Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Rattrapage analyse S3
Comparaison s´
eries/int´
egrales
Exercice 1 Soit rn= n X k=1 1 √ k. 1. Montrer que lim
n→+∞rn= +∞.
2. Montrer que pour tout k > 1, on a 1 2√k + 1 6 √ k + 1 − √ k 6 1 2√k. 3. En d´eduire un encadrement de √1
k puis de rn. Montrer par exemple que 18 6 r1006 20. 4. Donner un ´equivalent de rn quand n → +∞.
******************** Exercice 2 1. On pose hn= n X k=1 1 k.
(a) Montrer que pour tout k > 1 on a k + 11 6 ln(k + 1) − ln(k) 6 1k. (b) En d´eduire un encadrement de 1
k pour k > 2 puis un ´equivalent de hn quand n → +∞. 2. On note maintenant un= n X k=1 1 n + k.
(a) Montrer que la suite (un) converge est que sa limite ` v´erifie ` ∈ [1/2, 1].
(b) `A l’aide de la question 1, donner un encadrement de un et en d´eduire sa limite.
******************** Exercice 3 Soit f : [1, +∞[→ R+ continue, positive et d´ecroissante.
1. Montrer que pour tout k > 1, on a
f (k + 1) 6 Z k+1 k f (t)dt 6 f (k). 2. On note un= n X k=1 f (k) − Z n 1
f (t)dt. Montrer que la suite (un) converge et que sa limite ` v´erifie ` ∈ [0, f (1)].
3. Applications :
(a) Montrer qu’il existe une constante γ ∈ [0, 1] telle que
n
X
k=1
1
k = ln n + γ + o(1). (b) Montrer qu’il existe une constante α ∈ [1, 2] telle que
n X k=1 1 √ k = 2 √ n − α + o(1). 1
