Généralisation des Jeux Combinatoires et Applications aux Langages Logiques

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Généralisation des Jeux Combinatoires et Applications

aux Langages Logiques

Jean-Vincent Loddo

To cite this version:

Jean-Vincent Loddo. Généralisation des Jeux Combinatoires et Applications aux Langages Logiques.

Modélisation et simulation. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2002. Français. �tel-00008272�

Généralisation des Jeux Combinatoires

et Appli ations aux Langages Logiques

Thèse

pourl'obtentiondudiplmede

do teur del'universitéParis7,spé ialité informatique

présentéeetsoutenuepubliquementpar

Jean-Vin entLoddo

le16dé embre2002

Dire teur dethèse

Roberto Di Cosmo

Jury

M.GuyCousineau président

M.FrançoisFages rapporteur

M.FurioHonsell rapporteur

M.RobertoDi Cosmo dire teur de thèse

M.PierpaoloDegano

M.GiorgioLevi

Remer iements

J'adressemesremer iements,enpremierlieu,àRobertoDi Cosmopouravoir

a epté d'en adrer ma thèse et pour tout lesoutien qu'il m'a oertdurant ette

longue maistrèsenri hissanteentreprise.J'aibeau oup apprisde etteexpérien e

et jeluiensuisre onnaissant.

Malgré leur harge a adémique, François Fages et Furio Honsell ont a epté

d'être les rapporteurs de ma thèse. Je les remer ie pour l'intérêt qu'ils ont ainsi

manifesté enversmon travailde re her heet pour lessuggestions, fortutiles, qui

ont ontribué auperfe tionnementde emémoire. Je tiensàremer ier Guy

Cou-sineau non seulement pour avoir a epté d'être président de mon jury de thèse,

mais aussi poursa gentillesse rassurante et onstante au l des années,que

j'ob-serveave admirationdepuismonins riptionenDEA.Pourlamêmegentillesseet

pourles onseilsexprimésentoutesimpli ité etgénérosité,jeremer ieJean-Louis

Krivine et Pierre-LouisCurien.Je tiens aussiàremer ierPierre-Louisde m'avoir

a ueilli enseptembre1999dansletout jeune laboratoirePreuvesProgrammes et

Systèmes (PPS) de Paris 7, après mon passage au laboratoire d'informatique de

l'É ole normalesupérieure.

Parmilespersonnesquisontvenuesàmonse oursàplusieursreprisesdurantla

réda tiondelathèse,jevoudrais iterAntonioBu iarelli,Vin entDanoset

Fran- es aS ozzari.Danslespériodesdedi ulté,leursoutienmoralets ientiqueàété

formidable,madette enverseuxest don immense.Mer iaussiàOlivierLaurent,

àAntoninoSalibraet àPierre-LouisCurien, en oreunefois, pourl'attentionave

laquelle ilsontbien voulurépondreàmesquestions.

Ces annéesdethèsem'ontfaitappré ieren oreplusmaformationàlafa ulté

d'informatiquedel'universitédePise.Je suisre onnaissantauxpersonnesquiont

ontribuéàme donner ette formation,en parti ulierPierpaolo Degano,pourses

qualitéshumainesetdida tiques,etGiorgioLevi,dontle oursdeLinguaggiSpe iali

di Programmazione, traitantdeprogrammationlogique,adetouteéviden elaissé

plusqu'unetra eenmoi.

Jeremer ie olle tivementtouslesauteursdeslogi ielslibres,quimettentà

dis-positiondes her heursunepanoplied'outilsindispensablesàl'a tivitédere her he

engénéraletderéda tionenparti ulier.Sanslesin ontournablesGnu/Linux,T

E X, L A T E Xet L Y

X, jesuis ertain quelaréda tion de e mémoireaurait été bien plus

pénible.

Je tiens à remer ier Dominique Raharijésy, Joëlle Isnard, Noëlle Delgado et

OdileAinardipourleurappuidanslestâ hesadministrativesdelaviedere her he,

et pourlapatien eàl'égarddequelqu'unaussimaladroitquemoidans etypede

démar he.Mer iàmesamisStefanoChessa,pourl'aidelorsdemondernierséjour

àPisa,àPierangeloVeltripourl'attentionetles onseils onstammentprodigués,

etàVivianeGourmelonpouravoira eptéderéviserlemémoire.Mer iàFran is o

Alberti, Vin entBalat,SylvainBaro, François Maurel,Emmanuel Polonovsky,et

les petits Mi hel et Raphaël, pour leur sympathie et leur présen e agréable au

Enn, mer iàmesparentsdem'avoiren ouragéet d'avoirtout faitpourque

je ommen e etteaventure.ÀLelia,monépouse,mer idem'avoirsoutenu haque

jourde ette longuetraversée.Jen'aijamaisétéseuldansl'eortetdanslesjours

di iles. C'est bien notre thèse, par e-que nous l'avons menée à bien ensemble.

Mer iaussiàsesparents,Rodi aetIulian,pourleurparti ipationetleurtou hant

Résumé

La théorie desjeux a développé,àses débuts, une vo ationpourles s ien es

so iales et é onomiques, ave des appli ations disparates, omme par exemple le

traitement dedonnées médi ales.Elle apparaîtaujourd'hui ommeunparadigme

de on eptsetdete hniquestrèsgénéral,dontlepotentielresteen oreàexploiter

eninformatique.Dans ettethèsenousétudionsunebran heparti ulière,lathéorie

des jeux ombinatoires (à deux joueurs), pour en tirer béné e dans ledomaine,

très a tif,dessémantiquesformellesdeslangagesdeprogrammation.

D'unjeu,nouspouvonsséparerl'aspe tsyntaxique,inhérentauxdénouements

possiblesdesmat hs,del'aspe tsémantique,inhérentauxprévisionssurlegagnant

et laquanti ationdesongain(entermes d'unenjeu quel onque,telquel'argent

ou lepréstige).Pourmodeliserlanotiondegain,lastru ture d'évaluation hoisie

nedoitpasfor émentêtre elledesbooléens(gagné ouperdu),ou elledesentiers

naturelsourelatifs.Ilsutqu'ellevériedespropriétés,assezfaibles,garantissant

l'existen e d'unesémantiquemême lorsque lejeu donne lieu àdesmat hs innis,

ommedansle asdujeudelabisimulation entrepro essus on urrents,et dujeu

delaprogrammation logique.

Dans e travail,nous étudions la ara térisation sémantique d'un langage

lo-gique (ave ousans ontrainte) entermes dejeu àdeux joueurs.Au-delà du

mo-dèle intuitif des jeux, dont la valeur pédagogique mériterait d'être approfondie,

une telle interprétation permet de réutiliser un des algorithmes les plus utilisés

dans la théorie des jeux ombinatoire, Alpha-Bêta, omme moteur de résolution

pour leslangages logiques. Les résultats ré entset spe ta ulaires obtenus par les

programmesd'é he s(souvenons-nousdeladéfaitedu hampiondumonde

Kaspa-rov ontreleprogrammeDeepBlued'IBM)témoignentd'uneformed'intelligen e

arti ielle développée dans es programmes qui peut êtretransposéeet exploitée

danslarésolutiondeslangageslogiques.Larésolutiond'interrogationsexistentielles

onjon tivesdansunethéoriede lausesdeHorndupremierordreestenparti ulier

on ernée. En eet, la apa ité d'Alpha-Bêta àsimplierle al ul ou, end'autres

termes,sa apa itéàéliminerles oupsinintéressants,n'estpasintimementliéeà

untypedejeuouàuntypedegainparti uliers,maisdemandejustedespropriétés

algébriquesquisontsatisfaitesdanslejeudelaprogrammationlogique.La

orre -tiond'Alpha-Bêtaestprouvéedefaçonformellepourunéventaildestru turestrès

large. Les valeurs al ulées pourront être aussi bien des entiers naturels, omme

dans le asdujeu d'é he s,quedessubstitutions oudes ontraintes, ommedans

le asdeslangageslogiques.

Mots- lés

Algèbrestypées,arbores en es,arbres,termes,théoriedesjeux ombinatoires,

jeux,arènes,positions,joueurs,gain,arbresdejeu,préxesdejeu,stratégies,

stru -tures d'évaluation, sémantiquemonosémique, stru tures de o-évaluation,

séman-tique bisémique, sémantique pessimiste, sémantique optimiste,algorithme

Alpha-Bêta,théorèmeAlpha-Bêtapolymorphe,algorithmeAlpha-Bêta-Gamma-Delta,

Pro-grammationLogique,LP,ProgrammationLogiqueave ontraintes,CLP,résolution

Abstra t

Game theoryhad, in its origins,a vo ation for so ial and e onomi s ien es,

with disparate appli ations, for example in the pro essing of medi al data. It is

per eived today as a very general paradigm of on epts and te hniques, whose

potentialstillremainstobedis overedin omputers ien e.Inthisthesiswestudy

aparti ularbran h, ombinatorialgametheory(withtwoplayers),inordertoprot

from itintheverya tiveeldofformalsemanti sofprogramminglanguages.

Within agame,we an separatethesynta ti aspe t, inherentin thepossible

out omes ofmat hes,from thesemanti aspe t, inherentin thefore astsoverthe

winning player and, possibly, inherent in a quanti ation of prot, in terms of a

stake,likewealthorprestige.Tomodelthe on eptofprot,thesele tedstru ture

ofevaluationshouldnotne essarilybethestru tureofbooleans(win orloose),or

that of naturalor relativenumbers.It is enoughforthis stru ture to verify some

properties,rather weak,guaranteeingtheexisten eof asemanti s,evenwhen the

playgivesrisetoinnitemat hes,asinthegameofbisimulationbetween on urrent

pro esses,or asinthegameoflogi programming.

Inthiswork,westudythesemanti hara terizationofalogi allanguage(with

or without onstraints) intermsofagame withtwoplayers.Theee t ofsu h an

interpretation, beyond the intuitivemodel whose dida ti valuewould deserveto

beexamined,makesitpossibletoreuseAlpha-Beta,oneofthemost elebrated

al-gorithmsin ombinatorialgametheory,asaresolutionengineforlogi allanguages.

The re entandspe ta ularresultsobtainedby hessprograms(likethedefeat of

the world hampion Kasparov againstthe IBM program Deep Blue) testifyto a

kindofarti ialintelligen ea quiredbytheseprogramsthatmightbetransposed

and exploited in the resolution of logi al languages.The resolution of existential

onjun tive goals in a rst-order theory of Horn lauses provides an interesting

ase. Indeed,the abilityof Alpha-Beta to simplify al ulationor,in otherwords,

toprunetheuninterestingpaths,isnot loselyrelatedtoaparti ulartypeofgame

or prot,but to awell- hosenset ofalgebrai properties, satisedbythegameof

logi al programming. The orre tion of Alpha-Beta is formally proven for a very

widevarietyofstru tures.Inthisway,the omputedvalues ouldbenatural

num-bers,asinthe aseof hess,orsubstitutionsor onstraints,asinthe aseoflogi al

languages.

Keywords

Typedalgebras,treestru tures,trees,terms, ombinatorialgametheory,game,

arena,position,players,value,gametree,gameprex,strategies,evaluation

stru -ture, monosemi value, o-evaluation stru ture, bisemi value,pessimisti

seman-ti s,optimisti semanti s,Alpha-Betaalgorithm,polymorphi Alpha-Betatheorem,

Alpha-Beta-Gamma-Deltaalgorithm,Logi alProgramming,LP,Logi al

Introdu tion 11

Lehasardetl'adaptationeninformatique 11

Lesrobotsjoueurs 12

Lasémantiquedeslangagesdeprogrammation 12

Organisationdes hapitres 13

partie 1. Préliminaires 17

Chapitre 1. Algèbres 19

1.1. Relations,fon tionset propriétés 20

1.2. Algèbrestypées 24

1.3. Morphismes 29

1.4. Restri tionset extensions 39

1.5. Interprétation atégorique 41

Chapitre 2. Élémentsdethéoriedesdomaines 45

2.1. Préordres 45

2.2. OrdresPartiels 50

2.3. Homomorphismesd'ordrespartiels 53

2.4. D poet o-D po 57

2.5. Complétion 62

2.6. Sous-stru tures 66

partie 2. Théoriedes jeux ombinatoires 71

Chapitre 3. Théoriedesarbresetdestermes 73

3.1. L'algèbredesarbores en es 73

3.2. L'algèbredesarbres 86

3.3. Lesalgèbresdestermes 96

3.4. Ré apitulatif 107

Chapitre 4. Syntaxedesjeuxàdeuxjoueurs 111

4.1. Arènesdejeu 112

4.2. Arbresdejeu 115

4.3. Préxesdujeu 120

4.4. Stratégies 121

4.5. Algèbressyntaxiques 123

4.6. Critèresde lassi ationsyntaxique 125

Chapitre 5. Sémantiquedesjeuxàdeux joueurs 129

5.2. Évaluationtraditionnelledesjeuxnis 132

5.3. Interprétationd'unjeuarbitraire 134

5.4. Sémantiquedespositions 146

5.5. Sémantiquebisémique 150

5.6. Sémantiquedesstratégies 169

5.7. Con lusion 180

Chapitre 6. L'algorithmeAlpha-Bêta 185

6.1. Introdu tion 185

6.2. Stru turesd'évaluations ompatibles 191

6.3. ThéorèmeAlpha-Bêtapolymorphe 199

6.4. ThéorèmeAlpha-Bêta-Gamma-Delta 216

6.5. Testsde orre tionetperforman e 231

partie 3. LaProgrammation Logique parlesjeux ombinatoires 237

Chapitre 7. Langageslogiquesdupremierordre 239

7.1. Algèbreslogiques 239

7.2. Formuleslogiquesdupremierordre 241

7.3. Ensemblesdeformuleslogiquesdupremierordre 245

7.4. Laprogrammationlogique 248

7.5. Laprogrammationlogiqueave ontraintes 250

Chapitre 8. Dénition dujeu CLP() 255

8.1. ArènedujeuCLP() 255

8.2. Stru turede o-évaluationpourCLP() 258

8.3. Adéquation àlasémantiqueopérationnelledeCLP() 271

8.4. Appli ationdel'algorithmeAlpha-bêtapourCLP() 276

Con lusions 285

partie 4. Appendi e 289

Codesour eo aml 291

simulation.ml 291

partie 5. BibliographieetIndex desdénitions 303

Bibliographie 305

Les interprétationsen termesde jeux onttrouvé, depuisquelques années,des

appli ationsdeplusenplusnombreuseseninformatique,enparti ulierdansl'étude

des sémantiques deslangagesde programmation.Les appli ations lesplus

remar-quables de la théorie des jeux on ernent l'introdu tion systématique du hasard

en algorithmique( f. [Motwani& Raghavan,1995℄ pouruneintrodu tion

élo-quente)et,bienentendu,lesprogrammesquijouent àdesjeux destratégies.

Le hasard etl'adaptation en informatique

L'idéedesalgorithmesaléatoiresest ellede onsidérerleprogrammeur omme

un joueur ayant àsa disposition plusieurs algorithmesdéterministes orre ts (ses

stratégies pures), et s'opposant à un adversaire, l'environnement duprogramme,

dont les stratégies sont les valeurs possibles (ou les lasses de valeurs) pour les

entrées du programme. L'enjeu sera le temps, la qualité de la solution, l'espa e

mémoireo upéoutout autremesured'e a itéduprogramme. Alors,une

stra-tégie optimale (appelée mixte) orrespondra à dénir un algorithme hoisissant

dynamiquement, de façon aléatoire et selon une loi de probabilité établie, parmi

les méthodes déterministes àsa disposition. Par exemple, toutes les variantes du

fameuxalgorithmedetriqui ksort qui hoisissentdefaçondéterministelaposition

dupivotsontmisesàmal( omplexitéquadratique)par ertainespermutationsdu

ve teurd'entrée.Enrevan he,lequi ksortaléatoireinventéàlandesannées'70

( f.[Sedgewi k,1978℄), orrespondexa tementàlastratégiemixtenaïve(etloin

d'être optimale), qui donne la même probabilité d'utilisation àtousles qui ksort

déterministes, orrespondantaux hoixxesdelapositiondupivot.Ona

évidem-mentl'impressionque ette stratégienaïveestoptimalesitouteslespermutations

duve teuràtrier sontéquiprobables.Mais lathéoriedesjeux permet dedénira

priori des algorithmesoptimaux adaptésà toute distribution onnue de

probabi-lité surlesdonnées,voire, grâ eàdesméthodes d'apprentissage,de on evoirdes

programmesqui s'adaptent(pendantl'exé ution)aux apri esdel'environnement

( f. parexemple[Owen, 1968℄).

L'idéedesméthodesquisespé ialisentave l'expérien en'estpasré ente.Elle

évoqueau ontraireun des premiers propos,au début du vingtièmesiè le, de la

théorie des jeux : la modélisation des rapports é onomiques, de l'ore et la

de-mande, 'est-à-direlamodélisationdesdeuxa teursayantdesintérêtsopposésmais

onvergentversune adaptationré iproque.En informatique, e genred'appro he,

où l'on fait  ombattre une spé i ation ontre les données qui seront soumises

à son implantation, est bien entendu envisageable pour n'importe quelle

olle -tiondeprogrammeséquivalents,maisplusoumoinsperformantssuivant

l'environ-nement ( f.entreautres [Welsh, 1983℄, [Karp & Rabin, 1987℄, [Karp, 1991℄,

Les robots joueurs

Nouspouvonsrappeler i ilessu èsré entset spe ta ulairesobtenus, dansle

domaine de l'intelligen earti ielle, parles programmesqui jouent auxDames,

aux É he s, à Othello ou à d'autres jeux de stratégie lassiques. La vi toire du

programme Deep Blue de IBM ontre le hampion du monde des É he s, Garry

Kasparov,enmai1997,amarquél'aboutissementdequaranteannéesdere her he,

tant sur le plan algorithmique que de la mise au point d'ar hite tures

spé iali-sées. Cettevi toirea,enquelquesorte,reviviélesespoirsimmenses soulevéspar

l'intelligen earti ielle dans lesdernières dé ennies,même si, à notreavis, ellea

seulementdémontréquelesjeux sontrelativementfa ilesàmodéliser(puisque les

ma hines y atteignent l'ex ellen e),et non pas que les ma hines soient devenues

intelligentes.

Lasémantique des langagesde programmation

L'étude dessémantiquesdes langages de programmationa, elleaussi, proté

des on epts à la fois puissants et intuitifs déployés par la théorie des jeux, en

parti ulier de la théorie des jeux ombinatoires. En eet, après les travaux

limi-nairesdeLamar he( f.[Lamar he, 1995℄),Blass( f.[Blass, 1992℄)etJoyal( f.

[Joyal, 1995℄)qui, audébutdesannées 90,démontrentqu'une ertaine atégorie

destratégiesétait artésiennefermée,etdon représentaitunmodèledu- al ul,les

re her hesd'Abramsky,Mala ariaetJagadeesan( f.[Abramsky & Jagad., 1994℄

entre autres),ontpermisde donnerlespremièressémantiques omplètement

abs-traitespourdeslangagesfon tionnels(PCF)ouimpératifs(IdealizedAlgol).Enn,

plus ré emment, desspé ialistesdelalogique linéaire ommeBaillot, Danos,

Eh-rhard,HarmeretRegnier( f.[Danos & Harmer,2000℄et[Baillotetal., 1997℄),

entre autres, onttravaillésur les liensdes jeux ave lagéométrie de l'intera tion,

tandis que Curienet Herbelin ( f. [Curien & Herbelin, 1998℄) ont montré que

ertainesma hinesabstraites lassiquespouvaientêtreinterprétées ommedesjeux.

Si les travauxévoqués i-dessusutilisentplusle vo abulaire desjeux (joueur,

oup, partie, arène, stratégie et .) que l'intuition ou les résultats propres à la

théorie des jeux traditionnelle, en revan he, d'autres travaux, où l'on retrouve

des on epts lefs omme eux de joueurs rationnels et de gain, adoptent

l'ap-pro hedesjeuxd'unefaçonplusimportanteet a omplie.Parexemple,enthéorie

des automates, où l'a ent est mis sur la spé i ation et la véri ation de

pro-grammes, ertainsproblèmesdemodélisationdelangagesinnissontabordésave

les jeux ( f. parexemple [Perrin & Pin, 2001℄). Aussi,dans le adre de la

pro-grammation on urrente,les diérentes relationsde bisimulation entre pro essus,

introduites par une te hnique de dénition parti ulière, né essitant la notion de

plus grandpointxe, peuvent êtreréinterprétées,d'une façonbien plusintuitive,

ommedes jeuxàdeuxjoueurs :si unjoueurest gagnant,lespro essus sont

bisi-milaires,s'ilestperdant,lespro essusnesontpasbisimilaires( f.[Stirling,1997℄

et [Loddo& Ni olet,1998℄).

Laprogrammationlogiquepeut, elleaussi,êtreabordéeparlesjeux

ombina-toires( f.[Loddo& Ni olet, 1998℄et[Di Cosmoet al.,1998℄).Onpeut,dans

d'unepartiedanslaquellel'undesjoueursveutdémontrerquelebutestsatisfaisable

dans leprogrammelogique (faisanto e dedamier),tandis quel'autre her heà

l'en empê her. Nous verrons que les réponses orrespondantes à un but dans un

programme logique oïn identpré isémentave legaindujoueurdans laposition

dénie parle ouplebutetprogramme.

L'obje tif prin ipal de ette thèse est, enpremier lieu, de présenter, de façon

rigoureuse, tous les aspe ts syntaxiques et sémantiques des jeux ombinatoires,

pourensuiteappliquerauparadigmedelaprogrammationlogiquelesoutilsformels

développés.Nousadapteronsdesnotionstraditionnelles,tellesquel'heuristique ou

la valeur d'un jeu, au adre des jeux innis, dans l'intention de onstruire une

théorie apable de dé rire à la fois les jeux habituels, tels que les É he s ou les

Dames,etàlafoislesjeux, inattendus,delaprogrammationlogique.Lasouplesse

du paradigme des jeux et son aptitude à la modélisation, nous ont en ouragé à

onstruire une théorie générale,nouvelleànotre onnaissan e, ave l'espoirde la

réutiliserunjourpourd'autresappli ations.

Organisationdes hapitres

Chapitre1. Lepremier hapitreestuntravaildesynthèsedenotionsgénérales

d'algèbre universelle,telles quelasignature,l'homomorphisme oul'isomorphisme,

ave lesnotionspropresdelathéorie du- al ulsimplementtypé,telles que

sub-stitution, polymorphisme ourelation logique. Le but de e hapitre est de fournir

unmétalangageformel pouraborderlessujets des hapitressuivants,notamment

lathéoriedesdomaines( hapitre2),l'algèbredesarbres,desarbores en eset des

termes( hapitres3),l'algèbresyntaxiqued'unjeu( hapitre4),etl'homomorphisme

sémantiquedesjeux ( hapitre5).

Chapitre2. Ledeuxième hapitrepar ourtlathéoriedesordrespartiels,ave

leurspropriétésde omplétudeetleurshomomorphismesetisomorphismes,

fournis-santlesupportformelutile,d'unepart,àladénitiondesrelationsd'ordre,élagage

et préxe,surlesarbres( hapitre3), et,d'autrepart,àladénition desdomaines

d'évaluationd'unjeu( hapitre5).

Chapitre3. Letroisième hapitreintroduitl'algèbredesarbores en eset elle

des arbres, ave lapanoplie d'opérationsné essaires à leurmanipulation, et

l'en-semble desrelationsqui en fontdes ordrespartiels.Les propriétésde omplétude

de esordrespartielsserontabordéesetétudiéesendétail.Ces algèbresfourniront

les outilsné essaires àladénition desnotionsdu hapitresuivant, onsa ré aux

jeux ombinatoires,tellesquelanotiond'arbrede jeu ou elledepréxede jeu.

Chapitre 4. Le but du quatrième hapitre est de développer l'aspe t

syn-taxique des jeux ombinatoires à deux joueurs. On y trouve notamment la

dé-nition formelle d'arène de jeu, d'arbres de jeu, de stratégie et ontre-stratégie, et

Chapitre 5. Dans le inquième hapitre, nous dé ouvrons le sens des jeux

dénis par une arène, 'est-à-dire par une syntaxe de jeu. La notion ru iale de

stru tured'évaluation estintroduite, et unhomomorphisme est tra éde l'algèbre

syntaxique(dénie dansle hapitrepré édent)versl'algèbresémantiqued'unjeu.

Cela onduitàdeuxtypesdesémantiquepourlespositions d'unjeu.Lapremière

sémantique, appelée monosémique, ae te une seule valeur à haque position du

jeu, grâ e à une fon tion heuristique ayant des propriétés adéquatesvis-à-vis du

jeu. La deuxième, appelée bisémique, ae te deux valeurs, 'est-à-dire un

inter-valle,àlamêmepositiondujeu,grâ e, ettefois i,àdeux fon tionsheuristiques

duales,l'unereprésentantuneappro hed'évaluationpessimiste etl'autre

représen-tantune appro he, au ontraire,optimiste. Nousverrons aussique, dans ertains

as, lesdeux appro hes onvergentversune seule valeur sémantique qui ne tient

plus à l'attitude,pessimiste ouoptimiste, adoptée, mais qui représente une sorte

desémantiqueabsolue.

Pour terminer e hapitre, nous développerons la te hnique d'évaluation des

stratégies (dujoueur)etdes ontre-stratégies (del'opposant),quideviennent,dans

notre adre théorique, des objets innis, tout omme les arbres des positions du

jeu.

Chapitre 6. Lesixième hapitreexplore,d'unepart,les apa itésdufameux

algorithme Alpha-Bêta, onçu pour lesstru turesd'évaluationtraditionnelles (les

entiers naturels), de s'adapter à d'autresstru tures d'évaluation omme elle des

jeux de laprogrammationlogique. Et,d'autrepart,il explorele ara tère

séman-tique,pessimisteouoptimiste,desréponsesfourniespar etalgorithme.

L'algorithme Alpha-Bêta est avant tout généralisé, faisant abstra tion de la

stru ture d'évaluation utilisée, et ensuite reformulé dans le style plus formel des

sémantiques opérationnelles à grands pas (big steps). Un théorème de orre tion

pré ise, par la suite, la qualité des réponses fournies. Par rapport aux travaux

présentés dans [DiCosmo & Loddo,2000℄, e résultat élargit le spe tre

d'ap-pli ationauxjeuxoùlesjoueursn'alternentpasfor ément,autrementdit,lesjeux

oùlesjoueursnelaissentpasautomatiquement,après haque oup,lamainàleur

adversaire.Celareètel'intentiond'appliquerl'algorithmenonseulementauxjeux

de la programmationlogique (pure ou ave ontraintes), mais aussi au jeu de la

programmationlogiqueave négation,qui, ependant,neserapasétudiédans ette

thèse.

Aussi, nous avons introduit un nouvel algorithme, que nous avons nommé

Alpha-Bêta-Gamma-Delta, et un se ond théorème de orre tion an d'optimiser

le al ul desjeux évaluésdansunestru turenon distributive,oùAlpha-Bêtan'est

plus orre t.Lenom hoisiévoqueune ertaineressemblan edesprin ipesde

sim-pli ations utilisés par Alpha-Bêta, mais il est important de spé ier qu'il s'agit

d'un algorithmediérent,plusprudentdans l'élagagedesarbres dejeu,qui évite

ainsi lespiègesd'unestru tured'évaluation nondistributive.Ilpourraitserendre

utile,maisnousnel'étudieronspasdans ettethèse,pourl'interprétationabstraite

desprogrammeslogiques,oùl'abstra tiona élèreet for elandu al ul,auprix

et peuvent perdre,notamment, lapropriété distributive né essaire àl'appli ation

delaméthodeAlpha-Bêta.

Chapitre 8. Dans e hapitresetrouveunrésumédelathéoriedeslangages

dupremierordreàlabaseduparadigmedelaprogrammationlogiqueave ousans

ontraintes.Laprésentationde ettethéorietirepartidesnotionsintroduitesdans

lepremier hapitre, ommelanotiond'algèbretypéeetd'homomorphisme,etdans

letroisième hapitre, ommelanotiondeterme,desubstitutionetd'environnement.

Chapitre 9. Ledernier hapitreest onsa réàlaprogrammationlogique.Les

dénitions,lesrésultatsdémontrésetlesméthodesénon éesau oursdes hapitres

pré édentssontmisauservi ed'unedénitionformelledelaprogrammationlogique

entermesdejeux ombinatoiresàdeuxjoueurs.Nousprouvonsl'équivalen eentre

lasémantiquetraditionnelle(desréponses al ulées)etlasémantiquedesjeux,puis

nousprouvonségalementquelastru tured'évaluationutiliséevérieleshypothèses

d'appli ation du théorèmede orre tion Alpha-Bêta du hapitre pré édent. Nous

pouvonsrésumer esdeuxrésultatsetleur onséquen edire teparunsyllogisme:

la sémantiqued'unbutdansunprogrammelogique oïn ideave

la valeur sémantiqued'unjeu àdeuxjoueurs

et

la méthode Alpha-Bêta permet,par des optimisations orre tes,

de al uler la valeur d'unjeuàdeuxjoueurs

don

la méthode Alpha-Bêta permet de résoudre unbut dansun

pro-gramme logique, en al ulant, par des simpli ations orre tes,

l'ensemble desréponsesqui fontdu butune onséquen e logique

duprogramme

Nousverronsquelquesexemplesd'exé utiondel'algorithmeetnousprospe terons

son utilisation ommemoteur derésolution en programmationlogique. À l'instar

delare her hed'unestratégiegagnanteauxé he s,lemoteurderésolution

Alpha-Bêta apportera son intelligen e au se ours des performan es. À la manière des

fameux algorithmesbran h&bound delare her heopérationnelle,ilseralui-même

apabled'élaguerlespar oursinintéressantsdansl'arbredesdénouementspossibles

Algèbres

1. Relations, fon tions etpropriétés

2. Algèbrestypées

3. Morphismes

4. Restri tions etextensions

5. Interprétation atégorique

Dans e hapitre, au une nouvelle notion est introduite. Il s'agit ependant

d'un travail de synthèse de théories diérentes, telles que la théorie de l'algèbre

universelleet elledu- al ulsimplementtypé.Nousverrons ommelanotion

fon-damentaled'homomorphisme,présenteàplusieursreprisesetsousplusieursformes

dans lapremière théorie,peutêtre généralisée auxopérationsd'un type

apparte-nant àunlangagedes typesévolué. Nousprouveronslaspé i ité desdénitions

habituelles par rapport à la nouvelle et plus générale notion d'homomorphisme.

Ce métalangage algébrique nous permettra d'expliquer de façon avantageuse les

algèbresquenousren ontreronsau oursdes hapitressuivants.

D'une façon informelle, les algèbres sont des stru tures omposées de deux

genresd'objetmathématique:desensemblesdebase,lesdomaines,etdes

onstru -tions, les opérations, dénies sur es domaines, ommepar exemple des relations

oudesfon tions.Sienthéoriedesensembles,oùtoutobjetestunensemble,la

dis-tin tion entre domaineset opérations (surlesdomaines)n'est pas ardinale, ave

les algèbresladiéren e est expli ite. D'une part,la notiondedomaine est elle,

naturelle, d'ensemble. D'autre part, à toute opération, qui est elle-même un

en-semble,nous ae teronsuntype (ouunesignature)représentantune onstru tion

mathématique :ledomainerésultantde ette onstru tion, ontiendral'opération.

L'ae tationd'untypeàuneopérationtraduittoujourslavolontéd'en adrer

1.1. Relations, fon tions etpropriétés

1.1.1. Ensemblesde base. Dans ette thèse, nousutiliseronslesensembles

de base suivants : un ensemble onstitué par unseul élément fg, noté 1, un

en-semble onstitué pardeux élémentsf0;1g(les booléens)noté2,lesentiersnaturels

N, lesentiersnaturelsnonnulsN

+

,etlesentiersnaturelsave lesymboledénotant

l'innimentgrandN

1

,N[f+1g.

Àpartirdesensemblesdebase,nousutiliserons,pourgénérerdenouveaux

en-sembles,les onstru tionsmathématiqueshabituellestellesqueleproduit artésien,

l'uniondisjointe,lespartiesd'unensemble,lesrelations,lesfon tions,lesfon tions

partielles etlessuitesnies ouinnies.

1.1.2. Produits artésiens,sommes. ÉtantdonnédeuxensemblesAetB,

nousnoteronsparA  Bleurproduit artésien.Sileurinterse tionestvideA \ B=;,

nous noterons AB leurunion disjointe (ousomme) et nous dirons que Aet B

sontles omposantesdelasomme.

1.1.3. Relations unaires. Étant donné unensembleD,une partie < de D

(ou relation unaire < sur D), notée < : }

D

ou < : }(D), est un sous-ensemble

quel onque deD. Lapartie est nie, notée < : }

F

(D), si elle est onstituéed'un

nombrenid'éléments.

1.1.4. Relationsbinaires. ÉtantdonnéunensembleD,le arrédeDest le

produit artésienDD.ÉtantdonnédeuxensemblesAetB,unerelation binaire

< sur Aet B est un sous-ensemble arbitraire du produit artésien AB, don

notée <:}

AB

;quand A=B,D,nous disonsque< est une relation (binaire)

sur D. La notation inxe x<y signie (x;y) 2 <. Le domaine de < est le

sous-ensembledeA:dom(<)=fa2Aj 9b:a<bg,le odomaineestlesous-ensemblede

B: od(<)=fb2Bj 9a : a<bg. Larestri tion de <à unsous-domaine A

0 A est larelation < j A 0 B ,f(a;b) 2< ja2 A 0 g = <\(A 0 B).La restri tion de < à unsous- odomaine B 0  Best la relation < j AB 0 , f(a;b)2 <jb 2B 0 g= <\(AB 0

). L'image de < surunsous-domaine A

0 Aest le odomainede la restri tionde<ausous-domaineA 0 :Im < A 0 ,fb2Bj(a;b)2< j A 0 B g.Dansle

as oùA=B,D,la restri tion de < àunsous-domaine D

0 D est larelation < j D 0 ,f(a;b)2<ja2D 0 ;b2D 0 g=<\(D 0 D 0

).Étantdonnédeuxrelations

binaires< 1 :} AB et< 2 :} BC ,la omposition< 2 Æ< 1 ,f(a; )2ACj9b2 B:(a;b)2< 1 ^(b; )2< 2

gestunerelationbinaire<

2 Æ< 1 :} AC .Lapuissan e nd'unerelation<:} DD

,oùn2N, n1,estlarelation<

1 ,<sin=1,oula relation < n ,<Æ< n-1

si n>1.La lturetransitivede< estl'unionde toutes

sespuissan es:<  , S n1 < n .

1.1.5. Fon tions et fon tions partielles. Unefon tionpartiellede Avers

B, est une relation binaire < sur A et B, notée < : A Æ!B, telle que (a;b) 2

< ^(a; )2< ) b= .Pourlesfon tionspartiellesnousutiliseronslanotation

9<x pour dire 9y 2 B:(x;y) 2 <. Puisque l'existen e implique l'uni ité, nous

utiliseronslanotation9<x , ypourindiquerl'existen edel'élémentenrelation

ave x et, en même temps, le baptisery. En revan he, quand l'existen e ne sera

pasassurée,nousnoteronsy ~ = <(x)poursignierégale s'ilexiste,autrementdit,si

9<xalors9<x , y.Unefon tionpartielle<:A Æ!Bdevientunefon tionàplein

titre, on dit aussitotale, notée < : A !B, quand dom(<) = A.La omposition

de deux fon tions partielles f : A Æ!Bet g : B Æ!C est, elle aussi, une fon tion

partielle gÆf : A Æ!C; la omposition de deux fon tions totales est, elle aussi,

totale gÆf : A ! C. La puissan e f

n

d'une fon tion partielle f : A Æ!A (resp.

totale f : A! A) est, elleaussi, une fon tionpartielle f

n

: A Æ!A(resp. totale

f n

: A ! A). Étant donné un ensemble D, toute fon tion < : 1 ! D est une

onstante,que nousnoterons aussi< :! D;l'é riture <() =x rempla e souvent

l'expression<()=x.Delamêmemanière,toutefon tionpartielle<:1 Æ!Dest

une onstante partielle, que nous noteronsaussi < : Æ!D,et l'é riture <()= x

pourrarempla erl'expression(;x)2<.

1.1.6. Prédi ats, propriétés. L'identité sur X, dénie parf(x;x)jx 2 Xg,

estàlafoisunefon tiontotaleid

X

:X!Xetpartielleid

X

:A Æ!Apourtout

sur-ensembleAX.Toutefon tiondetypep:D!2estunprédi atquenousnoterons

aussip:2

D

. Toute fon tionpartielledetypep:D Æ!1 est unsemi-prédi at

1

(ou

prédi atpartiel),notéaussip:1

D

.Nousutiliseronsletermegénériquepropriété(sur

D)pourdénoteraussibienunepartie(relationunaire)p:}

D

,qu'unprédi atp:2

D

ou qu'unsemi-prédi at p:1

D

. Lesdeuxderniersreprésentanteux aussi,bien que

impli itement,unepartie (respe tivementlapartiefx2Djp(x)=1g oulapartie

dom(p)), lanotationp^ sera utiliséepoursignierlapartie on ernée.En d'autres

termes,tout prédi atp:2

D

ousemi-prédi at p:1

D

pourraassumer,àl'o asion,

le statut d'une partie p^ : }

D

. Dans l'esprit d'unier la notation on ernant les

propriétés, l'é riture p(x) serautilisée pourexprimerla onditiond'appartenan e

x2^p, 'est-à-direla onditionx2p,lorsquep:}

D

,oubienla onditionp(x)=1,

lorsque p : 2

D

, ou bien la ondition (x;) 2 p, lorsque p : 1

D

. Étant donné une

propriété p:} A 2 A 1 A

, oùA6=1 et A6=2,et une fon tiontotalef :A!B,

ou partielle f : A Æ!B, la omposition de f et p, notée f

p

, est la restri tionde f

ausous-domainep^Adénotéparlapropriété: f

p

,f

j^

p

=f(a;b)2fjp(a)g.La

ompositiond'unefon tionfave unepropriétépesttoujoursunefon tionpartielle

f

p

:A Æ!B.Les onditionsA6=1et A6=2 évitentlapossibilitéquelafon tionf

soit ompatibleave lapropriétéppourune ompositionfon tionnelle lassique(en

eet,sip:A Æ!1etledomainedefétaitA=1,oubiensip:A!2etledomaine

de f était A= 2, alorsla omposition lassique fÆp : A Æ!B serait réalisable).

Ainsi, à l'abride toute ambiguïtésur l'opérationdénotée, le nom omposition se

justie enremarquantquelamême onstru tionpeutêtre obtenueen omposant

1

DanslaprogrammationLisp(etdesdiale tes ommeS heme),unsemi-prédi atestunefon tion

quirenvoiefaux,ouuneautrevaleurquel onque,diérentedefaux,quiserainterprétée omme

vraie.I il'utilisationdutermen'estpaslamêmemaiselleestsimilaire:lesemi-prédi atindiquera

(ausensdela omposition fon tionnelle)lafon tionfave l'identité surlesignié ensemblistedelapropriété:f p =fÆid ^ p .

1.1.7. Relations n-aires. Les notions parti ulières de relations unaires et

binairessontgénéraliséesau asn-aire:toutsous-ensembled'unproduit artésien

<:}

A

1 


A

n

,oun1estappelérelation(n-aire)surA

1 


A n .Si8i:A i = D nous é rivons < : } D n

. Étant donné une relation binaire < : }

DD

sur un

domaineD,l'extensionproduitàn oordonnées,notée<

n :} D n D n ,estlarelation dénie par(x 1 ;:::;x n )< n (y 1 ;:::;y n ) 4 () 8i=1:::n:x i <y i .

1.1.8. Suites. Les suites niesou inniessontdes exemplesde relations

bi-nairessur N

+

et A.Une suite(nie ou innie) dansA, estune fon tionpartielle

s : N + ! Æ A, notée s : A ! ou s : A 1

, telle que 9s(i+1) ) 9s(i) pour tout

i2N

+

.Lasuitevide, lorsquedom(s)=;,estnotée".Lanotationx

i

est toujours

synonymedex(i),etl'expressionusuelles=x

1 ::x n ,signies=f(1;x 1 );::;(n;x n )g.

S'ilexisteunentierjtelque9s(j)ets(j+1)alorslasuiteestnie,notées:A



ou

s : A

<!

, et sa longueur est jsj , j. La longueur de la suite vide est nulle par

dénition : j"j = 0. La on aténation de deux suites nies x;y : A



, notée x:y,

est la suite telle que (x:y)(i) = x(i) si i  jxj, et sinon (x:y)(i) ~ = y(i-jxj). Une

suite innie dansA, notée s: A

!

, est une fon tion (totale)s : N

+

!A des

en-tiers naturelsnonnulsN

+

versl'ensembleA.Ainsi,noussavonspardénition que

A ! =A  [A !

.Étantdonnéunerelationbinaire<:}

AA

surA,l'extension

pro-duit (aux suites nies)delarelation<,notée<

 :} A  A 

,est larelationdénie

parx<  y 4 () jxj=jyj=n ^ 8i=1:::n:x i <y i

.L'in lusionensembliste surles

suites,notée



,estl'in lusiondessuites onsidérées ommedessimplesensembles

nonordonnés :s  s 0 4 () fx2Ajx=s i ;i2N + gfy2Ajy=s 0 j ;j2N + g.

1.1.9. Constru tions polymorphes. Soit

1

et 

2

des lasses, i.e.des

en-semblesd'ensembles,et soitt:

1

!

2

unefon tionentrelesdeux lasses.Siune

fon tion p:  1 ! S Y2 2

Y fait orrespondreà tout ensemble 2

1

une valeur

p(), notéep

,appartenantàl'ensemble t(),notét

 : 82 1 : p  2t 

alorsnousdisonsquepestune onstru tion polymorphe, notée:

p : 8: 1 :t  Le type8: 1 :t 

permettrade situerles ouples(;p

) dela relationp d'une

façonpluspré iseparrapport autype

1 !

S

Y2

2

Y :si e derniernousindique

que (;p  )2 1  S Y2 2

Y,le premiernousindique, enrevan he,que(;p

 )2  1  Yoù Y=t().

1.1.9.1. Testd'égalité. Unexemplede onstru tionpolymorpheestletest

d'éga-litéoufon tion onditionnelle.Étantdonnéune lasse

t

pourlestestsetune lasse

v

pour lesvaleurs,lafon tion ond

X;Y

(x;y;z):X!Y,oùx2Xet y;z2Y,est

dénie pourtoutensembleX2

t et toutensembleY2 v delafaçonsuivante: ond X;Y (x;y;z)(v),  y si v=x z si v6=x

Nouspouvonss hématiserla onstru tionparl'é riture:

ond : 8:

t

:8:

v

:()!!

Le test d'inégalité, représenté parle même s héma,est déni,pour tout X 2 

t

et tout Y 2 

v

, par l'équation ond

?

X;Y

(x;y;z)(v) , ond

X;Y

(x;z;y)(v). Dans le

as parti ulier où l'ensemble pour les tests et elui pour les valeurs oïn ident

X=Y2,lesdeux onstru tionspeuventêtres hématiséesdelafaçonsuivante;

ond; ond

?

: 8::()!!.

1.1.9.2. Extension d'une relation auxparties. Étantdonné unensemble D,la

puissan e}

n

(D)de l'opérationde passageaux partiesest dénie par}

0 (D),D et } n+1 (D) ,}(} n

(D)). Étant donné une relation : }

DD

sur undomaine D,

l'extension auxpuissan es}

n

(D)estla onstru tionpolymorphe:

 (:) : 8:f} n (D)jn2Ng:} 

dénieindu tivementpar:

Æ ( 0 )=() X n+1 Y 4 () 8x2X:8y2Y: x n y

Pourn=1nousavonsl'extensiondelapropriétéauxpartiesdeD;pourn=2

nousavonsl'extensiondelapropriétéaux lasses(departies)deD.

1.1.10. Syntaxes. Une syntaxe ou grammaire (formelle) est unquadruplet

G=(N;T;s;::=)oùTetNsontdesensemblesdisjointsd'élémentsappeléssymboles

respe tivementterminauxetnonterminaux,s2N,et(::=):2

V 

V 

,oùV,NT,

est une relation (en notation inxe) telle que (::=)  f(x;y) 2 V



V



j9i 2

N:x(i) 2Ng. La lture par ontextede::= est larelation !

G ,f(x 1 ;x 2 )2V   V  jx 1 = y 1 :u:z 1 ;x 2 = y 2 :v:z 2

;u::= vg. Lelangage généré parla syntaxe Gest

l'ensemble L(G) ,fy 2 T  js!  G ygoù la relation !  G

(en notation, elle aussi,

inxe) estla lturetransitivede!

G .

1.1.11. Relations bien fondées. Tous lesprin ipes d'indu tion

mathéma-tique segénéralisentàun seulprin ipe, eluide l'indu tionbien fondée

2

. Une

re-lation binaire < sur un domaine D est bien fondée s'il n'existe pas de haînes

des endantesinnies,i.e.:

69(d i ) i2N D:(8i2N: d i+1 <d i ) 2

Unerelationbinairebienfondéedoitêtrefor émentanti-réexive,i.e.<\f(x;x)jx2

Dg = ;. Étant donné une relation binaire  sur un domaine D, la omposante

stri te(ouanti-réexive)delarelationestlesous-ensemble<,f(x;y)2 jx6=yg.

Le produit à n omposantes (x 1 ;:::;x n ) < (y 1 ;:::;y n ) 4 () 8i = 1:::n:x i < y i

d'unerelationbienfondée<est,luiaussi,unerelationbienfondée(surledomaine

D n

).

Le prin ipe d'indu tion bien fondé s'appuie sur une relation bien fondée <

dénie sur un domaine D : pour démontrer que les éléments d'un sous-ensemble

AD vérienttousunepropriétéP(i.e.AP)ilsut deprouverquesupposer

la propriété vraie pour tout élément b 2 A tel que b < a, où a 2 A, oblige la

propriétéàêtrevraiepoura:

8a2A: ( 8b2A:(b<a ) P(b)) ) P(a))

8a2A:P(a)

1.2. Algèbrestypées

Le mot algèbre, qui entraîne lesnotions orréléesd'homomorphisme et

d'iso-morphisme, seretrouveàplusieursreprises enmathématique.L'ination du mot,

pour des signiés qui sontsouvent très pro hesmais diérents,est telle que

er-tainsauteurspréfèrentd'autrenoms, ommeparexemplemagmaoustru ture,pour

évitertoutmalentenduoupourmarquerladiéren e.Demultiplesdénitions

pro-viennent,d'unepart,delathéoriemathématiquedesalgèbresuniverselles

3

,d'autre

part,delathéorieplusorientéeversl'informatique,desalgèbresdetermes

4

ou

-algèbres.Dans lesdeux adresthéoriques, lanotiondetype apparaîtd'uneutilité

fondamentale,àsavoir elledepré iser,d'unefaçonplusoumoinsne,lepérimètre

d'uneopération, 'est-à-diresondomained'appartenan e.L'informationvéhi ulée

par le type indique, par exemple, qu'il s'agit d'un entier naturel, ou bien d'une

propriétédesentiers,oud'unefon tionet .

Cependant, l'étendue dulangage des typesest toujours limitéeaux fon tions

A 1 :::A n !A n+1

,aux onstantes!A,etauxprédi atsA

1 :::A n !2,où lesdomainesA i

impliquéssontdesensemblesdebase(lessortes)etnonpasdes

en-semblesissus,eux-mêmes,d'uneautre onstru tionmathématique(parexempledes

fon tions).Ladénitiondestypesd'opérationesttoujoursa ompagnéed'uneautre

notionfondamentale, elled'homomorphismeetd'isomorphismeentrealgèbres.

In-tuitivement, unhomomorphisme est une interprétation des valeursd'une algèbre

dansuneautrequi onservelesopérationsdedépart:tout equiestdansune

opé-ration au départ le demeure àl'arrivée, dans l'opération orrespondante et après

latradu tiondesvaleurs.Cesarguments,trèsgénéraux,visantla onservationdes

propriétés, onstituent un métalangagemathématique qui permet d'aborder

plu-sieurs sujets de nature apparemmentdiérente. En eet, lathéorie desdomaines

3

Voir,parexemple,ladénitiondealgebra dans[Burris&Sankap.,1981℄, ellede

heteroge-neousalgebra dans [Lipson,1981℄, elle dealgebrai systems dans [Mal' ev,1973℄, elle de

formation dans[Geri ke,1966℄,et elledemany-sorted algebra dans[Plotkin,1993℄.

4

et lathéorie de l'interprétation abstraite deprogrammes peuventêtre appro hées

d'unetelle façon.

La limitation prin ipale des algèbres universelles, l'impossibilité d'imbriquer

les types les uns dans les autres, est un in onvénient qui peut être dépassé en

s'inspirant des relations logiques, une notion qui revient à la théorie du - al ul

simplementtypé

5

. Ellenouspermettrad'étendrelesnotionsd'homomorphismeet

d'isomorphismeauxopérationsd'untypeappartenantàunlangageétendu,indu tif

et déniformellementparunesyntaxe.

Pourenri hirultérieurementlemétalangagedestypes,nousajouterons

l'expres-siondénotantles onstru tionspolymorphes.Danslaproblématique on ernantles

variables(abstra tion, substitution, et ),nous serons guidés, une foisde plus, par

lathéoriedu- al ulsimplementtypé.

1.2.1. Types. Les types sont les orrespondants syntaxiques des domaines

et despropriétés mathématiques. Étantdonné unensemble B f1;2;N;N

+

;N

1 g

de noms appelés types de base, un ensemble S = fD

i g

i2I

disjoint de B, de noms

appelés sortes, et un ensemble de variables V disjoint de B et de S, l'ensemble

des types ouverts sur B et S, noté

e

T(B;S), est l'ensemble déni par la syntaxe

(f;;#;;;;`g;B[S[V[C[f;;};}

F

;!; Æ!;;8;:;base;sort;{;,;};:;if; q;

then;elseg;;::=),où::=estlarelationsuivante :

e T(B;S)3 ::= 8:: j 8::if q#then 1 else 2 j   ::= #jjj}  j}  F j!j Æ!j   j 1 j  # ::= j  ::= basejsortj {`} ` ::= #j`,`

Lestypesnonpolymorphes(oumonomorphes)représentent,dansl'ordre,les

éléments detype prédéni  2B, les éléments des ensembles baptisés 2 S, les

élémentsd'un produit artésienou d'unesomme de typesadmissibles,lesparties

(nies ou innies) d'un type admissible,les fon tions (totales ou partielles) d'un

type admissible versun typeadmissible,les suites(nies ouarbitraires)de types

admissibles,et lesvariablesde type2V.Les types(généraux oupolymorphes)

peuventêtresoitdesabstra tionssimples=8::

0

,soitdesabstra tionssuivies

d'un test d'égalité = 8::if q#then

1

else

2

, soit des typesnon polymorphes

=. Lesymbolesort seralereprésentantsyntaxiquede la lasseStoute entière,

et

base

lereprésentantde la lasse destypesdebase B.Nous pourrons é rire, par

exemple,destypespolymorphesdugenre8:sort:



ou8:base:!.

Noussupposeronstoujoursquelestypesutiliséssoientdestermes los,

autre-ment dit, que toutevariable  apparaissantdans une expression de type soit liée

par uneabstra tion orrespondante8. D'unefaçonplus formelle,l'ensemble des

types ( los), notéT(B;S), estle sous-ensemblede typesouverts2

e

T(B;S)dont

l'ensembledesvariables libres,dénidanslatable1,estvide:

T(B;S) , f2

e

T(B;S)jFV()=;g

5

Tab. 1. Variableslibres FV(), 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : ; si =2B ou =2S FV( 1 )[FV( 2 ) si = 1  2 ou = 1  2 FV( 1 )[FV( 2 ) si = 1 ! 2 ou = 1 ! Æ  2 FV( 0 ) si =}  0 ou =}  0 F FV( 0 ) si =( 0 )  ou=( 0 ) 1 fg si =2V FV()nfg si =8:: FV( 1 )[FV( 2 )nfg si =8::if q#then 1 else 2

Les types de base étant souvent impli ites, nous pourrons noter l'ensemble des

typesparl'é ritureT(S).Noussupposeronsaussiquel'ensembledestypesdebase

ontienne,toutaumoins,lesreprésentantsdesdomainesdebase1,2,N; N

+

etN

1

( f. se tion1.1.1).

La ontrepartiesémantiqued'untypeesttoujours,bienentendu,undomaine,

etl'é riturex:prendtoujourslesensd'appartenan edexaudomainereprésenté.

Si onpermetde onfondre,sanspourautantprovoquerd'ambiguïté,parl'é riture

, à la fois le type et le domaine représenté, nous pouvons dire que x :  est

toujourssynonymedex2.Danslemêmeesprit,nouspourronsnoterparlalettre

 à la fois un type prédéni et le domaine orrespondant impli itement asso ié,

et noter que 

1

 

2

pour signier l'in lusion des domaines représentés. Nous

pouvonsreprésenterlesbije tionsexistantesentre onstru tionsmathématiquesen

dé rétant,surlelangageT(S),lesloisasso iatives:(

1  2 ) 3 = 1 ( 2  3 ),  1  2  3 , ( 1  2 ) 3 =  1 ( 2  3 ) ,  1  2  3 . Nous pourrons

parfois utiliser les abréviations usuelles hez les domaines : (

! ) , (N + ! ), (!),(1!) et(2 

),(!2).Parmilesabréviations,nousnousautoriserons

àfa toriserlestypesdanslesbran hesdesexpressionsdetypepolymorphemunie

d'untestd'égalité.Parexemple,nouspourronsé rire8::!if q#then

1 else 2 aulieude8::if q#then! 1 else! 2 .

1.2.1.1. Types élémentaires etdu premier ordre. Parmilestypes, nous

appel-leronsélémentairetouttypeappartenantausous-langageT

E (S)T(S)dénipar la syntaxe T E (S) 3  ::= jj}  j}  F jj où  2 B et  2 S. D'autre

part,lelangagedestypesdupremierordreT

F

(S)T(S)estdéniparlasyntaxe

T F (S) 3  ::=  " j " ! j " ! Æ  où  " 2 T E

(S). Les types du premier ordre

représententdon lestypesélémentairesetlesfon tions,partiellesoutotales,

n'a - eptantquedesargumentsdetypeélémentaire.Enrevan he,lesfon tions,totales

ou partielles, d'un typen'étant pasdupremier ordre serontdes fon tionsd'ordre

supérieur.

1.2.1.2. Substitutiondesvariables. Nousallonsadapter,aulangagedestypes,

l'opération de substitution des variables qui est lemé anisme fondamental du

- al ul.Ils'agitd'uneméta-opérationdesupportauxtraitementsdes onstru tions

polymorphes 6

. Lasubstitutiond'unevariable ave unevaleura dansuntype,

noté [

a

=

℄,estdéniedanslatable2.

6

Tab.2. Substitutiondesvariables [ a =  ℄, 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :  si =2B  si =2S  1 [ a =  ℄ 2 [ a =  ℄ si = 1  2  1 [ a =  ℄ 2 [ a =  ℄ si = 1  2 }  0 [ a =℄ si =}  0 }  0 [ a =℄ F si =}  0 F  1 [ a =  ℄! 2 [ a =  ℄ si = 1 ! 2  1 [ a =  ℄ Æ! 2 [ a =  ℄ si = 1 ! Æ  2 ( 0 [ a =  ℄)  si =( 0 )  ( 0 [ a =  ℄) 1 si =( 0 ) 1 a si =2V  si =2V ; 6=  si =8:: 0  si =8::if q#then 1 else 2 8:: 0 [ a =  ℄ si =8:: 0 ; 6= 8::if q#then 1 [ a =  ℄else 2 [ a =  ℄ si =8:: if  q# then  1 else  2 ; 6=

1.2.2. Signatures. Unesignaturealgébrique (ousignature tout ourt)estun

quadruplet =(B;S;F;T)oùlapremière omposante Best unensemble detypes

de base,ladeuxième S=fD

i g

i2I

estunensemble desortes, latroisième F est un

ensemblenon videdenomsd'opérationsF =ff

j g

j2J

, disjointdeS, etlaquatrième

est une appli ation T :F !T(B;S) qui asso ie àtout nom d'opération f 2F, le

type del'opération.

Notation1.2.1.Parlasuite,nouspourronssous-entendrel'ensembledestypes

debasesB(parexemplelorsque edernierestvide)etdénoterlasignatureparun

triplé = (S;F;T).En outre, lorsque S ou F seront des ensembles nis, on

s'au-torisera, ommeenlittérature,desdénitions designaturesdugenre =(S;fo

1 :  1 ;:::;o n : n

g)poursignier,bienentendu,=(S;fo

1 ;::;o n g;f(o 1 ; 1 );::;(o n ; n )g).

Nous pourrons aussi pré iser le type de plusieurs opérations à la fois, séparées

par des virgules :  = (S;fo

i1 ;::;o ik :  1 ;::;o j1 ;::;o jh :  n g) et éventuellement

séparer les sortes des opérations par un point-virgule en évitant les a olades :

 = (D 1 ;::;D n ;o i 1 ;::;o i k :  1 ;::;o j 1 ;::;o j h :  m

). Lorsque la diéren e entre

sortesetopérationsseraévidente,nouspourronsaussiéviterlepoint-virguleet/ou

letype, ommepourlesordrespartiels( f.se tion2.2)dontlasignatureestleplus

souventnotée(D;)aulieude(fDg;f:}

DD

g).

1.2.3. Algèbres. Unealgèbre estun oupleA=((:)

A

;T)où:

(1) le signiédesnoms(:)

A

est unesommedefon tionsbije tives

(:) A :B!B A  S!S A  F!F A où B = fB k g k2K  f1;2;N;N + ;N 1

g est l'ensemble des types de base,

B A = fB A k g k2K

est la olle tion des domaines de base, S = fD

i g i2I est unensemblede sortes,S A =fD A i g i2I

estune olle tiondedomaines(les

signiés des sortes); F = ff

j g

j2J

est un ensemble de noms d'opérations,

disjointdeS, etF A =ff A g j2J

Tab.3. Signié ensemblistedestypeset des lasses  A , 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :  A si =2B  A si =2S  A 1  A 2 si = 1  2  A 1  A 2 si = 1  2 }  0A si =}  0 }  0A F si =}  0 F  A 1 ! A 2 si = 1 ! 2  A 1 ! Æ  A 2 si = 1 ! Æ  2 ( A )  si =( 0 )  ( A ) 1 si =( 0 ) 1  si =2V 8: A : 0A si =8:: 0 8: A : ond(# A ; A 1 ; A 2 )() si =8::if q#then 1 else 2  A , 8 < : fx A jx2Bg si =base fs A js2Sg si =sort fx A 1 ;::;x A n g si ={ x 1 ,::,x n }

des noms d'opération). Lafon tion (:)

A

est étendue automatiquementà

T(B;S),l'ensembledetouslestypessur lesnomsBet S, ommeindiqué

danslaTable3.

(2) le type des opérations T est une fon tion T :F !T(B;S) qui ae te un

type orre t àtouslesnomsd'opérationdel'algèbre, 'est-à-direuntype

telque: 8f2F: T(f)= ) f A 2 A . Le quadruplet  A

= (B;S;F;T) est la signature de l'algèbre A. La famille des

algèbressurunesignatureseranotéeAlg ().

Notation1.2.2. Commesuggéréparlasyntaxedestypes,lesigniédetoute

lasse syntaxique estune lasse de domaines (debaseousortes)

A

.On

s'auto-riseraainsil'é riturex2poursignierx

A

2

A

.

Nous remarquerons quele signié ensembliste d'un type dela forme 8::

est le domaine des onstru tions polymorphes ( f. se tion 1.1.9), 'est-à-dire le

domaine desappli ations ff: 8:

A

:

A

gqui, étant donnéunensemble xdans la

lasse de domaines (de base ou sortes)

A

, renvoientun élément appartenant au

domaine [ x =  ℄ A

. L'ordre extensionnel entre fon tions,qui sera déni et détaillé

dansle hapitresuivant( f.se tion2.1.4),estunexempletypiquede onstru tion

polymorphe.

La lasse desdomainesimpliqués parl'algèbreestl'imagedelafon tion

d'in-terprétation destypessurtouslestypesadmissiblesdelasignature:

T(B;S) A ,f A j2T(B;S)g où  A =(B;S;F;T)

Lestypesdebaseetleursigniés,i.e.lesdomainesdebase,sontsouventimpli ites

dansladénitiond'unealgèbre.Ce iest le as,enparti ulier,lorsque lestypesde

base oïn identexa tementave l'ensemblef1;2;N;N

+

;N

1 g.

1.2.3.1. Stru tures. Nous appellerons stru ture toute algèbre onstituée d'un

seul domaine D et d'un nombre arbitraire d'opérations de type, lui aussi,

arbi-traire.Lorsqueiln'y auraqu'unnombrenid'opérations,pourlasignatured'une

stru ture,nouspourronsutiliserlanotation(D;O

1

;:::;O

n

)quioublielesa olades.

Ils'agitd'un asexemplaireoùladiéren eentresortesetopérationsestévidente:

puisqu'il n'yaqu'unesorte,elleo uperalapremièrepla e,et lesautressymboles

serontfor émentlesopérations.

1.3. Morphismes

Toutenétantunenotionplusgénéralequel'homologuedel'algèbreuniverselle,

leshomomorphismesmaintiendrontleurprérogativehabituelleliéeàla onservation

des propriétés. Nous verrons aussi omment retrouver leur interprétation

atégo-riqueusuelle, elledemorphismeentreobjets,oùlesobjetsseront,à emoment-là,

lesalgèbrestypées.

1.3.1. Algèbres,typesetopérations ompatibles. SideuxalgèbresA=

((:) A ;T)etB=((:) B ;T 0

)sontdéniessurlesmêmestypesdebaseB,etlessigniés

de es derniers oïn ident:

82B: 

A

=

B

nousdisonsquelesalgèbressont ompatibles.Dans ette hypothèse,soient

A = (B;S;F;T)et  B =(B;S 0 ;F 0 ;T 0

) lessignatures desdeux algèbres,et soit :S !

S 0

une appli ation traduisant les sortes de A en sortes de B. La Table 4illustre

l'extensionnaturellede àtouslestypesadmissibles.Ainsi,latradu tiondesnoms

dessortes :S!S

0

déniraimpli itementunetradu tion :T(B;S)!T(B;S

0

)

de tout typede l'algèbreAdans untypede l'algèbreB.Nous utiliseronssouvent

la notation  pour indiquer le résultat de l'appli ation de à l'argument  :

 = ().

La orrespondan etra éepar entrelestypesdesdeuxalgèbresestune

orres-pondan estri te,uneformed'égalitésyntaxique (modulolatradu tiondessortes).

Une relationmoinsstri te,la ompatibilitéentretypes,notée :}

T(B ;S)T(B ;S

0

)

,

est dénie dans la table 5. Intuitivement, la relation  étend la fon tion en

permettant d'asso ier des types 8:: et 8:

0

:

0

si le se ond type exprime,

par rapport au premier, des onstru tions polymorphes plus générales.En

parti- ulier, la règle ( onst)permet auxtypes polymorphes d'être asso iés àdes types

non né essairementpolymorphes, es dernierspouvant toujoursêtre onsidérés,à

l'o asion, ommedes onstru tionspolymorphes onstantes,dontlerésultatestle

même indépendammentdel'argument.

Si   

0

, nous disons que le type  2 T(B;S) de la première algèbre est

ompatible (viala tradu tion ) ave letype

0

2T(B;S

0

) delase onde algèbre.

Étantdonnéuneopérationf2Fdelapremièrealgèbreet uneopérationf

0

2F

0

de

lase onde,nousdisonsquelesdeuxopérationssont ompatiblessileurstypessont

ompatibles : T(f) T 0 (f 0 )

Tab.4. Interprétation destypesetdes lasses

d'unealgèbreàuneautre

(), 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > :  si =2B () si =2S ( 1 ) ( 2 ) si = 1  2 ( 1 ) ( 2 ) si = 1  2 } ( 0 ) si =}  0 } ( 0 ) F si =}  0 F ( 1 )! ( 2 ) si = 1 ! 2 ( 1 ) Æ! ( 2 ) si = 1 ! Æ  2 ( 0 )  si =( 0 )  ( 0 ) 1 si =( 0 ) 1  si =2V 8: (): ( 0 ) si =8:: 0 8: ():if q (#)then ( 1 )else ( 2 ) si =8::if q#then 1 else 2 (), 8 < : base si =base sort si =sort { (x 1 ),::, (x n )} si ={x 1 ,::,x n }

Tab. 5. Types ompatiblesvial'interprétation

()= 0   0 (ext) 8x2: (x)2 0 ^ [ x =  ℄   0 [ x =  ℄ 8::  8: 0 : 0 (poly) FV( 0 )=; 8::  8: : 0 8::   0 ( onst)

Example 1.3.1. SoitAunealgèbre onstituéededeuxsortesS=fZ;Bg, oùZ

représente ledomainedesnombresentiers etB eluidesbooléensftt;ffg,et d'une

opération polymorphe F = f+

(:)

: 8:{Z,B}: !  ! g, où +

Z

est l'addition

surlesentiers et+

B

estleoulogique surlesbooléens.Parailleurs,soitBl'algèbre

des nombres réels, où S

0

= fRg et F

0

= f+ : R ! R ! Rg. La seule tradu tion

possiblepourlesnomssera (Z)= (B)=Ret (+

(:)

)=+.Lesdeuxopérations

allogènes seront alors ompatibles. En eet, la règle ( onst) nous permettra de

onsidérer l'addition sur lesréels ommeune onstru tionpolymorphe onstante,

'est-à-dire ommeuneopérationdetype8:{R}:!!.Ensuite,enutilisant

larègle(poly),nouspourronsdéduirela ompatibilitédel'additionpolymorphede

l'algèbreAave elle(monomorphe)desréels. 

1.3.2. Interprétations. SoientA=((:) A ;T)et B=((:) B ;T 0 ) deuxalgèbres ompatibles,de signature A =(B;S;F;T)et  B = (B;S 0 ;F 0 ;T 0 ). Une

interpréta-(1) l'interprétation desnoms :S!S 0

F!F

0

estunesommedefon tions

qui traduittoutesortedeAdansunesortedeBettouteopérationdeA

dansuneopération ompatible deB:

8f2F: T(f)  T

0

(f )

(2) l'interprétation desvaleursestune onstru tionpolymorphe:

' : 8:S:! ()

quiasso ieàtoutesorteD2Sunetradu tiondesvaleurs'

D :D A !D B . L'appli ation : S ! S 0

sera appelée germe de l'interprétation des types. Nous

remarquerons qu'au une des omposantes et ' de l'interprétation n'est for ée

d'être inje tive ou surje tive. Leur raison d'être est elle de traduire (d'où leurs

noms)lesobjetsdudis oursd'unealgèbreàl'autre.Nousremarqueronsaussique

les domaines orrespondantsaux sortes peuvent avoir une interse tion non vide.

L'interprétationd'unélémentx2D

A 1 \D A 2 ,oùD 1 ;D 2

2S,pourradon sefairepar

l'intermédiairedelafon tion' D 1 :D A 1 !D B 1 oudelafon tion' D 2 :D A 2 !D B 2 .

Lorsque l'interprétation desvaleursnesera pasambiguë,ou lorsque lesdomaines

serontdisjoints, 'est-à-direlorsquenousauronsla ondition:

8D 1 ;D 2 2S: 8x2D A 1 \D A 2 : ' D 1 (x)=' D 2 (x)2D B 1 \D B 2

nouspourronséviterdespé ierledomained'appli ationde', onsidérant ette

dernière ommeune fon tion de l'union desdomaines de l'algèbre Avers l'union

desdomainesdeB: ' : ( [ D2S D A )!( [ D2S D B )

Une onditionplusfaible,quenousappellerons ohéren edel'interprétation( ;'),

demandequesideuxsortesdistin tesD6=D

0

delapremièrealgèbresontasso iées

àlamêmesorteD =D

0

delase ondealgèbre,alorsl'interprétationd'unevaleur

x2D

A

\D

0A

oïn ide, quel'on onsidèrex2D

A

ouquel'on onsidèrex2D

0A : 8D;D 0 2S: (D)= (D 0 ) ) 8x2D A \D 0A : ' D (x)=' D 0 (x)

Lapossibilité,dansladénitiond'unealgèbre,deséparerlestypesdebasedestypes

sorte, permet de distinguer les domaines qui ne doivent par être interprétés, des

domainesqui doivent,enrevan he,passer lepro essusdetradu tion. Eneet, les

typesdebasene on ernentni l'interprétationdesnomsni elledesvaleurs.Dans

lesdeux as,la fon tionidentité véhi uleimpli itementlesnoms et lesvaleursde

base d'unealgèbreversl'autre.

1.3.3. Relation de onservation. Étant donné une interprétation ( ;')

d'une algèbre A de signature 

A

= (B;S;F;T)dans une algèbre B de signature

 B = (B;S 0 ;F 0 ;T 0

), nous dirons qu'un objet x 2 

A

de la première algèbre se

onserve dansunobjetdetype ompatiblex

0 2 0B delase onde, six ' 7 !  x 0 , où lafamillederelations: f ' 7 !  A  0B j 2T(S);    0 g

Tab.6. Larelationlogiquef ' 7 !  g 2B x ' 7 !  x (base) 2S x ' 7 !  '  (x) (sort) x 1 ' 7 !  1 x 1 x 2 ' 7 !  2 x 2 (x 1 ;x 2 ) ' 7 ! 12 (y 1 ;y 2 ) (prod) x ' 7 !  1 y _ x ' 7 !  2 y x ' 7 ! 12 y (sum) 8x2X:9y2Y:x ' 7 !  y 8y2Y:9x2X:x ' 7 !  y X ' 7 ! }  Y (set) X ' 7 ! }  Y X ' 7 ! }  F Y (fset) u ' 7 ! N+ Æ! v u ' 7 !  1 v (seq) u ' 7 ! N+ Æ! v u ' 7 !   v (fseq) 8x2 A 1 ;x 0 2 B 1 : x ' 7 ! 1 x 0 ) f(x) ' 7 ! 2 g(x 0 ) f ' 7 !  1 ! 2 g (fun) 8x2dom(f): x ' 7 !  1 x 0 ) x 0 2dom(g) ^ f(x) ' 7 !  2 g(x 0 ) f ' 7 ! 1 Æ!2 g (pfun) 8x2: p (x A ) ' 7 ! [ x =℄ p 0 (x B ) p ' 7 ! 8:: p 0 (poly) 8x2: p (x A ) ' 7 ! [ x =  ℄ p 0 (x B ) où = ond(#; 1 ; 2 )(x) p ' 7 ! 8::if q#then 1 else 2 p 0 ( ond) p ' 7 ! 8:: p 00 p 00 = B fp 0 g p ' 7 ! 8:: p 0 ( onst)

estlapluspetitefamilleengendréeparlesystème d'inféren edelaTable6.

Le système logiqueest déterministe, autrementdit, il existe tout auplusune

règleappli ablepourtouteassertiondelaformex

'

7 !

 x

0

. Larègle(base)indique

que tout objet d'un type de base,parexemple un natureln 2N, se onserve en

lui-même,indépendammentdel'interprétation( ;')impliquée.Larègle(sort)

omposantes.Pourlarègle(set),quiestproposéedans[Honsell & Sanella, 1999℄,

deux ensembles sonten relation si tout élément de l'un trouveun orrespondant

dans l'autre.Larègle(fset),pourlesensemblesnis,renvoie à elle, générale,des

ensembles arbitraires. La règle (fun), alquée sur la dénition de relation logique

(dans, parexemple, [Mit hell,1996℄et [Honsell& Sanella, 1999℄), exige que

lesfon tionsfetgtransformentdesarguments orrespondantsenrésultats

orres-pondantspourqu'ellessoient,elles-mêmes, orrespondantes.Larègle(pfun)étend

larègle(fun)au asdesfon tionspartielles:laquanti ationuniversellesefaitsur

ledomainedelapremièrefon tion,etil estrequisquetoutélémenten

orrespon-dan e soit un argument possible pour la se onde fon tion partielle. Puis, omme

pourlesfon tionstotales,ilfaudraquelesrésultatssoient,euxaussi,en

orrespon-dan e.Larègle(pfun)estdon équivalenteàlarègle(fun)lorsquelesfon tionssont

totales.Lesrègles(seq)et(fseq)pourlesséquen es(arbitrairesounies)renvoient

à la règle des fon tions partielles. Par e hoix, une séquen e s se onservant en

s 0

, se onservera aussi dans toutes les séquen es ommençant par s

0

. Autrement

dit, la onservation des séquen es étend le sens de la relation préxe entre mots

sur unalphabet.Enl'armantonn'oublierapas,bien entendu, quelesséquen es

appartiennentàdeuxmondesdiérents,lepassaged'unmondeàl'autresefaisant

parl'intermédiaired'uneinterprétationdesvaleurs.En equi on erneles

onstru -tionspolymorphes,larègle(poly)indiquequedeux onstru tionspolymorphespet

p 0

sont orrespondanteslorsquepourtoutargumentx(domainedebaseousorte)

appartenant à la lasse , les deux résultats p

(x A ) et p 0 (x B ) sont, eux-mêmes, en

orrespondan esur le type. Ce dernierest le typepolymorphespé ialiséparx.

Larègle( ond)dis iplineles onstru tionspolymorphesmuniesd'untestd'égalité.

Comme pourlarègle (poly),pourtout x2 ,il faudra quep

(x A ) et p 0 (x B ) soient

orrespondantes.Maisla orrespondan edevraavoirlieusuruntypedépendant

dex,résultatdutestd'égalité ond(#;

1

;

2

)(x).Etilseraensuitespé ialiséparla

substitution[

x

=

℄.Enn,larègle( onst)jouelemêmerlequelarèglehomonyme

pourles types ompatibles.Elle nouspermet de onsidérertoute opérationp

0

de

lase ondealgèbre ommeune onstru tionpolymorphe onstante:

p 00 = x2 B :p 0 = f(x;p 0 )jx2 B g =  B fp 0 g

Ilestimportantdesoulignerque,pardénition delarelationde onservation,

deux objets x et x

0

peuvent être orrespondants pour une interprétation ( ;')

donnée, seulementsi dansleuralgèbrerespe tive,lesdeuxobjetsappartiennentà

desdomaines ompatibles:

x ' 7 !  x 0 ) x2 A ^ x 0 2 0B ^    0

1.3.4. Homomorphismes. Une tradu tion des sortes et des opérations,

oupléed'unetradu tion'desvaleurs,alestatutd'interprétation lorsqueles

opé-rations orrespondantesf

0

= (f) sont ompatibles.Pourquele ouplede