INTENSIMETRIE ACOUSTIQUE

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE

2007-2008

0709

INTENSIMETRIE ACOUSTIQUE

PRINCIPE ET APPLICATIONS

Jean-Claude Pascal

INTENSIMETRIE ACOUSTIQUE : PRINCIPE ET APPLICATIONS

Partie 1

La mesure de l'intensité acoustique

1. Introduction

2. Expression de l’intensité acoustique 3. Formulation approchée de l’intensité 4. Erreurs de mesure

Partie 2

Les applications de l'intensité acoustique

1. Intensimétrie en conduit et mesure des matériaux 2. Détermination de la puissance acoustique

3. Identification des sources

4. Autres techniques d'obtention du vecteur intensité acoustique

Références bibliographiques

Annexe A – Analyse spectrale par FFT

Partie 1

La mesure de l'intensité acoustique

1. Introduction

2. Expression de l’intensité acoustique 3. Formulation approchée de l’intensité 4. Erreurs de mesure

1. Introduction

Les méthodes basées sur l'énergie ont toujours suscité beaucoup d'intérêt dans les domaines des vibrations et de l'acoustique. Elles exercent aussi une fascination, laissant espérer des solutions simples à des problèmes complexes. C’est un des éléments qui a motivé durant les années 40 plusieurs chercheurs à mettre au point des dispositifs pour mesurer l’intensité acoustique. Le principe de la méthode par différence finie utilisant deux microphones proches a été validé dans les années 50 mais ce sont les analyseurs FFT deux voies apparus au début des années 80 qui lui ont permis de prendre sont essor et de sortir rapidement des laboratoires pour donner naissance dès 1992 à une norme pour la mesure de la puissance acoustique.

2. Expression de l'intensité acoustique 2.1. Définition

L’intensité acoustique peut se définir comme le vecteur transport d’énergie de l’onde sonore. C’est l’équation de conservation de l’énergie qui permet de la définir. Bien que l’intensité acoustique soit une quantité du second ordre, il a été démontré [Poirée, 1981] que pour un fluide au repos elle pouvait s’exprimer à partir des grandeurs linéarisées de l’acoustique (du premier ordre). Dans ces conditions l’équation de conservation de l’énergie n’est pas une relation indépendante : elle se déduit des équations acoustiques de conservation de la masse et de la quantité de mouvement (Euler), qui sont toutes deux à la base de l'équation de propagation des ondes. Pour obtenir l'équation de conservation de l'énergie il suffit donc de faire le produit scalaire de la vitesse particulaire et de l'équation d'Euler

{ } ( ) 0

2 Euler 1

d'

éq

_{0 0} ²+∇⋅ − ∇⋅ =



 





∂

= ∂

∇

⋅

∂ +

⋅∂

=

⋅

u u u u u

u

u p p

p t

t ρ

ρ

puis d'utiliser l’équation de conservation de la masse pour obtenir la relation

t p c

∂

− ∂

=

⋅

∇ ₂

0

1

u ρ qui est

employée dans l’équation précédente pour donner l’équation de conservation de l’énergie instantanée dans la zone qui n’est pas occupée par les sources

( )

( ) ( )

2 0 1 2

1

2 0

2 2

0 +∇⋅ =



 



 +

∂

∂

3 2 1 4

4 4 3 4

4 4 2

1

t

p t

E

c p

t i

u

u ρ

ρ

⇒

(1)

( ) ^t

E est la densité d’énergie totale instantanée, somme de la densité d’énergie cinétique

2 0 ²

( )

^t

1ρ u

et de la densité d’énergie potentielle

₂¹ p²

( )

t ρ₀c²

. i ( ) t

=

p ( ) ( ) t u t est l’intensité acoustique instantanée

¹

.

Les valeurs instantanées, fluctuant rapidement dans le temps, sont difficilement utilisables et elles sont moyennées sur un temps d’intégration T

1 Pour une onde unidimensionnelle ∂

E ( ) t

∂

t

+∂

i ( ) t

∂

x

=

⁰

et

ⁱ ( ) ^t

=

^p ( ) ( ) ^{t u t}

.

( )

+∇⋅

( )

=

0

∂

∂

t

t t

E i

( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

+

−

∞

= →

=

=

2

2

lim 1

T

T

dt t t T p t

t p t

t u

u i

I

.

Dans ces conditions le premier terme de l’équation de conservation devient

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 1

0 2

1

2

⁰ ₀ ²

2 2 0 2

0 =

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

∂

43 42 1 43

42

1

t

t t p c p t

t t t

t p t c

t t

t E

ρ ρ ρ

ρ u

u u

donc pour les valeurs moyenne l’équation de conservation se réduit à cette expression extrêmement simple

(2)

Avec la pression et la vitesse particulaire complexes, ^p ( ) ^t

⁼

^Re { ^{p e}

^jωt

} ^{et u} ( ) ^t

⁼

^Re { ^{u e}

^jωt

} l’intensité moyenne, également dénommée intensité active est

(3) et les densités d’énergie potentielle et cinétique

( )

2 0

2 2

0 2

2

4 c

p c

t p

V

⁼

ρ

⁼

ρ et

= u

( )

= u⋅u^∗ 4 2

0 2

0 ρ

ρ t

T

et la densité d’énergie totale

T V D= +

. 2.2. Intensités active et réactive, intensité complexe

Des fluctuations alternatives du flux peuvent être observées avec l'intensité instantanée dans le champ proche des sources et dans les régions d'interférence. Ce phénomène physique ne contribue pas à la valeur moyenne de l'intensité qui représente le bilan du flux d'énergie transféré par l'onde sonore, appelé l'intensité active. Les fluctuations alternatives qui sont ainsi éliminées dépendent du champ sonore et leur importance est symptomatique d’une mauvaise adaptation d’impédance entre la source et le milieu de propagation. Elles constituent pour cette raison une information digne d'intérêt.

La mesure de ces phénomènes peut être effectuée en prenant le produit moyen de la pression par la valeur en quadrature de la vitesse particulaire: c'est l'intensité réactive [Pascal et Carles, 1981, 1982].

Cette opération facile à réaliser avec des signaux à fréquence pure peut cependant être généralisée aux signaux quelconques en considérant la transformée de Hilbert de ^u ( ) ^t

( )

{ } ( ) ( )

∫

+∞

∞

− −

=

∗

= τ

π π

π t ^d

t t t

t u

u

u 1 1

H

qui représente un signal dont toutes les composantes spectrales sont en quadrature avec celle du signal original (

∗

produit de convolution). L'intensité active s'écrit alors

=0

⋅

∇ I

( ) ( )

⁼

{

^∗

}

= u u

I pt t Re p 2 1

( ) { }

^u

J= − p t H

De même en considérant la transformée de Fourier de la transformée de Hilbert de u ( ) ^t ( )

{ }

{ H u } sign ( ) ( ) ω u ω

TF t

=−

j

où sign ( ) ω est la fonction qui rend le signe de ω . On obtient ainsi une représentation en variable complexe de l'intensité réactive

( ) { ( ) }

⁼

{

⁻

(

⁻

( ) )

^∗

}

⁼

{

^∗

}

−

= u u u

J p t t p j Im p

2 sign 1

2Re

H 1 ω

(4)

Remarque : le signe de l'intensité réactive est choisi arbitrairement pour que son vecteur soit orienté vers l'extérieur dans le champ proche d'une source ponctuelle.

Quand il s'agit de phénomènes sonores aléatoires et stationnaires l'application du théorème de Parseval permet de donner une représentation fréquentielle de l'intensité acoustique

( ) ( ) ( ) { ( ) }

π ω ω π

ω ω

Re 2

2 ₀

G d S d

t t

p ^+∞

∫

_p

∫

_p

∞

−

+∞

=

=

= u _{u u}

I

où

S_up

( )

ω

est la densité de puissance interspectrale bilatère et

G_up

( )

ω

est la densité interspectrale de puissance unilatère qui vaut

G_up

( )

ω =2S_up

( )

ω

pour les fréquences positives (voir Annexe A).

Il est donc possible de définir une densité spectrale d'intensité acoustique active par

( )

ω

{

G_up

( )

ω

}

I =Re

où

( ) {

^p

(

^T

) (

^T

) }

G T

p T 2 E , ,

lim ω ω

ω ^∗

∞

→

= u

u

avec ( ) ∫ ( )

+

= − T t

t

t

j

dt

e t p T

p

1

1

,

^ω

ω et ( ) ∫ ( )

+

= − T t

t

t

j

dt

e t T

1

1

,

^ω

ω u

u les transformée de Fourier de durée

finie de la pression et de la vitesse particulaire.

De la même manière, une représentation fréquentielle de l'intensité réactive est obtenue par

( ) { ( ) } ( ) ( ) { ( ) }

π ω ω π

ω ω

ω Im 2

sign 2 H

0

G d S d

j t

t

p ^+∞

∫

_p ^+∞

∫

_p

∞

−

=

−

=

−

= u _{u u}

J

L'intensité complexe

Π

correspond à l'interspectre

G_up

( )

ω

( )

ω I

( )

ω jJ

( )

ω G_up

( )

ω

(5)

Π = + =

Remarque

L'expression de la vitesse particulaire à partir de la relation de conservation de la quantité de mouvement

ck p j

∇

=

ρ

0

u (6) permet d'écrire l'intensité acoustique complexe sous cette forme

{ } { }

ck p j p

ck p p ck

p p p j

j

0 0

0

2

Re 2

Im 2

2 1

ρ ρ

ρ

∗

∗

∗

∗ ∇

∇ −

∇ =

= −

= +

=

I J u

Π

(7)

2.3. Structure des champs d'intensité acoustique

La démonstration a été faite que l'intensité était un outil puissant pour faire des investigations dans le champ proche des sources et interpréter le transfert de l'énergie acoustique. L'intensité acoustique – produit de la pression acoustique et de la vitesse particulaire en milieu aérien au repos – est un vecteur qui peut être utilisé pour déterminer des lignes de flux qui donnent une description explicite des phénomènes de rayonnement et de diffraction dans le champ proche des sources et des obstacles, comme le montre la Figure 2.1.

Figure 2.1 – Lignes de flux du vecteur intensité active produit par le rayonnement d’une plaque en champ proche.

En considérant les densités d'énergie potentielle et cinétique (définies à partir des pression et vitesse quadratiques) et les caractéristiques vectorielles des intensités active et réactive (divergence et rotationnel), on obtient un ensemble d’équations qui décrit la structure des champs énergétiques [Pascal, 1985]

(8)

0

,

), (

2 ,

0

=

×

× ∇

=

×

∇

−

=

⋅

∇

=

⋅

∇

J J I I

J I

V c k

T V kc

Comme en acoustique aérienne (milieu au repos), toutes les grandeurs énergétiques peuvent être dérivées de la connaissance du champ de pression. Les grandeurs énergétiques représentent une distribution de cette même information dans une structure formelle qui permet une autre vision des phénomènes. Le rotationnel de l’intensité active n’est pas nul en général. Comme le montre la relation ci-dessus (valable pour des champs cohérents [Li et al., 1998]), il suffit que le vecteur de l’intensité active ne soit pas colinéaire avec celui de l’intensité réactive. Cela traduit la présence possible de tourbillons. Cette propriété est illustrée par la Figure 2.2, dans le cas de deux ondes planes perpendiculaires interférant entre elles, et sur la Figure 2.3, pour l’interférence d’une onde plane et d’une onde stationnaire [Pascal, 1985] (voir aussi Fahy, 1995).

Figure 2.2 – Intensité active (a) et son rotationnel (b) pour deux ondes planes perpendiculaires (A²/B² = 2, maillage

λ 10

). Les vecteurs du rotationnel sont normaux au plan (cercles foncés pour les valeurs positives, clairs pour les valeurs négatives).

Figure 2.3 – Même représentation que pour la figure précédente mais dans le cas d’une plane progressive (horizontale) et d’une onde stationnaire perpendiculaires (A² =B², maillage

λ 10

).

Les courbures des lignes de flux dues aux interférences sont associées au rotationnel de l’intensité

active. Elles peuvent montrer, comme c’est le cas pour la Figure 2.3, des zones de tourbillons dont les

lignes de flux sont fermées. Nous verrons plus loin qu’il est possible de les décomposer en une partie

correspondant à un transfert d’énergie et une autre partie purement tourbillonnaire, comme l’illustre la

Figure 2.4.

Figure 2.4 – Décomposition du champ d’intensité active de la Figure 2.3 en une composante associée à un pur transfert d’énergie (intensité irrotationnelle) et une autre composante décrivant seulement les tourbillons (intensité rotationnelle).

Ce phénomène a souvent été observé dans le champ proche des structures étendues et les lignes de flux fermées, dont l’énergie ne semble pas pouvoir s’échapper ont soulevé bien des questions.

2.4. Intensité instantanée et tourbillons

Il a été montré [Mann, 1987] que les variations temporelles de l'intensité acoustique instantanée pouvaient être utilisées pour interpréter les phénomènes de transfert de l'énergie dans les champs proches interférentiels. Le vecteur de l'intensité instantanée ne possède pas une direction constante en général, et dans un cycle, on peut observer des modifications de direction et appréhender des échanges d'énergie qui n'apparaissent pas à la seule vue des lignes de flux correspondant à l'intensité moyenne (intensité active). Cependant la connaissance de l'intensité instantanée n'est pas facile à acquérir expérimentalement. Toutefois, les informations contenues dans l'évolution temporelle de l'intensité instantanée se retrouvent intégralement en considérant l'ensemble des grandeurs moyennées (

Π=

I

+

j J

=¹₂

p u

^∗

). Pour s'en convaincre, il suffit d'exprimer l'intensité instantanée par

( ) ^{r ,t p} ( ) ( ) ^{r ,t u r ,t} { ^p ( ) ^{r e}

^jωt

} { ^u ( ) ^{r e}

^jωt

}

i

= =

Re Re ,

en représentant la pression instantanée par p ( ) r ,t

=

Re

{

p ( ) r e

^ωt

} où

p

( )

^r = p

( )

^r e^jϕ(r)

est la pression complexe définie par la distribution de son amplitude et de sa phase dans l'espace (

p

( )

^r

et ϕ (r ) sont réels). Le gradient de pression et la vitesse particulaire s'écrivent

( )

^r,t

[

^p

( )

^{r j p}

( ) ( )

^{r ϕ r}

]

^ejϕ(r)

p = ∇ +

∇

et

( ) ^{j p} ( ) ^{- p} ( ) ( ) ^e

,t c k c k p

,t) j

(

^{j ( )}

0 0

]

1 [

_r

r r r

r r

u ϕ

^ϕ

ρ

ρ

^{∇ = ∇}

=

ce qui permet d'exprimer l'intensité instantanée de la façon suivante

( )

− _^

( )

∇

( ) (

+

( ) )

+

( )

∇

( ) (

+

( ) )

_^

=

r r r r r r

r

i p p p

ω

t

ck ϕ ω ϕ ϕ

ρ 2 ^{sin 2}

1 t 1 cos

t

,

^{2 2}

0

A partir des relations (7), les intensités active et réactive s’écrivent aussi sous la forme

( ) ( ) ( )

-k c

p r r

r

I ϕ

ρ

= ∇

2

₀

2

et ( ) ( ) ( )

ck p p

2 ρ

0

r r r

J

∇

−

=

. (9) Il apparaît que l'intensité instantanée à une pulsation ω peut se reconstituer à partir des intensités active et réactive (valeurs moyennes):

( ) r I ( ) r ( ( ) r ) J ( ) r ( ( ) r )

i , t

=

2 cos

²

ω t

+

ϕ

−

sin 2 ω t

+

ϕ . (10) L'analyse des tourbillons par l'intensité instantanée montre que cette figure n'est pas stationnaire durant un cycle, et que l'énergie n'est pas piégée dans le tourbillon. L'intensité réactive apporte la même information si on se rappelle que sa signification physique n'est pas celle du bilan d'un transfert d'énergie sur un cycle, mais celle d'une fluctuation d'énergie à bilan nul: un aller et retour de l'énergie à l'intérieur d'un cycle. Les vecteurs de l'intensité réactive, dont le sens est arbitraire, ont une direction qui traverse celles des lignes de flux fermées de l'intensité active. Ils échangent ainsi alternativement de l'énergie entre le tourbillon et l'espace environnant, un peu à la manière d'un résonateur. Les Figures 2.5 et 2.6 illustrent ce fait pour deux champs différents. Le premier est un tourbillon constitué de lignes de flux fermées comme décrit par [Waterhouse et al., 1987] alors que le deuxième est un champ qui décrit un transfert d’énergie apparemment régulier mais dont l’intensité instantanée montre des changements de sens dans une période.

Figure 2.5 – Zone de tourbillon présentant des lignes de flux fermées du vecteur intensité active. Sur la partie droite le vecteur de l’intensité instantanée est décrit à des instants séparés de 1/8ième de période (d’après P.

Watkinson).

Figure 2.6 – Zone de transfert présentant un champ homogène du vecteur intensité active dans le champ proche d’une structure. Sur la partie droite, le vecteur de l’intensité instantanée est décrit à des instants séparés de 1/8ième de période (d’après P. Watkinson).

3. Formules approchées de l'intensité complexe

3.1. Formulations dans le domaine temporel

L'expression d'une seule composante de ce vecteur dans la direction r,

^Ir = ^p

( ) ( )

^{t u}r ^t

met en évidence que la mesure de la vitesse particulaire représente la principale difficulté pour obtenir l'intensité acoustique . La solution qui a été adoptée utilise la relation d'Euler pour exprimer la vitesse particulaire à partir du gradient de pression

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∞

− ∂

− ∂

⇒ =

∂ = +∂

∂

∂ ^t

r

r d

r t p

r u t p t

t

u τ τ

ρ ρ

0 0

0 1

Cette relation permet d'écrire la composante des intensités active et réactive dans la direction r

( ) ( )

τ τ

ρ r ^d

t p p I

t

r

∫

∞

− ∂

∂

=−

0

1 et ( ) ( )









∂

=

∫

∂

∞

−

τ τ

ρ r ^d

H p t p J

t r

0

1

où ^H { } représente la transformée de Hilbert.

Le gradient de pression est remplacé par une approximation par différence finie entre les signaux de

deux microphones distants de

∆r

et alignés dans la direction r

2 2

1 2

1 2

p S p p

r D r

p p r p

+ =

≈

= ∆

∆

≈ −

∂

∂

Figure 3.1 – Approximation du gradient de pression par différence finie

L'approximation de la pression par interpolation linéaire permet également d'obtenir cette valeur au point central. En utilisant ces approximations dans les relations précédentes

( ) ( ) τ τ ρ r ^{S t D d} I

t

r

∫

∞

∆ −

= −

2

0

~ 1

et ( ) ( )









= ∆

∫

∞

−

τ ρ r ^{S t H D} τ ^d J

t r

2

0

~ 1

Ces formulations permettent d'obtenir les valeurs globales de l'intensité acoustique. Pour obtenir une représentation fréquentielle, des filtres (généralement tiers d'octave) sont insérés dans le circuit.

Figure 3.2 - Schéma d'un intensimètre utilisant une formulation temporelle pour l'intensité active et première réalisation due à T.J. Schultz (Harvard, 1954)

∆r

1 2

α r

Σ

+ ∫

− •

∆

−

0

r 2

1 ρ

I

r

~

1

2

( ) ^t

S

( ) t

D

3.2. Formulations dans le domaine fréquentiel

Pour définir des expressions approchées de la densité spectrale de l'intensité, la relation exprimant l'intensité complexe (réelle : active et imaginaire: réactive) comme l'interspectre entre la pression acoustique et la composante selon r de la vitesse particulaire sert comme point de départ

( )

ω _up

( )

ω

r =G_r

Π

En utilisant la transformée de Fourier de durée finie de la relation d'Euler

( ) ( ) ( ) ( )

r T p T j

r u T T p

u

j

_{r r}

∂

= ∂

= ⇒

∂

+∂

,

, , 0

,

0 0

ω ρ ω ω

ω ω ρ ω

l'intensité complexe s'écrit finalement (avec k

=

ω c )

( ) ( ) ( )

















∂

∂

= Π

∗

∞

→

jk

r T p T

c

^T

r

T , , p 2 E 1 lim

0

ω ω

ω ρ

En utilisant les mêmes approximations que précédemment pour la différence et la somme des signaux microphoniques

( ) ( )

r k G c

j

_DS

r ∆

= −

Π

2

~

0

ω ω ρ

Cette dernière expression peut se décomposer en intensité active (partie réelle) et intensité réactive (partie imaginaire)

( ) { ( ) }

r k c

I

_r

G

^DS

= ∆

2

0

~ Im

ρ

ω ω ( ) { ( ) }

r ck

J

_r

G

^DS

∆

= −

2

0

~ Re

ρ

ω ω

En exprimant les fonctions somme et différence

{ } E { (

2 1

) (

2 1

) } { E

2 2 2 1 1 2 1 1

}

E D

^∗

S

=

p

^∗−

p

^∗

p

+

p

=

p

^∗

p

+

p

^∗

p

−

p

^∗

p

−

p

^∗

p l'interspectre entre signaux différence et somme s'écrit

( ) ω ^G

₂₂

( ) ω ^G

₁₁

( ) ω ^{j 2 Im} { ^G

₂₁

( ) ω }

G

_DS = − +

.

Ce résultat permet de dériver les expressions habituellement employées pour représenter les composantes dans la direction r de l'intensité active et réactive à partir des auto-spectres et de l'interspectre entre deux microphones

( ) { ( ) } ( ) ( ) ( )

r k c

G J G

r k c

I

_r

G

_r

∆

= −

= ∆

0 22 11

0 21

2 et ~

~ Im

ρ

ω ω ω

ρ ω ω

NB : En employant la notation complexe

{ } { }

r k c

p u p

p

I

_{r r}

≅ ∆

=

∗

∗

0 2 1

2 Re Im

2 1

ρ et { }

r k c

p u p

p

J

_{r r}

∆

≅ −

= ^∗

0 2 2 2 1

Im 4 2 1

ρ

Figure 3.3 - Intensimètre utilisant un analyseur FFT 2 voies (Doc. CETIM, 1980) Analyseur de

spectre FFT 1

2

3.3. Fréquence limite supérieure

Le premier modèle qui va nous permettre d'apprécier l'erreur introduite par l'approximation par différence finie est celui de l'onde plane progressive qui présente un angle d'incidence α par rapport à la direction r . La pression sur la droite r s'écrit p ( ) r

=

P exp (

−

jkr cos α ) , d'où la composante de la vitesse particulaire dans la direction r

α

ρ α ρ

cos 0

0

cos

_jkr

r

e

c P r p c k

u j

= ⁻

∂

= ∂

et celle de l'intensité active

{ } ^α

ρ ^cos Re 2

2 1

0 2

c u P

p I

_r = _r^∗ =

D'après la figure ci-dessous, les pressions à l'emplacement des deux microphones sont

( )

( ) α

α

cos 2 2

cos 2 1

r r jk

r r jk

e P p

e P p

∆ +

−

∆

−

−

=

=

et leur produit conjugué p

₁

p

₂^* =

P

²

e

^jk∆rcosα

permet d'obtenir l'intensité active approchée

{ } ( )

α α ρ

α

ρ cos

cos sin

2 cos 2

~ Im

0 2

0 2 1

r k

r k c

P r k c

p I

_r

p

∆

= ∆

= ∆

∗

L'approximation par différence finie provoque une atténuation vers les hautes fréquences qui dépend de l'écartement apparent

∆

r cos α entre les microphones, dans le sens de propagation de l'onde.

Figure 3.4 – Influence de l’écartement des microphones, de l’angle d’incidence et de la fréquence.

∆r

1 2

α r

∆r

1 2

r

α cos

∆

r

1 2

α r

=0 α

1

0 0,5

α cos k∆ r

( )

r k

r k

∆

∆ sin

( )

α α cos

cos sin

r k

r k

∆

∆

Cet effet, lié à l'angle d'incidence, est maximum dans la direction de l'alignement des microphones, c'est à dire quand

cosα =±1

. L'approximation par différence finie agit comme un filtre passe bas dont la fréquence de coupure à –3 dB est utilisée pour définir la fréquence supérieure F

_T

. Une atténuation de 3 dB correspond à

9 , 2 1

1

sin = ⇒ ∆ =

∆

∆ k r

r k

r k

Dans ce cas, k

=

2 π F

_T

c et la fréquence limite supérieure est

r F

_T

c

= ∆

π 2

9 , 1

Cette limite supérieure ne dépend que de

∆r

. Par exemple, pour un écartement de 12 mm, la fréquence limite F

_T

est d'environ 8000 Hz (ce qui correspond à

∆

r

≈

λ

_T

3 ). En général, l'angle d'incidence de l'onde n'est pas connu ou le champ est produit par plusieurs sources. L'incertitude sur l'affaiblissement en haute fréquence est illustrée par la zone hachurée sur la figure ci-dessous. On est donc souvent conduit à choisir des fréquences plus basses pour la limite supérieure.

Figure 3.4 – Représentation de la partie utilisable de la courbe de réponse de l'intensimètre

L'analyse précédente a utilisé une onde plane pour évaluer l'influence de l'approximation par différence finie. La valeur de l'écartement entre microphones peut également jouer un rôle quand la sonde est placée à proximité d'une source de petite dimension. L'effet de proximité est évalué pour des sources ponctuelles (monopôle, dipôle, quadripôle).

F

T

3.4. Effets de proximité

Les effets de proximité ont été calculés en utilisant des sources ponctuelles. Pour une mesure radiale effectuée à une distance sonde-source r

₀

( )

r k

r r k

I I

r r

∆

=

sin

∆

,

~

ω

0

µ

Dans la partie basse fréquence ( k ∆r < 1 ), l’erreur correspond à µ ( ω , r

₀

) et est représentée sur la Figure 3.5 en fonction de la distance r

₀

exprimée en ∆ r

Figure 3.5 – Influence de la proximité d’une source ponctuelle en fonction de k∆r.

Figure 3.6 – Influence de la proximité d’une source ponctuelle en basse fréquence exprimée en fonction de la distance radiale.

Pour une surface rayonnante plane, les contraintes sont moins importantes. On admet une distance surface-point central ≥ ∆ r

source

Distance minimale r

₀

pour une erreur de 1

dB

Monopôle 1,1 ∆ r

Dipôle 1,6 ∆ r

Quadripôle 2,3 ∆ r

Monopole Dipôle Quadripôle latéral

r

0

∆ r

3.5. Sondes intensimétriques

Différentes dispositions des microphones ont été testées comme le montre la Figure 3.7, dont l’effet de diffraction est représenté pour une incidence de l’onde dans la direction de l’alignement des microphones. La sonde intensimétrique composée de deux capsules microphoniques montées face à face et séparées par une entretoise pleine en bakélite est la plus couramment employée. Elle conduit à un effet de diffraction minimum. Plusieurs longueurs d'entretoises sont utilisées pour adapter au mieux les performances de l'intensimètre aux conditions de mesure.

Figure 3.7 - Disposition des microphones pour constituer des sondes intensimétriques : a) et b) dos à dos, c) cote à cote d) face à face avec entretoise (et sa réalisation)

Sonde utilisant un capteur ultra-sonore pour mesurer la vitesse particulaire (Norvegian electronics)

Sonde utilisant deux microphones face à face séparés par une entretoise (Brüel & Kjaer)

Sonde utilisant des capteurs thermiques associés à un fils chaud (Microflown)

Sonde utilisant deux microphones face à face standards séparés par une entretoise (CETIM)

4. Les erreurs de mesure

4.1. Mise en évidence de l'erreur de phase

L'erreur de phase est le type d'erreur dont les effets se sont montrés les plus destructeurs pour la mesure de l'intensité acoustique. Ainsi, dans le cas le plus simple d'une onde plane se propageant dans la direction de l'alignement de la sonde, les signaux issus des deux microphones se différencient seulement par un retard de l'un par rapport à l'autre. Ce retard, qui dépend de leur écartement, va se traduire par un déphasage

τ ω ϕ

₂₁ =

avec τ

=∆

r c (donc ϕ

₂₁=

k∆ r ).

Par exemple, pour un écartement de 10 mm, le déphasage vaut 50° à 5000 Hz et seulement 1° à 100 Hz. En descendant en fréquence, on arrive obligatoirement à la situation où le déphasage qu'on cherche à mesurer est du même ordre de grandeur que l'écart d'ajustement en phase entre les voies de mesure. Dans ces conditions et selon le sens relatif des deux déphasages, on obtient une majoration de 3dB de l'intensité vraie ou son annulation. La figure suivante met en évidence l'effet de l'erreur de l'ajustement en phase de ces deux voies de mesure dans les basses fréquences, qui se traduit par une différence de sensibilité de l'intensimétre en fonction du sens d'arrivée de l'onde (0° ou 180°).

Figure 4.1 - Mise en évidence expérimentale de l'erreur de phase par inversion du sens de propagation dans un environnement anéchoïque (

∆r=9.5

mm).

4.2. Influence de l'erreur de phase

En introduisant un déphasage entre les voies de mesure (voir Figure 4.2), l’intensité mesurée est

{ }

r k c

e p I p

j

r = ∆

∆

∗

ρ

φ

2 ˆ Im ^{1 2}

Figure 4.2 – Représentation de l’erreur de phase

En considérant que

{

1 ^∗2 ^∆

}

⁼cos^∆ Im

{

1 ^∗2

}

⁺sin^∆ Re

{

1 ^∗2

}

Im p p e^{j φ}

φ

p p

φ

p p

et que l’erreur de phase est faible (<1°) 1

cos

∆

φ

→

et sin

∆

φ

→∆

φ il est possible en écrivant

p₁p₂^∗ = p₁p₂^∗ e^jϕ21

d’obtenir

{ } { }





 



 ∆

+

≅ ^∗

∆

∗

21 2

1 2

1 Im 1 tan

Im

ϕ

φ

φ

p p e

p

p ^j

.

Ainsi la forme générale pour l’erreur est

[ ]

tan 21

ˆ 1

~ 1 ˆ

ϕ ε

= + ^∆

φ

+

= _{b r}

r

r I

I I

Remarque :

L’influence de l’erreur de phase

∆

φ dépend directement de l’écart de phase ϕ

₂₁

à l’emplacement des microphones du au champ acoustique. Pour préciser cette influence, il faut connaître ϕ

₂₁

.

4.2.1. Caractéristiques pour une onde plane

Les caractéristiques nominales sont associées à la propagation d’une onde plane (par définition).

Pour une onde plane qui se propage dans la direction

α

k∆ r

21=

ϕ cos α et α

α ρ

cos cos

2

c I_r = I = P

α cos 2

* 2

1 jk r

e P p

p = ^∆

et

p₁p₂^* e^j∆φ =P² e^{j(k∆rcosα+∆φ)}

Ainsi la composante de l’intensité dans la direction r sur le module du vecteur sera selon les cas : Intensimètre

φ 1 ∆

2

Réelle

=

cos α I

I

r

Approchée ( )

α α α

cos cos cos sin

~

r k

r I_r k

∆

= ∆ I

Mesurée [ ( ) ]

(

k r

)

r k

r k r

k r k I_r

∆

∆ +

∆

∆

∆ +

 ∆



 





∆ + ∆

=

α φ

φ α α φ

cos cos cos sin

ˆ I

Figure 4.3 – Influence de l’erreur de phase sur la directivité dans le cas d’une onde plane.

Remarque :

L'erreur de phase intervient sous la forme

∆

φ k∆ r , c'est à dire qu'elle est surtout sensible en basse fréquence.

1) la directivité est affectée par l’erreur de phase

∆

φ

(

−∆

k∆ r )

=

φ

α

₀

arccos

2) différence de sensibilité selon la direction de propagation

r k

r L k

∆

∆

−

∆

∆

= +

∆

φ

φ 1 log 1

10 Limite basse fréquence et largeur de bande

Dans les basses fréquences I ˆ

_r

I

≈

( cos α

+∆

φ k

∆

r ) . La fréquence nominale de coupure basse à –3 dB pour une onde plane qui se propage dans la direction

α

, correspond à

∆

φ

=k∆r 2

r F c

∆

= ∆

π

φ

0

Figure 4.4 – Limite basse fréquence imposée par l’erreur de phase dans le cas d’une onde plane.

Remarque :

Les fréquences limites inférieure et supérieure dépendent de ∆ r : la bande passante de l’intensimètre sera indépendante et peut s’exprimer en octave par

( )

φ

= ∆

=

−

0 . 95

log log

dB

3

₂

0 2

F

BW F

^T

avec F

_T =

1 , 9 c 2 π

∆

r .

La bande passante nominale d’un intensimètre dépend essentiellement de l’erreur de phase.

L'écartement

∆r

qui agit de façon identique dans les basses et les hautes fréquences sert à translater cette bande passante utilisable

4.2.2. Influence du champ sur les caractéristiques

Pour un champ de pression complexe p

=

p e

^jϕ

, l’intensité active

{ } { }

k c

p p p

ρ

2 Re ^* Im

∇ ∗

=

= u

2 I 1

avec

∇

p

=

j p

∇

ϕ

+

e

^jϕ∇

p devient

k c

p ϕ

ρ

− ∇

=

2

2

I

Dans les basses fréquences la différence de phase entre les deux microphones est suffisamment faible pour que tan ϕ

₂₁≈

ϕ

₂₁

et

[ ]

21

ˆ 1

~ 1 ˆ

ϕ ε

≈ + ^∆

φ

+

= _{b r}

r

r I

I I Fréquence relative f F₀

Figure 4.5 – Phase entre les deux microphones mesurée dans le cas d’une onde se propageant parallèlement à un plan réfléchissant.

Par ailleurs,

C r k c p

r I k r r

r ∆

=

∆

=

∂ ∆

−∂

≈

ρ ϕ ϕ

2

2

21

où

C

est lié à l’indice pression intensité par

C L

L_{p I}

pI = − =10log

δ avec

I

r

c C p

²

2 ρ

=

L’influence d’un champ acoustique particulier sur l’erreur de mesure se traduit par l’écart entre niveau de pression et niveau d’intensité

[ ]

k r

I C I

I

r b r

r

∆ +∆

≈ +

=

φ

ε

ˆ 1

~ 1 ˆ

Erreur de phase résiduelle

Les voies de mesure des intensimètres sont ajustées en phase. Il reste toujours une erreur de phase résiduelle ∆ φ . Elle se manifeste, en particulier, quand une même pression est appliquée aux deux microphones : une intensité résiduelle I

₀

(erratique) est détectée par l'intensimètre

r k c I p

∆

≈ ∆

φ

ρ 2

2 0 0

d'où l'expression de l'erreur de phase

2 0 0

2 C

r k c p

r I

k

∆

=

∆

≈

∆

φ ρ

qui permet de définir l'indice pression-intensité résiduelle

log

0

0

10

0

L

_p

L

_I

C

pI = − =

δ

En reportant cette expression de l'erreur de phase dans l'expression de l'erreur sur l'intensité

[ ]

0

1 ˆ 1

~ 1 ˆ

C C r

k I C

I I

r b r

r = +

∆ + ∆

≈ +

=

φ

ε

Si on considère ε

_b

[ ]

Iˆ_r =eα

correspondant à une erreur maximale de 10 log I ˆ

_r

~ I

_r ≅

α dB

d

pI L

e

K =− = −

log 0

10 _α

δ

où L

_d

est la capacité dynamique des intensimètres définit par les normes. L

_d

est donc la plus grande valeur que peut prendre l'indice pression-intensité δ

_pI

sans risquer de produire une erreur supérieure à α dB.

Pour une précision de 1dB,

K =7

dB et capacité dynamique de l'intensimètre est

K

L_d = _pI −

δ

0

δ

pI

dans le champ doit être inférieur à

L_d

Mesure réalisée en coupleur Mesure d'intensité dans un champ acoustique

Précision des mesures

Biais relatif du à l'erreur de phase résiduelle

[ ] ^ˆ

r ⁰

^{10 log}

b

[ ] ^ˆ

r pI pI₀

b

I

r

I k ε δ δ

β β β

ε φ

= ⇒ = −

∆

≈ ∆

L

p

I0

L

pI0

δ

L

p

I0

L

L

I

4.3. Méthodes de correction de l'erreur de phase

Figure 4.6 - Schémas des dispositifs de calibrage a) en fond de tube, b) avec des excitateurs électrostatiques (mais ne prend pas en compte l’influence des trous d’égalisation de pression statique), c) en petite cavité (coupleur).

Figure 4.7 - Calibrage des microphones en phase par cavité et par excitation électrostatique

4.4. Erreurs statistiques

Mesure des signaux aléatoires sur une durée finie T

_t

. La dispersion des mesures est exprimée par l'écart-relatif :

[ ] [ ]

G G G

S

Var ˆ ˆ

=

ε

avec ^Var [ ] ^{G ˆ}

⁼

^E

_^

( ^{G ˆ}

⁻

^E [ ] ^{G ˆ} )

²_^

^.

Ecart-type d'un spectre de puissance

Gˆ

( ) ω mesuré dans une bande d'analyse B finie :

[ ]

t S

G ˆ

=

BT 1 ε

Cas d'une analyse par FFT

f T

B 1

=

∆

=

T

_t =

nT T dimension de la fenêtre temporelle

n nombre de tronçons utilisés

donc BT

_t =

n et [ ]

n

S

G ˆ

=

1 ε

Si deux signaux de pression sont corrélés, la fonction de cohérence 1

22 11

2 2 21

21= =

G G

γ G ,

la phase est déterministe et peut être estimée sans erreurs statistiques.

Si les deux signaux de pression ne sont pas totalement dépendants, la fonction de cohérence 1

22 11

2 2 21

21 = <

G G γ G

un paramètre aléatoire est introduit dans la relation de phase.

Ecart type relatif qu’il faut déterminer pour l’intensité

[ ( ) ] [ ] [ { ^{( )} } ]

( ) { ω }

ω ω ε

21 2

21

2

Im

Im ˆ ˆ Var

ˆ

G G I

I I Var

r r r

s = =

4.4.1. Erreurs statistiques pour les processus multivariants

La variance d’une fonction de n variables aléatoires

( )

[ ] _∑∑ [ ]

= = ∂

∂

∂

≅ ∂

n

i

j i n

j i j

n a a

a f a a f

a a f

1 1 2

1, , , Cov ˆ ,ˆ

Var ˆ K

Dans le cas de deux variables aléatoires la matrice de covariance [Jenkins et Watts, 1968, Bendat et Piersol, 1992] est (champs partiellement cohérents)

G

11

G

₂₂

^Re { } G

₁₂

^Im { } G

₁₂

G

11 ²

G

11 ²

G

12

^G

₁₁

^Re { } ^G

₁₂

^G

₁₁

^Im { } ^G

₁₂

G

22 ²

G

12 G22²

^G

₂₂

^Re { } ^G

₁₂

^G

₂₂

^Im { } ^G

₁₂

{ }

₁₂

Re G G

₁₁

Re { } G

₁₂

^G

₂₂

^Re { } ^G

₁₂

[ { } { }

12

]

2 12 2 22 2 11 1

Im Re

G G G

G

−

+

^Re { } { } ^G

₁₂

^{Im G}

₁₂

{ }

₁₂

Im G ^G

₁₁

^Im { } ^G

₁₂

^G

₂₂

^Im { } ^G

₁₂

^Re { } { } ^G

₁₂

^{Im G}

₁₂

[ { } { }

12

]

2 12 2 22 2 11

1

Im Re

G G G

G

+

−

Exemple d’application : la variance des estimateurs suivants peut être dérivée à partir du tableau ci- dessous:

Module de l’interspectre : [ ]

2 12 2 12 12

ˆ 1

Var γ

G G

=

n

Phase : [ ]

_







 −

= 1 1

2 ˆ 1

Var ₂

12

12

γ

ϕ

n

Cohérence : [ ] (

12²

)

²

2 12 2

12 1 2 1

Var

γ

ˆ =

γ

−

γ

n

Pour des grandeurs déterminées à partir de signaux provenant de plus de deux capteurs dans des champs partiellement cohérents, des formulations de la covariance peuvent être obtenues [Loyau et Pascal, 1995]. Par exemple pour

{ } { }

[ ]

{ } { } { } { } { } { } { } { }

[

_{13 24 13 24 14 23 14 34}

]

34 12

Im Im

Re Re

Im Im

Re 2 Re

1 Re ˆ Re ˆ

Cov

G G

G G

G G

G n G

G G

+ +

+

=

Ces expressions peuvent être employées pour estimer l'erreur statistique sur le module et l'angle d'orientation du vecteur intensité 3D obtenu à l'aide d'une sonde à 4 ou 6 microphones.

4.4.2. Erreurs statistiques dans la mesure de l'intensité active

Exemple de la détermination d’intervalle de confiance pour une mesure d’intensité acoustique [Pascal, 1988, Jacobsen, 2000]

( ) { ( ) }

r k c I_r G

= ∆

0

ˆ21

ˆ Im

ρ ω ω

Ainsi, la variance de la partie imaginaire est