Algorithme de reconstruction itératif pour tomographie optique diffuse avec mesures dans le domaine temporel

Texte intégral

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(3) UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE Faculté de génie Département de génie électrique et de génie informatique. Algorithme de reconstruction itératif pour tomographie optique diuse avec mesures dans le domaine temporel Mémoire de maîtrise Spécialité : génie électrique. Anthony ALLALI. Jury : Yves BÉRUBÉ-LAUZIÈRE (Directeur) Réjean FONTAINE (Rapporteur) Elijah VAN HOUTEN (Correcteur). Sherbrooke (Québec) Canada. Juin 2016.

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(5) RÉSUMÉ L'imagerie par tomographie optique diuse requiert de modéliser la propagation de la lumière dans un tissu biologique pour une conguration optique et géométrique donnée. On appelle cela le problème direct. Une nouvelle approche basée sur la méthode des diérences nies pour modéliser numériquement via l'équation de la diusion (ED) la propagation de la lumière dans le domaine temporel dans un milieu inhomogène 3D avec frontières irrégulières est développée pour le cas de l'imagerie intrinsèque, c'est-à-dire l'imagerie des paramètres optiques d'absorption et de diusion d'un tissu. Les éléments nis, lourds en calculs, car utilisant des maillages non structurés, sont généralement préférés, car les diérences nies ne permettent pas de prendre en compte simplement des frontières irrégulières. L'utilisation de la méthode de blocking-o ainsi que d'un ltre de Sobel en 3D peuvent en principe permettre de surmonter ces dicultés et d'obtenir des équations rapides à résoudre numériquement avec les diérences nies. Un algorithme est développé dans le présent ouvrage pour implanter cette approche et l'appliquer dans divers cas puis de la valider en comparant les résultats obtenus à ceux de simulations Monte-Carlo qui servent de référence. L'objectif ultime du projet est de pouvoir imager en trois dimensions un petit animal, c'est pourquoi le modèle de propagation est au coeur de l'algorithme de reconstruction d'images. L'obtention d'images requière la résolution d'un problème inverse de grandes dimensions et l'algorithme est basé sur une fonction objective que l'on minimise de façon itérative à l'aide d'une méthode basée sur le gradient. La fonction objective mesure l'écart entre les mesures expérimentales faites sur le sujet et les prédictions de celles-ci obtenues du modèle de propagation. Une des dicultés dans ce type d'algorithme est l'obtention du gradient. Ceci est fait à l'aide de variables auxiliaire (ou adjointes). Le but est de développer et de combiner des méthodes qui permettent à l'algorithme de converger le plus rapidement possible pour obtenir les propriétés optiques les plus dèles possible à la réalité capable d'exploiter la dépendance temporelle des mesures résolues en temps, qui fournissent plus d'informations tout autre type de mesure en TOD. Des résultats illustrant la reconstruction d'un milieu complexe comme une souris sont présentés pour démontrer le potentiel de notre approche.. Mots-clés : tomographie optique diuse, équation de la diusion optique, modèle numérique, propagation de la lumière, diérences nies, algorithme de reconstruction d'image, problème inverse.. i.

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(7) TABLE DES MATIÈRES 1 INTRODUCTION 1.1 1.2 1.3 1.4. Contexte . . . . . . . . . Objectif global du projet Contributions originales Plan du document . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 2 ÉTAT DE L'ART 2.1. 2.2. 2.3. 2.4 2.5. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. Les diérents types de mesures . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Mesures en régime continu . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mesures dans le domaine fréquentiel . . . . . . . . 2.1.3 Mesures dans le domaine temporel . . . . . . . . Les systèmes TOD existants . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Advanced Research Technologies Inc. . . . . . . . 2.2.2 Ntziachristos et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 TomOptUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le problème direct : la modélisation de la propagation de 2.3.1 Le transfert radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Les méthodes analytiques . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Les méthodes stochastiques . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Les méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . Problème inverse : l'algorithme de reconstruction . . . . 2.4.1 Algorithmes basés sur des modèles pertubatifs . . 2.4.2 Algorithmes de reconstruction non linéaire . . . . Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE 3.1 3.2 3.3 3.4. 3.5. 3.6. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diusion equation for time-domain light propagation in biological media 3.4.1 Diusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Boundary measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Light propagation numerical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Finite dierence spatial discretization scheme . . . . . . . . . . . 3.5.2 Crank-Nicholson method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Blocking-o method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Boundary surface normal vectors computation - Sobel operator . . Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Comparison with Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Inuence of absorbing inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1 2 2 3. 5. 5 5 6 6 8 8 8 9 10 10 13 13 13 14 14 15 18. 19. 19 21 21 24 24 24 25 25 25 26 27 28 29 29 33.

(8) iv. TABLE DES MATIÈRES. 3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 ALGORITHME DE RECONSTRUCTION. 35. 37. 4.1. Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 4.2. Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 4.3. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 4.4. Overview of the DOT inverse problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.4.1. Perturbative linear approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4.4.2. Nonlinear approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4.5. 4.6. 4.5.1. Forward model. 4.5.2. Ob jective function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.5.3. Line search. 4.5.4. Gradient calculation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 46 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.6.1. Implementation details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.6.2. Validation setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.6.3. Digital mouse imaging experiments. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.7. Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 4.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 5 CONCLUSION. 63. LISTE DES RÉFÉRENCES. 65.

(9) LISTE DES FIGURES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6. Tomographe optique du groupe TomOptUS. . . . . . . . . Propagation de la lumière dans un milieu diusant [66]. . . Tomographe de Ntziachristos et al. [81] . . . . . . . . . . . Schéma mécanique du tomographe du groupe TomOptUS. Géométrie de la propagation de la lumière [14]. . . . . . . Algorithme de reconstruction en TOD. . . . . . . . . . . .. v. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 7 8 9 10 11 15.

(10) vi. LISTE DES FIGURES.

(11) LISTE DES TABLEAUX. vii.

(12) viii. LISTE DES TABLEAUX.

(13) LISTE DES ACRONYMES Acronyme Dénition CCD CFD CW ED EDP ETR FD HRI I/I IRM MDF MEF PIR TD TDM TEP TOD TODB TODF. Dispositif à transfert de charge, de l'anglais Charge-Coupled Device Discriminateur à fraction constante, de l'anglais Constant fraction discriminator Régime continu, de l'anglais Continuous Wave Équation de la diusion Équation aux dérivées partielles Équation de transfert radiatif Domaine fréquentiel, de l'anglais Frequency domain Imageur à haut débit, de l'anglais High-rate imager Intensicateur d'image, de l'anglais Image intensier Imagerie par résonance magnétique Méthode des diérences nies Méthode des éléments nis Proche infrarouge Domaine temporel, de l'anglais Time domain Tomodensitométrie Tomographie d'émission par positrons Tomographie optique diuse Tomographie optique diuse de bioluminescence Tomographie optique diuse de uorescence. ix.

(14) x. LISTE DES ACRONYMES.

(15) CHAPITRE 1 INTRODUCTION 1.1 Contexte La tomographie est une technique permettant d'imager en 3D le volume d'un objet, typiquement par tranches (mais pas nécessairement), à partir d'une série de mesures eectuées à la surface ou à une certaine distance de cet objet. Dans le domaine de l'imagerie médicale, il existe plusieurs modalités d'imagerie tomographique comme la tomodensitométrie (TDM), la tomographie d'émission par positrons (TEP), l'imagerie par résonance magnétique (IRM) ainsi que la tomographie optique diffuse (TOD). Bien qu'elles se basent sur des techniques diérentes, ces modalités ont un but commun, à savoir imager les tissus pour relever l'information importante, que se soit au niveau structurel (avec la TDM ou l'IRM) ou pathologique (avec la TEP ou la TOD), de manière non invasive [70]. La tomographie optique diuse (TOD) est une technique d'imagerie clinique et préclinique en développement. Elle permet d'obtenir une cartographie en trois dimensions des coecients d'absorption et de diusion optique des divers organes explorés. La TOD est une technique d'imagerie sans contact permettant de cartographier ces coecients optiques grâce à l'utilisation de lumière proche infrarouge. Elle permet d'observer des processus biologiques plus diciles à voir avec les autres modalités d'imagerie médicale [73, 74]. Cependant, l'utilisation de lumière visible ou proche infrarouge fait que cette technologie se limite à l'utilisation de petits sujets, principalement de petits animaux de laboratoire (souris ou rats) [39] ou certaines parties très précises du corps humain comme les couches périphériques du cerveau [13] ou le sein chez la femme [25]. Plusieurs applications médicales ont, d'ailleurs, été développées au cours des dernières années, comme la détection de l'arthrite [58], de lésions ou de cancers du cerveau d'adultes ou de nouveau-nés ainsi que la mesure de l'oxygénation du sang dans un volume de tissus [37]. Des variantes de la TOD sont la TOD de uorescence (TODF) et la TOD de bioluminescence (TODB). Ces variantes sont des modalités d'imagerie moléculaire visant à imager des processus biomoléculaires précis, mais elles ne seront pas traitées dans le présent projet. La TODF et la TODB consistent respectivement à imager la concentration en 3D d'un 1.

(16) 2. CHAPITRE 1. INTRODUCTION. agent uorescent ou d'un agent bioluminescent dans un sujet, alors que la TOD cherche à imager les propriétés optiques intrinsèques (absorption et diusion) d'un sujet. Comme la TOD est une méthode d'imagerie non invasive, en plus du fait que les doses radiatives absorbées par les sujets sont minimales, elle contribuera, une fois qu'elle sera bien développée, à réduire le sacrice d'animaux durant les tests de nouveaux médicaments, ce qui est plus avantageux au niveau éthique. Ceci permettra en outre d'avoir des résultats statistiquement plus signicatifs et précis qu'avec les techniques actuelles utilisant l'optique comme la microscopie. Ces dernières requièrent que de nombreux animaux soient sacriés à chaque stade du processus pour vérier les eets d'un traitement au microscope. La nécessité d'utiliser moins d'animaux et le fait d'obtenir de meilleures statistiques est d'un grand intérêt pour l'industrie pharmaceutique [39]. La TOD présente de nombreux attraits, en plus d'être à bas coût et sans danger, en ne requérant pas de composés radioactifs (TEP), de radiations ionisantes (TDM), ou de forts champs magnétiques (IRM).. 1.2 Objectif global du projet Le projet présenté ici a été dirigé par le professeur Yves Bérubé-Lauzière, dont le groupe de recherche a développé un tomographe optique sans contact pour petit animal [17]. Le but du présent travail est de développer un nouvel algorithme de reconstruction tomographique dans le domaine temporel pour l'imagerie intrinsèque qui sera validé avec des données de simulation bruitées. Les diverses étapes de ce projet sont présentées au chapitre 3.. 1.3 Contributions originales En tomographie optique diuse, très peu de travaux ont été réalisés avec des mesures faites dans le domaine temporel, pourtant les plus riches et donc, possiblement permettant d'obtenir des images de meilleure qualité. En eet, la plupart des chercheurs travaillent avec des mesures faites dans le domaine fréquentiel (frequency-domain - FD). Cependant, les courbes mesurées peuvent contenir des informations à plusieurs GHz, ce que les systèmes FD ne peuvent pas mesurer. Cela fait que nous pensons que les mesures dans le domaine temporel sont plus appropriées pour exploiter l'information complète contenue dans les signaux optiques [32, 83]. Les quelques travaux réalisés se limitent à la reconstruction d'images simples en deux dimensions [23, 31, 32, 72] ou trois dimensions sans frontières courbes [40] comme c'est le.

(17) 1.4. PLAN DU DOCUMENT. 3. cas en réalité pour l'imagerie de petits animaux, ou alors n'utilisent pas de conditions aux limites réalistes permettant de prendre en compte les changements d'indice de réfraction à la surface du milieu à imager [40, 72]. Mon rôle a donc été de développer un nouvel algorithme de reconstruction d'images en trois dimensions en tomographie optique diuse, avec pour but d'avoir des images de la meilleure qualité possible. Une première contribution de ce projet est de montrer qu'il est possible de développer une méthode de reconstruction en TOD dans le domaine temporel avec les diérences nies pour des milieux à frontières courbes en utilisant la méthode des blocking-o. Ceci n'a pas encore été fait pour des mesures dans le domaine temporel. Une autre originalité du présent travail est d'utiliser l'opérateur de Sobel 3D, bien connu dans le domaine du traitement d'images, pour obtenir les vecteurs normaux à chacun des points de la frontière. Cela constitue l'originalité du présent projet. L'utilisation des diérences nies devrait permettre d'obtenir des images précises rapidement. Une seconde contribution est d'avoir réussi à mettre au point un algorithme de reconstruction d'images tridimensionnelles basé sur ce modèle et surtout exploitant des mesures normalisées. Une telle normalisation permet d'éviter la modélisation des détecteurs qui est dicile et sujette à des imperfections. Pour nir, ces travaux seront validés si mon algorithme est capable de reconstruire des images de souris en me basant sur des données simulées du tomographe par un modèle numérique auquel divers niveaux de bruits ont été ajoutés.. 1.4 Plan du document Au chapitre 2, les notions de base de la TOD sont présentées comme la propagation de la lumière dans un milieu diusant. On y fait aussi une revue des diérents systèmes en TOD ainsi que des diérents types d'algorithmes de reconstruction existants. Les chapitres 3 et 4 contiennent chacun un article soumis dans des revues scientiques. Le chapitre 3 est une présentation d'un nouveau modèle de propagation de la lumière dans le domaine temporel basé sur la méthode des diérences nies, les blocking-o ainsi que le ltrage de Sobel dans le but d'être le plus rapide possible pour permettre de la reconstruction en trois dimensions dans un temps raisonnable. Le chapitre 4 traite d'un nouvel algorithme de reconstruction d'images en TOD basé sur des problèmes inverses exploitant le modèle de propagation de la lumière présenté dans le chapitre 3..

(18) 4. CHAPITRE 1. INTRODUCTION. Pour nir, le dernier chapitre contient la conclusion de ces travaux de recherche. Un retour sur les travaux réalisés lors de cette maîtrise est fait, et des pistes de recherche pour des travaux futurs sont apportées..

(19) CHAPITRE 2 ÉTAT DE L'ART An de mieux comprendre les algorithmes de reconstruction d'images en TOD, un bilan des travaux existants est présenté dans ce chapitre. Les diérents types de mesures, que ce soit au niveau de leurs principes de base ou de leurs avantages et inconvénients, sont détaillés à la section 2.1. Un survol des systèmes existants à travers le monde sera fait, chacun d'eux faisant l'objet de compromis entre le coût de l'appareil, sa simplicité mécanique, la rapidité d'acquisition des données, de reconstruction des images ou la qualité des signaux mesurés. Pour nir, les principes théoriques de la reconstruction tomographique dans le domaine temporel seront mis de l'avant, avec des attentions particulières portées aux problèmes de modélisation de la propagation de la lumière à la section 2.3 et de reconstruction à la section 2.4.. 2.1 Les diérents types de mesures Pour illuminer les tissus en imagerie intrinsèque, on utilise généralement un laser avec une longueur d'onde allant de 650 nm à 1000 nm, car c'est la fenêtre où l'absorption des tissus est la plus faible. Grâce à cela, la longueur de pénétration de la lumière peut atteindre jusqu'à une dizaine de centimètres, alors que dans le domaine visible, la lumière est presque totalement absorbée après quelques millimètres, empêchant de sonder en profondeur les tissus. Il existe diérentes approches de prise de mesures, chacune d'elle ayant des avantages et inconvénients, que ce soit au niveau de la simplicité d'utilisation, du coût ou de la rapidité d'acquisition des données. 2.1.1 Mesures en régime continu. Les systèmes TOD utilisant une illumination du milieu à imager (sujet) avec de la lumière en régime continu (continuous-wave - CW) sont les plus simples et les moins coûteux. On utilise généralement des diodes laser comme sources lumineuses dans ces systèmes et la lumière sortant du milieu est mesurée à l'aide de photodiodes ou d'une caméra CCD (Charge-Coupled Device ) très sensible [77, 83]. Les mesures CW représentent l'atténuation de la lumière d'excitation continue transmise dans le milieu. Cependant, une mesure à 5.

(20) 6. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. une longueur d'onde unique ne permet pas de distinguer l'eet de la diusion de celui de l'absorption [33]. Pour cette raison, l'objet doit être sondé à plusieurs longueurs d'onde. Ce type de système peut être utilisé dans diverses applications, comme l'imagerie moléculaire sur petits animaux et en imagerie du cerveau. L'imagerie CW permet d'acquérir des données très rapidement. Cependant, le peu d'information contenu dans l'intensité de la lumière rend plus faibles les performances du système face à des systèmes utilisant des mesures résolues en temps (dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel). Cette approche reste aussi limitée, car elle ne permet pas de localiser, ni de quantier les changements du coecient d'absorption dans des milieux hétérogènes, comme le sont les tissus biologiques.. 2.1.2 Mesures dans le domaine fréquentiel Les systèmes eectuant des mesures dans le domaine fréquentiel (frequency-domain - FD) [83] consistent à illuminer un milieu avec une source de lumière continue dont on module l'intensité à des fréquences de quelques centaines de MHz jusqu'au GHz, puis à mesurer lumière issue de ce milieu suite à sa propagation dans celui-ci. On mesure donc la phase et l'amplitude du signal lumineux à chacune des fréquences de modulation. La transformée de Fourier permet en principe de faire le lien entre les domaines fréquentiel et temporel. Cependant, le contenu fréquentiel d'une TPSF ( time. point-spread function. ),. représentant la fonction de transfert du milieu diusant, peut contenir de l'information à plusieurs GHz. Or, il n'est pas possible à l'heure actuelle de moduler une source lumineuse émettant assez d'intensité à de telles fréquences. Ceci limite la mesure à seulement une partie de la réponse fréquentielle, rendant impossible une transformée de Fourier inverse complète pour obtenir la réponse temporelle représentative du phénomène. Néanmoins, il reste possible d'extraire plus d'informations avec cette technique qu'avec des mesures CW.. 2.1.3 Mesures dans le domaine temporel Les systèmes à mesures dans le domaine temporel (time-domain - TD), à l'instar de celui du groupe TomOptUS (Fig 2.1) sont une évolution des systèmes CW et FD. Ce sont les plus chers, mais ils permettent de tirer plus d'informations des signaux optiques par rapport aux systèmes CW ou FD. Pour mesurer les signaux dans le domaine temporel, on utilise des impulsions lumineuses ultra-brèves d'une largeur de l'ordre de quelques centaines de femtosecondes à quelques.

(21) 2.1. LES DIFFÉRENTS TYPES DE MESURES. Figure 2.1. 7. Tomographe optique du groupe TomOptUS.. picosecondes à des fréquences de répétition de plusieurs dizaines de MHz [77, 83]. Pour mesurer les impulsions lumineuses sortantes du milieu suite à leur propagation dans celui-ci, une méthode de détection à très haute résolution temporelle doit être utilisée. Typiquement, une impulsion lumineuse ultra-brève injectée dans le milieu s'élargira de 1 ns par centimètre de tissu traversé [53]. Par exemple, pour une souris qui a un diamètre typique de 2 cm, les impulsions sortantes ont une largeur à mi-hauteur de l'ordre de 2 ns. La propagation de la lumière dans un corps correspond à la propagation des photons (Fig 2.2) suivant trois types de trajectoires [20] : - balistique - dans ce cas, les photons ne subissent aucune diusion, toutefois le nombre de photons balistiques décroit de façon exponentielle, les rendant inexistants en pratique pour des épaisseurs de tissus de plus de 2-3 mm, - diuse - les photons subissent de nombreuses diusions de manière aléatoire dans toutes les directions avant d'être détectés, - serpentile ou snake - dans ce cas, les photons subissent peu de diusion et leurs trajectoires restent proches de la trajectoire balistique. Les mesures dans le domaine temporel, communément dénotées par TPSF, contiennent plus d'informations sur les propriétés optiques d'un milieu par rapport aux mesures CW ou FD, qui ne permettent pas de discriminer si un photon reste longtemps ou non dans un milieu. Cela est dû au fait qu'une diusion forte élargit temporellement la TPSF avec une queue plus longue, tandis qu'une forte absorption contribue à atténuer la queue de la TPSF étant donné qu'un photon subissant plusieurs diusions et qui tend à rester dans le milieu voit augmenter ses chances d'être absorbé..

(22) 8. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. 3XOVHODVHU ([FLWDWLRQ LQFLGHQW. 3XOVHGLIIXV. 3KRWRQ ©VQDNHª. W. 3KRWRQ GLIIXV 3KRWRQ 3KRWRQ GLIIXV EDOOLVWLTXH. 0LOLHXGLIIXVDQW Figure 2.2. 3KRWRQ EDOOLVWLTXH. 3KRWRQ ©VQDNHª. W. Propagation de la lumière dans un milieu diusant [66].. Comme les mesures TD sont plus riches que les mesures CW et FD, les systèmes TD seront privilégiés dans le cadre de ces travaux.. 2.2 Les systèmes TOD existants Plusieurs systèmes ont été développés pour acquérir des données tomographiques en TOD ; chacun possède ses avantages et inconvénients. Dans cette partie, l'emphase sera mise sur les systèmes TD les plus apparentés au tomographe du groupe TomOptUS.. 2.2.1 Advanced Research Technologies Inc. Le système ART (Advanced Research Technologies), développé par l'entreprise montréalaise du même nom, permet d'imager de petits animaux sans contact. Ce système utilise deux jeux de miroirs et des petites lentilles pour balayer rapidement la cible sans changer la distance entre la surface du milieu diusant et le système d'acquisition. Cependant, il s'agit d'un système d'imagerie planaire, car aucune projection angulaire n'est faite et il n'est pas possible d'eectuer des mesures tout autour de l'animal. Il est incapable de faire de multiples projections tomographiques du corps à imager, ce l'empêchant d'imager en profondeur.. 2.2.2 Ntziachristos et al. Ce système TD (Fig 2.3) est une amélioration des systèmes CW de Ntziachristos et al. [61], et il a été conçu pour cartographier les coecients d'absorption μa et de diusion μs de la lumière en trois dimensions [62, 63]. Il utilise une caméra intensiée à fenêtrage temporel.

(23) 2.2. LES SYSTÈMES TOD EXISTANTS. Figure 2.3. (time-gated. intensied. 9. Tomographe de Ntziachristos et al. [81]. CCD) pour extraire l'information des premiers photons (donc ceux. qui ont été le moins diusés). Cependant, ce système comporte certaines limitations comme l'impossibilité de faire des mesures avec un agent uorescent.. 2.2.3 TomOptUS Au l des années, notre groupe de recherche a développé un tomographe optique (Fig 2.4) fonctionnant dans le domaine temporel et sans contact, avec 7 canaux de détection disposés autour du sujet dans une conguration dite. fan-beam. [17].. Ce système est capable de mesurer les données à la longueur d'onde du laser, syntonisée entre 700 et 1000 nm avec une de puissance d'illumination maximale 750 mW et capable de générer des impulsions lumineuses d'une largeur de 3 ps. Il permet l'acquisition simultanée à deux longueurs d'onde, soit à la longueur d'onde d'illumination du laser pour l'imagerie intrinsèque et à une autre longueur d'onde correspondant généralement à la longueur d'onde d'émission d'un agent uorescent pour l'imagerie tomographique en uorescence. Actuellement, il s'agit du tomographe le plus perfectionné pour faire de la mesure sans contact dans le domaine temporel, avec son nombre de détecteurs et la zone de mesure couverte..

(24) 10. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. Figure 2.4. Schéma mécanique du tomographe du groupe TomOptUS.. 2.3 Le problème direct : la modélisation de la propagation de la lumière Le problème direct consiste à déterminer au cours du temps et en tout point d'un milieu, le champ lumineux présent dans celui-ci, en considérant comme connues ses propriétés optiques, sa géométrie physique et la ou les source(s) lumineuse(s) qui y sont injectée(s). Il existe plusieurs méthodes et techniques applicables pour résoudre l'équation aux dérivées partielles (EDP) appropriée pour modéliser le champ lumineux dans le milieu. Mais avant, un retour sur la théorie du transfert radiatif est nécessaire pour comprendre comment modéliser la propagation de la lumière dans un milieu absorbant et diusant tel un tissu biologique.. 2.3.1 Le transfert radiatif L'équation de transfert radiatif Le transport des photons dans les tissus biologiques peut être modélisé à l'aide de l'équation de transfert radiatif (ETR) [22, 52] donnée par.

(25) 2.3. LE PROBLÈME DIRECT : LA MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE 11. η ∂L (r, ˆs, t) + ˆs.∇L (r, ˆs, t) + [μa (r) + μs (r)] L (r, ˆs, t) c ∂t = μs (r) L r, ˆs , t p ˆs , ˆs dΩ + q (r, ˆs, t) .. (2.1). 4π. La quantité fondamentale à déterminer avec l'ETR est la radiance L r, ˆs , t qui est la quantité d'énergie au temps t à une position r du milieu (Fig 2.5) par unité de temps dans une direction ˆs par une unité d'aire projetée transverse à la direction ˆs et par unité d'angle solide. η est l'indice de réfraction du milieu, c est la vitesse de la lumière, μa et μs sont respectivement les coecients d'absorption et de diusion de la lumière dans le milieu, p ˆs , ˆs la probabilité qu'un photon se déplaçant suivant une direction ˆs soit diusé dans la direction ˆs et q (r, ˆs, t) est la distribution d'une source de lumière possiblement présente dans le milieu.. Figure 2.5. Géométrie de la propagation de la lumière [14].. L'ETR est une équation intégro-diérentielle partielle, c'est-à-dire une EDP faisant intervenir l'intégrale de la fonction inconnue (ici la radiance). Le fait que la radiance dépende d'une variable angulaire, ˆs, en sus des coordonnées spatiales et du temps, rend l'ETR très dicile à résoudre, analytiquement comme numériquement. Même si l'ETR est le modèle le plus représentatif de la propagation de la lumière dans un milieu absorbant et diusant, ce n'est pas toujours celui utilisé en pratique pour modéliser le problème direct. Certaines approximations peuvent être utilisées, dont l'approximation de la diusion qui sera présentée dans ce qui suit.. L'approximation de la diusion Comme l'ETR est dicile à résoudre, l'approximation de la diusion est souvent utilisée [16, 51]. Elle est est adéquate dans les cas pratiques où μs μa , c'est-à-dire les cas où l'absorption est la plus faible (cas de l'imagerie du cerveau ou du sein par exemple). Pour arriver à cette approximation, on utilise la radiance intégrée suivant un angle solide entier.

(26) 12. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. (4π ), c'est-à-dire. ψ (r, t) =. 4π. L (r, ˆs, t) dΩ,. (2.2). La radiance ainsi intégrée est appelée uence (ψ en W.m−2 ) qui elle n'a plus de dépendance angulaire. En conséquence, la uence décrit le champ lumineux comme étant un champ isotrope en chaque point. En eectuant l'approximation dite de diusion qu'on ne répétera pas ici (voir [83]), on arrive à l'équation de la diusion (ED) à laquelle satisfait la uence et est donnée par. η ∂ψ (r, t) + μa (r) ψ (r, t) − ∇. [D (r) ∇ψ (r, t)] = Q (r, t) , c ∂t avec. D ( r) =. 1 , 3 (μa (r) + μs (r)). (2.3). (2.4). qui est le coecient de diusion, μs = (1 − g)μs est le coecient de diusion réduit, g est le paramètre d'anisotropie de la diusion et Q (W·m−2 ) est le terme source (isotrope) de l'ED. Cette équation est une EDP beaucoup plus facile à résoudre que l'ETR. Numériquement, elle peut être résolue avec des méthodes numériques comme la méthode des diérences nies ou la méthode des éléments nis, pour des milieux de frontières irrégulières et non homogènes, ce que ne permettent pas les méthodes analytiques.. Conditions aux frontières Pour résoudre des problèmes physiques à l'aide d'EDP, il est nécessaire de prendre en compte les conditions aux limites à la frontière du milieu. Dans le cas de l'ED, des conditions aux limites de type Robin (ou de troisième type) sont souvent utilisées [16, 22, 51], car ce sont les plus générales permettant de tenir compte du saut d'indice de réfraction entre l'intérieur du milieu (tissu biologique) et l'extérieur (généralement l'air). Ces conditions aux frontières s'écrivent. 1 − Rψ 1 + Rj ∂ ψ(r , t) + D(r ) ψ(r , t) = bT (r , t), ˆ 4 2 ∂n. (2.5). ˆ est le vecteur unitaire normal au point r , bT représente où r est un point à la frontière, n la source à la frontière au point r (s'il y en a une), et.

(27) 2.3. LE PROBLÈME DIRECT : LA MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE 13. Rj = 3. π 2. 0. Rψ = 2. π 2. 0. cos2 θi RF (cosθi )sinθi dθi ,. (2.6). cosθi RF (cosθi )sinθi dθi ,. (2.7). avec RF (cosθi ) qui est le coecient réexion de Fresnel. Ces conditions aux frontières sont valables tant pour le régime continu que pour les domaines temporel et fréquentiel.. 2.3.2 Les méthodes analytiques Dans le cas d'un objet de forme complexe et avec des coecients optiques non homogènes, comme des tissus biologiques, il est, à priori, impossible de trouver une solution analytique à l'ETR ou à l'ED [51]. Cependant, pour des objets homogènes de forme simple [8] ou très peu complexe [57], l'ED est résoluble analytiquement en utilisant des fonctions de Green et des fonctions spéciales (fonctions de Bessel, polynômes de Legendre, etc.). Malgré sa rapidité, cette méthode n'est donc pas utilisable en imagerie clinique ou préclinique.. 2.3.3 Les méthodes stochastiques La méthode stochastique la plus connue pour la modélisation de propagation de la lumière est sans doute la méthode Monte Carlo, qui bien que très coûteuse en temps de calcul permet de très bien simuler les processus de diusion et d'absorption des photons dans un milieu même s'il est hétérogène et de forme complexe [28, 29]. Les algorithmes de reconstruction tomographique étant, la plupart du temps, des problèmes d'optimisation basés sur des modèles de propagation de la lumière, il est nécessaire que le modèle soit le plus rapide possible, ce qui rend moins facilement utilisables des méthodes stochastiques dans ce contexte.. 2.3.4 Les méthodes numériques Deux grandes méthodes numériques sont généralement utilisées pour résoudre les EDP, il s'agit de la méthode des diérences nies (MDF) et de la méthode des éléments nis (MEF), chacune avec ses avantages et ses inconvénients [42]. La MEF fonctionne très bien pour modéliser des phénomènes physiques dans des milieux de formes arbitraires. Cependant, le maillage est la plupart du temps composé de tétraèdres,.

(28) 14. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. ce qui peut rendre plus compliqué et surtout plus long le maillage d'une forme complexe en 3D. La méthode des diérences nies, quant à elle, utilise un maillage régulier composé de cubes [71], ce qui rend le maillage plus simple impliquant une connectivité quasi-triviale entre noeuds voisins. Cependant, les frontières d'un milieu de formes irrégulières en deviennent plus complexes à gérer au niveau de la mise en équation des conditions aux limites. Ces deux méthodes permettent de mettre sous forme matricielle le système d'équations modélisant la propagation de la lumière avec des matrices creuses. Des structures de données adaptées à ce type de matrices permettent d'économiser la mémoire vive de l'ordinateur réalisant les calculs. Il existe de nombreux algorithmes pour résoudre ecacement ce type de systèmes d'équations linéaires (avec des méthodes itératives ou non).. 2.4 Problème inverse : l'algorithme de reconstruction L'objectif principal en TOD est d'obtenir une cartographie complète des valeurs des coecients d'absorption et de diusion de la lumière à partir des données mesurées à la frontière du milieu par les détecteurs du tomographe. Ceci représente un problème non linéaire [7 9]. Il existe deux grandes méthodes pour reconstruire des images, celles basées sur les algorithmes utilisant un modèle perturbatif basé sur des fonctions de Green et menant à des équations linéaires et celles non linéaires tenant compte de la non-linéarité intrinsèque du problème de reconstruction et utilisant des méthodes itératives d'optimisation.. 2.4.1 Algorithmes basés sur des modèles pertubatifs Les méthodes basées sur des modèles pertubatifs sont les plus rapides. Elles ont été souvent utilisées étant donné qu'elles ne nécessitent que de résoudre des équations linéaires. Toutefois, elles s'appuient sur l'hypothèse que les changements de propriétés optiques dans le milieu sont faibles, ce qui n'est pas vrai en réalité. Ces approches sont ainsi d'une utilité limitée pour l'imagerie sur petit animal étant donné les grandes variations dans les propriétés optiques entre diérents organes [40]. Malgré cela, ces approches sont utiles dans des situations où l'on s'intéresse à des variations des propriétés optiques par rapport à des valeurs de base ("baseline") supposées connues d'avance (p.ex. en imagerie cérébrale, où il est d'intérêt de mesurer les petites variations du coecient d'absorption en lien avec des changements de taux d'oxygénation [19])..

(29) L2.

(30) 16. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. Bien qu'ecace, cette technique possède un défaut : il faut de nombreuses itérations pour converger vers une cartographie optique optimale, et donc de nombreuses itérations du problème direct, ce qui en fait une méthode coûteuse en calcul. Pour cette raison, le modèle direct doit être résolu de manière ecace.. Optimisation non linéaire Pour mettre à jour la cartographie optique de manière ecace, des techniques d'optimisation non linéaire sont alors nécessaires. En tomographie optique diuse, les méthodes les plus ecaces sont celles basées sur le calcul du gradient de la fonction objective par rapport aux paramètres du milieu à imager. La fonction objective représente l'écart entre les valeurs mesurées M et les données prédites. P avec le modèle de propagation de la lumière. La minimisation de cette fonction permet de réduire l'écart entre les prédictions et les mesures et d'obtenir des données prédites proche des valeurs mesurées. De manière générale, elle est dénie comme étant la somme des diérences au carré [84] d 1 f (μk ) = 2 d=1. N. . Pd (μk ) − Md σd. 2 ,. (2.8). avec μk le vecteur contenant les propriétés optiques de l'objet à l'itération k de l'algorithme itératif, Nd le nombre total de mesures obtenues et σd un facteur de normalisation lié au bruit. L'objectif de notre algorithme est de déterminer le vecteur μk+1 minimisant la fonction objective telle qu'un critère du type suivant. f (μk+1 ) − f (μk ) < , f (μk ). (2.9). soit satisfait, avec une valeur très faible xée par l'utilisateur. Généralement, en optimisation non-linéaire, la mise à jour du vecteur μ se fait de la manière suivante [30, 59]. μk+1 = μk + αk sk ,. (2.10). avec sk la direction de descente de la fonction objective et αk la longueur du pas à appliquer suivant la direction de descente (généralement déterminée par des algorithmes de recherche linéaire)..

(31) 2.4. PROBLÈME INVERSE : L'ALGORITHME DE RECONSTRUCTION. 17. La direction de descente se dénie comme. sk = Ak ∇k f (μk ) + βk μk−1 ,. (2.11). avec ∇k f (μk ) le gradient de la fonction objective à l'itération k par rapport aux propriétés optiques du milieu, et Ak et βk des paramètres dépendant de la méthode d'optimisation utilisée. Parmi les méthodes d'optimisation ayant déjà été appliquées en TOD, on retrouve principalement la méthode du gradient conjugué [40, 72], la méthode Quasi-Newton [50], ainsi que la méthode de Levenberg-Marquardt [26]. La méthode du gradient conjugué utilise principalement l'information de la dérivée première de la fonction objective (le gradient). Dans ce cas, le paramètre βk peut être calculé avec la formule de Fletcher-Reeves ou de Polak-Ribière et le paramètre Ak est l'opposée de la matrice identité. La méthode Quasi-Newton se base sur une approximation de la dérivée seconde de la fonction objective (la Hessienne), ce qui fait qu'elle est considérée comme étant plus able et qu'elle converge plus rapidement que la méthode du gradient conjugué ; elle est toutefois plus lourde en calculs. Dans ce cas, le paramètre βk est nul et le paramètre Ak est une approximation de l'inverse de la Hessienne de la fonction objective calculée avec des. Limited-Memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno. formules comme la populaire. (LM-. BFGS) [30, 59]. Une autre méthode utilisée en TOD, principalement dans le domaine fréquentiel, est la méthode de Levenberg-Marquardt, dont la direction de descente se dénie comme −1. sk = (J J + λI) J T. T. Nd Pd (μk−1 ) − Md d=1. σd. ,. (2.12). avec J la matrice jacobienne de P (le vecteur contenant les données prédites par le problème direct) par rapport à μk et λ un facteur d'amortissement positif ajusté à chaque itération. Cette méthode combine les avantages de réduire la fonction objective le long d'une direction de descente liée au gradient ainsi que d'utiliser un modèle quadratique pour accélérer la minimisation. Cependant, J T J doit être nécessairement une matrice dénie positive, ce qui n'est pas nécessairement le cas en TOD [85]. En outre, la conguration optique initiale doit être proche de la solution pour converger vers la bonne solution. Même.

(32) 18. CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART. si elle a été appliquée avec succès en TOD dans le domaine fréquentiel [26], la méthode Quasi-Newton LM-BFGS sera préférée dans le cadre de ces travaux.. 2.5 Résumé Dans le présent chapitre, nous avons vu l'essentiel des notions de TOD qui seront utiles par la suite. Parmi les méthodes présentées, un modèle de propagation de la lumière basé sur l'ED discrétisée avec la MDF sera privilégié, an d'être le plus rapide possible, tout en restant précis. Dans le prochain chapitre, les détails mathématiques de ce modèle numérique seront d'abord présentés, suivi de la validation du modèle grâce à une comparaison de nos mesures simulées par rapport à celles obtenues avec une simulation Monte Carlo..

(33) CHAPITRE 3 MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE 3.1 Avant-propos A. Allali : étudiant en maîtrise, Université de Sherbrooke, Faculté de génie, Département de génie électrique et de génie informatique. A. Klose : directeur de la technologie, InVivo Analytics, New York, NY, États-Unis. Y. Bérubé-Lauzière : professeur, Université de Sherbrooke, Faculté de génie, Département de génie électrique et de génie informatique. Date de soumission : 12 Juin 2016 Revue : Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer Titre français : Modélisation numérique de la propagation de la lumière dans le domaine temporel en trois dimensions dans des milieux diusants aux frontières irrégulières avec les diérences nies et les blocking-o. Contribution au document : La reconstruction d'images en TOD se fait en deux parties, la première étant d'être capable de modéliser adéquatement la propagation de la lumière dans des milieux biologiques. Cet article contribue donc au mémoire en présentant un modèle de propagation de la lumière dans le domaine temporel exploitant les qualités de la méthode des diérences nies (MDF) comme sa simplicité, mais aussi le fait que les matrices résultantes sont plus creuses que celles obtenues avec la méthode des éléments nis, majoritairement utilisée en TOD. En plus de cela, nous présentons une méthode alliant les blocking-o avec le ltrage de Sobel pour s'aranchir du principal défaut de la MDF qui est la prise en compte des frontières irrégulières. Pour nir, les résultats obtenus avec notre modèle sont comparés à une simulation Monte Carlo pour prouver que notre modèle est fonctionnel. Résumé français : Nous introduisons une approche rapide pour modéliser la propagation de la lumière dans le domaine temporel pour des milieux diusants (comme les tissus biologiques) en trois dimensions avec des frontières irrégulières. Les mesures dans le domaine 19.

(34) 20. CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. temporel (time. domain. - TD) fournissent les informations les plus riches dans l'optique. de faire de la reconstruction d'image en tomographie optique diuse (TOD). Cependant, travailler avec des données TD augmente de manière signicative le coût calculatoire. La méthode présentée ici permet de réduire le temps de calcul et l'utilisation de la mémoire. Elle repose sur la méthode des diérences nies pour résoudre l'équation de la diusion avec la méthode de Crank-Nicholson. Le plus grand avantage de cette méthode réside dans sa simplicité. En eet, les équations sont plus simples et plus rapides à implanter qu'avec la méthode des éléments nis (MEF). Pour prendre en compte les frontières incurvées avec la méthode des diérences nies (MDF), la méthode. blocking-o. sur un maillage régulier. est utilisée. Pour prendre en compte les changements d'indice de réfraction à la frontière du milieu, les conditions aux limites de type Robin sont considérées. Elles nécessitent le calcul des vecteurs normaux à la surface de la frontière du milieu. Pour cela, l'opérateur de Sobel est utilisé. Il s'agit d'une méthode rapide introduite pour la première fois dans le cadre de la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles avec la MDF et la méthode des. blocking-o.. Le taux de uence obtenu avec celui modèle reproduit bien. celui obtenu avec une simulation Monte Carlo servant d'étalon. La possibilité de modéliser rapidement la propagation de la lumière, comme cela est fait ici, est d'une importance critique pour les algorithmes de reconstruction d'images en TOD basés sur des modèles de propagation. En eet, le modèle doit être résolu à chaque itération d'un algorithme de reconstruction itératif. C'est dans ce but que l'approche présentée ici a été développée..

(35) 3.2. ABSTRACT. 21. 3.2 Abstract We introduce a fast approach for modeling light propagation in the time domain in 3D heterogeneous turbid media (such as biological tissues) with curved boundaries. Time-domain (TD) measurements provide the richest data in view of diuse optical tomography (DOT) imaging. However, working with TD data signicantly increases the computational burden. The overall approach presented here allows saving computational time and memory. It relies on the nite dierence method (FDM) for solving the diusion equation (DE) with the Crank-Nicholson method. The main advantage of our approach relies in its simplicity, since the equations are easier and faster to set up than with the nite element method (FEM). We resort to the blocking-o method because it allows using the FDM for curved geometries on a regular cartesian grid. To account for the change of index of refraction at the boundary, Robin-type boundary conditions are considered. This requires surface normals to be computed. To achieve this, a Sobel operator is used, which is a fast and novel approach introduced here for the rst time in the numerical solution of PDEs with the FDM and blocking-o. The uence rate obtained with our model is shown to reproduce well that obtained with gold-standard Monte Carlo simulations. The ability to solve fast a light propagation model as demonstrated here is of critical importance in model-based iterative image reconstruction algorithms, whereby a forward model needs to be solved at each iteration step. It is for use in such algorithms for DOT imaging that the approach presented here has been developed.. 3.3 Introduction Time-domain (TD) measurements provide the richest data in view of diuse optical tomography (DOT) imaging [47, 83]. This is the motivation for considering TD light propagation here. However, working with TD data signicantly increases the computational burden when modelling light propagation. Solving fast a light propagation model for curved geometries is of major importance in various applications, such as in diuse optical tomography (DOT) imaging of small animals or of human tissues relying on model-based iterative image reconstruction paradigms. In this case, the light propagation model needs to be solved at each iteration of an algorithm for retrieving a map of the medium's optical coecients (absorption and scattering). The goal of this paper is to develop a numerical modelling approach that overall aims at saving computational time and memory as much as possible. To achieve this, the nite dierence method (FDM) combined with blocking-o and the Sobel operator to deal with curved.

(36) 22. CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. boundaries are resorted to. The remainder of this introduction presents the rationale for these dierent numerical techniques. The diusion equation (DE) is ubiquitous in biomedical optics for modelling light propagation. The DE is a partial dierential equation (PDE) derived from the radiative transfer equation (RTE) using the so-called diusion approximation [83], which assumes that the light eld propagating in the medium is isotropic at each point. The DE, having no angular dependance, allows reducing the computation time, but at the cost of lesser accuracy, in particular in the case of small geometries, low scattering or high absorption [24, 45]. Nevertheless, the DE has proved to be a very useful model and will be adopted here for its simplicity. There are dierent methods, each with its advantages and disadvantages, for solving a PDE such as the DE : the integrated analytic method (IAM), the nite dierence method (FDM), the nite element method (FEM), the nite volume method (FVM) and the boundary element method (BEM). The IAM is the most exact and fastest, but it is only applicable to simple geometries and homogeneous media ; it is thus of lesser interest in imaging. The FEM is generally preferred for solving PDEs numerically as it naturally handles curved boundaries [11]. However, 3D volume unstructured meshing, as required by the FEM can be a computationally intensive task, often carried out using third party software. Further, setting up the numerical propagation equations on an unstructured mesh implies memory and computational overhead since node connectivity information must be explicitly provided and processed [41]. The same can be said about FVM methods relying on unstructured meshes. The BEM is also well-suited for arbitrary shapes, but it assumes than the medium is piecewise homogeneous, which is generally not the case in biological tissues, which are the media of focus here. The FDM is very easy to understand and implement, and above all it is fast, which is a strong point in view of image reconstruction. The reason for this is that the FDM uses a 3D regular structured cartesian grid for spatial discretization, hence the equations are simple to set up and have a simple structure which allows exploiting the connectivity between neighboring grid points. By resorting to a structured grid, FDM solvers are also computationally more ecient, hence faster, than FEM ones because the system of equations obtained with the FDM gives rise to simply structured banded matrices rather than the sparse matrices as obtained with the FEM which are nevertheless denser than those of the FDM. For these reasons it is desirable to use the FDM. But, the use of a cartesian grid in the FDM is also the reason why it is generally thought to be inappropriate for dealing with curved boundaries [42] which are pervasive in imaging. However, there is a solution.

(37) 3.3. INTRODUCTION. 23. to this, namely the blocking-o method, which is less well known in the biomedical optics community, that allows dealing with curved boundaries [48]. Notably, it has been applied with success in heat transfer [5, 6, 79, 80]. Note that other techniques have been developed for dealing with curved boundaries with the FDM, notably body-tted grids and blockstructured grids. Body-tted grids rely on mapping the domain of interest (in our case the biological tissue) onto a computational domain with a simple shape. In practical cases involving complex geometries (e.g. a small animal), such a mapping is hardly feasible, if not impossible [41]. As regards block-structured grids, which is a special case of adaptive mesh renement, they require sophisticated automation to lay out the block topology in order to avoid user interaction [54]. To handle the index of refraction mismatch at the boundary of a tissue (typically an air-tissue interface), Robin-type (or mixed) boundary conditions (BCs) are considered. This requires the calculation of the normal vector at each boundary node. A well known operator of image processing can be used to eciently and easily obtain normal vectors, namely the Sobel operator [35]. The use of the Sobel operator is simple to implement, fast, and does not require to account for particular cases. It also provides a smooth distribution of normal vectors along the boundary. The Sobel operator is a novel approach we introduce here for the rst time to obtain surface normals for boundary conditions in the numerical solution of PDEs with the FDM and blocking-o. With the FDM, the TD-DE, which is a parabolic PDE, can be solved with the CrankNicholson scheme, which gives rise to an unconditionnaly stable numerical solver that has second-order accuracy both in time and space. In this work, we present a complete numerical approach that uses a Crank-Nicholson scheme and blocking-o to numerically solve the DE in the time domain in 3D complex heterogeneous media with curved boundaries. To our knowledge, it is also the rst time blocking-o is used to solve the DE in the time domain. The structure of the paper is as follows. First, the DE along with the Robin BCs used for time-domain light propagation modeling are presented in Sect. 3.4. This is followed with details about the numerical model in Sect. 3.5 (spatial discretization, Crank-Nicholson scheme, blocking-o, and boundary surface normal vectors computation with the Sobel operator). Sect. 3.6 discusses results obtained with our numerical model and their validation against gold-standard Monte Carlo simulations. Finally, a summary along with conclusions and an outlook of future work are given in Sect. 3.7..

(38) 24. CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 3.4 Diusion equation for time-domain light propagation in biological media 3.4.1 Diusion equation The DE is a low order approximation of the RTE, which is an integrodierential equation for the radiance that describes the light eld. The radiance depends on three spatial coordinates, two angular variables at each point in space, and time. Owing to the complexity of solving the RTE, the DE is often used instead. The DE has no angular dependance and is a parabolic PDE when time is considered. It is simpler to solve than the RTE both analytically and numerically. In this equation, the light eld is represented by the so-called uence rate that will be denoted ψ . The uence rate is isotropic at each point. For time-domain light propagation, it depends on three spatial coordinates and time. Mathematically, the TD-DE is given by. ηin ∂ ψ(r, t) − ∇ · (D(r)∇ψ(r, t)) + μa (r)ψ(r, t) = Q(r, t), (3.1) c ∂t where ηin is the refractive index of the medium, c the speed of light in vacuum, μa (r) the medium's space varying absorption coecient, D(r) = 1/[3(μs (r) + μa (r))] the diusion coecient with μs (r) = (1 − g(r))μs (r) being the reduced scattering coecient (μ s (r) is the scattering coecient and g(r) the anisotropy factor), and Q(r, t) represents interior sources.. 3.4.2 Boundary conditions Appropriate boundary conditions (BCs) for the DE are necessary to adequately model light propagation in turbid media. We consider here realistic situations in which a volume of biological tissue (e.g. the body of a mouse) is embedded in air and will ultimately be imaged tomographically using exterior-only measurements. Thus, to account for the eect of index of refraction mismatch at the boundary of a biological tissue, the so-called refractive index mismatch BCs are considered here. These are Robin-type BCs, also called mixed or type 3 BCs, given by. 1 − Rψ 1 + RJ ∂ ψ(r , t) + D(r ) ψ(r , t) = bT (r , t), 4 2 ∂ˆ n. (3.2). where r is a point on the boundary, n ˆ is the unit outward normal vector at r , bT represents a boundary source at r (if any), and.

(39) 3.5. LIGHT PROPAGATION NUMERICAL MODEL. RJ = 3. π 2. 0. Rψ = 2. 25. cos2 θi RF (cos θi ) sin θi dθi ,. (3.3). cos θi RF (cos θi ) sin θi dθi ,. (3.4). π 2. 0. with RF (cos θi ) being the Fresnel reection coecient. Eqs. (3.3) and (3.4) are calculated numerically with the trapezoidal rule.. 3.4.3 Boundary measurements Related to the BCs is the model of measurements made at the boundary of the medium (detector readings). The measurable quantity at a position r on the boundary used in imaging is the outward normal current (also called the exitance) given by [7]. Jn,+ (r , t) = −D(r ). ∂ ψ(r , t). ∂ˆ n. (3.5). Owing to the Robin BCs, and since there are no sources at points where measurements are made (bT (r , t) = 0), the exitance is proportional to the uence and is given by the simpler form. Jn,+ (r , t) =. 1 − Rψ ψ(r , t). 2(1 + Rj ). (3.6). Since normalized measurements will be considered later on (notably in our image reconstruction algorithms [2]), the prefactor multiplying the uence in the previous equation will be dropped. We will hence directly take the uence as the detector reading in the sequel (in any case, for validating our model later on it does not matter whether the prefactor is accounted for or not as it is constant).. 3.5 Light propagation numerical model 3.5.1 Finite dierence spatial discretization scheme To solve the DE, nite dierence approximations are used to evaluate the derivatives. Considering the medium to be heterogeneous, the diusion coecient D(r) is not constant. The following discretization centered scheme with half steps for evaluating the second order spatial derivatives containing the diusion coecient is resorted to [4, 40] :.

(40) 26. CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. . ∂ ∂ψ ∂ψ ∂ 1 − Di− 1 (D(r) ψ(r, t)) ≈ Di+ 1 , 2 ∂x 2 ∂x ∂x ∂x Δx i+ 12 i− 12. (n) (n) (n) (n) ψi+1,j,k − ψi,j,k ψi,j,k − ψi−1,j,k 1 = Di+ 1 − Di− 1 , 2 2 Δx Δx Δx (n). =. (n). (n). Δx2. (3.8). (n). Di+ 1 (ψi+1,j,k − ψi,j,k ) + Di− 1 (ψi,j,k − ψi−1,j,k ) 2. (3.7). 2. (n). = δxx (ψi,j,k ), (3.9). and similarly for the derivatives along y and z . It is to be noted that the end result does not contain half steps for the uence, but the diusion coecient must be evaluated at half steps. This is done via linear interpolation (average). Di+ 1 ,j,k = 2. Di+1,j,k + Di,j,k , 2. (3.10). and similarly for the other indices. The reason for using such a centered spatial discretization scheme is that it is second order accurate. When it is embedded in the Crank-Nicholson spatio-temporal scheme to be discussed below, the overall scheme is also second-order accurate in time [67].. 3.5.2 Crank-Nicholson method Both explicit and implicit schemes have been discarded in this work. While the former is very ecient as it does not require solving large systems of equations, stability conditions impose the use of unreasonably small time steps [67]. As regards the implicit scheme, it is unconditionally stable, but is only rst-order accurate in time [67]. The Crank-Nicholson method is an average of the implicit and of the explicit methods. Using Crank-Nicholson, the nite dierence scheme for the DE is in this case given by (n+1). (n+1). (n+1). δxx (ψi,j,k ) δyy (ψi,j,k ) δzz (ψi,j,k ) ηin (n+1) + μa )ψi,j,k − − − ( cΔt 2 2 2 (n) (n) (n) δxx (ψi,j,k ) δyy (ψi,j,k ) δzz (ψi,j,k ) ηin (n) (n) = + ψ + + + Qi,j,k . (3.11) cΔt i,j,k 2 2 2 For the BCs, the discretized equation is. 1 − Rψ (n) 1 + RJ (n) ψi,j,k + Di,j,k (δx (ψ (n) ) + ny δy (ψ (n) ) + nz δz (ψ (n) )) = bi,j,k , 4 2. (3.12).

(41) 3.5. LIGHT PROPAGATION NUMERICAL MODEL with δx (ψ (n) ) ≈. 27. ∂ ∂ δy (ψ (n) ) ≈ ∂y ψ(r, t) and δz (ψ (n) ) ≈ ∂z ψ(r, t) and nx , ny and nz being the components of the normal vector at the node (i, j, k) along the x, y , and z directions. ∂ ψ(r, t), ∂x. These equations put in matrix form are given by. AΨ(n+1) = BΨ(n) + Q(n) ,. (3.13). where A and B are banded matrices, each with 7 diagonals. The vector Ψ is the vector of node eld values (uence rate). These values are the unknowns of the problem that need to be determined and to each node of the computational grid is associated such an unknown. Solving Eq. (3.13) for Ψ(n+1) can be eciently done by resorting to an LU decomposition, and the LU decomposition of matrix A needs to be carried out only once, since it is the same matrix A for all time steps. The main advantage of the Crank-Nicholson method is the stability for any value of Δt, as for an implicit scheme, and the fact that it is second order accurate in both time and space [4, 67]. For these reasons, the Crank-Nicholson method is preferred here and will be used in the sequel, rather than the implicit or explicit methods.. 3.5.3 Blocking-o method In solving PDEs with the FDM, a regular cartesian grid is used for discretizing the object. In the case of boundaries that are aligned with the grid axes (rectangular objects), the BCs are then very easy to take into account, and these are the situations in which the FDM is mostly used. It is often conveyed that handling curved irregular boundaries is dicult within the FDM framework [42]. This is not so, as this can be done with the blocking-o method [5, 6, 79, 80]. Blocking-o rst consists in dividing the grid nodes into three categories : the nodes at the boundary, the nodes inside the medium and the nodes outside the medium. The nodes at the boundary and inside the medium form the active region and the others form the inactive region. For each node of the grid, a value is stored in a data array according to the category to which the node belongs. We chose these values to be 1 for nodes at the boundary, 2 for nodes inside, and 0 for inactive nodes (Fig. 3.1). This array allows creating the vector. Ψ. of unknowns in Eq. (3.13), based on the regular. grid of the FDM, by using only active nodes. To set up the system of equations that need to be evolved in time and that gives rise to the matrix equation given in Eq. 3.13, the.

(42) 28. CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. discretized DE (Eq. 3.11) is used for interior nodes, whereas the discretized BC (Eq. 3.12) is used for boundary nodes..

(43) .

(44) . Figure 3.1 object.. Example of the application of the blocking-o method for a 2D. 3.5.4 Boundary surface normal vectors computation - Sobel operator To determine the normal vector at each boundary node as required by the BC equation (Eq. 3.12), the Sobel operator borrowed from image processing [35] can be resorted to and applied to a 3D binary image of the object. The Sobel operator eciently computes an estimate of the gradient, which points into the direction of the normal. To achieve this, this binary image is set to a value of 1 at active nodes and to 0 at inactive ones. Then, for each boundary nodes, the normal vectors (nx , ny , nz ) are calculated using :. nx = Gx ∗ I,. (3.14). ny = Gy ∗ I,. (3.15). nz = Gz ∗ I,. (3.16).

(45) 3.6. RESULTS. 29. with Gx , Gy and Gz the three 3D Sobel 3 × 3 × 3 matrices (one matrix computes the component of the gradient along the x direction, the two others along y and z respectively). Details about 3D Sobel matrices are available in [35]. I is a 3 × 3 × 3 matrix containing the value of the current node and its 26 nearest neighbors on the binary images. For example, this method for a 3D mouse allows obtaining coherent values for the normal vectors (in red in Fig. 3.2) :. Figure 3.2. Normal vectors on the boundary of a mouse.. 3.6 Results The TD-DE numerical model described above was implemented in a computer code using the C++ programming language. The numerical model requires a solver for a 7-diagonal banded matrix system of equations. LU decomposition implemented in the sparseLU solver of the EIGEN library was used for this purpose [34].. 3.6.1 Comparison with Monte Carlo To validate the numerical model, the uence rate obtained therewith were compared with the uence computed with a Monte Carlo simulation carried with the MMCLAB software package that uses unstructured nite element meshes [28, 29]..

(46) 30. CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE . . . . . . . . . . . . . . . . . Figure 3.3 Positions of the source S and of detectors D1 to D6 within the slice shown in red of the cylinder. Two situations were considered : a cylinder of radius 10 mm and height 60 mm (Fig. 3.3) and a numerical mouse (digimouse model [27]) (Fig. 3.4). The optical coecients for the homogeneous cylinder are μa = 0.136 cm−1 , μs = 86 cm−1 , g = 0.9 and η = 1.37, which correspond to the optical coecients of skin [27]. The optical coecients for the mouse are provided as part of the digimouse model. . . . . . . . . .

(47)

(48). . . Figure 3.4 Positions of the source S and of detectors D1 to D6 within the slice shown in red of the mouse. For all simulations, Δt = 10 ps, with 100 time steps, and a step of 0.6 mm is used in all three space directions. The sources used are isotropic sources located as customary at a distance of one reduced scattering mean free path (1/μ s ) of the boundary inside the medium [43] and on the same slice as the detectors, which is the conguration corresponding to that of the scanner developed in our group [53]. For each situation, we solved the DE numerical model, performed Monte Carlo simulations and computed the absolute dierence between the uence rate obtained from the DE numerical model and the Monte Carlo simulations (Fig. 3.5 for the cylinder and Fig. 3.6 for the numerical mouse). The uence rates obtained with the DE model and with the Monte Carlo simulations are both normalized to the same value at the time of the peak of the DE model..

(49) 3.6. RESULTS. 31. 0. 0.5 Time (ns). 1. D4. −6. x 10. 0.5 0. 0.5 Time (ns). 1. D2. 0.5 0. 0. 0.5 Time (ns). x 10. 1. D5. 0.5 0. 1.5. 6. x 10. 1 0.5 0. 0. 0.5 Time (ns). 0.5 Time (ns). 1. 1. D6. −6. 1. 0. D3. −6. 1. −6. 1. 0. 1.5. x 10. Fluence rate (W/cm2). 0. Fluence rate (W/cm2). 2. Fluence rate (W/cm2). Fluence rate (W/cm2) Fluence rate (W/cm2). 1.5. −6. 1.5. Fluence rate (W/cm2). D1. −6. x 10. 4. x 10. 4 2 0. 0. 0.5 Time (ns). 1. Figure 3.5 Time-resolved curve proles of the uence rate for the DE numerical model (blue) and a Monte Carlo simulation (red) along with the absolute dierence (green) between the DE and Monte Carlo for various detectors of a homogeneous cylinder (Fig. 3.3).. 0.5. 0. 0. 0.5 Time (ns). Fluence rate (W/cm2). −6. 1.5. x 10. 1. D4. 0.5 0. 0.5 Time (ns). 1. D2. 0. 0. 1. 0.5 Time (ns). x 10. 1. D5. 0. 0.5 Time (ns). 1.5. x 10. 1 0.5 0. 0. −4. 0.5. 0. D3. −6. 0.5. −5. 1. 0. x 10. Fluence rate (W/cm2). Fluence rate (W/cm2). −5. 1. Fluence rate (W/cm2). Fluence rate (W/cm2). x 10. 1. Fluence rate (W/cm2). D1. −4. 1. 6. x 10. 0.5 Time (ns). 1. D6. 4 2 0. 0. 0.5 Time (ns). 1. Figure 3.6 Time-resolved curve proles of the uence rate for the DE numerical model (blue) and a Monte Carlo simulation (red) along with the absolute dierence (green) between the DE and Monte Carlo for various detectors of digimouse (Fig. 3.3)..

(50) CHAPITRE 3. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. . Figure 3.7. . Positions of slices A (axial) and B (coronal) in the numerical mouse.. DE. MMCLAB. 0. 0. 5. 5. 10. 10. 15. 15. x (mm). x (mm). 20. 20. 25. 25. 30. 30 35. 35 0. 5. 10 z (mm). 15. 0. 20. 5. 10 z (mm). 15. 20. −5. Absolute difference. x 10. 0. 1.6. 5. x (mm). 32. 1.4. 10. 1.2. 15. 1. 20. 0.8 0.6. 25. 0.4 30. 0.2. 35 0. 5. 10 z (mm). 15. 20. 0. Figure 3.8 Fluence rate map at t = 0.4 ns in slice A for DE and MMCLAB and absolute dierence (Fig. 3.7)..