Développement asymptotique (WKB) d'une moyenne d'opérateur

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Submitted on 1 Jan 1969

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Développement asymptotique (WKB) d’une moyenne d’opérateur

L. Dagens

To cite this version:

L. Dagens. Développement asymptotique (WKB) d’une moyenne d’opérateur. Journal de Physique,

1969, 30 (8-9), pp.593-597. �10.1051/jphys:01969003008-9059300�. �jpa-00206822�

38

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE (WKB)

^D’UNE

^MOYENNE D’OPÉRATEUR

Par L. DAGENS,

Commissariat à

l’Énergie

Atomique, Centre de Limeil.

(Reçu

^{le 18 mars}

1969.)

Résumé. 2014 On déduit du

développement

de Dunham de

l’énergie

^{d’un niveau :}

03B5 ⁼ 03B5

(WKB)

⁺

01272 03B51

^{+ ...}

le

développement correspondant

de la moyenne d’un

opérateur multiplicatif : F> = F>0 + 01272 F>1 +

^...

que ^l’on

explicite jusqu’à

^l’ordre

0(01272)

^{inclus ; un}

exemple

^{est traité}

qui

montre à la fois la valeur de la correction d’ordre

0(01272)

^{et le} peu d’intérêt ^de la correction de

Langer-Kemble

pour le

problème

^{radial; on discute aussi le}

développement

^{de la densité}

| 03C8 |2

considérée comme

fonction et comme fonctionnelle, ^le

développement asymptotique

n’existant que dans ^ce dernier cas.

Abstract. ²⁰¹⁴ From the Dunham’s

expansion

^of the energy

eigenvalue :

03B5 ⁼ 03B5

(WKB) + 01272 03B51

+ ^...

we deduce the

corresponding expansion

^{of the mean value of a}

multiplicative operator : F> = F>0 + 01272F>1 + ...

explicitly

up ^to

0(01272) ;

^an

example

^{is worked out} which shows the

significance

^{of the}

0(01272)

correction and the little value of the

Langer-Kemble

^radial correction ; ^the

expansion

^{of the}

density | 03C8 |2

exists then in the functional

meaning (it

^{is well} known that it does not exist for the function itself

[6]).

1. Introduction. ^-

L’expression

^du

d6veloppement

de

1’energie

^en

puissances

^{de h2 a} d’abord ete obtenue par Dunham

[1]

pour ^un

potentiel analytique

^{sur 1’axe}

r6el, puis

^retrouv6e par

Argyres [2]

pour ^un

potentiel

continu et suffisamment

derivable ;

^une derivation

plus rigoureuse

^{a ete obtenue} par

Bertocchi,

^{Fubini et}

Furlan

[3] qui

^ont aussi decrit la m6thode

permettant

de

g6n6raliser

la correction de

Langer-Kemble,

^relative

au

probleme radial,

pour les corrections

quantiques

d’ordre

superieur.

^{La validite}

pratique

^{de ce}

d6velop-

pement ^{a ete montr6e} par des calculs

num6riques

pour le

potentiel

^{de Morse}

(probleme radial)

par Beckel

et al.

[4],

^ou

analytiques jusqu’a

^l’ordre

0 (;i4)

par

Krieger,

^{Lewis et}

Rosenzweig [5].

Par contre, 1’existence d’un

développement asympto- tique

pour la densite

p (x) == c (x) 2

^est

contestée;

le

probleme

^se pose a propos du calcul de corrections

quantiques

pour

l’approximation

^de

Thomas-Fermi;

Payne [6]

^{a montre} par ^un calcul

explicite

^{pour le}

potentiel V

^{= ax}

qu’un

^tel

d6veloppement

^n’existait

pas ^et laissait de cote des termes oscillants d’ordre

0(1).

Pour r6soudre cette

difficulté,

^{nous avons}

consid6r6,

au lieu de la densite

elle-meme,

^la

moyenne F >

^d’un

operateur multiplicatif F(x)

^sur la fonction d’onde

d’6nergie

^{e; en}

effet,

1’existence d’un

d6veloppement asymptotique

^de

1’6nergie implique

formellement celle de cette moyenne; le calcul est fait section II

jusqu’à

l’ordre

O(h2) ^inclus;

^du

point

^{de vue}

math6matique,

cela revient a construire le

d6veloppement

^de

p(x)

^en

tant que fonctionnelle lin6aire

plutot qu’en

^tant que

fonction; effectivement,

^{les termes du}

d6veloppement apparaissent

^{comme des} distributions a

singularite temperee (dans

^la

terminologie

de Guelfand et Chi- lov

[7]),

^{dont nous}

donnons,

^section

V, 1’expression

exacte a l’ordre

0(h2) ;

remarquons que la

procedure qui

^{consiste a}

tronquer

la densite Thomas-Fermi pour n’en conserver que la

partie positive

^{est absolument}

incorrecte et rend la nouvelle densite

impropre

^au

calcul de la moyenne

d’opérateurs.

A titre

d’illustration,

nous avons

applique

^{ces for-}

mules au calcul des

moyennes rm >

pour ^un

potentiel

coulombien et avons

compare

les resultats aux expres- sions exactes, ^{en discutant en}

particulier

1’interet de la correction de

Langer-Kemble.

II.

Rappels.

^{- Nous}

pr6sentons

^{dans cette section}

un certain nombre de resultats

qui

^{nous sont} n6cessaires pour la

suite;

^on

envisage

^{le cas d’un}

potentiel V(x)

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01969003008-9059300

594

analytique

^sur 1’axe reel ^- oo x + oo et y

poss6dant

^{un minimum}

unique;

^ainsi

1’6quation

s ⁼

V(x)

^admet exactement deux racines

simples a

et

b; 1’6nergie

^{e relative à une fonction d’onde} compor- tant n zeros est donn6e _par

1’equation :

l’expression

de la fonctionnelle S ^est donn6e _par une

int6grale

^{de contour}

[1], [3];

^nous donnons la forme 6tablie _par

Argyres (pour

^la

premiere correction)

^et

utilis6e _par

Krieger

^{et al.}

[5], qui permet

^{de se ramener}

a des

int6grales

absolument

convergentes

^{sur le}

segment

reel

ab,

suivies de derivation en e :

avec

(au point

^{de vue notation nous suivons}

Krieger [5]

de tres

pres ; toutefois,

le facteur 2m a ete inclus dans

1’6nergie e

^{= 2mE et le}

potentiel V(x)

⁼

2mV(x)) :

le contour C ferm6 entoure le

segment

^{reel ab et}

aucune autre

singularite

^de

1’ integrant;

la determina- tion de

(S

^-

V)1/2

^{est d6finie} par :

pour ^{e et x}

reels,

^{avec un}

signe oppose

pour x +

io;

on v6rifie ais6ment

I’analycit6

^{en e le}

long

^{de 1’axe}

reel,

ce

qui

établit 1’existence des

d6riv6es;

^on

peut

^se

ramener a des

int6grales

^{r6elles sur}

ab,

^{mais il n’est}

alors

plus possible

d’intervertir les ordres de derivation

et

d’intégration. Remarquons que So

^{n’est autre} que

l’int6grale

^d’action

po

^{dt sur la}

trajectoire classique.

Les formules

pr6c6dentes

^{doivent en}

general

^etre

modifi6es _pour un

probleme

^radial

(0

^r

oo)

^rela-

tif a 1’hamiltonien :

So

^est

simplement

^calcule pour ^un

potentiel V

^modifi6

par la correction de

Langer-Kemble :

obtenu en

ajoutant 1í2/4r2

^{au terme}

centrifuge;

^obser-

vons d’ailleurs _que la correction de

Langer-Kemble

est d’ordre

O(h2);

^{les termes d’ordre}

superieur

^resultent

des formules donn6es _par

Bertocchi,

^{Fubini et Fur-}

lan

[3] (p. 607); explicitons simplement S1 :

et on note la

presence

^{du terme}

suppl6mentaire

^en

h2/4r2 qui provient

de la correction de

Langer-Kemble,

^et

qui

n’a pas ete considere dans les calculs

num6riques

de Beckel et al.

[4];

^{il est} curieux de constater que ^ce terme

supprime

^{a l’ordre}

0(h2)

la correction de

Langer-

Kemble faite dans

So;

^{le meme}

phenomene

^se

produit

aux ordres

sup6rieurs.

On deduit de

(2)

^le

d6veloppement asymptotique

de

1’6nergie

^{en fonction de A2 et de}

1’energie

^WKB so d6finie _par

1’6quation :

ainsi :

avec7:

III.

Moyenne d’opérateur.

^{- On se} propose de determiner le

d6veloppement asymptotique

^{de la}

moyenne d’un

op6rateur multiplicatif F(x)

^{sur une}

fonction

d’onde § d’énergie

^{e ; un calcul}

explicite de §

est inutile si on connait

explicitement

la fonction- nelle

e[V]

^de

1’6nergie

d’un niveau non

degenere

^en

fonction du

potentiel;

la th6orie des

perturbations

permet ^en effet d’6crire :

ou axe est la differentielle de la fonctionnelle

e [ V] ;

^cette

fonctionnelle est definie

implicitement

par

l’équa-

tion

(2)

^en fonction de la fonction d’action

S(E; V) ;

annulant la variation de S consecutive a une varia- tion AV du

potentiel

^{et Ae de}

1’energie,

^{on obtient :}

c’est-a-dire, remplaqant AV par F

^{et utilisant}

(8) :

ou

M[F]

^{est d6fini} par ^une limite

analogue

^a

(8);

(9)

^est la relation fondamentale utilis6e _par la

suite;

le facteur ^-

d8jdE

^{est un} facteur de normalisation

6gal

^a

88[1],

^ce

qui

^{se voit en faisant F - 1.}

En substituant dans

(9)

^le

développement :

en y

remplaçant

^e par ^son

d6veloppement (7),

^on

arrive, apr6s quelques

^calculs

simples,

^{a une}

expression

de la forme :

ou la _moyenne

( F > apparait

^{comme un}

d6veloppe-

ment en

puissances

successives de

A2; les F >.

^sont

fonction de

1’energie

^WKB so donn6e par

(6)

^{et sont}

des combinaisons linéaires

des ASO[F; so],

^...,

8Sn[F; so]

et de leurs d6riv6es en so*

Jusqu’a

^l’ordre

O(h2),

^{on trouve}

(el

^{6tant donne}

par

(7)) :

Le calcul de

$So[F; so]

^est imm6diat : on varie V dans

1’expression (3)

^de

So

^{et on}

remplace l’int6grale

sur le contour C _par deux fois

1’integrale

^le

long

^{de la}

trajectoire classique ab;

^{on a :}

apres

^{division par}

Mo[l; so],

^on obtient ainsi

1’expres-

sion bien ^connue

de

^F

>0,

^d6montr6e correctement

pour la

premiere

^fois par

Furry (cite

par

Heading [8]),

et exacte a

0 (h2) près.

Le calcul de

8S1

^a

partir

^de

(3)

n’offre pas de diffi-

cult6, except6 qu’après

variation de V

quelques

^trans-

formations sont n6cessaires ^avant de

pouvoir

^{se ramener}

a des

int6grales

r6elles le

long

^de

ab;

^donnons

simple-

ment le

resultat,

^sous les trois formes

6quivalentes

suivantes

qui

^different par des

integrations

par

parties :

Remarque.

^{- La même m6thode}

permet

le calcul de moyenne

d’op6rateurs plus g6n6raux

^{de la forme}

F( p, x) ;

^en

^effet,

^en

d6veloppant

^{F en s6rie}

de p

^{et x}

et en utilisant les relations de

commutation,

^on peut mettre F sous la forme d’une somme de ^termes du type

f (x) pm,

la relation

p2§

⁼

(e

^-

V) §

permet d’abaisser le

degr6

^de

p-

^{de deux}

unites ;

^{en utilisant}

a nouveau les relations de commutation de x et

p,

^on

se ram6ne a la meme forme avec un

degr6 enp moindre,

on

applique

^le meme processus

jusqu’A

^ce

qu’on

^ait

m ⁼ 0 ou m ⁼

1;

pour m ⁼

0,

^{on est ramen6 au}

cas 6tudi6 et pour ^{m =}

1,

^on effectue les transfor- mations suivantes :

ce

qui

^{nous ramène a nouveau au} calcul de la _moyenne d’un

op6rateur multiplicatif

^{en x.}

Dans le cas d’un

probleme

^radial

^{0 r}

^{oo, on}

peut soit utiliser les memes

expressions

^{sans la correc-}

tion de

Langer-Kemble

^{sur le}

potentiel,

soit effectuer la correction de

Langer-Kemble (4)

^{et utiliser au lieu}

de

S, 1’expression Sl

^donn6e

plus haut;

^{on trouve}

simplement

que

8S1

^{doit etre}

complete

par le terme en

1/4r2,

^ce

qui

^{donne :}

ou

8S1

^est donne par ^une des

expressions

^de

(11)

avec V au lieu de

V ;

^{on constate} que ^{ce terme}

supple-

mentaire _compense la correction de

Langer-Kemble

du terme d’ordre

0(1)

^a

0(h4) pres ;

^les

expressions

^avec

ou sans correction de

Langer-Kemble

^{sont donc iden-}

tiques

^a

O(h4) pres.

IV.

Exemple d’application.

^{- On}

applique

^{les for-}

mules

pr6c6dentes

^{au calcul}

de rm >, m

^entier

positif

ou

n6gatif,

pour ^un

potentiel

coulombien ^-

2Z/r ;

^le

potentiel

^modifi6

v(r)

^vaut

alors,

^{en unites}

atomiques (m = e = A = 1) :

On sait _que

F approximation

WKB donne alors le resultat exact et que les corrections suivantes _{e1, E2’} ...,

sont

identiques

^{a zero}

[3] ;

^{il en r6sulte}

immédiatement,

en d6rivant _so ⁼

eo(Z, l)

par

rapport

^{a Z ou a}

l,

que les

moyennes r-1 >

^et

r-2 >

sont exactement donn6es par le terme d’ordre

0;

par

exemple :

On v6rifie facilement par ^un calcul

explicite

que la correction d’ordre 1 est

identique

^{a zero}

(il

^faut

6videmment utiliser

aS,,

^formule

(12)).

Une

application simple

^du calcul des residus

permet

d’obtenir les

expressions generales de

^rm

>0;

^{on ne}

donnera le resultat _{que pour} m

= - 3, 1

^et

2;

^le

resultat est, ^en

remplaçant

^E par ^sa valeur

Z2/n2 (rap-

pelons

que ^{e =}

2E),

^{ou ici n est le nombre}

quantique

principal :

596

ce

qui

^est a comparer ^aux valeurs exactes

(Bethe

^et

Salpeter [9],

p.

103) :

on constate que les differences relatives ^sont d’ordre

O(l-2)

^ou

0(n-2), c’est-a-dire,

^en fonction des

quantités classiques e (6nergie) et j2 (carr6

^{du moment}

angulaire),

d’ordre

0(1í2E)

^ou

0 (h2/j2) ;

^{ceci est conforme à la th6orie}

generale;

^une remarque ^est a faire : le

résultat r >0

aurait ete exact si le calcul avait ete fait sans la correc-

tion de

Langer-Kemble;

1’erreur relative

sur r-3 >0 et

^r2

>0, ^calcul6e,

^{comme nous 1’avons}

^fait,

^{avec la}

correction de

Langer-Kemble

^est

sup6rieure

^{a celle}

obtenue sans correction de

Langer-Kemble.

Nous avons calcule

6galement

^les

corrections

^rm

>1

a 1’aide de

(12) qui prend

^{ici la forme}

plus simple (e1 = 0) :

les

integrations

^{sont ici encore} élémentaires ^et nous

donnons seulement le resultat :

,

on trouve

que rm >0 + rm >1

^est

6gal

^{a la valeur}

exacte pour ^{m =} 1 et m ⁼

2;

^{mais on trouve}

6ga-

lement que le ^meme resultat exact aurait ete obtenu

sans faire la correction de

Langer-Kemble;

^{la diff6-}

rence relative

entre r-3 >

^{et son}

approximation

^a

0(h4) pres

^{est, en unite}

atomique,

pour I > ¹

6gale

a

1/16 (1

⁺

1/2)4,

^ce

qui

^{est une valeur tres faible}

(2 %

pour I ⁼

1).

Cet

exemple

^montre que la formule

(11)

^donne

d’excellentes valeurs _pour le calcul

de

^rm

>,

^-

^{3 g m}

:

2,

m6me pour les niveaux

fondamentaux,

pour le

potentiel coulombien;

par contre, la correction de

Langer-Kemble

^{ne semble} pas

apporter

^{une am6lio-} ration notable.

On observe _que la

susceptibilite magn6tique, qui

fait intervenir la

moyenne

^r2

>,

est exactement cal- cul6e _par la formule

asymptotique;

ceci contredit un

resultat

num6rique

^{de Golden}

[10]

^{relatif a}

l’approxi-

mation de Thomas-Fermi avec corrections

quantiques

d’ordre

0(h2)

mais densite

tronqu6e

^{de sa}

partie n6ga-

tive et

singuli6re.

V.

Ddveloppement

de la densitd. ^{- On a} 6tabli ^un

d6veloppement

formel de la moyenne d’un

op6rateur F(x)

^sur la fonction d’onde

d’6nergie

^{e =} So +

0(h2);

d’autre

part,

l’identit6 :

determine la densite

p(x) ⁼ c (2 qui apparait comme

la d6riv6e fonctionnelle de e par rapport ^a

V(x), soit,

compte ^{tenu de}

(1) :

^:

du

d6veloppement (10) de ( F >,

^on

tire,

^en

principe,

le

d6veloppement

suivant de p :

ou Pn ^est d6fini _par une identite de la forme :

on retrouve imm6diatement le resultat

classique :

pour

a x b

^et po - 0

ailleurs;

^il est, par contre,

impossible

^d’écrire

$S1,

^{..., et en}

conséquence,

^F

>1,

F

>2,

^{..., sous forme}

d’intégrale

^le

long

^{de l’axe}

reel ;

dans

1’expression (11)

^de

aS,,

^par

exemple,

^{on ne}

peut

d6river en e avant

d’intégrer

^{en x; en}

realite,

^les

termes Pn ^sont des distributions

pr6cis6ment

^définies

par l’identit6

(15);

^{elles sont} construites a 1’aide des distributions _que ^{nous noterons :}

définies _par la formule :

ce

type

de distribution a ete

longuement

^6tudi6 par Guelfand et Chilov

[7]

^{sous le nom de « fonctions à}

singularites temp6r6es

^{» ;} la distribution associ6e a

8S,

s’6crit avec cette

notation,

^en utilisant la formule

(11) :

d’of on

peut

^{d6duire une}

expression explicite

^de

pl(x)

que ^{nous ne}

reproduirons

pas; les calculs des termes

d’ordres

sup6rieurs

^{n’offrent aucune} difficulté de

prin- cipe

^{et on trouve encore} des distributions du meme

type,

^a support ^{borne sur le}

segment ab,

^{avec des}

singularites

^de

plus

^en

plus

^fortes.

Remarque.

^{- On sait} que la densité d’ordre

z6ro, Po(x),

diffère de la densite vraie

p(x)

^{par des termes}

oscillants

(Payne [6])

^dont

1’amplitude

^{est d’ordre}

0(1);

il en r6sulte que le

d6veloppement

^limit6

(14)

^diffère

de

p(x)

^d’une

quantite 0(1)

^{et non}

0(h2n)

^{comme le}

sugg6rerait

1’écriture

(14) ;

^en

realite,

^ce

d6veloppement

n’est _que la

transcription

^{de celui}

de F >

^{et est donc}

celui d’une fonctionnelle

lineaire;

la densite

p(x)

^n’ad-

met pas ^{en tant} que fonction de

d6veloppement

^limit6

en h2. Celui

qui

^est donne dans la litt6rature

[7], [10],

s’obtient en

remplaçant Dg

par

d/de (et

^{en sommant}

sur les N

premiers niveaux)

^{et ne}

permet plus

^{le calcul}

correct des _moyennes

d’op6rateurs.

VI. Conclusion. ^- On a montre

qu’un d6velop-

pement

^{formel en}

puissance

^{de h2n de la} moyenne d’un

op6rateur multiplicatif

^r6sultait presque immediate-

ment du

d6veloppement

^de

1’energie

du niveau consi-

d6r6;

^{on a}

explicit6

le resultat

jusqu’a

^l’ordre

O(h2)

inclus

(formules (10)

^et

(11))

^{et montre} par ^un

exemple

que la correction d’ordre

O(h2) apportait

^{une am6lio-}

ration

significative

pour le calcul des moyennes. ^Par contre, ^{il est} apparu que la correction de

Langer-

Kemble relative a un

probleme

radial n’introduisait

qu’une

correction d’ordre

superieur qui pouvait

^etre

du mauvais

signe :

^elle

apparait

^{donc comme} super- flue

(excepté peut-etre quand

^{elle permet de faire}

converger des

int6grales

^{pour l =}

0).

La densite

p(x), interpretee

^comme fonctionnelle lin6aire

(c’est

une mesure

positive),

^{admet en cons6-}

quence ^un

d6veloppement

^en

h2n; chaque

^{terme est}

une distribution a

singularite temperee

^{et seul le terme}

d’ordre

0(1)

^{est d6fini}

positif;

^il r6sulte du contre-

exemple

^de

Payne [7]

que

p(x)

^n’admet pas de

d6velop-

pement ^{en tant} que fonction ^et

qu’en consequence

^la

convergence du

d6veloppement asymptotique

^{de la}

fonctionnelle lin6aire

p (x)

^{n’est pas uniforme}

(ceci

^a

ete confirme _par ^un

exemple :

^{on a}

calcule

^rm

>0 et

^rm

>1

^{pour le}

potentiel harmonique

^{et on a trouve}

que le ^terme

0(h2) surpassait

^{le terme}

0(1)

pour ^m

assez

6lev6).

^{On sait} que la th6orie de Thomas- Fermi

[7], [10] donne jusqu’a

^1’ordre

O(h2)

^{une densite}

qui

^ne

pr6sente

^pas les oscillations

caractéristiques

^de

la th6orie Hartree-Fock

correspondante : d’apr6s

^ce

qui pr6c6de,

^{l’écart est d’ordre}

0(1)

^{et ne}

sera jamais

r6duit par l’introduction de corrections

quantiques

d’ordre

superieur (contrairement

^{a une}

conjecture

^de

Golden

[10]);

^d’autre

part,

les densit6s de Thomas- Fermi sont

tronqu6es

pour n’en ^conserver que les

parties positives;

^ceci 61imine les

singularités,

^mais

rend cette densite modifi6e

impropre

^au calcul des moyennes

d’op6rateurs (excepté 1’energie

parce

qu’elle

r6sulte d’un

principe variationnel) :

^le

probleme

^de

la densite Thomas-Fermi devra etre r6examin6 suivant le

point

^{de vue} fonctionnelle lineaire

d6velopp6

^dans

ce travail.

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