Mme LE DUFF Terminale pro
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Intégrales, primitives et calculs d’aires.
Les idées au clair…
LES PRIMITIVES
I - Définition
Définition : Soit f une fonction continue définie sur un intervalle I. Si il existe une fonction F dérivable sur I telle que F' = f, alors on dit que F est une primitive de f sur I.
II – Propriétés
Propriété : Si F est une primitive de f sur I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est F(x) + k, où k est une constante réelle quelconque. f a une infinité de primitives.
III - Primitives de fonctions usuelles
Fonction f Primitive F Remarque
a a x a un réel x 2 ² x n x 1 1 n xn n entier naturel ² 1 x x 1 x non nul.
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- 2 - IV – A l’aide des dérivées
INTEGRALES ET CALCULS D’AIRES
I - L’unité d’aire sur un graphique
Définition : L’unité d’aire (symbole ua) sur un graphique est l’aire d’un rectangle ayant pour cotés une unité sur l’axe des abscisses et une unité sur l’axe des ordonnées.
II – Intégrale d’une fonction.
Définition : L’aire (en ua) comprise entre la courbe
représentative d’une fonction f positive sur l’intervalle [a ; b], l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b se note
ba f(x)dx et se lit « intégrale de f entre a et b », parfois « intégrale de f de a à b » ou « somme de f de a à b ».
III – Méthode de calculs d’aires. 1°) Graphiquement (encadrement).
2°) A l’aide des intégrales et primitives.
Théorème (admis) : Soit f une fonction définie sur
a;b et F une primitive de f.
( )
( ) ( ) ) (x dx F x F b F a f ba b a
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- 3 - 3°) A l’aide de la calculatrice graphique.
Texas instrument (TI 83) : Taper math, sélectionner 9 (intéfrFonct), puis compléter :
(fonction,X,a,b)et appuyer sur entrer.Casio (Graph 35+) : Menu 1 : run, taper optn, F4 (calc), F4 ( ), compléter :
(fonction,a,b)et appuyer sur la touche exe.Casio (Graph 25) : Menu Graph - F5 - Flèche droite - Symbole intégrale - Lower (petit) - Upper (grand) – rés.
4°) A l’aide de la géométrie.
FONCTIONS LN ET EXPONENTIELLE
I – Fonction ln.
Propriété : ln x est une primitive de x
1
sur
0;
II – Fonction exponentielle.Propriété : Une primitive de e estx e . Si a est différent de 0, une primitive de x e est ax a eax
. Cg
