Corrigé DS 3

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Corrigé DS 3

I – Cours :

1. tan'x=



^cos^sin



^'^^x=^cos^x×^cos^x−sincos²x^x×−sin^x .

=cos²x

cos²xsin²x

cos²x=1tan²x 2. lim

x 4

tanx−1 x−

4

=tan'



^⁴



⁼^1tan²



^⁴



^{=2 .}

3. f x=4

3x³−2x²6⇒ f 'x=4x²−4x

gx=2x²−3x⁶⇒g 'x=6×4x−32x²−3x⁵=24x−182x²−3x⁵ hx=



^x²^1^⇒^h'^^x^= ²^x

2



^x²^1⁼

x



^x²^1 ^.

II-Étude de fonctions :

On considère les fonctions numériques f et g d'une variable réelle définies par : f x=1

3



^x²^^x¹^x



^et^g^^x^=2^x³^^x²⁻¹

1. f 'x=1

3



²^x1−^x¹²



⁼¹³



²^x³^^x^x²²⁻¹



⁼^g³^^x^x²^ , or pour tout x≠0,3x²0, d'où f 'x est du signe de gx.

2. g 'x=6x²2x=2x3x1.

x −∞ −1

3 0 ∞

g 'x + 0 − 0 +

gx

−26

27 ∞

−∞ −1 ^∞

3. g admet un maximum local égal à −26

270 sur l'intervalle ]−∞;0[, d'où sur cet intervalle gx0 et donc l'équation gx=0 n'admet pas de solution sur cet intervalle.

Sur l'intervalle ]0;∞;[, g est continue, strictement croissante de ]0;∞;[ sur

]−1;∞;[, or 0∈]−1;∞;[ d'où d'après le corollaire du T.V.I. il existe solution unique  à l'équation gx=0 . De plusg0=−10 et g1=20 , d'où 0 << 1.

4. On en déduit le tableau de signe de g.

x −∞  ∞

gx − 0 +

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5.

x −∞ 0  ∞

f 'x − − 0 +

fx

∞

−∞

∞ ∞

f 

6. T:y=f −1f '−1x1 d'où T:y=−1 3−2

3x1 soit T:y=−2 3 x−1 . 7. x1³=x³3x²3x1 . f x2

3 x1=1

3



^x²^^x^¹^x



^²³ ^x1=³¹^x

^

^x³^3^x²^3^x1

^

^.

d'où f x2

3x1 est du signe de x1³

x et donc du signe de ^x1 x .

On en déduit que si x−1 la courbe sera située au dessus de la tangente et si −1x0 la courbe sera située en dessous de la tangente.

III- Approximation locale de la fonction tangente. ( 9 points ) On note f et g les fonctions définies sur ℝ par fx=xx³

3 et gx=x2x³ 3 .

A l'aide de la calculatrice, conjecturer les positions des courbes représentatives des fonctions f, g et tangente.

Partie A : Fonctions auxiliaires.

1. a. Étudier les variations de la fonction : u:xtanx−x sur I=

[

⁰^;^⁴

]

^.

b. En déduire le signe de tanx−x sur I.

2. a. Justifier qu'il existe un unique  dans I tel que tan²=



2−1 b. En déduire le signe de tan²x1–



2 . sur I.

c. Étudier alors les variations de la fonction : v:xtanx−x



^{2 .}

En déduire le signe de vx sur I.

Partie B : Encadrement de tan.

1. Étudier les variations sur I de la fonction :xtanx−x−x³

3 et en déduire que, pour tout x de I, xx³

3 tanx.

2. En procédant comme au 1. justifier que, pour tout x de I, tanxx2x³ 3 . Déduire des questions 1. et 2. un encadrement de tanx sur I.

3. En utilisant la parité de la fonction tangente, justifier que , pour tout x de

[

⁻^⁴ ^;⁰

]

^,

x2x³

3 tanxxx³ 3 .

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Partie C : calcul d'une limite.

Déduire de la partie B, la limite suivante : lim

x0

tanx−x x²