Alg`ebre et Arithm´etique 1 Universit´e de Nice
L2 MATH Ann´ee 2018-2019
Examen du 1 avril 2019
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Exercice 1 - (3 points) D´emontrer que pour tout entiernl’entiern7−nest divisible par 42.
Exercice 2 - (4 points) R´esoudre les deux syst`emes de congruences 1. 5x≡2 mod 6 et 3x≡1 mod 5.
2. 2x≡1 mod 3 etx≡4 mod 6.
Exercice 3 - (5 points) D´eterminer si les classes r´esiduelles suivantes sont inversibles dans l’anneau Z/99Z. Si oui, calculer leur inverse.
1. 11 2. 12 3. 13
Exercice 4 - (6 points)
1. Calculer l’inverse de la classe r´esiduelle 19 dans Z/25Z. 2. En d´eduire la classe r´esiduelle 1919dans Z/25Z.
3. En utilisant le calcul pr´ec´edent, d´eterminer les deux derniers chiffres de 20192019.
Exercice 5 - (2 points) D´eterminer l’ordre de la classe r´esiduelle 3 dans le groupe des inversibles (Z/20Z)∗.
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