Axes de symétrie
I) Axes de symétrie d’une figure : Définition :
Une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure si, par pliage suivant cette droite, les deux parties de la figure se superposent.
Exemple :
Considérons cette figure constituée de deux cercles C1 et C2 de même rayon.
Par pliage selon la droite (d), le cercle C1
et le cercle C2 se superposent. La droite (d) est un axe de symétrie de cette figure.
II) Axes de symétrie d’un segment : a) Médiatrice d’un segment :
Pour la définition, voir séquence 8 symétrie axiale.
• Construction de la médiatrice d’un segment :
Méthode de construction 1) Prendre un écart de compas supérieur à la moitié de AB.
2) Mettre la pointe sèche du compas en A et construire les deux arcs de cercle bleus comme indiqué sur la figure.
3) On fait de même à partir du point B de façon à ce que les arcs de cercles rouges et bleus se coupent en deux points M et N.
4) La médiatrice du segment [AB] est la droite (MN).
• Propriétés de la médiatrice d’un segment : Propriété n°1 :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment.
Propriété n°2 :
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment
ATTENTION à ne pas confondre ces deux propriétés : on détermine ce qu’on sait avant de choisir laquelle des deux il faut utiliser.
b) Axes de symétrie d’un segment : Propriété :
Un segment possède deux axes de symétrie : 1) Sa médiatrice.
2) La droite qui passe par ses extrémités.
Exemple :
(d) et (d1) sont les deux axes de symétrie du segment [AB].
III) Axe de symétrie d’un angle : Propriété :
Un angle possède un axe de symétrie : la droite qui porte sa bissectrice.
Exemple :
La droite (d) est l’axe de symétrie de l’angle .
IV) Axes de symétrie d’un triangle : a) Cas du triangle isocèle :
Propriété :
Un triangle isocèle possède un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
Exemple :
La droite (d), médiatrice de la base [BC] du triangle ABC isocèle en A, est l’axe de symétrie du triangle ABC.
On en déduit que :
1) Les angles à la base et sont de la même mesure car ils se superposent par pliage.
2) Les angles et sont de la même mesure car ils se superposent par pliage : (d) est donc aussi la bissectrice de l’angle . On en déduit que :
Propriété :
Les deux angles à la base d’un triangle isocèle sont de la même mesure.
Le triangle ISO, isocèle en I, a ses deux angles à la base de la même mesure, c’est- à-dire :
=
b) Cas du triangle équilatéral : Propriété :
Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Exemple :
Le triangle équilatéral ABC possède trois axes de symétrie : les droites (d1), (d2) et (d3) qui sont les médiatrices de ces côtés.
Propriété :
Les trois angles d’un triangle équilatéral sont de la même mesure : 60° chacun.
Exemple :
Les trois angles du triangle équilatéral sont de la même mesure :
= = =60°
V) Axes de symétrie d’un rectangle : Propriété :
Un rectangle possède deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Exemple :
Le rectangle ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (d1) ( médiatrice de [AB] ) et (d2) ( médiatrice de [BC] ).
VI) Axes de symétrie d’un losange : Propriété :
Un losange possède deux axes de symétrie : les droites qui portent ses diagonales.
Exemple :
Le losange ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (AC) et (BD).
VII) Axes de symétrie d’un carré : Propriété :
Un carré possède quatre axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés et les droites qui portent ses diagonales.
Exemple :
Le carré ABCD possède quatre axes de symétrie : les droites (d1) et (d2) qui
portent les diagonales et les droites (d3) ( médiatrice de [AB] ) et (d4) ( médiatrice
de [BC] ).
VIII) Axes de symétrie d’un cercle : Propriété :
Un cercle possède une infinité d’axes de symétrie : les droites qui portent ses diamètres.
Exemple :
Le cercle C possède une infinité d’axes de symétrie, cinq d’entre eux sont tracés ci-contre.
