Prix des logements et autocorrélation spatiale : une approche semi-paramétrique

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Prix des logements et autocorrélation spatiale : une

approche semi-paramétrique

Ibrahim Ahamada, Emmanuel Flachaire, Marion Lubat

To cite this version:

Ibrahim Ahamada, Emmanuel Flachaire, Marion Lubat. Prix des logements et autocorrélation

spa-tiale : une approche semi-paramétrique. Economie publique : Etudes et recherches = Public economics,

Institut d’économie publique (IDEP), 2007, pp.131-145. �halshs-00266333�

une Appro he Semi-Paramétrique

Ibrahim Ahamada

Emmanuel Fla haire

Marion Lubat

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Septembre 2007

Résumé

Dans ette étude, nous estimons l'inuen e de ertaines ara téristiques sur

les prix des logements ave la méthode des prix hédoniques. Nous utilisons tout

d'abord une appro he lassique, basée sur un modèle de régression paramétrique

ave auto orrélationspatiale.Cetteappro heprésentedeuxin onvénients:laforme

fon tionnelledumodèleetlamatri edepoidssontxéesà priori.Nousprésentons

Les logements possèdent des ara téristiques propres (surfa e, nombre de piè es,

an ienneté,jardin, et .) etune série de fa teurs de voisinage(a essibilité, statut

so io-é onomique, infrastru tures, servi es, environnement, et .). Une méthode ouramment

employée pour évaluerl'inuen ede telles ara téristiquessur lesprixdes logementsest

laméthodedes prixhédoniques.Celle- irevientà onsidérerun modèlede régressionoù

lavariabledépendanteest leprixdeventeetlesvariablesexpli ativessontles

ara téris-tiques propresetde voisinagedu logement(Graveletal.1997,Cavailhès2005, Géniaux

etNapoléone2005).Dans etarti le,nousutilisonslaméthodedesprixhédoniquespour

évaluerl'inuen esurlesprixde ertaines ara téristiquespropresaulogementainsique

de la proximitéd'un espa e vert.

Dans un premier temps, nous utilisons une appro he paramétrique, basée sur un

modèle de régression log-linéaire ave des aléas indépendants. Puis, nous prenons en

onsidération la présen e d'une éventuelle auto orrélation spatiale dans les aléas. En

eet, même si des fa teurs de voisinage sont pris en ompte dans le modèle, omme la

proximitéd'un espa e vert, la totalitédes eets liésàla lo alisationest souvent

impos-sibleà apturer. L'hypothèsed'aléasindépendantsest alors ontestableetdes méthodes

adaptéesdoiventêtreutilisées.Nousutilisonslesmodèlesd'auto orrélationspatialepour

tester puis tenir omptede e phénomène (Anselin 1988, Jayet 1993, LeGallo 2002).

L'appro he paramétrique présente deux limitesprin ipales. Tout d'abord, la nature

delarelationentreunevariableexpli ativeetlavariabledépendantedoitêtrespé iéea

priori(sous formelinéaire,quadratique ...). Dansnotre appli ation,nous ara térisons

l'inuen edesespa esvertssurlesprixdeslogementsenintroduisantdanslemodèleune

variablemuette,égaleà1siunespa evert estsitué àmoins de200 mètresdu logement,

et à 0 sinon. Ensuite, nous testons la présen e d'un eet résiduel de la lo alisation

géographiquesur lesprix des logements.Unetelleprésen e étantdé elée, nous utilisons

les modèles d'auto orrélation spatiale, ave une matri e de poids telle que seuls les

logements lesplus pro hes, situés àune moins de 200 mètres, sont pris en omptedans

laspé i ationde ladépendan e spatiale.Même siuneanalyseapprofondiedes données

pourrait guider es hoix, ilsrestent arbitraires et d'autres types de relation pourraient

être employés.

Dans un deuxième temps, nous utilisons une appro he semi-paramétrique,

permet-tant de pallier les deux prin ipales limites de l'appro he paramétrique. Le modèle

em-ployéfournitune estimationde lanaturede l'inuen edes espa es vertssur lesprixdes

logements,tout en tenant ompte de l'auto orrélation spatiale.Lanature de larelation

entrelesespa esvertsetlesprixdeslogementsrevêtuneformediérentede elleretenue

dans l'appro he paramétrique : les prixdes logements sont ee tivement inuen és par

la présen e d'un espa e vert si elui- i n'est pas éloigné de plus de 200 mètres, mais le

prix diminue de manière linéaire ave l'éloignement. Par ailleurs, la formulation de la

dépendan e spatialemet en éviden elefaitquel'impa tde lalo alisationgéographique

L'appro he lassique onsiste à utiliser un modèle de régression linéaire, en tenant

ompte d'une éventuelle auto orrélation spatiale des aléas. Dans ette se tion, nous

présentons toutd'abord laspé i ationhabituellementemployéeen pratique,lemodèle

log-linéaire,puisnous étudionslaprésen e éventuelled'auto orrélationspatialedansles

aléas du modèle.

Les données disponibles portent sur les prix des transa tions de biens immobiliers

danslavilledeBresten1995,en milliersdefran s, ainsiqueles ara téristiquespropres

et extérieures aux diérents biens. La taille du logement est spé iée par son type :

STUDIO, T1, T1BIS, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8, T9. L'introdu tionde

m

atégories distin tes dans le modèle ave des variables muettes, égales à 0 ou 1, né essite l'ajout

de

m − 1

variables dans le modèle. L'une d'entre elle n'est pas utilisée pour éviter un problèmede olinéaritéparfaiteave la onstanteetsertde atégoriede référen e. Nous

hoisissonsde prendre pour atégorie de référen e lelogementde typestudioet

n'intro-duisonsdon pas lavariableSTUDIO dansle modèle.La présen e ounon d'un parking

est ara térisée par lavariablemuette PARKING. Ladistin tion entre un appartement

et une maison est également pris en ompteave la variable muette MAISON. Les

o-ordonnées spatiales de ha un des ilots sont disponibles, ainsi que la lo alisation des

espa es verts de la ville.Celanous permet de al ulerladistan e eu lidienne d'un

loge-ment à l'espa e vert le plus pro he. An de prendre en ompte l'inuen e des espa es

verts sur le prix des logements, nous introduisons dans le modèle une variable muette,

PROXV, égale à 1si un espa e vert se situe à moins de 200 mètres du logementet à 0

sinon. Pour une des ription détailléedes données, voirFla haire etal. (2006).

2.1 Modèle log-linéaire

Une manièresimplede spé ier unefon tion de prixhédonique est d'utiliserune

ré-gressionlinéaireenutilisant ommevariabledépendantelatransformationlogarithmique

du prix des logements, appelémodèle log-linéaire:

log p = β

0

+ X

1

β

1

+ · · · + X

k

β

k

+ ε

(1)

où

X

1

, . . . , X

k

sontlesvariablesexpli ativesdumodèle,

β

1

, . . . , β

k

lesparamètres in on-nus et

ε

les aléas. Dans e modèle, pour de faibles variations de

p

et

X

j

, la valeur du oe ient

β

j

mesure la variation relative du prix, onsé utive à un hangement d'une unité de la ara téristique

X

j

.Autrement dit, la valeur

W T P

j

= (X

j

∗

− X

j

)β

j

mesurelavariationrelativedu prixd'un logementqu'unindividu est prêtàpayer, pour

voirla valeur

X

j

de la ara téristique

j

passerà

X

∗

j

.

Lesrésultatsde l'estimationdu modèle(1)sontprésentés dansletableau1( olonne

Modèle log-linéaire), les é art-types étant en italique. Les aléas sont supposés

Modèlelog-linéaire ModèlespatialSEM

variables oef. e.t. oef. e.t.

Inter ept 4.783 (0.048) *** 4.792 (0.047) *** T1 0.057 (0.060) 0.065 (0.057) T1BIS 0.200 (0.086) *** 0.268 (0.082) *** T2 0.375 (0.054) *** 0.368 (0.051) *** T3 0.747 (0.052) *** 0.745 (0.049) *** T4 0.941 (0.053) *** 0.968 (0.050) *** T5 1.130 (0.058) *** 1.120 (0.055) *** T6 1.311 (0.074) *** 1.317 (0.069) *** T7 1.540 (0.116) *** 1.527 (0.109) *** T8 1.583 (0.148) *** 1.576 (0.138) *** T9 1.416 (0.244) *** 1.350 (0.232) *** MAISON 0.263 (0.031) *** 0.224 (0.030) *** PARKING 0.219 (0.023) *** 0.222 (0.023) *** PROXV 0.105 (0.025) *** 0.078 (0.027) *** Signi ativité:à1%`***',à5%`**',à10%`*'.

Ordinaires (MCO). Ces résultats suggèrent par exemple que la valeur du prix moyen

d'un T2 est 37.5% supérieure à la valeur du prix moyen d'un STUDIO, toute autre

hose étant égale par ailleurs ( oef=0.375). Par ailleurs, la présen e d'un espa e vert à

proximitédu logement onduitàune augmentationstatistiquementsigni ativedu prix

moyen d'un logement, de l'ordre de 10.5%.

Une spé i ation plus exible peut être utilisée, le modèle Box-Cox, dont la

formu-lation est omme suit :

g(p) = β

0

+ X

1

β

1

+ · · · + X

_k

β

_k

+ ε

où

g(p) =

(

(p

λ

_{− 1)/λ}

pour

λ 6= 0

log p

pour

λ = 0

Lemodèlelinéaire orrespondau asoù

λ = 1

etlemodèlelog-linéaire orrespondau as où

λ = 0

.Aussi, lemodèleBox-Cox permetde testerlemodèlelinéaire ontre lemodèle log-linéaire,alorsque es deuxmodèlesnesontpasemboités.Siau undesdeux modèles

n'estretenu(

λ 6= 0, 1

),lesrésultatsdel'estimationdumodèleBox-Coxsontdi ilement exploitables:(1)nonseulementle oe ient

β

j

ne mesurepasune variationrelativedu prix ar e dernier n'est pas une transformation logarithmique du prix; (2) mais aussi,

le prix moyen d'un logement à ara téristiques données ne peut pas être al ulé ar la

variable dépendanteest une transformation non-linéairedu prix 1

.

Les résultats de l'estimation du modèle Box-Cox étant di iles à interpréter si les

modèles linéaire et log-linéaire ne sont pas retenus (

λ 6= 0, 1

), la question qui se pose est de savoir e quel'on fait dans un tel as. Pour répondreà ettequestion, ilest utile

1

Àpartirdumomentoùlafon tion

g(.)

estunetransformationnon-linéaireduprix,ona

E[g(p)|.] 6=

g(E[p|.])

,quipeutserée rire:

E[p|X

ˆ

1

, . . . , X

k

] = g

−1

_(E[g(p)|X

1

, . . . , X

k

]) +

biais.Leproblèmeestque lebiaisestengénéralin onnu, ilnes'atténuepaslorsquelatailledel'é hantillonaugmente.

de regarder les propriétés du paramètre

λ

. En fait, le paramètre de transformation

λ

jouedeux rlesdistin ts: ilae te la formefon tionnelle du modèle mais égalementles

propriétésdutermed'erreur.Parexemple,l'estimationd'unmodèleBox-Coxàpartirde

donnéesgénérées parunmodèlelinéairehétéros édastique onduiraitsouventàune

esti-mationde

λ

inférieureà1,andediminuerlemontantdel'hétéros édasti ité(Davidson etMa Kinnon 1993, se tion14.7). On serait ainsi amenéà on lure in orre tement que

laformelinéairen'estpas appropriée.Notonsqueleproblème del'hétéros édasti itéest

fréquent dans lesdonnées individuelles.

L'analyse pré édente nous onduit àre ommanderla méthodologie suivante:

1. L'estimation du modèle Box-Cox permet de tester un modèle linéaire (

λ = 1

) vs. un modèle semi-log (

λ = 0

), qui en sont des as parti ulier. Si l'une des deux hypothèsesn'est pas rejetée, ela permet de séle tionner l'un des deux modèles.

2. Uneestimationde

λ

signi ativementdiérentede0et1peutêtredueàlaprésen e d'hétéros édasti ité dansle modèle.On séle tionnele modèlelinéairesi

λ

est plus pro he de

1

que de

0

et le modèle semi-log sinon, puis on traite le problème de l'hétéros édasti itépour lemodèle séle tionné.

Ave nos données, l'estimation du modèle Box-Cox onduit à séle tionner le modèle

log-linéaireprésenté pré édemment.

2.2 Auto orrélation spatiale

Le prixd'unlogement n'estpas seulementlefruitd'une ombinaisond'attributs qui

lui sont propres. Les logements ont une lo alisationgéographique parti ulière qui peut

avoiruneetimportantdansladéterminationdesprix.Unemanièrede apturer etype

d'eet onsisteàintroduiredes régresseursdans lemodèle.Sielles sontdisponibles,des

mesures tellesquel'a essibilitéau entre ville(distan esouproximitéau entre ville,à

l'autoroute,aumétroet )oulaqualité duvoisinage(tauxd'é he s olaire,de hmeurs,

proximitéàun espa e vert, présen e d'une gare et .)peuventêtre utilisées.Néanmoins,

mêmesidetellesvariablessontpriseen omptedanslemodèle,ilestdi ilede apturer

omplètementl'eetde lalo alisationgéographiquesur lesprix.Dansnotreappli ation,

nous avons pris en ompte laprésen e d'un espa e vert à proximitédu logement. Il est

fortprobablequed'autresvariablesliées àlalo alisationgéographiqueaientuneetsur

le prixdes logements.

Si l'eet de la lo alisation sur les prix n'est pas omplètement pris en ompte par

l'ajout de régresseurs dans le modèle, un eet résiduel devrait persister dans le terme

d'erreur dumodèle,setraduisantpar unedépendan eouauto orrélationspatiale.

L'hy-pothèse d'indépendan e du terme d'erreur n'est alors plus vériée etla méthode

d'esti-mation par les Moindres Carrés n'est pas appropriée. L'appro he traditionnelle utilisée

pour traiter e phénomène est développée dans le adre de l'auto orrélation spatiale.

La dépendan e spatiale est prise en ompte par le biais d'une matri e de poids

W

, qui spé ie les positions relatives des observations les unes par rapport aux autres. Cette

w

ii

sontégaux à0tandisquelesélémentsnon-diagonaux

w

ij

indiquent ommentl'unité

i

est spatialement onne tée à l'unité

j

.Ces élémentssont non-négatifs et nis. La ma-tri e de poids est standardiséede tellemanière quela sommedes élémentsd'une même

ligne soit égale à 1. Divers types de stru ture spatiale peuvent être utilisés (méthodes

des ontiguités,voisinsles pluspro hes etfon tionde distan e nie). Commeilest rare

qu'un type s'impose a priori omme le meilleur, il faut souvent tester plusieurs hoix

avant d'en séle tionner un. Pour une dis ussion détaillée sur l'auto orrélation spatiale,

voirentreautresAnselin(1988),Can(1992),Jayet(1993,2001)etLeGallo(2002,2004).

Pour testerlaprésen e d'auto orrélation spatiale,letest leplus ourant est letest

I

de Moran. La logique du test

I

de Moran est une simple extension du test d'auto orré-lation des résidus pour les données hronologique, au as de deux dimensions (données

géographiques).Il s'é rit omme suit :

I =

ε

ˆ

⊤

_{W ˆ}

_ε

ˆ

ε

⊤

_ε

_ˆ

∼

N(0, 1)

où

ε

ˆ

est le ve teur des résidus du modèle initial estimé par MCO. Ce test est sensible au hoixa priori de la matri edes poids

W

.

Si le test

I

de Moran rejette l'hypothèse nulle d'absen e d'auto orrélation spatiale, la dépendan e spatiale doit être prise en ompte dans le modèle de régression initial.

Deux modèles de référen e peuvent être employés : les modèles spatiaux SEM (spatial

error model) et LAG (spatial lag model) :

 Le Modèle SEM suppose que le terme d'erreur est spatialement dépendant.

L'auto orrélation spatiale est alors modélisée ave un terme d'erreur qui suit un

pro essus spatialautorégressif :

log p = Xβ + u

u = (W u)λ + ε

(2)

où

ε

est un bruit blan et

X

est une matri e omposée de variables expli atives. La déte tion d'auto orrélation spatiale dans le termed'erreur indique souvent un

problème despé i ation du modèle,telleque l'omissionde variablesexpli atives.

L'eet spatial,qui n'estpas omplètement apturépar lesrégresseursseréper ute

alors dans leterme d'erreur.

 Le Modèle LAG suppose impli itement que la moyenne pondérée des prix des

logementsvoisins ae teleprixd'unlogement.L'auto orrélationspatialeestalors

modéliséeen introduisant lesprix des logements voisins dans lesrégresseurs :

log p = Xβ + (W log p) ρ + ε

(3)

où

ρ

est un paramètre spatial autorégressif, indiquant l'ampleur de l'intéra tion existante entre les observations, et

ε

est un bruit blan . Dans e modèle, l'obser-vation

log p

i

est en partieexpliquée parlesvaleurs prisespar

log p

dans lesrégions voisines :

[W log p]

i

=

P

j6=i

w

ij

log p

i

. La matri e

W

étant standardisée, ette va-leurs'interprète ommelamoyennedesvaleursde

log p

surlesobservationsvoisines à

i

.

un premier temps,on peut utiliser des statistiques de tests LM standards :

- LMerr permetde tester l'hypothèse nulle

H

0

: λ = 0

à partir du modèle (2). - LMlagpermet de testerl'hypothèse nulle

H

0

: ρ = 0

à partirdu modèle (3), Dans le as où les deux tests onduisent au rejet de l'hypothèse nulle, ela onduit à

suspe terunproblèmed'auto orrélationspatiale,mais elanepermetpasdeséle tionner

l'un des deux modèles, LAG ou SEM. On est alors amené, dans un deuxième temps, à

testerla présen ed'auto orrélationspatialeàpartird'un modèleplus général.Lesdeux

modèles SEM et LAG peuvent en eet être ombiné, ils sont des as parti ulier du

modèle suivant :

log p = Xβ + (W log p) ρ + u

u = (W u)λ + ε

(4)

Ontestelaprésen ed'auto orrélationspatialed'une ertaineforme,robusteàlaprésen e

d'une autre forme:

- RLMerr permet de testerl'hypothèse nulle

H

0

: λ = 0

à partirdu modèle (4). - RLMlagpermet de tester l'hypothèse nulle

H

0

: ρ = 0

à partirdu modèle (4). Le non-rejet de l'hypothèse nulle par l'un des deux tests permet de séle tionner un

modèle.

Ave nos données, nous hoisissons de dénir la stru ture spatiale ave la méthode

des voisins les plus pro hes et en identiant les logements situés dans un ilt à moins

de

d

mètres de l'ilt du logement de référen e. La valeur

d = 200

est utilisée, 'est-à-dire qu'unlogementest orréléspatialementave leslogementsquil'entourent,dans un

périmètrede 200 mètres 2

. Lesrésultatsdu test

I

de Moran à partirdu modèle semi-log sont présentés dans le tableau i-dessous :

I

de Moran Espéran e Varian e

P

-value

0.175940 -0.001744 0.000349 <2.2e-16

L'hypothèse nulle d'absen ed'auto orrélationspatiale est rejetée sans ambiguité.Il

ap-paraît don que le modèle onsidéré jusqu'à présent est spatialement orrélé. Il faut

maintenant estimerle modèle en tenant ompte de e problème.

Ande pouvoiréventuellement hoisirentre unmodèleSEMetLAG,nous al ulons

lesstatistiques de tests LM,dont lesvaleurs sont présentées dans letableau suivant :

LMerr LMlag RLMerr RLMlag

statistique 117.09 5.89 113.13 1.93

P

-value <2.2e-16 0.015 <2.2e-16 0.164

signi ativité *** ** ***

2

D'autres hoix auraient pu être utilisés. Notamment, une étude approfondie des données et des

dispositionsgéographiquesdestransa tionssontsus eptiblesdeguiderlaspé i ationdelamatri ede

poids, ettedernièredevantêtre onstruitepourreéterlastru turede onnexionentreleslo alisations

detransa tions.Con ernantnotre hoix,mêmesiunetelleétuden'apasétémenée,nousverronsqu'il

mais il n'est pas évident de séle tionner un modèle plutt qu'un autre. L'emploi des

tests robustes RLMerr et RLMlagpermetd'en dire plus. Lastatistique de test RLMerr

onduitàrejetterl'hypothèsenulle:enprésen eounonderetarddelavariableendogène,

laprésen ed'auto orrélationspatialedansletermed'erreurest signi ative.D'unautre

té, la statistiqueRLMlag onduità ne pas rejetter l'hypothèse nulle: en présen e ou

non d'un terme d'erreur spatialementdépendant, la présen e d'un retard de la variable

endogène n'est pas signi ative.Ces résultats nous onduisent à séle tionner lemodèle

SEM dans lasuite.

La séle tion du modèle SEM dans notre ontexte n'est pas surprenant. Le modèle

SEM est en eet beau oup plus vraisemblable que le modèle LAG, ar le fait que des

variablesexpli ativesayant unestru ture spatialesoientnon disponibles,etdon

in or-porées dans le terme d'erreur, est quasiment une éviden e. Par ontre, le modèle LAG

suppose que haque transa tion est inuen ée dire tementpar les transa tionsvoisines,

e qui ne peut guère se omprendre que par un eet d'information qu'il est di ile à

justier, etquin'est valableque pour lestransa tions voisines antérieures à lavente du

bien onsidéré.

Les résultats de l'estimation du modèle SEM, ave la fon tion errorsarlm de la

librairiespdepdulogi ielR,sontprésentésdansletableau1.Les oe ientsquiévaluent

l'inuen edesespa esvertssurlesprixdeslogementssontsensiblementdiérentsdansle

modèlelog-linéaireave aléasi.i.d.( oef=0.105)etdans lemodèlespatial( oef=0.078).

Sionsuspe te quedesvariablesdelo alisationsontomisesdanslemodèleinitial,un tel

résultat n'est pas surprenant. En eet, l'omissionde ertaines variablesdans lemodèle

a notamment pour onséquen es de :

 générerun biaissurles oe ientsdesvariables orréléesave lesvariablesomises,

 ne pas générer de biais pour les variablesindépendantes ave lesvariables omises.

Lesvariablesde distan e etde voisinagesont sus eptiblesd'êtrefortement orrélées aux

oordonnées géographiques. Ce qui suggèreque le oe ient de la variablePROXV du

modèle log-linéaire, estimépar MCO, est biaisé : il apture des eets de lo alisationou

de voisinage autres que eux de l'inuen e des espa es verts sur les prix des logements.

Dans notre as, l'eet des espa es verts sur les prix des logements est sur-estimé dans

le modèle initial. La prise en ompte de l'auto orrélation spatiale permet de mettre en

éviden e etde orrigerune telle sur-évaluation.

3 Appro he semi-paramétrique

L'appro he paramétrique présentée jusqu'i i présente deux limites prin ipales : la

variablePROXV etlamatri edespoids

W

sontxées demanièrearbitraire.Autrement dit, l'inuen edes espa es verts sur lesprixdes logementetla naturede ladépendan e

spatialesontspé iéesapriori,d'autres hoixpouvantêtrepossibles.Dans ettese tion,

des logementsfaite par la variable PROXVERT, nous utilisons dire tement la distan e

eu lidienne à l'espa e vert le plus pro he (DISTV) omme régresseur, sans spé ier la

relationquilalieàlavariabledépendante. Lemodèle de régressions'é rit souslaforme

d'un modèle partiellement linéaire:

log p = X

′

_{β + s}

1

(

DISTV

) + ε

oùlamatri e

X

′

ontientlesrégresseursdu modèlelog-linéairesauflavariablePROXV.

Lafon tion

s

1

(.)

estin onnue,elleestestiméepardes méthodessemi-paramétriques.Le modèlelog-linéairede lase tionpré édenteest un as parti ulierde emodèle.Eneet,

lavariablePROXV équivaut à laforme de la fon tion

s

1

(.)

suivante:

s

1

(

DISTV

) =

(

1

si DISTV

< 200

0

sinon

Remarquons quelesrégresseursdans lamatri e

X

′

sont des variablesmuettes- égalesà

0 ou1 -pour lesquelles une spé i ation quel onque n'auraitpas de sens.

Ave le même raisonnement, il est également possible de relâ her la spé i ation a

priori de la matri ede poids

W

. Cette matri etiend ompte du fait que lalo alisation géographique-mesurée parlesdeux oordonnées C

1

etC

2

-peut avoirune inuen esur lesprixdes logements.Unetelle relationpeut être spé iéeen onsidérantlemodèle de

régression semi-paramétrique suivant :

log p = X

′

_{β + s}

1

(

DISTV

) + s

2

(

C

1

,

C

2

) + ε

(5)

Les oordonnées géorgraphiques apparaissent maintenant dans le modèle en tant que

régresseurs et leur inuen e sur la variable dépendante est exprimée par la fon tion

in onnue

s

2

(.)

.

L'estimationd'unmodèlesemi-paramétriquede etypen'estpassansdi ultés.Une

première di ulté porte sur le hoix du paramètre de lissage. Dans notre appli ation,

nousestimons emodèleave lafon tiongamdelalibrairiemg vdulogi ielR,quiutilise

uneméthodede séle tionautomatiquedu paramètredelissage.Unedeuxièmedi ulté,

onnue sous le nom de éau de la dimension, suggère qu'il faut beau oup de données

pourestimerlafon tion

s

2

(.)

ave susamentde pré ision.Dansnotreappli ation,nous disposons d'un grand nombre d'observations (

n = 1157

). Pour plus d'informations sur l'estimation des modèles semi-paramétriques, les ouvrages de Pagan et Ullah (1999),

Yat hew (2003)et Ahamadaet Fla haire (2008) peuvent être onsultés.

La gure 1 présente l'estimation de la fon tion

s

1

(.)

à partir de l'estimation du modèle (5). Ce graphique met en éviden e la relation entre le prix des logements et la

distan e à l'espa e vert le plus pro he. La trait plein orrespond à l'estimation de la

fon tion

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,ave pour abs isseladistan e du logementàl'espa e vert leplus pro he. Les traits en pointillés déterminent un intervalle de onan e à 95%. Ce graphique

Fig. 1 Estimation de lafon tion

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

du par , l'eet hute très vite, de façon linéaire, jusqu'à e qu'il devienne nul à une

distan e approximative de 200 mètres. Au-delà, la relation n'est pas signi ativement

diérentede zéro.

L'eetdesespa esvertssurlesprixdeslogementssuggéréparlegraphique1-relation

linéairedé roissantejusqu'àunedistan e d'environ200mètreseteetnulensuite-peut

êtremodéliséde manièreparamétriqueaumoyend'unerelationlinéairefragmentée(voir

Gujarati2004,se tion9.8).Cettemodélisation onsisteàintroduireune variablemuette

dans le modèle initial:

log p = X

′

_{β + γ}

1

DISTV

+ γ

2

(

DISTV

−

DISTV

∗

)M + s(

C

1

,

C

2

) + ε

(6)

oùDISTV

∗

est leseuil,appeléaussinoeud, égalà200 dansnotre as. Lavariable

M

est une variablemuette égale à 1 sila distan e est supérieure auseuil (DISTV

>

DISTV

∗

)

età0 sinon.Autrementdit, si ladistan e du logementàl'espa evert leplus pro he est

inférieure ouégale auseuil, DISTV

≤

DISTV

∗

, lemodèle devient:

log p = X

′

_{β + γ}

1

DISTV

+ s(

C

1

,

C

2

) + ε

Le paramètre

γ

1

mesure la variation relative du prix d'un logement (en %), tout autre hose étant égale par ailleurs, pour un éloignement à l'espa e vert le plus pro he de 1

mètreparrapportàsapositioninitiale.Siladistan edu logementàl'espa evert leplus

pro he est supérieureau seuil, DISTV

>

DISTV

∗

, lemodèledevient :

log p = X

′

β + γ

2

DISTV

∗

Modèlesemi-param. ModèlespatialSEM Modèlelog-linéaire

variables oef. e.t. oef. e.t. oef. e.t.

Inter ept 4.992 (0.084) *** 5.015 (0.088) *** 5.136 (0.086) *** T1 0.075 (0.055) 0.069 (0.057) 0.057 (0.060) T1BIS 0.245 (0.080) *** 0.267 (0.082) *** 0.196 (0.086) ** T2 0.381 (0.050) *** 0.369 (0.051) *** 0.371 (0.054) *** T3 0.763 (0.049) *** 0.747 (0.049) *** 0.746 (0.052) *** T4 0.998 (0.050) *** 0.968 (0.050) *** 0.939 (0.053) *** T5 1.154 (0.055) *** 1.120 (0.055) *** 1.126 (0.058) *** T6 1.350 (0.069) *** 1.320 (0.069) *** 1.311 (0.074) *** T7 1.599 (0.108) *** 1.536 (0.109) *** 1.544 (0.116) *** T8 1.569 (0.137) *** 1.588 (0.138) *** 1.593 (0.147) *** T9 1.468 (0.227) *** 1.352 (0.232) *** 1.415 (0.244) *** MAISON 0.230 (0.031) *** 0.221 (0.030) *** 0.263 (0.031) *** PARKING 0.224 (0.023) *** 0.217 (0.023) *** 0.215 (0.023) *** DISTV -0.0011 (0.0003) *** -0.0011 (0.0004) *** -0.0017 (0.0004) *** (DISTV-DISTV

∗

_)M

0.0011 (0.0003) *** 0.0011 (0.0004) *** 0.0017 (0.0004) *** Signi ativité :à1%`***',à5%`**',à10%`*'.

Le paramètre

γ

1

+ γ

2

mesure la variation relative du prix d'un logement (en %), tout autre hose étant égale par ailleurs, pour un éloignement à l'espa e vert le plus pro he

de 1mètreparrapportàsapositioninitiale.Ilest lairquepourlesdeux asde gures,

les oe ientsasso iés àla variable DISTV sont diérents :l'eet de ette variable sur

le prix des logements n'est pas le même selon le as où l'on se trouve. Pour reéter la

relation suggérée par la gure 1, les oe ients

γ

1

et

γ

2

du modèle (6) devraient être omme suit :

 si ladistan e est inférieureà 200 mètres, l'inuen e est dé roissante:

γ

1

< 0

,  si ladistan e est supérieure à200 mètres,l'inuen e est inexistante:

γ

1

+ γ

2

= 0

. Le tableau2présenteles résultatsde l'estimationdu modèle semi-paramétrique(6),

ainsi que des modèles log-linéaire et spatial SEM présentés dans la se tion pré édente.

Pour que la omparaison soit possible ave le modèle semi-paramétrique, la variable

PROXV est rempla ée par les variables DISTV et (DISTV-DISTV

∗

_)M

dans les

mo-dèles paramétriques (log-linéaire et spatial SEM). Les résultats sont ohérents ave

l'analyse pré édente : le oe ient de la variable DISTV est signi ativement négatif

(

γ

ˆ

1

= −0.0011

)etlasommedes oe ientsdesvariablesDISTVet(DISTV-DISTV

∗

_)M

n'est pas signi ativement diérente de zéro (

ˆ

γ

1

+ ˆ

γ

2

≈ 0

). Cela indique que, pour les logements situés à moins de 200 mètre d'un espa e vert, plus on s'éloignedu par plus

le prix diminue. La diéren e de prix moyen entre un logement à proximité immédiate

d'un espa e vert et un autre éloigné de 100 mètres, tout autre hose étant égale par

ailleurs, est de l'ordrede 11%. Par ailleurs,l'hypothèse

γ

1

+ γ

2

= 0

n'étant pas rejetée, les espa es verts n'ont pas d'inuen e sur les prix des logements qui sont éloignés de

plus de 200 mètres.Simaintenanton ompare lesmodèles entre eux, on onstate quele