Table des mati`eres

I.6 Alg`ebre commutative 3

1 Modules sur un anneau commutatif . . . 4

1.1 Le langage des modules . . . 4

1.2 Applications lin´eaires . . . 10

1.3 Rudiments de fonctorialit´e . . . 19

2 Conditions de finitude . . . 25

2.1 Modules de pr´esentation finie . . . 25

2.2 Modules sur les anneaux noetheriens . . . 32

3 Modules sur les anneaux principaux . . . 36

3.1 Modules libres de rang fini sur un anneau principal . . . 36

3.2 Modules de type fini sur un anneau principal . . . 43

3.3 Applications `a la r´eduction des endomorphismes . . . 51

Alg`ebre commutative

Un peu d’histoire

Les principales sources de l’alg`ebre commutative sont, dans l’ordre chronologique : la th´eorie alg´ebrique des nombres, la th´eorie des invariants et la g´eom´etrie alg´ebrique.

Au XIX<sup>`eme</sup> si`ecle, Kummer, puis Dedekind, ont g´en´eralis´e la th´eorie classique de la divi- sibilit´e (qui remontait pour l’essentiel `a Euclide) sous la forme de th´eorie des id´eaux des anneaux d’entiers alg´ebriques.

Au tournant du XX<sup>`eme</sup> si`ecle, Hilbert a formalis´e la th´eorie des invariants (dont l’essentiel des r´esultats jusque l`a reposait sur les calculs compliqu´es de l’´ecole anglaise), en particulier les probl`emes de finitude, `a l’aide de la th´eorie desid´eaux des anneaux de polynˆomes.

Les mˆemes structures ont ´et´e retrouv´ees par les g´eom`etres alg´ebristes du premier quart de XX<sup>`eme</sup> si`ecle (Emil Artin, Emmy Noether et leur ´ecole) et ont donn´e naissance `a la th´eorie desanneaux noetheriens. Le lecteur notera que tous les math´ematiciens cit´es (mis `a part Euclide) sont allemands.

Comme les groupes, les anneaux se sont r´epandus dans toutes les math´ematiques, y compris en analyse, avec les anneaux de fonctions. Il y a en effet un lien profond entre les espaces de la g´eom´etrie diff´erentielle ou analytique et les anneaux : de mˆeme qu’en g´eom´etrie affine ou euclidienne les espaces vectoriels de formes lin´eaires, qui g´en´eralisent les coordonn´ees, servent `a rep´erer les points, de mˆeme les anneaux de fonctions servent `a rep´erer et distinguer les points d’espaces plus g´en´eraux. Les anneaux de fonctions num´eriques continues ont ´et´e axiomatis´es par Gelfand sous le nom d’anneaux norm´es. Un anneau muni d’une telle struc- ture peut ˆetre consid´er´e comme anneau des fonctions continues sur un espace topologique d´efinia posteriori. Grothendieck a g´en´eralis´e ce point de vue en montrant quetout anneau commutatif peut ˆetre vu comme l’anneau des fonctions «r´eguli`eres» sur un espace ana- logue `a une«vari´et´e alg´ebrique». Enfin, Connes, inspir´e par la m´ecanique quantique (o`u les fonctions sont remplac´ees par des op´erateurs dont le produit n’est pas commutatif) a montr´e que l’on pouvait faire de la g´eom´etrie avec tout anneau, mˆeme non commutatif.

Selon un usage maintenant bien ´etabli, ce chapitre ¹ devrait donc former un tout avec les deux suivants (g´eom´etrie alg´ebrique et arithm´etique), ces derniers ´etant conc¸us comme des applications de techniques g´en´erales expos´ees ici (en ce qui concerne l’arithm´etique, on rel´eguerait donc ailleurs lath´eorie analytique des nombres). En fait, nous aborderons lar- gement la g´eom´etrie alg´ebrique et l’arithm´etique `a travers des outils vari´es et des m´ethodes ad hoc, laissant leur expos´e syst´ematique `a un cours de maitrise.

En principe, l’alg`ebre commutative est la th´eorie des anneaux commutatifs et de leurs id´eaux. Sous cette forme, nous l’avons d´ej`a rencontr´ee dans le module «Compl´ements d’alg`ebre»du cours de L2. En fait, une ´evolution marquante essentiellement due `a l’´ecole alg´ebrique allemande a ´et´e lalin´earisationdes m´ethodes. De mˆeme que l’´etude des corps (et des groupes) fait largement appel aux espaces vectoriels, de mˆeme l’´etude des id´eaux se plonge dans celle desmodules. Le chapitre commence donc par l’expos´e du langage des modules, qui g´en´eralise l’alg`ebre lin´eaire de L1. Nous abordons ensuite lesrudiments de la riche th´eorie des anneaux et des modules noetheriens. (Nous appliquerons cette th´eorie dans le module I.7.) Pour conclure, nous d´eveloppons le cas des anneaux principaux : la th´eorie est alors compl`ete (on sait d´ecrire avec pr´ecision tous les modules de type fini) et, dans le cas euclidien, effective (on dispose de bons algorithmes). Elle offre de plus des ap- plications ´etonnantes aux groupes ab´eliens, dont nous aurons l’usage dans le module I.8, et

`a la r´eduction des endomorphismes, que nous avons rencontr´ee en L2.

1 M

On fixe une fois pour toutes un anneau commutatif A, avec les notations usuelles pour les op´erations et les ´el´ements neutres.

D ´efinition 1.On dit qu’un groupe ab´elien (E,+) est muni d’une structure de module sur l’anneau commutatifA, ou encore deA-modulesi l’on a une loi de composition (ou multiplication) externe (a, x)7→a.xde A×E dansE v´erifiant les axiomes suivants :

∀a, b∈A , ∀x∈E , (a+b).x = a.x+b.x, (1)

∀a∈A , ∀x, y∈E , a.(x+y) = a.x+a.y, (2)

∀a, b∈A , ∀x∈E , a.(b.x) = (ab).x, (3)

∀x∈E , 1.x = x. (4)

Le point de la notation a.xest en g´en´eral omis dans l’´ecriture :a.x=ax.

1Nous ´eviterons d’appeler«module»un chapitre qui traite essentiellement desmodules sur un anneau commutatif!

Pour tout a ∈ A, l’application λa : x 7→ a.xde E dans lui-mˆeme est un endomorphisme de groupe. De plus, l’applicationa7→λ_a est un morphisme de l’anneau commutatif Adans l’anneau End(E,+) des endomorphismes du groupe E. (Ce dernier anneau n’est en g´en´eral pas commuta- tif ; sa multiplication est la composition des endomorphismes.) R´eciproquement, tout morphismeϕ de l’anneau A dans l’anneauEnd(E,+) des endomorphismes d’un groupe ab´elien E permet de munir ce dernier d’une structure de A-module : il suffit de posera.x:=ϕ(a)(x).

Comme dans le cas des espaces vectoriels, on a quelques cons´equences imm´ediates : la commutativit´e de l’addition peut ˆetre d´eduite des autres axiomes en calculant de deux mani`eres (1 + 1)(x+y); si l’on note (temporairement) 0E l’´el´ement neutre deE, on a :

∀a∈ A , a.0_E = 0_E et ∀x ∈ E , 0.x = 0_E ; de mˆeme, (−1).x =−x. Sauf exception, nous ´ecrirons simplement 0 pour0E.

Exemples.

1. Si A est un corps, on retrouve la notion d’espace vectoriel.

2. Si A=Z, reprenant les notations introduites pour les groupes ab´eliens (2x=x+x, etc), on voit que m.x =mx (si m ∈ N) ou −m⁰x (si m =−m⁰, m⁰ ∈N). Ainsi, tout groupe ab´elien peut ˆetre consid´er´e d’une mani`ere unique comme un Z-module.

La th´eorie des groupes ab´eliens est donc un cas particulier de la th´eorie des modules.

3. Le groupeAⁿest muni d’une structure deA-module par la loi :a.(a1, . . . , an); = (aa1, . . . , aan). Pourn= 0, par convention, on obtient lemodule trivial{0} que l’on note parfois0.

4. De mˆeme, en posanta.(ai) := (aai), on fait des groupesA^I etA^(I) desA-modules.

5. Soient V₁(x, y) et V₂(x, y) deux champs de vecteurs continus sur un ouvert Ω de R². L’application (x, y) 7→ V1(x, y) +V2(x, y) est un champ de vecteurs continu sur Ω. De mˆeme, si V(x, y) est un champ de vecteurs continu sur Ω et si f est une fonction continue deΩdans R, l’application(x, y)7→f(x, y)V(x, y)est un champ de vecteurs continu sur Ω. On d´efinit ainsi un module sur l’anneau C(Ω,R).

6. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. En posant a.b := f(a)b, on fait de B un A-module. Il n’est d’ailleurs pas n´ecessaire de supposer B commutatif. Si l’on suppose de plus que Imf est central dans B, autrement dit, que pour a ∈ A et x ∈ B, on a f(a)x = xf(a), alors il y a compatibilit´e entre les multiplications externe et interne dans B :∀a ∈A , ∀x, y ∈ B , (a.x)y =x(a.y) =a.(xy). On dit alors queB est une A-alg`ebre, ce qui g´en´eralise la terminologie du cours de L2.

Pour toute famille (x_i) ∈ E^I d’´el´ements du A-module E, on appelle combinaison lin´eaire des xi toute expression de la forme P

i∈I

aixi, o`u (ai) ∈ A<sup>(I)</sup> est une famille `a support finid’´el´ements de A (autrement dit, presque tous les a_i sont nuls). Les r`egles de calcul sur les combinaisons lin´eaires sont essentiellement les mˆemes que celles donn´ees dans le cours de L1 dans le cadre des espaces vectoriels. La principale diff´erence concerne les familles libres et li´ees, nous y reviendrons plus loin.

1.1.1 Sous-modules

D ´efinition 2.Unsous-module(ousous-A-module) duA-moduleE est un sous-groupe additifE⁰ qui est de plus stable pour la loi externe :

∀a∈A , ∀x∈E⁰ , ax∈E⁰.

Le sous-groupe E⁰ est alors automatiquement muni d’une structure de A-module par la restriction des deux lois de E. Bien entendu, {0} est un sous-module de E (appel´e sous-module trivial) et E est lui-mˆeme un sous-module.

Exemples.

1. Dans le cas d’un corps, un sous module est un sous–espace vectoriel.

2. Dans le cas de l’anneau Z, un sous-module est un sous-groupe.

3. On d´efinit des sous-modules de Aⁿ en consid´erant les ensembles de solutions de syst`emes d’´equations lin´eaires :a1x1+· · ·+anxn= 0,b1x1+· · ·+bnxn= 0, etc.

(Tout sous-module ne s’obtient pas ainsi, voir l’exercice I.6.4 de la page 60.)

4. Le module A^I admet le sous-moduleA^(I) ainsi que lesous-module diagonalform´e des familles (a_i) telles que ∀i, j , a_i=a_j.

5. Soitd∈A. AlorsdE:={dx|x∈E}est un sous-module deE. Cette construction peut se g´en´eraliser : siAest un id´eal deA, on poseAE:={P

a_ix_i| ∀i , a_i ∈A, x_i ∈E}. C’est un sous-module de E. (On retrouve dE en prenantA:=dA.)

Exercice 1.

Quels sont les sous-modules du A-moduleA? Solution. Ce sont les id´eaux deA.

Pour toute famille (xi) ∈ E^I, l’ensemble des combinaisons lin´eaires P

aixi est un sous-module de E, appel´esous-module engendr´e par lesx_i :

X

i∈I

Axi:=

( X

i∈I

aixi

(ai)∈A^(I) )

.

Par exemple, le sous-module engendr´e par x ∈ E est Ax := {ax | a ∈ A}, le sous- module engendr´e par x, y ∈ E est Ax+Ay := {ax+by | a, b ∈ A}, etc. Pour toute famille (E_j)j∈J de sous-modules de E, l’intersection T

j∈J

E_j est un sous-module de E.

L’intersection de tous les sous-modules contenant lesx_i (donc ´egalement le plus petit sous- module contenant les x_i) n’est autre que le sous-module P

i∈I

Ax_i engendr´e par les x_i. On dit que (xi)∈E^I est unefamille g´en´eratrice(ou unsyst`eme g´en´erateur) de E siE est engendr´e par lesx_i. Il revient au mˆeme de dire que tout ´el´ement de E est combinaison lin´eaire des x_i :

∀x∈E , ∃(a_i)i∈I ∈A^(I) : x=X

i∈I

a_ix_i.

On dit queEest un modulede type finis’il admet un syst`eme g´en´erateur fini :E =Ax₁+· · ·+Ax_n.

Sommes de sous-modules.

Si les E_j sont des sous-modules deE, le sous-module engendr´e par S

j∈J

E_j est lasomme desEj, qui se calcule comme suit :

X

j∈J

Ej =





 X

j∈J

xj

∀j∈J , xj ∈Ej





 ,

o`u l’on se restreint ´evidemment aux familles (x<sub>j</sub>)j∈J `a support fini. On dit que la somme des sous-modulesEj estdirectesi l’on a l’implication :

X

j∈J

x_j = 0 =⇒ ∀j , x_j = 0.

On dit ´egalement que lesEj sont en somme directe. Dans ce cas, on ´ecrit : X

j∈J

Ej =M

j∈J

Ej.

Cela revient `a dire que toute ´el´ement de P

j∈J

E_j s’exprime de mani`ereuniquesous la forme P

j∈J

x_j. Le crit`ere suivant, d´emontr´e en L2 pour les sous–espaces vectoriels s’adapte sans probl`eme : pour que les sous-modules E1, . . . , En soient en somme directe, il faut, et il suffit, que E_i∩(E₁+· · ·+Ei−1) ={0} pour 1 6i6 n. (Bien entendu, l’ordre choisi pour les indices est arbitraire.) Dans le cas particulier o`u E = E₁ ⊕E₂, on dit que les sous-modules E1 et E2 sont suppl´ementairesl’un de l’autre. On dit alors que E1 et E2

sontfacteurs directsde E.

Matrices et combinaisons lin´eaires.

Soit X := (x₁, . . . , x_n) une famille finie d’´el´ements de E. On d´efinit une famille finie Y := (y₁, . . . , y_p) de combinaisons lin´eaires des x_i par les formules : y_j =

n

P

i=1

a_i,jx_i (16j6p). Ces formules peuvent ˆetre abr´eg´ees en :

Y =XM,

o`u M := (a_i,j)16i6n

16j6p est une matrice de M_n,p(A). Cette ´ecriture suit les r`egles du calcul matriciel (`a cela pr`es que l’on devrait alors ´ecrire yj =

n

P

i=1

xiai,j, contrairement `a l’usage d’´ecrire les scalaires `a gauche).

Exercice 2.

Exprimer matriciellement le sous-module F engendr´e par la famille X := (x1, . . . , xn). Solution. C’est l’ensemble des combinaisons lin´eaires desx_i :

F ={a₁x₁+· · ·+a_nx_n|(a₁, . . . , a_n)∈Aⁿ}={XM |M ∈M_n,1(A)}=XAⁿ,

`a condition d’identifier, comme il est d’usage, Aⁿ avec M_n,1(A) (´ecriture en vecteurs co- lonnes).

Ce calcul est coh´erent. Par exemple, si l’on introduit une famille Z := (z₁, . . . , z_q) par les formules :zj =

p

P

j=1

b_j,kyj (16k6q), on peut ´ecrireZ =YN, o`uN := (b_j,k)16j6p 16k6q

∈Mp,q(A),

et l’on v´erifie sans peine queZ =XP, o`uP :=M N ∈M_n,q(A).

Proposition 1. Soit X := (x₁, . . . , x_n) une famille finie d’´el´ements de E. Soit Y := (y1, . . . , yn) la famille d´efinie par les formules : yj =

n

P

i=1

ai,jxi (16j6n), o`u M := (a_i,j)16i6n

16j6p

∈M_n(A). Le sous-module F engendr´e par les x_i et le sous-module Gengendr´e par les y_j v´erifient les relations :

(detM)F ⊂G⊂F.

D´emonstration. La relationG⊂F est ´evidente. Pour l’autre relation, on ´ecritY =XM, que l’on multiplie `a droite par N :=^tM˜ (transpos´ee de la comatrice). Or, la d´emonstration donn´ee dans le cours de L1 que M^tM˜ = ^tM M˜ = (detM)I_n est valable sur un anneau commutatif arbitraire. On en d´eduit que (detM)X =YN, et la conclusion s’ensuit.

1.1.2 Annulateurs, torsion

Voici la premi`ere diff´erence importante entre modules et espaces vectoriels : l’implica- tion a.x= 0⇒a= 0 ou x = 0<sub>E</sub> estfausseen g´en´eral. Prenons par exemple A:=Z et E :=Z/6Z (deuxi`eme exemple ci-dessus). Alors, dans Z/6Z, on a l’´egalit´e : 2.3 = 0, bien que26= 0 et 36= 0. (Ici, on a pris a:= 2et x:= 3.)

On appelleannulateur d’un ´el´ement x ∈ E l’id´eal AnnA(x) := {a∈ A | ax = 0_E},

´egalement not´e Ann(x). (Le lecteur consciencieux v´erifiera que c’est bien un id´eal). On ap- pelleannulateur du moduleE l’id´eal Ann_A(E) := T

x∈E

Ann_A(x) ={a∈A| ∀x∈E , ax= 0_E},

´egalement not´e Ann(E). Le module E est ditfid`elesi AnnA(E) ={0}.

Si E est un module sur l’anneau B := A/A, on peut le voir comme un A-module en posant a.x:= ax (o`u a d´esigne la classe de a∈ A dans A/A). Il est clair que ce A-module (que l’on d´enote encore abusivementE) est tel que A⊂AnnA(E). R´eciproquement, siE est un A-module tel queA⊂Ann<sub>A</sub>(E), on en fait un module surA/Aen posant :a.x:=ax; le lecteur v´erifiera que le membre de droite de cette ´egalit´e ne d´epend pas du repr´esentant particuliera∈Ade a∈B. La condition A⊂AnnA(E)peut ´egalement s’´ecrireAE ={0}. Par exemple, les modules surZ/nZ sont exactement les groupes ab´eliensG tels quenG={0}. Ainsi, nousidentifieronsles modules sur A/A auxA-modules tels que AE ={0}. Nous constaterons que toutes les constructions qui suivent (sous-modules, applications lin´eaires ...) sont les mˆemes pour les deux objets. En particulier, toutA-moduleE est canoniquement un A/AnnA(E)-module fid`ele.

On dit que x∈E estde torsionsi Ann_A(x)6={0}. L’ensemble des ´el´ements de torsion de E est not´e Tor_A(E), ou Tor(E). Pour touta∈A, nous noterons :

E(a) :={x∈E |ax= 0}. (5) C’est bien entendu un sous-module deE, et TorA(E) = S

a6=0

E(a). Le module E est ditde torsion(resp.sans torsion) si Tor_A(E) =E (resp. si Tor_A(E) ={0}).

Si A est int`egre, Tor<sub>A</sub>(E) est un sous-module de E, lesous-module de torsion). En effet, soient x, y ∈ Tor<sub>A</sub>(E), donc ax = by = 0 avec a, b 6= 0. Alors ab(x+y) = 0 et ab 6= 0 (c’est ici qu’intervient l’hypoth`ese d’int´egrit´e de A). En fait, on a toujours : E(a) +E(b) ⊂E(ab). La stabilit´e par multiplication externe est lais´ee au lecteur (elle ne requiert pas l’int´egrit´e).

Exercice 3.

Qu’en est-il siE :=A:=Z/6Z?

Solution. Pour tout anneau A, Tor_A(A) est l’ensemble des diviseurs de 0 dans A. Par exemple, pour A := Z/6Z, c’est {0,2,3,4} : ce n’est pas un sous-groupe (ni un sous- module, ni un id´eal).

Exercice 4.

Calculer les annulateurs des ´el´ements du Z-module E := Q/Z. Qu’en d´eduire pour Ann_Z(E), pour Tor_Z(E)?

Solution. Soitx:=r ∈Q/Z, o`ur:= a

b ∈Q(fraction irr´eductible). Alorsnx= 0⇔b|na, et AnnA(x) =bZ. Tous les ´el´ements sont donc de torsion et Tor_Z(E) =E; mais ils n’ont pas d’annulateur commun et Ann_Z(E) est trivial.

Remarque. Si E est de torsion et de type fini et si A est int`egre, alors AnnA(E) n’est pas trivial. En effet, on ´ecrit E=Ax₁+· · ·+Ax_n et il existe a₁, . . . , a_n non nuls tels que a_ix_i = 0 (1 6 i 6 n). On a alors a₁· · ·a_n ∈ AnnA(E). L’exercice pr´ec´edent montre donc queQ/Zn’est pas unZ-module de type fini. (Voir ´egalement l’ exercice I.6.6 de la page 60.)

1.2 Applications lin´eaires

D ´efinition 3. Une application lin´eaire (ou encore A-lin´eaire) du A-module E dans le A-module F est un morphisme f du groupe additif (E,+) dans le groupe additif (F,+) tel que de plus :

∀a∈A , ∀x∈E , f(ax) =af(x).

On dit aussi quef est unmorphisme deA-modules. L’ensemble des morphismes du A- moduleE dans leA-moduleF est not´e Hom_A(E, F). Les ´el´ements de Hom_A(E, E), ensemble que l’on note EndA(E), sont appel´esendomorphismesdu A-moduleE.

Il revient au mˆeme d’exiger quef pr´eserve les combinaisons lin´eaires f(ax+by) =af(x)+bf(y). Plus g´en´eralement, on a alors :f(P

a_ix_i) =P

a_if(x_i). Exemples.

1. SiAest un corps, on retrouve la notion d’application lin´eaire entre espaces vectoriels.

2. Si A = Z, les applications lin´eaires sont simplement les morphismes de groupes (ab´eliens par hypoth`ese).

3. Pour tout module E, l’identit´e Id_E est un morphisme. Le compos´e des morphismes f : E → F et g : F → G est un morphisme g◦f : E → G. Si f : E → F est un morphisme bijectif, son inverse f⁻¹ est un morphisme : on dit que c’est un isomorphisme(unautomorphismesiE =F).

4. L’application constante x7→0 est un morphisme, appel´emorphisme trivial. SiE ou F est le module trivial {0}, c’est le seul morphisme deE dansF.

5. Pour tout module E, les applications de la forme x 7→ ax, o`u a ∈A est fix´e, sont des endomorphismes de E.

6. Supposons que l’on ait une somme directe : E =E1⊕ · · · ⊕En. Comme dans le cas des espaces vectoriels, on lui associe des projectionspi, qui sont des endomorphismes idempotents deE tels que Imp_i =E_i, p_ip_j = 0si i6=j et p₁+· · ·+p_n= Id_E. R´eciproquement, si des endomorphismes idempotents v´erifient ces deux derni`eres

´equations, les E_i:= Imp_i ont pour somme directe E.

Proposition 2. Soit f : E → F un morphisme de A-modules. Soient E⁰ ⊂ E et F⁰ ⊂ F des sous-modules. Alors f(E⁰) est un sous-module de F et f⁻¹(F⁰) est un sous-module de E. En particulier, l’image Imf est un sous-module de F et le noyau Kerf est un sous-module de E.

D´emonstration. C’est la mˆeme que dans le cas des espaces vectoriels.

Il est imm´ediat que Hom_A(E, F) est un sous-groupe du groupe de tous les morphismes de (E,+)dans(F,+). Si l’on d´efinitaf comme l’application lin´eairex7→af(x), on fait de HomA(E, F)unA-module. L’application(f, g)7→g◦f de HomA(E, F)×Hom_A(F, G) dans HomA(E, G) est A-bilin´eaire (c’est-`a-dire lin´eaire s´epar´ement en chaque argument) et v´erifie les propri´et´es habituelles (associativit´e, neutralit´e deIdE etIdF, etc). En particu- lier, End<sub>A</sub>(E)est un anneau (en g´en´eral non commutatif). Le groupe de ses unit´es (´el´ements inversibles) est le groupe Aut<sub>A</sub>(E) desautomorphismesdu A-module E (isomorphismes de E dans lui-mˆeme). Comme les homoth´etiesλa:x7→ax sont centrales dans EndA(E) (c’est la d´efinition mˆeme de la lin´earit´e), le morphisme a 7→ λa fait de EndA(E) une A-alg`ebre (ce terme a ´et´e d´efini page 5).

Matrices et applications lin´eaires.

Les applications lin´eaires de A dans F sont les applications de la forme a 7→ ax, o`u x ∈F est fix´e. Plus g´en´eralement, les applications lin´eaires de A<sup>n</sup> dans F sont les appli- cations de la forme f(a1, . . . , an) =a1y1+· · ·+anyn, o`u y1, . . . , yn∈F. En fait, yi est l’image deei:= (0, . . . ,1, . . . ,0) = (δi,j)_16j6n∈Aⁿ.

Pour d´ecrire les applications lin´eaires de Aⁿ dans A^p, il est d’usage d’´ecrire les ´el´ements

sous forme de colonnes,i.e.d’identifierAⁿ `a M<sub>n,1</sub>(A) etA<sup>p</sup> `aM_p,1(A). Les applications lin´eaires ont alors la forme X 7→ M X, o`u M ∈ Mp,n(A). L’essentiel du calcul matriciel de cours de L1 s’applique tel quel. Par exemple, les modules Hom_A(Aⁿ, F) et Fⁿ sont isomorphes. De mˆeme, les modules Hom_A(Aⁿ, A^p) et Mp,n(A) sont isomorphes, et les modules EndA(Aⁿ) etMn(A) sont isomorphes.

Le cas des isomorphismes et des automorphismes m´erite un peu d’attention. SoientM ∈M_p,n(A) etN ∈Mn,p(A)deux matrices telles que M N =Ip etN M =In. SoitM un id´eal maxi-

mal arbitraire de A. Si l’on notek:=A/M le corps r´esiduel, en appliquant le morphisme A → k, on obtient des ´egalit´es M N = I_p et N M = I_n entre matrices sur le corps k.

On sait alors que l’on a n´ecessairement n=p.

Soit maintenantM ∈M_n(A)une matricecarr´eeadmettant un inverse `a droite :M N =I<sub>n</sub>. La multiplicativit´e du d´eterminant (valable sur tout anneau) entraine que detM ∈ A<sup>∗</sup>, groupe des unit´es (´el´ements inversibles) de A. R´eciproquement, si detM ∈ A<sup>∗</sup>, alors (detM)<sup>−1t</sup>M˜ est l’inverse `a droite et `a gauche de M, et c’est donc son unique inverse.

Applications lin´eaires et familles

A toute famille` x:= (x_i)i∈I∈E^I, on associe un morphisme :







ϕ_x :A^(I) →E, (ai)i∈I 7→P

i∈I

aixi. (6)

On obtient ainsi un isomorphismex 7→ϕx de E^I sur HomA A^(I), E

. Les propri´et´es du morphismeϕ_x traduisent des propri´et´es de la famille (x_i)i∈I. On ´etend ainsi la terminolo- gie des espaces vectoriels.

Par exemple, pour que le morphisme ϕx soit surjectif, il faut, et il suffit, que(xi)i∈I soit une famille g´en´eratrice. On d´efinit alors le module des relationsentre les g´en´erateurs x_i comme le noyau deϕx :

R:= Kerϕx={(a_i)i∈I ∈A^(I)|X

i∈I

aixi = 0}. (7)

Pour que le morphisme ϕx soit injectif, il faut, et il suffit, qu’il n’existe aucune relation lin´eaire non triviale entre lesxi :

∀(a_i)i∈I ∈A^(I) : X

i∈I

aixi = 0 =⇒ ∀i∈I , ai= 0.

On dit alors que la famille(x_i)i∈I estlibre, ou que les x_i sontlin´eairement ind´ependants.

Une famille (xi)i∈I qui n’est pas libre est diteli´ee, et les xi sont ditsli´esoulin´eairement d´ependants. Voici quelques exemples de difficult´es dans l’usage de ces notions pour les modules (en contraste avec les espaces vectoriels).

Exercice 5.

A quelle condition la famille` (x) est-elle li´ee ? Solution. Six est de torsion (mˆeme non nul).

 Attention.Si les x_i sont li´es, on ne peut en d´eduire que l’un est combinaison lin´eaire des autres. Par exemple, deux ´el´ements du A-module A sont toujours li´es : s’ils sont tous deux nuls, c’est ´evident, sinon on a la relation a.b+ (−b).a = 0; mais l’un n’est pas toujours multiple de l’autre.

Une famille libre maximale n’est pas n´ecessairement g´en´eratrice. Par exemple, la famille (x) du A-module A est libre maximale si, et seulement si, x ne divise pas 0, mais elle n’est g´en´eratrice que si x est inversible.

Une famille g´en´eratrice minimale n’est pas n´ecessairement libre. Par exemple, la famille (2,3)du Z-module Zest g´en´eratrice minimale (aucune de ses sous-familles strictes n’est g´en´eratrice) mais elle n’est pas libre.

On peut traduire en termes matriciels les notions de famille g´en´eratrice, de famille libre, dans le cas de familles finies. On utilise pour cela les notations introduites page 8.

Dire que X := (x1, . . . , xn) est g´en´eratrice, c’est dire que tout x ∈ E s’´ecrit XU, avec U ∈ M_n,1(A). Modulo l’identification de Aⁿ avec M_n,1(A) (´ecriture en colonnes), on peut donc ´ecrire symboliquement : E=XAⁿ.

Dire que X := (x₁, . . . , x_n) est libre, c’est dire que, pour tout M ∈ M_n,1(A), on a : XM = 0⇒ M = 0. Cela reste d’ailleurs vrai pour des matrices M ∈Mn,p(A), puisque les composants de XM sont alors les XU, o`u U est une colonne de M. Par exemple, XM =X est ´equivalent `a M =In.

Exercice 6.

Montrer que siX := (x₁, . . . , x_n) et Y := (y₁, . . . , y_p) sont libres et engendrent le mˆeme module, alors n=p.

Solution. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il y a des matrices M ∈ Mn,p(A) et N ∈ Mp,n(A) telles que Y =XM etX =YN. On a alorsM N =I_n etN M =I_p. Mais on a vu page 12 que ce n’est possible que si n=p.

1.2.1 Produits, sommes directes

Soit (Ei)i∈I une famille de A-modules. On sait munir le produit cart´esien Q

i∈I

Ei d’une structure de groupe. En posant :

a.(xi)i∈I := (a.xi)i∈I,

on en fait un A-module, appel´emodule produit. Chaque projection p_j : (x_i)i∈I 7→ x_j est un morphisme surjectif de Q

i∈I

E_i sur le facteur E_j. On d´efinit de mˆeme une injection deE_j dans le module produit en envoyantx sur l’´el´ement (x_i)i∈I dont la composante d’indice j vautx et les autres sont nulles. Cette injection permet d’identifier E_j `a un sous-module de

Q

i∈I

E_i, ce que nous ferons donc. La somme des sous-modulesE_j ⊂ Q

i∈I

E_i est form´ee des

´el´ements (x_i)i∈I dont presque toutes les composantes (c’est-`a-dire toutes sauf un nombre fini) sont nulles. Ce sous-module est appel´esomme directe ext´erieuredesE<sub>i</sub> et not´e `

i∈I

E_i. Par exemple, si∀i∈I , Ei=A, alors Q

i∈I

Ei =A^I et `

i∈I

Ei =A^(I). Naturellement, si I est fini, `

i∈I

Ei= Q

i∈I

Ei.

Si lesE_i sont des sous-modules d’un moduleE, on peut d´efinir un morphisme(x_i)i∈I 7→P

i∈I

x_i

de `

i∈I

Ei dans E. L’image de ce morphisme est la somme P

i∈I

Ei ⊂E. Pour que les sous- modules Ei soient en somme directe, il faut, et il suffit, que le morphisme ci-dessus soit injectif. Dans ce cas, on a un isomorphisme : `

i∈I

E_i ' L

i∈I

E_i. Pour cette raison, il est fr´equent de ne pas distinguer les deux notions et de noter indiff´eremment L

i∈I

E_i la somme directe ext´erieure des modules E_i (laquelle est toujours d´efinie) et la somme directe des sous-modules Ei ⊂E (c’est-`a-dire leur somme, sous r´eserve que ces sous-modules soient bien en somme directe). Plus g´en´eralement, si l’on a des morphismesfi :Ei →F, on peut d´efinir un morphismeP

f_i :`

E_i →F par x7→ P

f_i(x). En g´en´eral, ce morphisme de s’´etend pas `aQ

E_i.

 Attention. En premi`ere approximation, il revient au mˆeme d’´ecrire E ' E<sub>1</sub> ×E<sub>2</sub> ou E = E1 ⊕E2. La seconde relation implique ´evidemment la premi`ere, mais elle est plus pr´ecise : elle signifie que l’on a fait un choix particulier de deux sous-modules suppl´ementaires l’un de l’autre E₁, E₂ ⊂ E. Nous verrons par exemple `a la section 3.2 qu’un mˆeme groupe admet les deux d´ecompositions : G ' Z/2Z×Z/6Z (facteurs in- variants) et G = G<sub>2</sub> ⊕G<sub>3</sub>, avec G<sub>2</sub> ' Z/2Z×Z/2Z et G<sub>3</sub> ' Z/3Z (d´ecomposition primaire), mais la deuxi`eme relation concerne des sous-groupes bien identifi´es de G, alors que la premi`ere ne donne que des informations sur la structure (i.e.`a isomorphisme pr`es).

1.2.2 Quotients

Proposition et d ´efinition 3.Soit E⁰ ⊂E un sous-module. Il existe alors sur le groupe quotient E/E⁰ une unique structure de A-module telle que la projection canonique p : E → E/E⁰ soit A-lin´eaire. On dit alors que le module E/E⁰ est le (module) quotientde E par E⁰.

D´emonstration. La d´emonstration est en tous points similaire `a celle donn´ee pour les es- paces vectoriels. On pose bien entendu :

a.x:=a.x.

Sur un corps, on retrouve la notion d’espace vectoriel quotient, sur Z celle de groupe (ab´elien) quotient. SiAest un id´eal, le module quotient A/Aest le mˆeme que celui obtenu en consid´erant A/A comme une A-alg`ebre (page 5) ou comme un A-module annul´e par A (page 9). Si E =E1⊕E2, la restriction `a E2 de la projection E → E/E1 est un iso- morphisme. Si un sous-modules de E admet des suppl´ementaires, ceux-ci sont donc tous isomorphes entre eux.

La propri´et´e caract´eristique du quotient est la suivante : pour qu’un morphismef :E →F se factorise en f ◦p :E → E/E⁰ → F, il faut, et il suffit, que f(E⁰) = {0} ⊂ F. On dit que f passe au quotienten f : E/E⁰ → F. Plus g´en´eralement, si F⁰ ⊂ F est un sous-module tel quef(E⁰)⊂F⁰, alors f passe au quotient en f :E/E⁰ →F/F⁰.

Th ´eor `eme 4 (Premier th ´eor `eme d’isomorphisme pour les modules). Soit f : E → F un morphisme. L’isomorphisme de groupes E/Kerf ' Imf est alors un isomorphisme deA-modules.

D´emonstration. La d´emonstration est en tous points similaire `a celle donn´ee pour les es- paces vectoriels.

Corollaire 5 (Deuxi `eme th ´eor `eme d’isomorphisme pour les modules). Soient E⁰⁰⊂E⁰ ⊂E des sous-modules. AlorsE⁰/E⁰⁰ s’identifie `a un sous-module de E/E⁰⁰ et le quotient est :

E/E⁰⁰ E⁰/E⁰⁰ ' E

E⁰·

Notons que l’on a ainsi une correspondance bijective entre les sous-modules E⁰ de E contenantE⁰⁰ et les sous-modules E⁰/E⁰⁰ de E/E⁰⁰.

Corollaire 6 (Troisi `eme th ´eor `eme d’isomorphisme pour les modules). Soient E1, E2 ⊂E deux sous-modules de E. On a un isomorphisme naturel :

E₁/(E₁∩E₂)'(E₁+E₂)/E₂.

D´emonstration. A titre d’illustration de la m´ethode, qui est tout `a fait g´en´erale, prouvons` ce th´eor`eme. Le morphisme compos´eE<sub>1</sub> →E<sub>1</sub>+E<sub>2</sub> →(E<sub>1</sub>+E<sub>2</sub>)/E<sub>2</sub> est surjectif, parce que (avec des notations ´evidentes)(e<sub>1</sub>+e<sub>2</sub>) (mod E<sub>2</sub>)est l’image dee<sub>1</sub>∈E<sub>1</sub>. Son noyau est E1∩E2. le th´eor`eme 4 de la page pr´ec´edente s’applique donc.

Exemples.

1. Si (xi) est une famille g´en´eratrice de E, le morphisme surjectif ϕx de la page 12 admet pour noyau le module des relations R, d’o`u un isomorphisme A<sup>(I)</sup>/R' E. Par cet isomorphisme, les applications lin´eairesE →F s’identifient aux applications lin´eaires de A<sup>(I)</sup> dans F qui passent au quotient par R, c’est-`a-dire qui s’annulent surR.

2. Un module de type fini est isomorphe `a un module de la forme Aⁿ/R.

3. Un module monog`ene, c’est-`a-dire engendr´e par un seul ´el´ement x, est l’image de A par l’application lin´eaire a 7→ ax, dont le noyau est AnnA(x). On a donc un isomorphisme E ' A/AnnA(x). Les modules monog`enes sont donc exactement les modules qui sont, `a isomorphisme pr`es, de la forme A/A. Un tel module est de torsion si, et seulement si,A6={0}. Un module de torsion monog`ene est ditcyclique.

Exercice 7.

On dit qu’un module estsimples’il est non trivial et n’admet pour sous-modules que lui- mˆeme et{0}. `A quoi ressemble un tel module ?

Solution. Il est n´ecessairement monog`ene, donc de la forme A/A Ses sous-modules sont en bijection avec les id´eaux deA contenantA : ce dernier id´eal doit donc ˆetre maximal.

1.2.3 Modules sur K[X]

Nous allons illustrer le vocabulaire des modules sur un exemple important, celui de l’an- neau A :=K[X] des polynˆomes sur un corpsK. L’´etude sera consid´erablement enrichie

`a la section 3.3 en tenant compte de la principalit´e deA.

Soit E un K[X]-module. C’est, en particulier, un K-espace vectoriel, que l’on no- tera V pour distinguer les deux structures. (Dans la terminologie du paragraphe 1.3.2, on dira que V a ´et´e obtenu parrestriction de l’anneau des scalaires de A `a K, et l’on notera V = E<sub>[K]</sub>.) Les ´el´ements de V et de E sont donc les mˆemes. L’application x 7→ X.x est K-lin´eaire, c’est donc un endomorphisme ϕ ∈ L<sub>K</sub>(V). De plus, pour tout polynˆome P ∈ K[X], et tout x ∈ V (ou x ∈ E, cela revient au mˆeme), on a P(ϕ)(x) = P(X).x = P.x : au membre droit, c’est la loi externe du K[X]-module qui intervient ; elle est donc enti`erement d´etermin´ee par ϕ.

R´eciproquement, soient V un K-espace vectoriel etϕ∈ L_K(V)un endomorphisme de V. On peutposer:

∀P ∈K[X], ∀x∈V , P.x:=P(ϕ)(x). (8) Le lecteur consciencieux v´erifiera soigneusement que l’on d´efinit ainsi un K[X]-module, que nous noteronsVϕ. Nous allons d´etailler le« dictionnaire»entre la th´eorie des espaces vectoriels munis d’un endomorphisme ϕet la th´eorie des K[X]-modules.

Un sous-module de Vϕ est un sous–espace vectoriel qui est stable par multiplication par X (il est clair que cela entraine la stabilit´e par multiplication par tout P ∈ K[X]). C’est donc un sous–espace vectoriel stable parϕ.

Si ϕ ∈ L_K(V) et ψ ∈ L_K(W), un morphisme de K[X]-modules de V_ϕ dans W_ψ est une application lin´eaire f : V → W telle que de plus f(X.x) = X.f(x) (il est clair que cela entraine que f(P.x) = P.f(x) pour tout P ∈ K[X]). Or, par d´efinition, f(X.x) =f ϕ(x)

etX.f(x) =ψ f(x)

. UnK[X]-morphisme est donc une application lin´eaire quientrelace ϕet ψ :

f◦ϕ=ψ◦f. (9)

En particulier, un endomorphisme du K[X]-module V_ϕ est un endomorphisme du K- espace vectorielV qui commute avec ϕ. On en tire la cons´equence suivante :

Proposition et d ´efinition 7.Soientϕ∈ L_K(V) etψ∈ L_K(W). Pour que lesK[X]- modules Vϕ et W_ψ soient isomorphes, il faut, et il suffit, qu’il existe un isomorphisme f :V →W tel que ψ=f◦ϕ◦f⁻¹. On dit alors queϕ etψ sontsemblables.

Lorsque V =W, on retrouve, bien entendu, la d´efinition usuelle.

Exercice 8.

Traduire cette notion matriciellement.

Solution. Soient B (resp. C) une base du K-espace vectoriel V (resp. W) et M (resp.

N) la matrice de ϕ (resp. ψ) dans cette base. Soit P la matrice de f relativement aux bases B et C. La condition ψ = f ◦ϕ◦f⁻¹ ´equivaut alors `a l’´egalit´e : N = P M P⁻¹ (formules de changement de base). Ainsi, ϕet ψ sont semblables si, et seulement si, leurs matrices dans des bases arbitraires le sont.

Th ´eor `eme 8.Soit ϕ∈ L_K(V). Le K-espace vectoriel V est de dimension finie si, et seulement si, le K[X]-moduleVϕ est de torsion de type fini.

D´emonstration. Supposons que V est de dimension finie. Alors toute base de V est a fortioriun syst`eme g´en´erateur de Vϕ, qui est donc de type fini. (Argument : tout ´el´ement est combinaison lin´eaire des ´el´ements de la base avec des coefficients dans K donc dans K[X]). Par ailleurs, il existe un polynˆome annulateur P de ϕ. (Rappelons la raison : l’ap- plication lin´eaire P 7→ P(ϕ) de K[X] dans L<sub>K</sub>(V) ne peut ˆetre injective `a cause des dimensions.) On a donc : ∀x∈V , P.x=P(ϕ)(x) = 0,i.e. P ∈Ann_K[X](V_ϕ).

Supposons r´eciproquement queV_ϕest de torsion de type fini. Soientx₁, . . . , x_ndes g´en´erateurs et P1, . . . , Pn non nuls tels que P1.x1 =· · · = Pn.xn = 0. Alors le morphisme surjectif K[X]ⁿ→V_ϕ passe au quotient en un morphisme surjectif :

K[X]/<P1>× · · · ×K[X]/<Pn>→Vϕ.

Ce morphisme de K[X]-modules est en mˆeme temps une application lin´eaire surjective de K-espaces vectoriels, dont la source est un espace vectoriel de dimension finie P

degP_i et dont le but est leK-espace vectoriel V, qui est donc de dimension finie.

Comme application, voici une preuve ´el´ementaire du th´eor`eme de Cayley-Hamilton. Soit ϕ∈ L<sub>K</sub>(V), o`uV est de dimension finie. SoitM = (ai,j)∈Mn(K)la matrice de ϕdans

la baseB:= (e1, . . . , en)duK-espace vectorielV. On noteM⁰ :=M−XI_n= (a⁰_i,j)∈Mn(K[X]).

Des ´egalit´es :

X.e_j =ϕ(e_j) =

n

X

i=1

a_i,je_i,

on tire les ´egalit´es Pn i=1

a⁰_i,je_i = 0dansV_ϕ, ce que l’on peut ´ecrire :BM⁰ = (0, . . . ,0)∈V_ϕⁿ.

D’apr`es la proposition 1 de la page 8, on en d´eduit que(detM⁰)V_ϕ = 0. Notantχ_M := detM⁰ ∈K[X]

le polynˆome caract´eristique de M et ϕ, cela signifie queχ_M(ϕ) est l’endomorphisme nul de V. Les formules de Cramer constituent l’unique ingr´edient non trivial de cette preuve.

Modules cycliques. Sur un anneau quelconque A, les modules cycliques sont (`a iso- morphisme pr`es) les modules de la forme A/A, o`u A est un id´eal propre non nul. Sur

A:=K[X], ce sont donc les modules de la formeK[X]/<P >, o`uP :=Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·a_n∈K[X]

avec n>1.

Notons x:=X (modP) et munissons leK-espace vectorielV :=K[X]/<P > de la base des e_i := xⁱ (0 6i6n−1). On a donc X.e_i =xⁱ⁺¹ =e_i+1 pour0 6i6n−2 et X.en−1 =xⁿ =−a₁xⁿ⁻¹− · · · −a_n =−a_ne₀− · · · −a₁en−1. L’endomorphisme ϕ qui d´efinit le moduleV_ϕ :=K[X]/<P > est donc cyclique (les ϕⁱ(e₀) pouri∈[[0, n−1]]

forment une base) et la matrice deϕdans la base(e0, . . . , en−1)est la matrice compagnon :

CP :=















0 0 . . . 0 −a_n 1 0 . . . 0 −a_n−1

... ... . .. ... ... 0 0 . . . 0 −a₁ 0 0 . . . 1 −a₀















L’annulateur de Vϕ est l’id´eal <P >, et P est donc le polynˆome minimal de CP (exer- cice I.6.19 de la page 61). Comme deux modules isomorphes ont mˆeme annulateur, on voit queC_P etC_Q sont semblables si, et seulement si, P =Q.

1.3 Rudiments de fonctorialit´e 1.3.1 Suites exactes

Le langage des suites exactes est extrˆemement commode pour parler de sous-modules et de modules quotients.

D ´efinition 4.On dit que le diagramme de morphismes de A-modules : E0

f1

−→E1 f2

−→ · · ·^f−→ⁿ⁻¹ En−1 fn

−→En (10)

est une suite exacte si elle est «exacte en chaque Ei » (1 6 i 6 n − 1), i.e.

Imfi = Kerfi+1. Autrement dit,fi+1◦fi = 0 etfi+1(x) = 0⇒x∈Imfi.

Dans ce qui suit, nous noterons abusivement0le module trivial{0}. La suite0→E⁰ →^f E est exacte si, et seulement si,Kerf = 0, c’est-`a-dire si, et seulement si, f est injective. De mˆeme, la suite E →<sup>g</sup> E<sup>00</sup> → 0 est exacte si, et seulement si, Img =E<sup>00</sup>, c’est-`a-dire si, et seulement si, g est surjective.

Soit E₁ ⊂E, et notonsE₂ :=E/E₁. On a alors une suite exacte :

0→E₁ ,→E−→E₂ →0. (11)

On appellesuite exacte courteune suite exacte de la forme :

0→E⁰ −→^f E −→^g E⁰⁰→0. (12) On n’a pas besoin de pr´eciser les morphismes extrˆemes, car ils sont n´ecessairement triviaux.

L’exactitude enE⁰ dit quef est injectif. On peut donc identifierE⁰ `a son imageImf ⊂E. L’exactitude enE<sup>00</sup> dit queg est surjectif. On peut donc identifierE<sup>00</sup> `a E/Kerg. Comme Kerg = Imf, on obtient finalement un isomorphisme de E/E⁰ sur E⁰⁰. La suite exacte (12) s’identifie donc `a la suite exacte (11).

On peut exprimer plus rigoureusement ces identifications comme suit. NotonsE1:= Imf = Kerg et E2 := E/E1. Notons u l’isomorphisme de E⁰ sur E1 (corestriction de f) et v l’isomor- phisme deE⁰⁰surE₂ (inverse de l’isomorphisme deE/Kerg surImg d´eduit du th´eor`eme 4 de la page 15). On a alors unisomorphisme de suites exactes, c’est-`a-dire un diagramme commutatif dans lequel les fl`eches verticales sont des isomorphismes :

0 −−−−→ E⁰ −−−−→^f E −−−−→^g E⁰⁰ −−−−→ 0



 y



 y^u



 y^IdE



 y^v



 y 0 −−−−→ E1

−−−−→i E −−−−→^p E2 −−−−→ 0

En un certain sens, toute suite exacte (10) est fabriqu´ee `a partir de suites exactes courtes.

posons en effetF_i := Imf_i= Kerf_i+1 (pour 16i6n−1). On a alors des suites exactes courtes :

0→F_i,→E_i ^f−→ⁱ⁺¹ F_i+1 →0

C’est encore vrai pour i := 0 si l’on pose F₀ := Kerf₁. R´eciproquement, si l’on a des suites exactes0→Fi →Ei →Fi+1 →0, les morphismes compos´esEi →Fi+1 →Ei+1

s’assemblent en une suite exacte (10).

Exemple. Si (x_i)i∈I est une famille g´en´eratrice de E, de module des relations R (d´efini page 12), on a une suite exacte courte : 0 → R ,→ A^(I) → E → 0. Soit (rj)j∈J une famille g´en´eratrice deR. Le morphisme surjectifA^(J)→Rse traduit par une suite exacte : A^(J) →R →0. En composantA^(J)→R→A^(I), on obtient finalement une suite exacte : A^(J)−→A^(I) −→E→0. (13) Cette suite s’appelle unepr´esentation deE. On dit aussi que l’on a d´ecritEparg´en´erateurs et relations.

Suites exactes scind´ees. Reprenant l’exemple 6 de la page 11, on voit que le sous-module E⁰ ⊂ E est facteur direct de E si, et seulement si, il est l’image d’un projecteur (i.e.

d’un endomorphisme idempotent) : un endomorphisme p de E d’image E⁰ et tel que p_E⁰ = Id_E⁰. Plus g´en´eralement, un morphisme injectif f : E⁰ → E identifie E⁰ `a un facteur direct E<sub>1</sub> de E si, et seulement si, il admet uner´etraction, c’est-`a-dire un mor- phisme r:E →E⁰ tel que r◦f = IdE⁰. Dualement, un morphisme surjectif g:E →E⁰⁰ se restreint en un isomorphisme d’un facteur direct E₂ de E sur E⁰⁰ si, et seulement si, il admet unesection, c’est-`a-dire un morphisme s:E⁰⁰→E tel queg◦s= Id_E⁰⁰.

Nous dirons qu’une suite exacte courte (12) estscind´eesi l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee : (i) Imf est facteur direct de E ; (ii) le morphisme f admet une r´etraction ; (iii) Le morphisme g admet une section. Il revient au mˆeme de dire que la suite (12) est isomorphe `a une suite exacte de la forme :

0→E₁−→E₁⊕E₂ −→E₂ →0. (14)

Exercice 9.

Etudier le cas de :´ 0→Z−→^×n Z−→Z/nZ→0, o`un∈N^∗.

Solution. Comme le morphisme x 7→ nx est injectif d’image nZ, qui est le noyau du morphisme surjectif Z→ Z/nZ, il s’agit d’une suite exacte courte. Elle n’est pas scind´ee car Zne contient aucun sous-groupe isomorphe `a Z/nZ.

1.3.2 Changement de l’anneau des scalaires

Une op´eration importante de l’alg`ebre commutative est lechangement d’anneau de base.

Restriction de l’anneau des scalaires. Si A⊂B est un sous-anneau, alors toutA-module peut ˆetre vu comme unA-module par simple restriction de la loi externe. Plus g´en´eralement, soit f :A → B un morphisme d’anneaux commutatifs. Pour tout B-moduleE, on peut d´efinir une loi externe A×E → E en posant a.x := f(a).x (cette derni`ere expression

´etant d´ej`a d´efinie). On fait ainsi de E un A module. Pour distinguer les deux structures sur E, on note parfois E_[A] le A-module obtenu parrestriction de l’anneau des scalaires.

Ainsi, B lui-mˆeme peut ˆetre vu comme A-module (page 5). Le cas o`u B := A/A a ´et´e d´ecrit page 9. L’exemple de K→K[X]a ´et´e vu au paragraphe 1.2.3.

L’op´eration la plus importante est l’extension de l’anneau des scalaires. Pour tout mor- phisme d’anneaux commutatifs f : A → B, elle permet d’associer `a tout A-module E un B-module, not´e B⊗_AE ou E_(B). Nous ne d´ecrirons cette op´eration que dans des cas simples.

 Attention.L’extension et la restriction des scalaires ne sont pas r´eciproques l’une de l’autre (exercice I.6.23 de la page 61).

Extension des scalaires deA `aA/A. SoitAun id´eal deAet notonsB :=A/A. Pour tout A-moduleE, leA-moduleE/AE est annul´e parA, donc on peut le consid´erer comme un B-module (page 9) : ceB-module est normalement not´eE_(B). Notons le temporairement E.

Pour toute application lin´eaire f :E → F, il est clair que f(AE) ⊂AF. On a donc, par passage au quotient, un morphisme de B-modules : f :E → F. Les propri´et´es suivantes se v´erifient ais´ement : IdE = Id_E ; et g◦f =g◦f. On dit que l’extension des scalaires de A `a A/A est un foncteur covariant. Cela implique logiquement que, si E 'F, alors E 'F.

Exercice 10.

D´emontrer que, siAⁿ'A^p, alorsn=p.

Solution. On ´etend les scalaires deA `aK :=A/M, o`uMest un id´eal maximal de A. On en d´eduit queKⁿ'K^p, et l’on applique la th´eorie de la dimension des espaces vectoriels.

(Voir ´egalement les exercices I.6.24 de la page 61 et I.6.25 de la page 62.)

Extension des scalaires de A `a S⁻¹A. Soit S une partie multiplicative de A et soit B :=S⁻¹A. Pour tout A-moduleE, on peut d´efinir une relation d’´equivalence surE×S en posant :

(x, s)∼(x⁰, s⁰)⇐⇒ ∃t∈S : t(sx⁰−s⁰x) = 0.

L’ensemble quotient est not´eS⁻¹E et la classe de(x, s)dans S⁻¹E est not´eex/s. Exac- tement comme dans lors de la construction de l’anneau des fractionsS⁻¹A, on munitS⁻¹E d’une structure de groupe en posant :(x/s) + (y/t) := (tx+sy)/(st). On en fait de plus un S⁻¹A-module en posant :(a/s).(x/t) := (ax)/(st). C’est le module E_(B) dans le cas o`u B :=S⁻¹A. Notons le temporairement E˜.

Pour toute application lin´eaire f :E → F, l’application x/s 7→ f(x)/s est bien d´efinie, et c’est un morphisme de S⁻¹E dans S⁻¹F. Notons le temporairement f˜. On a les pro- pri´et´es : Idg_E = Id_E˜ ; etg]◦f = ˜g◦f˜. On dit que l’extension des scalaires de A `a S⁻¹A est un foncteur covariant. Cela implique logiquement que, si E'F, alorsE˜ 'F˜.

Exercice 11.

A quelle condition a-t-on` S⁻¹E= 0?

Solution. La condition n´ecessaire et suffisante est que l’annulateur de toutx∈Erencontre S.

La construction pr´ec´edente est particuli`erement utile lorsque A est un anneau int`egre et queS:=A\{0}. Dans ce cas,K :=S⁻¹Aest le corps des fractions deAet leA-module E donne lieu `a un K-espace vectoriel E_(K).

Proposition et d ´efinition 9.Le cardinal d’une famille libre maximale de E est ´egal `a la dimension du K-espace vectoriel E_(K). On l’appellerangdu A-module Eet on le note rgE. Par convention, s’il existe des familles libres infinies, le rang est∞.

D´emonstration. On ´etablit d’abord que la famille (x₁, . . . , x_n)de E est libre si, et seule- ment si, la famille(x₁/1, . . . , x_n/1)de E_(K) l’est (facile et laiss´e au lecteur). On remarque ensuite que toute famille libre finie de E_(K) est, `a un facteur 1/spr`es, de cette forme.

Corollaire 10. Si E⁰ ⊂ E, alors rgE⁰ 6 rgE. L’´egalit´e a lieu si, et seulement si, rg(E/E⁰) = 0, c’est-`a-dire si E/E⁰ est de torsion.

D´emonstration. On v´erifie sans peine que dans ce cas, E_(K)⁰ → E_(K) est injective, d’o`u l’in´egalit´e. La condition n´ecessaire et suffisante d’´egalit´e repose sur les consid´erations qui suivent.

La propri´et´e essentielle du foncteur d’extension des scalaires de A `a S⁻¹A est qu’il est exact(exercice I.6.26 de la page 62). Autrement dit, dans notre cas, si0→E⁰→E →E⁰⁰→0 est une suite exacte courte de A-modules, on obtient par extension des scalaires une suite exacte : 0→ E_(K)⁰ → E_(K) → E_(K)⁰⁰ → 0. On en d´eduit querg(E) = rg(E⁰) + rg(E⁰⁰), ce qui renforce le corollaire pr´ec´edent.

On peut voir E_(K) comme un A-module (restriction des scalaires !) et l’application x 7→ x/1 de E dans E_(K) est A-lin´eaire. Son noyau est form´e des x tels que tx = 0 pour un t6= 0, d’o`u l’´egalit´e :

TorA(E) = Ker(E →E_(K)).

D’apr`es l’exercice 11 de la page ci-contre, E est de torsion si, et seulement si, E_(K) = 0.

Ainsi, la suite exacte courte 0 → TorA(E) → E → E/Tor_A(E) → 0 devient-elle, apr`es extension des scalaires, la suite exacte : 0 → 0 →E_(K) → E/Tor_A(E)

(K)→ 0, autre- ment dit, l’isomorphisme E_(K)' E/TorA(E)

(K).

1.3.3 Modules d’homomorphismes

Fixons le module sourceE. Pour tout morphisme u:F1 →F2, l’applicationf 7→u◦f est un morphisme de Hom_A(E, F₁)dans Hom_A(E, F₂). Notons temporairement Hom_A(E, u) ce morphisme. On a les r`egles suivantes : si u est l’identit´e de F, alors Hom_A(E, u) est l’identit´e de HomA(E, F); si l’on se donne u : F1 → F2 et v : F2 → F3, alors HomA(E, v◦u) =HomA(E, v)◦HomA(E, u). Ces propri´et´es se r´esument en disant que HomA(E,−) est unfoncteurqui transforme modules en modules et applications lin´eaires en applications lin´eaires. On en d´eduit facilement (par pure logique) que, siu est un isomor- phisme, alors Hom_A(E, u) est un isomorphisme. On voit ´egalement que, si u est injectif, alors Hom_A(E, u) est injectif (i.e. u◦f ⇒f = 0). Mais il est faux que la surjectivit´e soit pr´eserv´ee (exercice I.6.9 de la page 60).

Fixons maintenant le module cible F. Pour tout morphisme u : E₁ → E₂, l’applica- tion f 7→ f ◦u est un morphisme de HomA(E₂, F) dans HomA(E₁, F). Notons tem- porairement Hom_A(u, F) ce morphisme. On a les r`egles suivantes : si u est l’identit´e de E, alors Hom_A(u, F) est l’identit´e de Hom_A(E, F); si l’on se donne u : E₁ → E₂ et v :E2 →E3, alors Hom_A(v◦u, F) =Hom_A(u, F)◦Hom_A(v, F). Ces propri´et´es se r´esument en disant que HomA(−, F)est unfoncteur contravariantqui transforme modules en modules et applications lin´eaires en applications lin´eaires. Si u est un isomorphisme, alors HomA(u, F) est un isomorphisme. On voit ´egalement que, si u est surjectif, alors HomA(E, u) est injectif (i.e. f ◦u = 0 ⇒ f = 0). Mais il est faux que l’injectivit´e soit transform´ee en surjectivit´e (exercice I.6.9 de la page 60).

Morphismes et relations lin´eaires. Soit (xi)i∈I une famille g´en´eratrice de E. Dans ce cas, un morphisme f : E → F est uniquement d´etermin´e par les f(xi) ∈ F : si l’on connait les images y_i := f(x_i), on peut calculer, pour tout x := P

i∈I

a_ix_i son image f(x) := P

i∈I

aiyi. Noter cependant que, les yi ´etant donn´es, l’existenced’un morphisme f tel que ∀i∈I , f(xi) =yi n’est pas garantie ; seule l’unicit´e est garantie. Cela peut se traduire en disant que le morphisme suivant est injectif :

(HomA(E, F)→F^I, f 7→ f(x_i)

,

Quelle condition doit-on imposer aux y_i pour qu’il existe un tel morphisme f ? Soit R le module des relations entre les xi (d´efini page 12). Il est clair que pour toute relation P

i∈I

aixi = 0 entre les xi, c’est-`a-dire pour tout (ai)i∈I ∈ R, il estn´ecessaireque l’on ait