E NERGIE ET P OTENTIEL E LECTRIQUES
3.1. Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons montré que le champ électrique dû à une distribution de charges peut être obtenu en utilisant soit la loi de Coulomb, soit le théorème de Gauss quand la distribution est symétrique.
Dans ce chapitre, nous allons introduire un nouvel outil pour le calcul du champ électrique en définissant un champ scalaire appelé : potentiel électrique plus facile à évaluer que le champ vectoriel.
3.2. Travail effectué pour déplacer une charge
Soit une charge témoin 𝑞 0 se trouvant dans un champ électrique 𝐸⃗ qui subit une force 𝐹⃗ 𝑞 𝐸⃗. Cette force non équilibrée provoquera une accélération de la particule chargée, dans la direction et le sens du champ électrique. Pour la maintenir en équilibre, il faut lui appliquer une force extérieure 𝐹⃗ :
Le travail 𝑊 nécessaire pour déplacer 𝑞 d'un point 𝐵 à un point 𝐴 est :
𝑊 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ 𝑞 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ (3.2)
𝐹⃗ 𝑞 𝐸⃗ 𝐹⃗ (3.1)
Figure 3.1. Travail effectué pour déplacer
une charge Exprimé en Joule, 𝐽.
Pour déplacer la charge le long d’une boucle fermée :
𝑊 𝑞 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ 0 (3.3)
On dit aussi que le champ électrique est conservatif.
Les expressions de 𝑑𝑙⃗ dans les 3 systèmes :
Cartésien :
𝑑𝑙⃗ 𝑑𝑥 𝑎⃗ 𝑑𝑦 𝑎⃗ 𝑑𝑧 𝑎⃗ (3.4)
Cylindrique :
𝑑𝑙⃗ 𝑑𝑟 𝑎⃗ 𝑟𝑑𝜑 𝑎⃗ 𝑑𝑧 𝑎⃗ (3.5)
Sphérique :
𝑑𝑙⃗ 𝑑𝑟 𝑎⃗ 𝑟𝑑𝜃𝑎⃗ 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜑𝑎⃗ (3.6)
3.2.1. Conservation du champ électrostatique
Le travail nécessaire pour déplacer une charge ponctuelle 𝑞 d’un point 𝐴 à un point 𝐵 dans un champ électrostatique 𝐸⃗ est indépendant du chemin suivi 𝐶. Donc, le travail nécessaire pour déplacer la charge le long d’une boucle fermée est nul. Il s’en suit, si la ligne 𝐶 est fermée :
𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ 0 ( 3.7)
Ce qui traduit le principe de conservation de l'énergie, ou on dit aussi que le champ électrique est conservatif.
3.2.2. Cas d’une charge ponctuelle
Le travail 𝑊 nécessaire pour amener la charge témoin 𝑞 du point 𝐴 au point 𝐵 dans le cas où le champ électrique 𝐸⃗
est produit par une charge ponctuelle 𝑄 0.
𝐸⃗ 𝑄
4𝜋𝜖𝑟 𝑎⃗ 𝐸 𝑎⃗ ( 3.8)
𝑑𝑙⃗
𝐸⃗
𝐹⃗
𝐶
𝐵
𝐴
𝑊 𝑞 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ 𝑞 𝐸 𝑎⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ (3.9)
Avec 𝑎⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ 𝑑𝑟
𝑊 𝑞 𝐸 𝑑𝑟 𝑞 𝑄
4𝜋𝜖 1
𝑟 𝑑𝑟 (3.10)
𝑊 𝑞 𝑄
4𝜋𝜖 1 𝑟
1
𝑟 (3.11)
Figure 3.2.Travail pour déplacer une charge ponctuelle
3.3. Potentiel électrique
Le potentiel électrique d’un point 𝐴 par rapport à un point 𝐵 est défini comme le travail effectué pour déplacer une charge 𝑞 du point 𝐴 au point 𝐵. Il est donné par :
𝑉 𝑊
𝑞 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ (3.12)
𝑉 est une fonction scalaire et donne le potentiel au point 𝐵 relativement au point 𝐴 (point de référence), et est exprimée en Volt (1) [𝑉] ou en 𝐽/𝐶 .
Le potentiel électrique est donc une grandeur électrique scalaire définie à partir de la circulation du champ électrostatique, qui est indépendante du chemin suivi. Comme le champ électrique 𝐸⃗ est conservatif,
𝑉 𝑉 𝑉 (3.13)
De sorte que 𝑉 peut être considéré comme la différence de potentiel entre les points 𝐴 et 𝐵. Le point de référence est au potentiel 0 𝑉, un point 𝐴 est à un potentiel positif 𝑉 0 si 𝑊 0 ; c'est-à-dire que l’on doit fournir de l’énergie pour amener une charge témoin 𝑞 du point de référence au point 𝐴.
3.3.1. Potentiel d’une charge ponctuelle
Pour le cas d’une charge ponctuelle 𝑄; si 𝑟 → ∞
𝑉 𝑄
4𝜋𝜖 1
𝑟 (3.14)
Soit pour tout point de l’espace
𝑉 𝑟 𝑄
4𝜋𝜖 1
𝑟 (3.15)
Figure 3.3. Potentiel d’une charge ponctuelle 3.3.2. Potentiel d’une distribution de charges
Pour une distribution quelconque de charges (volumique, surfacique ou linéaire), le potentiel en un point 𝑃 de l’espace, situé à une distance 𝑅 d’un élément différentiel de charge 𝑑𝑄, est donné (§éq. 3.12) par :
𝑑𝑉 𝑑𝑄
4𝜋𝜖𝑅 (3.16)
Le potentiel 𝑉 total au point 𝑃 est alors (suivant la nature de la distribution) :
𝑉 𝑑𝑄
4𝜋𝜖𝑅 (3.17)
𝑟
𝑟 𝐵
𝐴 𝑎⃗ 𝑟 𝑄
𝑑𝑙⃗ 𝐸⃗
𝑞
𝑉 𝑟 𝑄
4𝜋𝜖 1 𝒓 𝑉
𝑟 𝑂
Distribution Potentiel
Distribution de charges ponctuelles 𝑉 𝑉 1
4𝜋𝜀 𝑞
𝑟 𝐶
Distribution volumique de charge 𝑑𝑄 𝜌𝑑𝑣 𝑉 1
4𝜋𝜀 𝜌𝑑𝑣
𝑟
Distribution surfacique de charge 𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑆 𝑉 1
4𝜋𝜀
𝜌 𝑑𝑆 𝑟
Distribution surfacique de charge 𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑙 𝑉 1
4𝜋𝜀 𝜌 𝑑𝑙
𝑟
3.4. Relation locale entre le champ et le potentiel électriques
Nous allons à présent montrer une relation différentielle entre le champ électrique 𝐸⃗ et le potentiel 𝑉. De sorte que si l’on connaît l’expression analytique d’un potentiel, on puisse obtenir directement le champ électrique correspondant.
Soient deux points 𝐴 et 𝐵 infiniment près l’un de l’autre et distants de 𝑑𝑙. Leur différence de potentiels est :
𝑑𝑉 𝐸⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ (3.18)
D’autre part, d'après l'équation (1.50)
𝑑𝑉 𝛻⃗𝑉 ⋅ 𝑑𝑙⃗ (3.19)
D’où on en déduit ; 𝐸⃗ 𝛻⃗𝑉 ou 𝐸⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗𝑉 (3.20)
Cette équation constitue la forme différentielle de l’équation (3.12). On l’appelle aussi la forme locale ou ponctuelle.
Le signe (-) indique que le champ électrique 𝐸⃗ est dirigé des potentiels élevés vers potentiels plus faibles.
Surfaces équipotentielles
Une surface équipotentielle est toute surface sur laquelle la fonction potentielle en tout point 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 a une grandeur constante.
Tous les points d’une surface équipotentielle ont le même potentiel. Donc, deux surfaces équipotentielles ne peuvent se couper.
Dans le cas d’une charge ponctuelle 𝑄, les surfaces équipotentielles sont des surfaces sphériques concentriques de rayons :
𝑟 𝑄
4𝜋𝜖𝑉 ( 3.22)
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 (3.21)
Figure 3.4 Surfaces équipotentielles
et les lignes de champ 3.4.1. Surfaces équipotentielles et les lignes de champ
Soient 2 points 𝐴 et 𝐵 appartenant à une même surface équipotentielle distants de 𝑑𝑙. La d.d.p entre 𝐴 à 𝐵 est donc nulle .
𝑉 𝐸⃗. 𝑑𝑙⃗ 𝑉 𝑉 0 𝐸⃗. 𝑑𝑙⃗ 0 ⇔ 𝑬⃗ ⊥ 𝒅𝒍⃗
Figure 3.5
3.4.2. Potentiel d'un conducteur en électrostatique
En équilibre électrostatique, un conducteur chargé ne peut l’être que superficiellement.
𝐸 ⃗ est nul à l’intérieur, normal à la surface et sa grandeur est:
𝐸 𝐸 𝜌
𝜀 ( 3.23)
A l’intérieur : 𝜌 0 donc:
𝛻⃗ ∙ 𝐷⃗ 𝜌 0 ( 3.24)
𝐸 0 ⇒ 𝐷⃗ 0⃗ ( 3.25)
Puisque 𝐸⃗ 𝛻⃗V 0⃗
donc 𝑉 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 . on conclut que Le conducteur est un volume équipotentiel 3.5. Equations de Poisson et Laplace
D’après le Théorème de Gauss: 𝛻⃗. 𝐷⃗ 𝜌 Puisque 𝐷⃗ 𝜀𝐸⃗ donc
𝛻⃗. 𝐸⃗ 𝜌
𝜀 Or 𝐸⃗ 𝛻⃗V ( 3.26)
𝛻⃗. 𝛻⃗V 𝜌
𝜀 ( 3.27)
Où 𝛻⃗. 𝛻⃗ 𝛻 s ’appelle le L𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛
𝛻 𝑉 𝜌
𝜀 équation de Poisson ( 3.28)
Dans une région dépourvue de charge libre: 𝜌 0
𝛻 𝑉 0 équation Laplace ( 3.29)
3.6. Energie d'un système de charges 3.6.1. Cas d’un système de charges ponctuelles
L’énergie électrostatique du système de 𝑁charges est égale au travail nécessaire pour assembler les charges à partir d’une configuration initiale dans lesquelles ces charges sont infiniment éloignées les unes des autres.
Considérons un système de 3 charges : 𝑄 , 𝑄 , 𝑄 .
Le travail nécessaire pour ramener la charge 𝑄 de l’infini vers le système final :
𝑊 0 ( 3.30)
Figure 3.6 Énergie potentielle de trois charges
ponctuelles Le travail nécessaire pour ramener 𝑄 est:
𝑊 𝑄 1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑅
1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄
𝑅 ( 3.31)
Le travail nécessaire pour ramener 𝑄 est:
𝑊 𝑄 1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑅
1 4𝜋𝜀
𝑄 𝑅
1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
𝑄
𝑅 ( 3.32)
Le travail total pour déplacer les 3 charges :
𝑊 𝑊 𝑊 𝑊 ( 3.33)
𝑊 0 𝑄 1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑅
1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑅
1 4𝜋𝜀
𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑄
𝑅 ( 3.34)
Le travail total pour déplacer les 3 charges dans l’ordre inverse : 𝑊 𝑊 𝑊 𝑊
𝑊 0 1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑅
1 4𝜋𝜀
𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑄
𝑅 (3.35)
En faisant la somme membre à membre, on obtient :
2𝑊 1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑅
1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
𝑄 𝑅
1
4𝜋𝜀 𝑄 𝑄 𝑅
𝑄
𝑅 (3.36)
𝑊 1
2 𝑄 𝑉 𝑄 𝑉 𝑄 𝑉 (3.37)
On peut alors généraliser à 𝑁 charges ponctuelles :
𝑊 1
2𝑄 𝑉 (3.38)
3.6.2. Cas d’une distribution de charges
Pour une région portant une densité de charge volumique 𝜌 :
𝑊 1
2 𝜌 𝑉𝑑𝑣 ( 3.39)
sachant que 𝜌 𝜀 𝛻 𝑉 ∶ l’équation de Poisson ( 3.40)
𝑊 𝜀
2 𝑉𝛻 𝑉𝑑𝑣 ( 3.41)
Or, on a : 𝑉𝛻 𝑉 𝛻⃗ ⋅ 𝑉𝛻⃗𝑉 𝛻⃗𝑉 ( 3.42)
Donc 𝑊 𝜀
2 𝛻⃗ ⋅ 𝑉𝛻⃗𝑉 𝑑𝑣 𝜀
2 𝛻⃗𝑉 𝑑𝑣 ( 3.43)
En utilisant le théorème de la divergence
𝑊 𝜀
2 𝑉𝛻⃗𝑉 𝑑𝑆 𝜀
2 𝛻⃗𝑉 𝑑𝑣 ( 3.44)
𝑊 𝜀
2 𝑉𝛻⃗𝑉 𝑑𝑆 0 𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑇𝐷 ( 3.45)
𝑊 𝜀
2 𝐸 𝑑𝑣 ( 3.46)
ou 𝑊 𝜀
2 𝐷𝐸 𝑑𝑣 ( 3.47)
3.7. Vecteur polarisation électrique
Dans de nombreux matériaux électriquement isolants, appelés diélectriques, les électrons sont étroitement liés au noyau. Ils ne sont pas mobiles, mais si un champ électrique est appliqué, le nuage d'électrons négatif peut être légèrement déplacé du noyau positif. On dit alors que le matériau possède une polarisation électronique.
On considère un atome d’un diélectrique comme la superposition d’une région chargée positivement 𝑄 et d’une autre région chargée négativement – 𝑄 (Fig.3.7a).
Si on applique un champ électrique externe 𝐸⃗,
La région 𝑄 se déplace dans le sens de 𝐸⃗
La région – 𝑄 se déplace dans le sens inverse.
(a ) (b)
(c ) Figure 3.7
L’atome est devenu un dipôle électrique : on dit que l’atome est polarisé. Ce déplacement peut être représenté par un moment dipolaire électrique :
𝑝⃗ 𝑄𝑑⃗ 𝑒𝑛 𝐶. 𝑚 (3.48)
Soit maintenant un matériau diélectrique de volume 𝑣. Si ce diélectrique est polarisé, un élément de volume ∆𝑣 contient 𝑁 moments dipolaires 𝑝⃗.
On définit la polarisation 𝑃⃗ comme le moment dipolaire par unité de volume :
Au point de vue macroscopique, la polarisation permet de rendre compte de l‘accroissement de la densité de flux 𝐷⃗ par rapport au vide.
𝑃⃗ lim
∆ →
𝑁𝑝⃗
∆𝑣 𝑒𝑛 𝐶 𝑚⁄ ( 3.49)
Figure 3.8
Ce vecteur 𝐷⃗ est appelé champ de déplacement car il diffère de 𝜀 𝐸⃗en raison des légers déplacements de charge dans les dipôles électriques :
𝐷⃗ 𝜀 𝐸⃗ 𝑃⃗ ( 3.50)
Quand le matériau est linéaire et isotrope, 𝐸⃗ et 𝑃⃗ sont en parallèle en tout point:
𝑃⃗ 𝜀 𝜒 𝐸⃗ ( 3.51)
Où 𝜒 est la susceptibilité électrique (une constante sans dimension).
Le vecteur 𝐷⃗ est alors donné par :
𝐷⃗ 𝜀 𝐸⃗ 𝑃⃗ 𝜀 1 𝜒 𝐸⃗ 𝜀 𝜀 𝐸⃗ ( 3.52)
où 𝜀 est appelé la permittivité relative du milieu. 𝜀 1 𝜒 .
Dans le vide, la susceptibilité est nulle (𝜒 0) de sorte que 𝜀 1 et la permittivité est celle du vide, 𝜀 𝜀 . 3.8. Condensateurs et capacité
3.8.1. Capacité d’un conducteur
La charge 𝑄 d’un conducteur est proportionnelle au potentiel 𝑉 dont le coefficient de proportionnalité est la capacité :
𝐶 𝑄
𝑉 ( 3.53)
La capacité 𝐶 est la quantité de charges qu’un condensateur peut emmagasiner par unité de d.d.p entre les armatures.
Son unité SI est le Farad (symbole 𝐹).
1 𝐹 1 𝐶/𝑉 ( 3.54)
3.8.2. Condensateur
Un condensateur est un dispositif formé par deux conducteurs séparés par un isolant diélectrique. Les deux conducteurs (appelés : armatures) sont en influence électrostatique. Il y a deux sortes de condensateurs :
à armatures rapprochées (à influence quasi totale)
à influence totale
On dit que deux conducteurs sont en influence totale si l'un (A ) est à l'intérieur de l'autre (B): L’armature A porte donc une charge totale égale et opposée à celle que porte la surface interne de l’armature B. Charger un condensateur consiste à appliquer une différence de potentiel entre ses deux armatures (au moyen d’une source extérieure).
Figure 3.9 3.8.2.1. Condensateur plan
On appelle « condensateur plan » deux armatures métalliques séparées par un diélectrique. Le champ électrique entre les deux armatures :
𝐸⃗ 𝐷 ε𝑎⃗ 𝜌
ε 𝑎⃗ 𝑄
𝐴𝜀 𝑎⃗ ( 3.55)
𝐴: la surface de l’armature en 𝑚 𝜀: la permittivité du diélectrique en 𝐹/𝑚
Influence quasi totale (armatures rapprochées) Influence totale
La différence de potentiels entre les deux plaques :
La capacité est donc :
𝐶 𝐴ε
𝑑 ( 3.57)
𝑉 𝐸 ⋅ 𝑑 𝑄 𝐴ε𝑑 𝑄
𝐶 ( 3.56)
Figure 3.10 3.8.2.2. Condensateur sphérique
On considère un condensateur sphérique formé par 2 coquilles métalliques concentriques de rayons respectifs𝑅 et 𝑅 (𝑅 𝑅 ).
Le champ électrique entre les 2 sphères :
⇀𝐸 1 4𝜋𝜀
𝑄 𝑟 𝑎⃗
Où 𝑄 est la charge totale portée par chacune des sphères. La d.d.p entre la surface de la sphère interne et celle de la sphère externe est alors :
𝑉 ⇀ ⋅ 𝑑𝑙⃗𝐸 𝑄
4𝜋𝜀 1
𝑟 𝑑𝑟 𝑄 4𝜋𝜀
1 𝑅
1 𝑅 La capacité d’un condensateur sphérique est alors ::
𝐶 𝑄
𝑉 4𝜋𝜀 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅
Figure 3.11
3.8.2.3. Condensateur cylindrique
On considère deux conducteurs coaxiaux dont on néglige les effets de bords.Par symétrie de révolution et invariance par translation verticale, 𝑉 ne dépend que de 𝑟 (des coordonnées cylindriques).
𝐸⃗ 1 2𝜋𝜀
𝑄
ℎ𝑟𝑎⃗ (3.58)
La différence de potentiels entre les deux cylindres :
𝑉 𝑉 ⇀ ⋅ 𝑑 𝑙⇀𝐸 𝑄
2𝜋ℎ𝜀 1
𝑟𝑑𝑟 (3.59)
𝑄 2𝜋𝜀 ℎ 𝑙𝑛 𝑅
𝑅
𝑉 𝑉 (3.60)
Figure 3.12 La capacité:
𝐶 𝑄
𝑉
2𝜋𝜀 ℎ 𝑙𝑛 𝑅
𝑅 (3.61)
3.8.3. Association de condensateurs
Les condensateurs peuvent être associés en série ou en parallèle, ou par combinaison mixte.
3.8.3.1.Condensateurs en parallèle
Soient 𝑛 condensateurs de capacités 𝐶, mis en parallèle sous une ddp 𝑈 𝑉 𝑉.
Figure 3.13
𝑸 𝑸
𝜺
𝒅 𝑨
La charge électrique porté par chacun d’eux est :
𝑄 𝐶 𝑈 La charge électrique totale est donc
𝑄 𝑄 𝐶 𝑈 𝐶𝑈
La capacité équivalente est donc :
𝐶 𝐶 ( 3.62)
3.8.3.2. Condensateurs en série
Soient 𝑛 condensateurs de capacités 𝐶, mis en série. Les extrémités de cette chaine de condensateurs est porté à une ddp 𝑈 𝑉 𝑉.
Figure 3.14
Tous les condensateurs portent nécessairement tous la même charge Q (à cause du phénomène l’influence totale).
𝑄 𝐶 𝑉 𝑉 𝐶 𝑉 𝑉 ⋯ 𝐶 𝑉 𝑉
La tension entre les extrémités de tout l’ensemble est égale à la somme des tensions :
𝑈 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 ⋯ 𝑉 𝑉
𝑄 𝐶
𝑄
𝐶 ⋯ 𝑄
𝐶
1 𝐶 𝑄 La capacité équivalente est donc :
1 𝐶
1
𝐶 ( 3.63)
3.8.4. Energie stockée dans un condensateur
Un condensateur emmagasine une quantité d'énergie électrique égale au travail accompli pour le charger. Supposons qu'à un instant donné, la charge déjà accumulée sur les armatures est 𝑞. Dès lors, la différence de potentiel entre les armatures vaut 𝑞/ 𝐶.
Le travail nécessaire pour faire passer une charge infinitésimale 𝑑𝑞 de l'armature négative à l'armature positive est
𝑑𝑊 𝑉𝑑𝑞 𝑞
𝐶 𝑑𝑞
Le travail total 𝑊 , pour charger un condensateur non chargé avec une charge 𝑄 s'obtient en intégrant :
𝑊 𝑞
𝐶 𝑑𝑞
𝑊 1
𝐶 𝑞 𝑑𝑞
𝑊 1
2 𝑄
𝐶 1
2𝑄𝑉 ( 3.64)
L'énergie emmagasinée dans un condensateur est
𝑊 1
2𝐶𝑉 ( 3.65)
Trois condensateurs de capacités de 2 𝜇𝐹, 3 𝜇𝐹 et 1 𝜇𝐹 sont montés en série entre deux points A et B et soumis à une différence de potentiel (ddp) 𝑉𝐴 𝑉𝐵 500𝑉
a) Quelles est la capacité équivalente de l’ensemble
b) Déterminer la charge de chacun des condensateurs et la d.d.p aux bornes de chacun de trois condensateurs c) Déterminer la charge de chacun des condensateurs et la d.d.p aux bornes de chacun de trois condensateurs Solution
a)La capacité équivalente :
1 𝐶
1 𝐶
1 𝐶
1 𝐶
1 2
1 3
1 1
11 6
𝐶 6
11𝜇𝐹 6
11 10 𝐹 b/ La charge et la d.d.p de chacun de trois condensateurs.
Groupement en série :
les condensateurs emmagasinent la même charge donc :
𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝐶 𝑉 𝑉
𝑄 6
11 10 500 3
11 10 𝐶 3. Le potentiel électrique total :
𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
𝐶 𝑄
𝑉 𝑄
𝑉 ⇔ 𝑉 𝑄 𝐶
11 103 2 10
3
22 10 𝑉
𝐶 𝑄
𝑉 𝑄
𝑉 ⇔ 𝑉 𝑄 𝐶
11 103 3 10
1
11 10 𝑉
𝐶 𝑄
𝑉 𝑄
𝑉 ⇔ 𝑉 𝑄 𝐶
11 103 1 10
3
11 10 𝑉
𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 3
22 1 11
3
11 10 500𝑉 L’énergie emmagasinée
𝑊 1
2𝐶𝑉 1 2
6
11 10 500 6.82 10 𝐽
3.9. Pouvoir (effet) des pointes
Pour aborder ce phénomène, on considère deux sphères chargées de rayons différents, reliées par un fil conducteur et placées loin l’une de l’autre. On peut donc considérer que chaque sphère est isolée mais qu’elle partage le même potentiel 𝑉 :
𝑉 𝑉 1
4𝜋𝜀
𝜌 𝑑𝑆 𝑅
1 4𝜋𝜀
𝜌 𝑑𝑆 𝑅
Figure 3.15.
𝜌 𝑅 𝜀
𝜌 𝑅 𝜀
𝜌 𝜌 𝑅
𝑅
𝜌 𝜌
Cette expression montre que, à proximité d’une pointe, le champ électrostatique est toujours très intense, cela signifie que la densité surfacique de charges est, au voisinage d’une pointe, très élevée. Donc, plus l’une des sphères aura un rayon petit et plus sa densité de charges sera élevée.
Pour des objets qui ont le même potentiel, plus le rayon de courbure est faible, plus le champ au voisinage de la surface est intense. Ce phénomène s’appelle le pouvoir (ou effet) des pointes.
𝜌 𝜌
𝑅 𝑅
