Développement asymptotique de la série harmonique

3.2 Développement asymptotique de la série harmonique

Référence : S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux X-ENS - Analyse 1, Cassini, 2007.

Leçons concernées : 224, 230. Théorème 1. Si on note Hn“ n ÿ k“1 1 k, alors on a, Hn“ logpnq ` ` 1 2n´ 1 12n2 ` o ´ 1 n2 ¯ où “ limn`8Hn´ logpnq.

Démonstration. Étape 1 : on montre que la suite punqn“ pHn´ logpnqqn est convergente.

Pour cela on introduit vn :“ un´_n1 et on montre que punqn et pvnqn sont adjacentes. En

effet la différence un´ vn“ _n1 est positive et tend vers 0. D’autre part,

un´ un`1“ logpn ` 1q ´ logpnq ´ _{n` 1</sub>1 “ ´<sub>n` 1}1 ´ log

´

1´ 1 n` 1

¯ • 0

puisque logp1`xq § x pour tout x ° ´1 par concavité du logarithme. Par la même inégalité on obtient enfin vn`1´ vn“ un`1´ un´ 1 n<sub>` 1</sub>` 1 n “ logpnq ´ logpn ` 1q ` 1 n “ 1 n ´ log ´ 1<sub>`</sub>1 n ¯ • 0. Ainsi les suites punqn et pvnqn sont adjacentes et convergent donc vers une même limite .

Étape 2 : on a ainsi montré que Hn“ logpnq` `op1q. On note alors tn“ Hn´logpnq´

et on cherche un équivalent de tn. On remarque que

tn´ tn´1“ _n1 ` log ´ 1_´ 1 n ¯ „ ´_2n12

et donc, puisque ptnqn tend vers 0, on a par sommation des équivalents `8<sub>ÿ</sub> k“n`1pt k´ tk´1q “ ´tn„ ´ 1 2 `8<sub>ÿ</sub> k“n`1 1 k2 „ ´ 1 2n.

Le dernier équivalent s’obtient de la manière suivante : si ↵ ° 1, la décroissance de t fiÑ 1 t↵

sur s0, `8r nous donne _ª

k`1 k 1 t↵dt§ 1 k↵ § ªk k´1 1 t↵ dt 60

k_{´ 1} k k<sub>` 1</sub> 0 t<sub>fiÑ 1{t</sub>↵ et donc 1 ↵´ 1 1 pn ` 1q↵´1 “ ª<sub>`8</sub> n`1 1 t↵ dt§ `8<sub>ÿ</sub> k“n`1 1 k↵ § ª<sub>`8</sub> n 1 t↵dt“ 1 ↵´ 1 1 n↵´1 et alors `8ÿ k“n`1 1 k↵ „ 1 ↵´ 1 1 n↵´1. Ainsi, on a Hn“ logpnq ` `<sub>2n</sub>1 ` o`_n1˘.

Étape 3 : on précise encore le développement asymptotique : on note wn“ tn´_2n1 . On

a alors wn´ wn´1 “ log ´ 1_´ 1 n ¯ ` 1<sub>n</sub>´<sub>2n</sub>1 ` _{2pn ´ 1q}1 “ ´_n1 ´_2n12 ´ 1 3n3 ` 1 n´ 1 2n ` 1 2n 1 1_{´ 1{n} ` o ´ 1 n3 ¯ “ ´<sub>2n</sub>1<sub>2</sub> ´<sub>3n</sub>1<sub>3</sub> ´<sub>2n</sub>1 `_2n1 ´1` 1 n` 1 n2 ¯ ` o´ 1<sub>n3</sub>¯ “ <sub>6n</sub>1<sub>3</sub> ` o´ 1_n3¯ „ _6n1₃

et donc par sommation des équivalents, puisque pwnqn converge vers 0,

´wn„ `8<sub>ÿ</sub> k“n`1 1 6n3 „ 1 12n2

et on peut donc conclure que Hn“ logpnq ` `_2n1 ´ _12n12 ` o

` ₁

n2

˘ . 61

Application 2. Si on note kn:“ mintk P N˚| Hk• nu, alors

lim

nÑ`8

kn`1

kn “ e.

Démonstration. On utilise le fait que Hn“ logpnq ` ` "noù p"nqn est une suite qui tend

vers 0. On a alors, par définition,

logpknq ` ` "kn • n

et

log_pkn´ 1q ` ` "kn´1† n

et donc en passant à l’exponentielle, ene´ ´"kn § k

n† ene´ ´"kn´1` 1.

Ainsi, kn„ ene´ et donc en particulier

lim

nÑ`8

kn`1

kn “ e.