N P-compl´
etude
MTH6311
S. Le Digabel, ´Ecole Polytechnique de Montr´eal
H2018 (v1)
Plan
1. Ensembles P et N P
2. N P-compl´etude
3. N P-difficult´e
1. Ensembles P et N P
2. N P-compl´etude 3. N P-difficult´e
Probl`
eme de d´
ecision
I D´efinition : Un probl`eme de d´ecision est un probl`eme dont la r´eponse est OUI ou NON. Pour un probl`eme P , notons O(P )
l’ensemble des instances de P dont la r´eponse est OUI.
I Propri´et´e : Soient A et B deux probl`emes de d´ecision. Si A ∝ B, alors il existe une fonction f calculable en temps polynomial telle que p ∈ O(A) ⇔ f (p) ∈ O(B).
Ensemble P
I D´efinition : P est l’ensemble de tous les probl`emes de d´ecision pouvant ˆetre r´esolus en temps polynomial.
I Th´eor`eme 1 : Soient A et B deux probl`emes de d´ecision tels que A ≤p B et B ∈ P . Alors A ∈ P.
Ensemble N P
I D´efinition : N P est l’ensemble de tous les probl`emes de d´ecision P tel que pour toute instance p ∈ O(P ) (toute instance dont la r´eponse est OUI), il existe une preuve v´erifiable en temps polynomial que p ∈ O(P ).
(' c’est l’ensemble des probl`emes dont il est possible de v´erifier une solutionefficacement).
I Remarque : Cette d´efinition est asym´etrique. On ne demande rien pour les instances p /∈ O(P ). Remarquons ainsi par exemple qu’il n’est pas ´evident de prouver polynomialement qu’un graphe n’est pas hamiltonien.
I Attention : N P ne veut pas dire “non-polynomial” mais nondeterministic polynomial.
Ensemble N P (suite)
I Th´eor`eme 2.1 : P ⊆ N P.
I Exemple 2 : Preuve du Th´eor`eme 2.1.
I Question ouverte (1 million $US offert par l’institut Clay) : P = N P ? Ou encore tout ce que l’on peut v´erifier facilement peut-il ˆetre d´ecouvert ais´ement ?
Ensemble co-N P
I D´efinition : Soit P un probl`eme de d´ecision. Le probl`eme compl´ementairede P , not´e P est le probl`eme de d´ecision tel que p ∈ O(P ) ⇔ p /∈ O(P ).
I D´efinition : co-N P est l’ensemble de tous les probl`emes de d´ecision P tels que P ∈ N P.
I Th´eor`eme 2.2 : P ⊆ co-N P (preuve similaire `a l’Exemple 2).
I Exemple 4 : On a d´ej`a montr´e que HAMD ∈ N P. On sait par d´efinition que HAMD ∈ co-N P, mais on ne sait pas si HAMD ∈ N P.
1. Ensembles P et N P
2. N P-compl´etude
3. N P-difficult´e
N P-compl´
etude
I D´efinition :N P-completest l’ensemble de tous les probl`emes de d´ecision P ∈ N P tels que P0∝ P pour tout P0 ∈ N P. ou encore :
Un probl`eme P de N P est N P-complet si tout probl`eme de N P peut ˆetre transform´e en P en un temps polynomial.
I Ceci implique que si on prouve qu’un seul probl`eme
N P-complet peut ˆetre r´esolu de mani`ere polynomiale, alors chaque probl`eme de N P peut aussi ˆetre r´esolu
N P-compl´
etude (suite)
I Th´eor`eme 3 : Soient A et B deux probl`emes de d´ecision tels que A ∈ N P-complet, B ∈ N P, et A ∝ B. Alors
B ∈ N P-complet.
I Exemple 5 : Prouver le Th´eor`eme 3.
I On en d´eduit que pour montrer qu’un probl`eme P est
N P-complet, il faut d’abord s’assurer que P ∈ N P et ensuite d´eterminer un probl`eme P0∈ N P-complet tel que P0 ∝ P .
N P-compl´
etude (suite)
I Th´eor`eme 4 : N P-complet ∩ P 6= ∅ ⇔ P = N P.
1. Ensembles P et N P 2. N P-compl´etude
3. N P-difficult´e
N P-difficult´
e
I D´efinition : N P-durest l’ensemble des probl`emes P tel qu’il existe P0∈ N P-complet avec P0≤p P .
I Remarque : Un probl`eme N P-dur n’est pas forc´ement un probl`eme de d´ecision ni un probl`eme de N P.
1. Ensembles P et N P 2. N P-compl´etude 3. N P-difficult´e
Autres classes de complexit´
e
I PSPACE est l’ensemble des probl`emes de d´ecision qui peuvent ˆetre r´esolus `a l’aide d’un algorithme qui requiert une taille m´emoire de taille ∈ O p(n) pour chaque instance de taille n.
I LOGSPACE est l’ensemble des probl`emes de d´ecision qui peuvent ˆetre r´esolus `a l’aide d’un algorithme qui requiert une place m´emoire de taille ∈ O(log n) pour chaque instance de taille n.
