Chap. 2 : Energie potentielle électrique. Potentiel électrique

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Chap. 2 : Energie potentielle électrique. Potentiel électrique

1. Travail de la force électrique

a) Expression mathématique dans le cas du déplacement d'une charge positive

Une charge q > 0 est transportée de A vers B dans le champ uniforme d'un condensateur plan.

(Pour que ce déplacement se fasse il faut bien sûr qu'il y ait des forces extérieures appropriées qui agissent sur q !).

Considérons le repère d’axe Ox (parallèle au champ électrique E

et orienté dans le sens opposé à E

).

A = point initial = point de départ ; B = point final = point d’arrivée.

Le champ E

est constant. La force électrique FqE est donc constante au cours du déplacement, donc son travail W(F)

est indépendant du chemin suivi.

 

A C

i f

W(F) F AB

F AB cos qE AB cos qE AC

qE x x

qE x

 

   

 

  

   



 

b) Expression mathématique dans le cas du déplacement d'une charge négative

 

A C

i f

W(F) F AB

F AB cos q E AB cos

q E AB cos

qE AB cos car q q 0 qE AC

qE x x

qE x

 

   

      

        

 

  

   

  

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c) Conclusion

L'expression mathématique du travail de la force électrique F

s’exerçant sur une charge q quelconque dans un champ électrique uniforme E

s’écrit : W(F)  qE x

où l’axe Ox est parallèle au champ électrique et dirigé dans le sens opposé au vecteur E .

d) Analogie avec le travail du poids

W(P)  mg z

et W(F)  qE x

g est l'intensité du champ de pesanteur ; E est l'intensité du champ électrique.

Oz est parallèle à g

, et de sens contraire; Ox est parallèle à E

, et de sens contraire.

Le poids P

s'exerce sur la masse m ; la force électrique F

s'exerce sur la charge q.

Attention : m est toujours > 0, mais q peut être > 0 ou < 0 !

2. Energie potentielle d'une charge q placée dans un champ électrique uniforme

a) Variation de l'énergie mécanique d'une charge déplacée dans un champ électrique uniforme

Considérons une charge q > 0 déplacée (à vitesse constante) par une force d'un opérateur de la plaque négative d'un

condensateur chargé vers la plaque positive.

* Système : charge q dans le champ électrique E

(ce qui revient à englober le condensateur dans le système : la force électrique est donc une force intérieure au système)

* Forces extérieures :

 Force de l'opérateur F_op

opposée à la force électrique F

: F_op  F

 Le poids de la charge est négligé.

 On suppose que l'espace entre les plaques est vide d'air de sorte qu'il n'y a pas de force de frottement.

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* Variation de l'énergie mécanique du système :

Forces extérieures

E W

 



^^{ }^E ^{W(F )}^^op ^{ }^W(F)^ ^^qE^{  }^x ^qEx^B^⁰ (q > 0) L'énergie acquise s'appelle énergie potentielle électrique.

b) Conclusions : Energie potentielle électrique d’une charge

1. L'énergie potentielle électrique d’une charge q quelconque située en un point d’abscisse x dans un champ électrique uniforme E

, vaut :

p élect

E qEx

Elle dépend du niveau de référence choisi !

2. La variation de l’énergie potentielle électrique d’une charge q quelconque dans un champ électrique uniforme E

vaut :

p élect

E qE x W(F)

      

Elle est indépendante du niveau de référence choisi.

c) Remarques

1. En A: x = 0  Ep élect = qExA = 0 (minimum)

Le niveau de référence pour l'énergie potentielle électrique est sur la plaque négative.

2. En C: x = xC (maximum)  Ep élect = qExC (maximum) 3: L'axe Ox est toujours parallèle à E

et orienté dans le sens opposé à E

. L'origine O détermine le niveau de référence.

4: Pour q < 0, la formule est la même:

En A Ep élect = 0 (maximum); en B Ep élect = qExB < 0; en C Ep élect = qExC < 0 (minimum)

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3. Potentiel électrique

a) Définition

Le potentiel V d'un point d'un point du champ est égal à l'énergie potentielle E_{p élect} que posséderait une charge témoin de +1 C placée en ce point.

p élect

V E

 q

Cette définition est valable pour un champ électrique quelconque.

b) Unité S.I. pour le potentiel électrique : le volt (V) Si Ep élect = 1 J et si q = 1 C, alors V = 1 J/C = 1 volt = 1 V

c) Potentiel d'un point d'un champ uniforme

Comme E_{p élect} qEx, le potentiel d'un point d'abscisse x s'écrit:

VEx

V ne dépend que de la position du point et du champ électrique.

d) Nouvelle unité pour l'intensité du champ électrique E : le volt/mètre

Dans un champ uniforme V

E x : si V = 1 V, et si x = 1 m, alors E = 1 V/m Montrer que 1 V/m = 1 N/C

e) Nouvelle expression pour l'énergie potentielle électrique

p élect

E qV

f) Nouvelle unité pour l’énergie : l'électron-volt

Si q = e = 1,610^-19 C, et si V = 1 V, alors Ep élect = 1 eV = 1 électron-volt 1 eV = 1 e1 V = 1,610^-19 C1 V = 1,610^-19 J

g) Remarque

Dans un champ uniforme, l'axe Ox est dirigé toujours dans le sens des potentiels croissants.

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4. Différence de potentiel électrique = tension électrique

a) Définitions

Lorsqu'une charge se déplace d'un point initial A de potentiel Vi = VA vers un point final B de potentiel V_f = V_B, alors la différence de potentiel entre le point final et le point initial est :

f i

V V V

  

Une différence de potentiel est encore appelée tension électrique.

La tension entre A et B est notée : U_AB V_AV_B

On a évidemment : U_BA V_BV_A  U_AB

Souvent une parle de la tension électrique aux bornes d'un appareil électrique : il s'agit alors de la différence de potentiel prise positivement : U V 0.

Sur les schémas, les tensions sont représentées par des flèches allant du potentiel moins élevé vers le potentiel plus élevé.

b) Nouvelle expression pour le travail de la force électrique

Dans un champ uniforme :

f i

W(F) qE x

qE(x x ) q(Ex Ex )

   

  



W(F)    q V

(Formule importante à retenir !)

Nous admettons que cette expression est valable également dans des champs non uniformes.

c) Relation entre tension aux bornes d'un condensateur et distance entre les plaques

Appliquons la relation V=Ex aux points A et B :

VA = 0 et VB = Ed Finalement : U = Ed

(Formule importante à retenir !)

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5. Application du théorème de l’énergie mécanique et du théorème de l’énergie cinétique

* L’énergie mécanique totale d’une charge q placée dans un champ électrique est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle électrique :

E = Ec + Ep élect  1 ²

E mv qV

2 

* Si une charge évolue spontanément dans un champ électrique (sans autre force que celle du champ électrique), on peut déterminer sa vitesse acquise au bout d’un certain

déplacement

 soit à l’aide du théorème de l’énergie mécanique :

E = 0

(Système = charge dans le champ électrique ; pas de force extérieure au système) ;

 soit à l’aide du théorème de l’énergie cinétique : Ec q V

    

(Système = charge seule ; force électrique = force extérieure).

Voir exercices !

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Exercices

1 Champ et forces électriques

Un proton se déplace en ligne droite, dans le vide, de A vers B.

a) Il passe en A à la vitesse vA = 2000 km/s. Quelle est son énergie cinétique EC(A), en joules, puis en électrons-volts ?

b) Quelle tension positive U faut-il appliquer entre les points A et B, et dans quel sens, pour que le proton passe au point B à la vitesse vB = 10000 km/s ?

2 Pendule électrique

Un pendule électrique, constitué d’un fil de masse négligeable et d’une petite sphère isolante S de masse m 0 2g, portant la charge q 2 10^⁸C, est suspendu entre deux plaques métalliques verticales P₁ et P₂ distantes de d 20cm.

a) On établit la tension U = 4000 V entre ces plaques de manière à créer entre celles-ci un champ électrique uniforme E. Quels sont la direction, le sens et l’intensité du champ E? (On admet que ce dernier n’est pas perturbé par la présence de la charge q.) b) Faire un schéma montrant l’inclinaison subie par le pendule et calculer l’angle  entre

le fil et la verticale lorsque l’équilibre est atteint. Cet angle dépend-il de la position initiale du pendule ? (On admet que la sphère S ne touche jamais l’une ou l’autre des plaques.)

c) Le pendule est déplacé horizontalement, vers la droite, sur une distance d = 2 cm à partir de la position d’équilibre précédente. Calculer le travail W(fe) de la force électrique fe qui s’exerce sur la boule pendant ce déplacement.

3 Tensions électriques

Trois points A, B et C situés dans cet ordre sur une droite D sont placés dans un champ électrique uniforme E, parallèle à la droite D et orienté vers la droite.

E

D

A B C

On donne : AB = 30 cm, BC = 10 cm ; E = 1500 V/m. Calculez les tensions UAB, UBC et UCA.

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4 Travail de la force électrique

Une charge q = 10^-7 C se déplace en ligne droite, de A vers B, dans un champ électrique uniforme E d’intensité E = 600 V/m et faisant un angle α = 30° avec la direction de AB.

a) Etablir, en fonction de q, E, AB et α, l’expression mathématique du travail de la force électrique s’exerçant sur q, au cours du déplacement entre A et B.

b) Calculer la valeur de la tension UAB, sachant que AB = 15 cm.

5 Potentiels et travail de la force électrique

On se déplace, dans un champ électrique uniforme E, le long d’une ligne de champ graduée en cm. L’axe Ox est orienté dans le sens opposé au vecteur champ. Soient A (xA = -2 cm) et B (xB = 8 cm) deux points de la ligne de champ tels que la tension entre ces points vaut 800 V.

Calculez :

a) l’intensité du champ électrique E ;

b) la valeur du potentiel à l’origine O de l’axe Ox ;

c) le travail de la force électrique que subirait une charge q = 10^-8 C se déplaçant de A vers M tel que x_M = 5 cm.

6 Différence de potentiel

Une particule de charge q = 10^-12 C est accélérée dans un champ électrique uniforme.

Initialement au repos au point A, elle acquiert une énergie cinétique de 10 GeV au point B, après avoir parcouru une distance de 5 cm. Déduisez-en :

a) la valeur de la différence de potentiel entre A et B, b) l’intensité E du champ électrostatique.

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Exercice supplémentaire

A. Une particule  (noyau d’hélium), produite par une source radioactive, est émise au voisinage du point A avec une vitesse initiale négligeable.

a) Quelle tension UAB = U faut-il appliquer entre les plaques distantes de D = 20 cm, pour que la vitesse des particules en B soit v = 10³ km/s ? (1,0310⁴ V)

b) Calculer la vitesse des particules à mi-chemin entre A et B. (7,0710⁵ m/s) c) Donner les caractéristiques du champ électrique E

entre les plaques. (5,1610⁴ V/m) d) Quelle est en J, puis en eV, l’énergie cinétique d’une particule en B ? (3,3010^-15 J ;

2,0610⁴ eV)

e) Calculer le potentiel d’un point situé à 5 cm, à 12 cm, à 18 cm de la plaque A. Calculer l’énergie potentielle d’une particule  en ces points. (5 cm: 7,7410³ V ; 1,5510⁴ eV) On donne : q = 2e = 3,210^-19 C

m = 6,610^-27 kg

B. Même exercice avec des électrons ayant en A une vitesse initiale de 6,610⁷ m/s dirigée vers la plaque B.

On donne : qélectron = e = 1,610^-19 C mélectron = 9,110^-31 kg Réponses :

a) 1,2410⁴ V ; b) 4,6710⁷ m/s ; c) 6,1910⁴ V/m ; d) 4,5510^-19 J ; 2,84 eV ; e) 5 cm: 9,2910³ V ; 9,2910³ eV