Symétrie Centrale
I) Rappels symétrie axiale : a) La médiatrice :
Définition :
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.
Exemple :
La droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] et elle le coupe en son milieu.
On peut donc conclure, d’après la définition, que la droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
Propriétés de la médiatrice d’un segment :
• Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment.
• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
b) Symétrie axiale : Définition :
On considère une droite (d) et un point M.
Le point M’ est le symétrique du point M par rapport à la droite (d) si (d) est la médiatrice du segment [MM’].
Exemple n°1 :
Le point M n’appartient pas à la droite (d).
Exemple n°2:
Le point M appartient à la droite (d).
Propriété n°1 :
Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de la même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les distances.
Propriété n°2 :
Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite. On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement ( des points alignés ont pour symétriques des points alignés ).
Propriété n°3 :
Le symétrique d’un cercle (C) de centre O et de rayon R par rapport à une droite (d) est le cercle (C’) de centre O’, symétrique de O par rapport à (d) et de rayon R.
Propriété n°4 :
La symétrie axiale conserve : 1) les aires et les périmètres.
2) le parallélisme et la perpendicularité.
3) les figures.
4) les angles.
Si vous souhaitez lire le cours complet sur la symétrie axiale, téléchargez le cours de sixième suivant : « séquence 8 géométrie ».
II) Symétrie centrale : a) Définition :
Soit O un point donné.
Le symétrique d’un point M par rapport au point O est le point M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].
Exemple :
O est le seul point invariant
Symétrique de M par rapport à O Symétrique de M’ par rapport à O
Méthode de construction du symétrique M’ du point M par rapport au point O : 1) On trace la demi-droite [MO).
2) On place la pointe sèche du compas sur le point O et la mine du compas sur le point M.
3) On fait un demi-tour avec le compas et on trace un arc de cercle sur la demi-droite [MO).
4) On place le point M’ à l’intersection de la demi-droite [MO) et de l’arc de cercle.
b) Symétrique d’un segment :
Construisons le symétrique d’un segment [AB] de milieu I par rapport à un point O donné. Pour cela, nous construisons les symétriques A’, B’ et I’
des points A, B et I par rapport au point O. On obtient la figure suivante :
On constate que :
le segment symétrique [A’B’] est de même longueur que le segment [AB].
le symétrique du milieu I de [AB] par rapport au point O est le milieu I’
du segment [A’B’].
Propriété n°1 :
1) Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs.
2) Le symétrique du milieu d’un segment par rapport à un point est le milieu du segment symétrique.
c) Symétrique d’une droite :
Construisons le symétrique d’une droite (d) par rapport à un point O donné. Pour cela, nous construisons les symétriques A’, B’ de deux points A, B de la droite (d) rapport au point O. On obtient la figure suivante :
On constate que la droite (A’B’), symétrique de la droite (AB) par rapport au point O, est parallèle à la droite (AB).
Propriété n°2 :
Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. On dit que la symétrie centrale conserve les alignements de points.
d) Symétrique d’un cercle :
Construisons le symétrique d’un cercle (C) de centre I et de rayon R par rapport à un point O donné. On obtient la figure suivante :
On construit le symétrique I’ du point I par la symétrie centrale de centre O et on trace le cercle (C’) de centre I’ et de rayon R ( car la symétrie centrale
conserve les distances ).
Propriété n°3 :
Le symétrique d’un cercle de centre I et de rayon R par rapport à un point O est le cercle de centre I’, symétrique de I par rapport à O et de rayon R.
e) Autre propriété : Propriété n°4 :
La symétrie centrale conserve : 1) les aires et les périmètres.
2) le parallélisme et la perpendicularité.
3) les figures.
4) les angles.
Exemple :
Un carré ABCD de côté 5 cm a pour symétrique le carré A’B’C’D’ par la symétrie centrale de centre O. Calculer le périmètre et l’aire du carré A’B’C’D’.
On sait que la symétrie centrale conserve les aires et les périmètres.
Le carré A’B’C’D’ a donc la même aire et le même périmètre que le carré ABCD.
Ainsi :
Aire A’B’C’D’ = Aire ABCD = 5 × 5 = 25 cm².
Périmètre A’B’C’D’ = Périmètre ABCD = 4 × 5 = 20 cm.
f) Centre de symétrie d’une figure : Définition :
Soit F une figure et O un point donnés. On dit que le point O est le centre de symétrie de la figure F si le symétrique de F par rapport au point O est F elle-même.
Exemple :
Le carré ABCD possède 4 axes de symétrie sécants en O qui est son centre de symétrie.
Lorsqu’une figure possède des axes de symétrie, son centre de symétrie se trouve à l’intersection de ses axes de symétrie.
