Axes de symétrie
I) Axes de symétrie d’une figure : Définition :
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Exemple :
Considérons cette figure constituée de deux cercles C1 et C2 de même rayon.
Par pliage selon la droite (d), le cercle C1
et le cercle C2 se superposent. La droite (d) est un axe de symétrie de cette figure.
II) Axes de symétrie d’un segment : a) Médiatrice d’un segment :
Pour la définition, voir séquence 8 symétrie axiale.
• Construction de la médiatrice d’un segment :
Méthode de construction 1) Prendre un écart de compas supérieur à la moitié de AB.
2) Mettre la pointe sèche du compas en A et construire les deux arcs de cercle bleus comme indiqué sur la figure.
3) On fait de même à partir du point B de façon à ce que les arcs de cercles rouges et bleus se coupent en deux points M et N.
4) La médiatrice du segment [AB] est la droite (MN).
• Propriétés de la médiatrice d’un segment : Propriété n°1 :
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Propriété n°2 :
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ATTENTION à ne pas confondre ces deux propriétés : on détermine ce qu’on sait avant de choisir laquelle des deux il faut utiliser.
b) Axes de symétrie d’un segment : Propriété :
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Exemple :
(d) et (d1) sont les deux axes de symétrie du segment [AB].
III) Axe de symétrie d’un angle : Propriété :
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Exemple :
La droite (d) est l’axe de symétrie de l’angle .
IV) Axes de symétrie d’un triangle : a) Cas du triangle isocèle :
Propriété :
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Exemple :
La droite (d), médiatrice de la base [BC] du triangle ABC isocèle en A, est l’axe de symétrie du triangle ABC.
On en déduit que :
1) Les angles à la base et sont de la même mesure car ils se superposent par pliage.
2) Les angles et sont de la même mesure car ils se superposent par pliage : (d) est donc aussi la bissectrice de l’angle .
On en déduit que : Propriété :
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Le triangle ISO, isocèle en I, a ses deux angles à la base de la même mesure, c’est- à-dire :
=
b) Cas du triangle équilatéral : Propriété :
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Exemple :
Le triangle équilatéral ABC possède trois axes de symétrie : les droites (d1), (d2) et (d3) qui sont les médiatrices de ces côtés.
Propriété :
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Exemple :
Les trois angles du triangle équilatéral sont de la même mesure :
= = =60°
V) Axes de symétrie d’un rectangle : Propriété :
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Exemple :
Le rectangle ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (d1) ( médiatrice de [AB] ) et (d2) ( médiatrice de [BC] ).
VI) Axes de symétrie d’un losange : Propriété :
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Exemple :
Le losange ABCD possède deux axes de symétrie : les droites (AC) et (BD).
VII) Axes de symétrie d’un carré : Propriété :
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Exemple :
Le carré ABCD possède quatre axes de symétrie : les droites (d1) et (d2) qui
portent les diagonales et les droites (d3) ( médiatrice de [AB] ) et (d4) ( médiatrice
de [BC] ).
VIII) Axes de symétrie d’un cercle : Propriété :
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Exemple :
Le cercle C possède une infinité d’axes de symétrie, cinq d’entre eux sont tracés ci-contre.
