriquement la d´ecroissance deku−u_nkpour les diff´erentes valeurs de a. Comparer avec les r´esultats pr´ecedents.

Partie 2. Estimation a-pos´eriori et indicateurs d’erreur

On consid`ere ici le probl`eme

−∆u=f, f ∈Ω, u|∂Ω = 0, (3) sur un domaine Ω ∈ IR^d avec f ∈ L², et on s’int´eresse `a la solution de Galerkin u<sub>T</sub> dans un espace d’´el´ement fini V<sub>T</sub> associ´e `a une triangulation T : pour tout vT ∈VT on a

a(uT, vT) = hf, vTi, (4) avec a(u, v) := ^R_Ω∇u∇v et hu, vi := ^R_Ωuv. On chercher ici `a estimer a- post´eriori- c’est `a dire en utilisant la valeur calcul´ee deuT - l’erreurku−uTk pour la norme H₀¹,

kuk:= [

Z

Ω

|∇u|²]^1/2. (5) On rappelera tout d’abord les estimations a-priori dont on dispose.

1. Montrer que quelquesoitvT ∈VT on a

ku−uTk= sup |a(u−uT, v)|= sup |a(u−uT, v−vT)|. (6)

2. Montrer que l’on peut re-´ecrire a(u−uT, v−vT) =

Z

Ω

f(v−vT)+^X

K∈T

[

Z

K

∆u(v−vT)+

Z

∂

K∂uT

∂n (v−vT)], (7) puis

a(u−uT, v−vT) = ^X

K∈T

Z

K

(f + ∆uT)(v−vT) + ^X

E∈F

Z

E

[∂uT

∂n ](v−vT)], (8) o`u F d´esigne l’ensemble des interfaces entre les ´el´ements qui ne sont pas situ´ees sur la fronti`ere du domaine et [^∂u_∂n^T] d´esigne le saut de la d´eriv´ee nor- male. Donner l’expression de cette identit´e dans le cas monidimensionel.

3. On admettra le r´esultat suivant : Il existe un op´erateur d’interpolation v 7→v_h tel que

kv−v_hk_L²_(K) ≤Ch_Kk∇vk_L²_(ΩK), (9) et

kv−vhk_L²_(E) ≤Ch^1/2_E k∇vk_L²_(ΩE), (10) o`u h<sub>K</sub> et h<sub>E</sub> d´esignent le diam`etre de E et K et o`u Ω<sub>K</sub> et Ω<sub>E</sub> d´esignent respectivement l’union des ´el´ements qui ont une intersection non vide avec E etK (on pourra essayer de le d´emontrer). En d´eduire sous des hypoth`eses convenable sur la triangulation, l’estimation a-posteriori

ku−uTk² ≤C ^X

K∈T

η_K², (11)

avec

η_K² :=h²_Kk∆uT +fk²_L2(K)+1 2

X

E∈∂K\∂Ω

h_Ek[∂uT

∂n ]k²_L2(E). (12) La quantit´eη_K est appel´ee indicateur d’erreur local pour la solutionuT. Jus- tifier cette appelation.

4. Donner l’expression de η_K et estimer la constante C dans le cas monodi- mensionel (on pourra dans ce cas utiliser l’op´erateur d’interpolation classique pourv 7→vh).

Partie 3. Raffinement de maillage en dimension 1 On consid`ere ici le probl`eme monodimensionel sur [0,1]

−u⁰⁰ =f, u(0) =u(1) = 0, (13)

et on prendf de mani`ere `a ce que la solutionusoit la fonction de la premi`ere partie. On consid`ere ici les solutions de Galerkin avec les ´el´ements finis P₁. 1. On consid`ere u_n la solution de Galerkin obtenue avec un maillage uni- forme. Etudier num´eriquement le comportement ku−u_nk en fonction den et pour diff´erentes valeurs a= 1,10⁻¹,10⁻²,10⁻³,10⁻⁴.

2. On construit une m´ethode de raffinement adaptatif de la mani`ere suiv- ante: ´etant donn´e ´etant donn´e une partition den intervalles et la solution de Galerkin u<sub>n</sub> associ´e `a cet intervalle on fabrique une partition de n+ 1 inter- valles en d´ecoupant en deux par le milieu l’intervalleI pour lequel l’indicateur η_Id’erreur locale est le plus grand. On initialise l’algorithme pourn= 1 avec l’intervalle [0,1]. Etudier num´eriquement la d´ecroissance de ku−u_nk pour les diff´erentes valeurs dea. Comparerku−u_nket l’estimateur d’erreur (11) 3. Comparer ces r´esultats `a ceux de la premi`ere partie.

Partie 4. Raffinement de maillage en dimension 2 On consid`ere le secteur angulaire Ω d´efini en coordonn´ees radiales par

Ω ={(r, θ) ; 0 < r < R, 0< θ <Θ},

avec 0 < R < +∞ et 0 < Θ < 2π. On note b la partie du bord de Ω o`u r = R, a celle o`u θ = 0 et c celle o`u θ = Θ. On ´etudie le probl`eme aux limites suivant:







−∆u= 0 dans Ω

u= cos(kπθ/Θ) sur b

∂u

∂n = 0 sur a∪c

Il existe une unique solution faible de ce probl`eme donn´ee par la formule (voir poly, page 132, Lemme 5.2.31)

u(r, θ) =

r^kπΘ

cos kπθ^! .

1. Discuter la r´egularit´e de cette solution en fonction de l’angle Θ et l’int´erˆet de l’utilisation d’une m´ethode adaptative avec des ´el´ements finis P₁.

2. Etudier num´eriquement, pour diff´erente valeurs de Θ, l’erreur ku−u_Tk en fonction du cardinal deT dans le cadre d’un raffinement de maillage uni- forme.

3. L’op´eration de raffinement de maillage sur Freefem utilise une estima- tion num´erique de la d´eriv´ee seconde

˜

η_K² ≈h²_K

Z

K

|∆u|² (14)

obtenue `a partir de uTplutˆot qu’un indicateur d’erreur local. Justifier cette id´ee. En utilisant cette op´eration, ´etudier num´eriquement, pour diff´erentes valeurs de Θ, l’erreur ku−uTk en fonction du cardinal de T dans le cadre d’un raffinement de maillage adaptatif.