Licence de Mathématiques. Université d’Artois. 2017-2018.
Examen- session 1. SÉRIES - INTÉGRALES.
Eléments de correction
Exercice 1
1) Puisque la suite `a
lnpn`1q˘
n est croissante (?
. etlnsont croissantes) et diverge vers l’infini, la suite
´ 1
1`a
lnpn`1q
¯
n est décroissante et de limite nulle. Il suffit donc d’appliquer le théorème des séries alternées pour conclure la convergence de la série des an.
2) Au voisinage de l’infini, on a bn„ n2
2n car sinx„xquand xtend vers0. On a alors une série à termes positifs dont la racine n ième converge vers1{2ă1. Le test de Cauchy donne la convergence de cette série puis le théorème de comparaison la convergence de la série desbn.
Variante1: on peut aussi appliquer le test de d’Alembert à n2 2n¨ Variante2: on peut aussi directement remarquer que n2
2n “oprnqpour tout rPs1{2,1r. 3) Quand n tend vers l’infini, on aun „ 2
n donc la série diverge.
4) On applique le test de Cauchy: ?n vn “
´ n n`1
¯n
“
´ 1` 1
n
¯´n
qui converge vers 1{eă1. Ainsi la sérieÿ
vn converge.
Exercice 2
1) L’application tPs0,1s ÞÝÑfptq “ sin` t2˘
t9 `7t52 est continue donc localement intégrable.
On a au voisinage de 0 (car 9ą5{2)
fptq „ t2
7t52 “ 1 7t12
donc d’après le critère de Riemann (1{2ă1), l’intégrale converge.
2) L’application xP R`˚ ÞÝÑ gpxq “ |sinp1{xq|
?3
x On a pour toutxą0: 0ďgpxq ď 1
?3
x donc d’après le critère de Riemann (1{3ă1), l’intégrale
ż1
0
gpxqdx converge.
1
Au voisinage de l’infini, on agpxq „ 1 x?3
x car1{xtend vers0etsinpuq „uau voisinage de0. D’après le critère de Riemann (4{3ą1), l’intégrale
ż`8
1
gpxqdx converge.
Finalement l’intégrale ż`8
0
|sinp1{xq|
?3
x dx converge.
3) L’application x P r1,`8rÞÝÑ hpxq “ cos2pxq
?x est continue donc localement inté- grable.
On a pour tout xě1, cos2pxq
?x “ 1 2?
x `cosp2xq 2?
x ¨ On remarque que
ż`8
1
?1
x dxdiverge (par Riemann par exemple, ou bien directement en calculant l’intégrale partielle).
Par ailleurs, ż`8
1
cosp2xq
?x dx converge par Abel. En effet x ÞÑ 1
?x est décroissante, de classe C1 et de limite nulle en l’infini. Quant aux intérgales partielles
żA
1
cosp2xq dx:
elles valent 1
2psinp2q ´sinp2Aqqet sont donc bornées par1. Le théorème d’Abel s’applique donc bien.
Finalement l’intégrale ż`8
1
cos2pxq
?x dx diverge.
Exercice 3 On adapte simplement l’exercice traité en TD (avec ÿ
a{pn2 `a2q). On trouve donc
ż`8
1
a
x2`2ax`a2 dx ďΦpaq ď 1 a `
ż`8
1
a
x2`2ax`a2 dx
Or ż`8
1
a
x2`2ax`a2 dx“ ż`8
1
a
px`aq2 dx“
” ´a px`aq
ı8
1 “ a
a`1¨ Ainsi on a bien convergence et la limite cherchée est 1.
Exercice 4
1) L’intégrale converge si et seulement si β ą1auquel cas, l’intégrale vaut 1 β´1¨ 2) a) Pour xě1, on a x´nα ď1pour tout n donc
0ď 1`sin2pxq
1`x2 x´nα ď 2 1`x2
qui est d’intégrale convergente (Riemann ou alors on reconnait la dérivée de arctanà une constante près).
b) Pour xě1et tout entier n, on a 1`sin2pxq
1`x2 x´nα ď 2
x2 x´nα donc 2
In ď ż`8
1
2
x2`nα dx“ 2 nα`1 d’après la question 1.
Par ailleurs, on a pourxě1et tout entiern, 1`sin2pxq
1`x2 x´nα ě 1
2x2 x´nα car1ďx2, donc on obtient la minoration demandée.
c) Comme pourxě1et tout entier n, on a pn`1qαlnpxq ěnαlnpxq car lnpxq ě 0 doncx´pn`1qα ďx´nα. Tous les autres termes sont positifs, on a bienIn`1 ďIn. (positivité de l’intégrale).
d) D’après le 2.b., cela revient à savoir quand la série de terme général 1 nα`1 converge. La série ÿ
In converge donc exactement quand αą1.
e) On peut appliquer le théorème des séries alternées: la suitepInq est décroissante vers 0 (car αą0) donc la série p´1qnIn converge.
3
