Étude non-linéaire d'ondes baroclines longues forcées

(1)

•

"

)

1- • ,

(

ETUDi NON- L1NEA1RE DI ONDES BAROCLlNÈS LONGUES' FORCEES

"

,

.

par

.

'-

®

Alai. Patol.e

"'

\ 1 , 1 1

Cette th~se est présentée h la Faculté de recherche et des études graduées

')~-

r

comme

~des exige.ce. requi.e. pour le grade de Mattre ~8 Science.

Département de météorologie

(

Université McGi11

Montréal, Canada Mai, 1981

1 "

' ~--- - ~-- -1

.,

J

(2)

.

' (

.

","' , -ii-RESUME . " l

,ft

~ II_,,!.I' \', --.r _,,~_...

'/

l"

Il est démontré que la structure zonale des ondes. barocljnes' forcées, longues et de petite amplitude mais finie est gouvernée par une équation

d'é-~

volutio~ortewêt-de Vries (KdV) no~-homog~ne. Nous utilisons un mod~le com-portant deux couche s de' fluide hO!hog~ne.

Des études anatytiques et numériques indiquent que pour une topogra-phie localisée, la solution stationnaire peut ~tre soit localisée ou soit comporter un train d'onde stationnaire de longueur infinie. Nous démontrons

..

aussi pour certains cas l'exis~ence d'états stationnaires muJtiples. La sta-bilité de ceux-ci est testée numériquement.

,

Une série dl expériences sur 11 interacÙon dt une onde so11 t~ire avec une solution stationnaire l~calisée a aussi été menée. Il en ressort que

l!inter-,

action ressemble parfois ~ une interaction entre deux ondes solitaires; il y

a alors préservation de l'onde solitaire, et de llétat stationnaire. Dans cer-tains autres cas, l'onde solitaire se fissionne en p~usieurs ondes solitaires plus petites. Les Raram~tres du probl~me déterminent quel cas nous aurons.

En dépit de la simplicité du mod~le utilisé, nous croyons que ces résul-tats peuvent favoriser la compréhension ,du com'portement des ondes atmosphéri-ques ~ grande échelle.

•

\

,

(3)

'--..

-iii-ABSTRACT'

It is found that the zonal structure of long baroclinic forced waves 'of emaU amplitude but Hnite eatisfy an inhomogeneous Korteweg-de Vries (KdV)

-...

equation. We use a two-Jayer model. d

Numerical and analytical studies indicate that for localized topography,

"

-the steady state may be ei-ther localized or involve an Infinite Lee-wav.~ train. , In some cases, multip~ equilibria states are shown to exist. The stabilities of these are tested n~merically.

A series of experiments involving t~e interaction of,. a solitary wave l~ith localized topography i8 also carried out. lt is found that, depending on the \parameters of the problem, the interaction 8ometime~ resembles a solitary wa-~ves interaction in the sense that there ia preservation of both the solitary wave and the steady state. In other cases, the solitary wave will split into a series of solitary waves.

In spite of the simplicity af the model used, it ls belleved that these

(4)

..

.

'

.

, -iv-, (, /1

..

~RCIEMENTS _, ,-J \.)

Je tiens li remercier

sinc~f~ment

mon directeur de reclr T. Warn, pour m'avoir suggéré

~

trav'ail et gu1.dé

~out

au 1 g

he, le Dr.

de son 8C·

complissement. Ses consei 1s, critiques et suggestions furen d une aide inestimable_'et sont d' aille~rs largement reflétés dans ce't

0ï

rage.

(

Je voudrais aussi exprimer ma gratitude au Serviée de

,<

atmosphérique du gouvernement du Canada qui m'a accordê un ainsi qu'un 'support financier pendant

_.

le temps qu'a

1,

Finalement, mes remercrements vont ?l Louise Grondin qui a

environne1œnt l o g€ d'étude , e recherche • tracer " les figures.

/,

f/(I .1 ( <:

J

j 1

(5)

)

",

-v-ABlE DES MATIERES

Résumé Abstract Remerciements

Table des mati~res j ;,

Liste des figures

, \

Listeodes symboles , 1 Chapitre 1. IntrOÎuction

1

Chapitre 2.

ModU~ ~

de,1 c uches

"

_2.1 _Description

\ . "

"kD

2.2

EqUat~ons

'

~haPitre

3.

L'éqUat~on

,V forcée"

3.1 3.2 ---3.3 1 1

Défini~ionl

e échelles Probl~fne hl~J ProbUtne

hl'

l' , 1

..

Chapitre

4.

'Structure ri ionale'de l'onde et ';feoeffidien d l'équation KdV forcée

( 1

~4.1

Restrf,cti s sur le vent de base

.1

4.2 Cisa

₁

11e t horizontal faible 1

Chapitre S. Solut,ions na y tiques 'U,bres

/ 5.1 OndJ cnol: 5.2 Ondp soU Chapitre, 6. Solutions 6.1 Cas Unéa~ 6.2 Cas non- U Chapitre

7.

Méthode nu

tionnaires analytiques forcées

7.1 Présentati n de la méthode

7.2

Analyse de,s abi)ité linéaire

, 1

/

\. J

,

_\

~,

7.3 "Aliasing"\e instabilité non-linéaire

7.4 Vérification Interaction d' ondes s~.1itaire.s

(

'"

,

"'"

11 iii iv v vii ix 1 5 5 5 11

~

12 14 15 19 19 20 ' 30 30

.

/ 31 37 37 43

\

47

50 52 53 ~

(6)

'i 1

-v~;.~_

\ \

"

•

l ) ( ~,

\

Chapitre 8. Résultats

,

56 ,)

8.1 Solutions stationnaires localisées, ..l-\.sL~

7<:)

57

8.2 Solutions stationnaires non-lo'calisées, ..5L,Jt₃ -<0 63 8.3 Solutions ,6tationnaires multiples 66

\

8".4 Interaction onde solitaire-état stationnaire 70

1

f'-\

Chap1t<re 9. 1 Conclusion 83 Bibliographie ₈₅

l

'

I~""- ~ J .. \ /'

\

1 1 4- •

)

<r r .. h. , ~ !

(7)

'i

.

(\ Figure

2.1 Modêle l deux couches.

:-vii-LISTE DES FIGURES

Page 6 4.1

\Je)

et

"b

,

versus \j~ pour

f..:.

\~.~

,

~:.

<O.C

et f'O'\:

1.

23

4.2 UC)

e t " versus

Us

pour

f

~ \~.()

~~ c..~

et NI\=

~.

24 ,

.s.l . Interaction d'ondes solitaires. 33

5.2 Décomposition en solitons. " 35

6.1 Vitesse de phase et réponse linéaire en fonction du nom- 39 bre d'onde.

6.2 Parcours d'int'égration dans le plan de ~ complexe pour 42

l'intégrale (6.9). 1 d,.

L

6.3 Droites pour différentes valeurs de

c\~et

Ç\s\

pour

SL1,:.~.Ç) ~

46 selon (6.21) et (6.22). 1. '".

7.1 Interaction d'ondes solitaires.

(\S1, -::

1...~

')

~&~ .<0 ') ~\':. .~ ~

54

~.~,:=

-

LO

et ,..sL~ '1:

1...c> .

B.l Génération d'un état stationnaire localisé.

JL~";. 'l..ç')~':!-i..Q,

58

~~=1....() et ~(~:'~<':-1.."'/C\'). ~

8.2 Générat·ion d'un état 'ltationnaire localisé. ~\ ... ~Â"&. ~~:.1.,() et ~<'i\:. ~<:~~/C\).

8.3 Solutions des figures 8.1 et 8.2 h

'1:: ...

d...S.

8.4. Réponse l~néaire et non-linéaire. Jl..\ ~ SL_ô

=

1..().

8.5 Génération d'un état stationnaire n~localisé. JL\~

-i.<::>,

.st.~ .. ~a·

1...()

et ~<"y'\.,. ~ c...-~

")./'\ \ .

.

8.6 Amplitud~,du train d'onde stationnaire en fonction de

5\.').., et ~. ~~,. 1..~ et ~~ ':. ~ (.-'k'lfc() •

B. 7 Soluti~n de la figure B.5 l

1::::. ':.

<....~.

8.8 Solutions stationnaires ; : .. ~ples. ~':. .~ ") ..5l..,-:

1...S )

ll~-=(1...D et ~<:t-."\"& \...SS~S"'#.).

59

60 62 64 65 67 69

8.9

Interaction d'une onde solitàire négative avec un état

71

stationnaire posit1f~ (\~ ... -1.~ ~\

'::.

.<t ')

~':\.

'::.

s...~

-::.

1...()

et ~li\" ~ l-'1-."~1i\.

",)

\

8.10 Diagramme _{'k-~ pour l'intégratron de la figure}6.9. 72

~

A

_.,.

-

...

_

... ~..,

(8)

,

)

Il 1 , [ J ! ,

./

•

_{-viii ...}

"-8.11 Solution h différents temps pour l'intégration de la figure 8:9.

73

8.12 Déphasage de l'onde solitaire en fonction de sop ampli- 75 tude pour le cas: ~\ ~

.?' \

..)..~

..

~~

..

~.t) e t o.:s~'\ t ~<.-1

..

V'\).

8.13 Interattion d'une onde solitaire positive avec un état stationnaire positif. \\~ ';.1.:~:~

") .

.5l.\ ... 1...

S

J.. .... -1..~

.,g.~"'1..~ et

,<.'1.

_{1 ':}

~<:'1...'l.JI\). ., ~ ,

76

8.14 Diagramme

"'-'?:!.

pour l'in'tégratfon de la figure 8.13. 77

•

8.15 Solution h différents temps pour l'intégration de la 78 figure 8.13.

8.16 Amplitude du pic formé li 1::, ...

'?J:l.

dans la figure 8.13 en 81 fonction de l'amplitude de l'onde solitaire incidente.

" \

\

_\ "~'

.

' . / 1 :.J 1 1

(9)

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\)~)

\js

•

LISTE DES SYUBOLES

Amplitudes des ondes cno·idale et solitaire

Amplitudes des solutions analytiques forc~e8 'par les fonc-tions O<\'ll ) et ~ '4 (, )

Structure zonale de la solution

Amplitude du nombre d' oude

~

de la solution Vitesse de phase

Vitesses des ondes cnoldale et solitaire Nombre de Froude rotationnel interne

Façons de représenter la transformée de Fourier.

G

agit

sur une fonction de '" pour donner les coefficients de Fourier.

C' es t le con tr ai re pou~ \;;1..

Epaisseur totale du fluide. Echelle de haute'ur. Epaisseur non- perturbée-d'une couche de fluide Jacobien

\

Opérateur linéaire défini par 3.8. Echelle de longueur. Nombre de points de grille

Tourbillon potentiel Nombre de Rossby

Réponse du slst~me forcé au nombre d' onde ~ Echelle de vitesse·

Vent de base

.

~

Vent de base constant et cisaillement vertical du vent de base

Coordonnée d'espace longue

Petit param~tre. Grandeur du cisaillement horizontal du vent

de base. r~\

Coefficients de l' équaryon KdV forcée

(10)

• , "

~

~()

\~<.~

~ltt.l~lt)

~",(ti.}*,,~)

~

~O

" J('t\

~ti\ \.rl)~\~\'f.)

~<..i..l~)

G..c. )

c\s

(<..\

)~S\-,

-x-Constante gravi tationnelle ParsllJHre de Coriolis

'Valeur caractéri stique du paramlltre - \

Forme du cisaillement

horizo~al

du vent de base Hauteur perturb~e du fluide

Hauteur perturbée dt-une couche Nombre d' onde <

Nombre d' onde r~sonnant

Mode de la structure méridionale de l'onde

1

Indice de la couche de fluide

Fonction de forçage de l'équation KdV forcée

Amplitude du nombre cl 1 onde

~

de la fonction 'de forçage

longitudinale, latitudinale et verticale de la

l "

cartésiennes dans les directions est, nord et

Fonction de courant totale Topographie

Par_tres associés aux ondes cnoïdale et solitaire

Paradtres associés aux solutions analytiques forcée's par les fonctions .t..N\.'\<" ) et ~~<....

')

Facteur de tourbillon planétaire

1 -

,

Variation latitudinale du tourbillon planHaire Delta de Kronecker

Petit paraœtre. Grandeur de la perturbation ajou~ée au cou-rant de base.

Topographie

(11)

• 1 , • -'

..

' l> II .'

eH\

t:

..

. -xi-1

:~ Long~d'~d~

; !

Densité d'une couche de fluide' ,e Coordonné~

dé

temps lente

Structure méridionale de l'onde lin~aire

"~~\~",

c.;..)

~~. <.~

Jli

série de .puissances

..

Perburbation àjoutée ail courant de 1;Iase.

"

-~IC\<"~

en 8éri~ de

pu~ssan-~\\u.) ~

l1.

~

r Termes du développement de

-,..~ )-~) ~ ces de

f:.

. r .

-

.

w<..~

Fréquence angulaire

•

'..,1. V '

"q6.

Opérate\,1r Laplacien "

'1

... If> • 0 -c

\

,

..

"'I!t , Q ~

....

.1

,

" >. )

1

... "-,~-.,

.,

y ,

---...-..-

-

---

-_

..

_"

...

--

,\

..

1'.

(12)

'10:'

J"

. \

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

Il est bien connu que plusieurs

_..

syst~mes dynamiques p,?,~s~dent des

solu-,

~ ... 1

•

tions d'ondes longues, de pe

t..i

te' amplitude mais finie • Pour ces syst~mes,

o le fait d'approximer les équations du mouvement en considérant simultanément

"

ces deux limites (ondes longues et amplitude _, _. petit& mais finie ) conduit ~

.,

une équation d'évolution d'amplitude non-linéaire dont la forme dépend du sys-t~me étudié de même que des paramhres du prob1.~me.

e

1

Dans le contexte de la météorologie dynamique, la plus connue de ces' éq~ations d'évolution non-linéaires est l'équation ~V;' elle tient son nom des deux mathématiciens qdi la découvrirent

Q?J.

Korteweg et G. de Vries) dans le contexte des ondes l la surface libre d'un fluide hom0g~ne; c'était en 1895.

"

Un des faits les plus distincti~~ la propos de l,'\équation, KdV est qu'elle poss~de des soiutions analytiques permanentes. Celles-ci ont la propriété de se propager en préservant leurs formes; c'e,st pourquoi on les nomme ainsi •.

.

\

Elles suscitent un grand intér~t parce que leurs longueurs d'o,ndes ~ont telles qu'il y a une balance qui.s'établit entre le cassage des"ondes dQ l l'effet non-linéaire et l'effet dispersif.

4 , Les solutions permanentes de l'équation KdV sont connues sous les noms

d'ondes cnoïdale et ~olitaire. L'ond& cnoidale est périodique dans l'espace

..;.,

et l'onde solitaire, constituée d'une crête ou d'un creux u~ique, est une onde cnoïdale de période infinie. Les ondes solitaires sont parti:cul1êrement }nté-ressantes h cause de la propriété qu'elles ont d'interagir entre elles en pré-servant leurs identités_ Aussi, d'un point de vue mftéorologique, elles

s'ap-,.

/

(13)

• ,

-2- "

'l- •

p;,r~ntent

assez bien l un pMnoml!ne 10calis. co_ une Mpression ou un anti-

.)-~

.-:

J.:,;

cyclone.

Celui q~i fut le premier ~ appliquer ce concept d'onde non-linéaire l un fluide géophysique est L~ng (1964~. Il chercha des solutions d'ondes lon-gues stationnaires superposées l un courant zonal l cisaillement horizontal faible; en considérant une atmosph!re homog~nè et l'appro;imation du plan bêta, il obtint l'équation KdV stationnaire pour décrire la structure zonale de ses ondes. Larsen (1965) effectua des travaux similaires avec un courant de base plus général. Benney (1966) introduisit la dépendance par rapport au temps dans le probl~me et obtint l'équation

KdV.

Plus tard, Clarke (1971), allouant une variation topographique bÎéridionale et, utilisant J'approximation du plan b~ta, de m~me qu'un courant de base zonal barotrope, démontra que des ondes planétaires cnoïdales et solitaires pouvaient résulter du cisaillement horizontal du vent de base ou de la variation topographiq~ méridionale. Par ailleurs, RedekoPPr(~17) d~montra que l'amplitude d'une 'onde planétaire se propageant dans le sens zonal dans une atmosph~re h cisaillement horizontal

1

obéit l l'équation KdV ou mKdV (KdV modifiée) et que ceU dépend de la stra-tification atmosphérique. Le principal apport de son étude est qu'il

consi-d~re

1

'existenc~

de niveaux critiques; / . plus, le cisaplément horizontal

du vent de base qu'il

consid~re

est du même ordre que le vent de base lui-

~

même.

Dans tous les ouvrages pré-cités, le courant de base considéré a une structure barotrope. Des travaux ont' aussi été effectués ~ur des mod~les co~

portant une certaine bar~clinicité~ Hukuda (1979) obtint des solutions d'ondes

"

solitaires de Rossby pour un mod~le l de~ niveaux sans couche critique

ori-,.J

(14)

\ -3-; ,

S

\

Comme on peut le constater, ~'ucun des auteurs dont nous avons parlé n'a étudié le probl~me en incluant uneÎvariation topbgraphique zonale. Certains chercheurs ont considéré une topographie ~ variation lente; ce qui m~ne hune

.

'

équation d' évolutionP d' amplit.ude du' type KdV, mais 11 coefficients variables

'"

( " ,

(voir Miles (1979) et Knickerbocker et Newell (1980». Nous nous Bommes deman-dps dE' qupllpmanihe l'équati~n d'évolution d'ampli~~d~_d'une onde

non-linéai-re serait modIfiée Bi on considérait une topographie générale en posant les

~quations du mouvement. Nous avons dopc utilisé le mod~le l deux niveaux

éla-boré .par PhifliPS.<1951,1954) (aussi utilisé par Pedlosky (1964») et tntroduit une

perturba~ion

superposée l un courant de base zonal barocline de même qu'une topographie. Nous démontrons dans cet ouvrage que dans ce cas, l'équation d'é- ~

,

volution d'amplitude est une équation KdV forcée, le terme de forçage étant dO

l la, topographie.

En intégrant numériquement l'équa~ion KdV forcée \ partir d'un état ini-tial identiquement nul, nous avons trouvé que pour un forçage localisé (pro~ - duit par une montagne par exemple), la solution générée' évolue vers une

801u-tian stationnaire plus un certain nombre d'ondes solitaires plus un train d'on- •

"

de dispersif. L'état stationnaire est localisé ou non; cell dépend des signes des-coefficients de 1léq~ation KdV forcée. Dans le cas où elle est non-Ioca-lisée, la solution stationnairè se présente sous la forme d'un train d'onde

.

s'étendant l l'infini sur un seul c~té de la montagne.

Nous avons aussi démontré qu'l un syst~me donné peut correspondre

dpuy solutions stationnairps ; parfOit elle,s sont toutes deux l<lcalisées, parfois elles sont localisée et

non-Iocali~.

~

'"

,

Par la suite, nOus nous sommes intéressés aux phénom~nes d'interaction

,

(15)

-4- ~

'---.._-le cas d'une onde solitaire in~idente sur une solutiôn stationnaire forcée

,--et localisée a été étudié d'une façon extensive. Nous avons trouvé que dans certains cas l'onde solitaire est préservée tandis que dans certains autres cas elle se décompose' en 'Une série d'Iondes solitaires plus petites.

J

Nous croyons.qu'~ l'aide d'analyses appropriées, 11 devrait etre po~-sib1e d'établir une relation entre certains phéno~nes ondulatoires se pro-duisant ~ grande échelle dans l'atmosph~re et ceux qui sont ~crits dans cet ouvrage .è'

,.

)

,",,' /

..

-..

r

..

(16)

-5-CHAPITRE 2 . /

MODELE A DEUX COOCHES

Jt,..

11 est bien connu que pour d,écrire l'écoulement atmosphérique à l' éche lle planétaire, on est justifié de considérer une balance des forces à la fois quasi-hydrostatique et quasi-g~ostrophique. Tenant compte de ce fait, quand on considère un mod~le comportant deux couches de fluide homogène _superpo- ₍

~ s~es au-dessus d'une t~ographie, on peut ob~enir un système'd'équations

\

~.

du tourbillon qui en gouverne 1t

évo1ution (Ped10sky (l9?4.l979».

~:.

Le pré

~en

t e ha pi t re comprend une de 8e ri ptibn du modè 1 e a In 8 i qu 0 un

b~~POSé

sur la façon d'obtenir le système

d'équ:a~ions

du tourbillon.

Celui-cl sera le point de départ de l'analyse menant à l'équation KdV forcée (chapitre 3).

2.1 Description

;-, ~,

La~igure 2.1 est une représentation schématique du mod~le.

L'in-dice M prenan~ la valeur 1 dans la couche supérieure et 2 dans la couche inférieure,

H,...

est

l'épaiss~ur

non-perturbée d'une couche donnée,

~"'

sa densité et

~",(f(I~I\~

son éI!aisseur perturbée.

1..

~~l~

représente la topographie.

'"

Les axes et vitesses sont dirigés selon la convention météorologique habituelle (ri.. vers l'est, ~ vers le nord et ~ selon la verticale). Fi-nalement,

\/~

est la composante verticale locale de la rotation de la

terre. ,

,

2.2 Equations

~

Les équations du mouvement sont posées en considérant les

approxi-",'

(17)

-,'. ,!.I! - .'

1

/' .;;

~

/ /'

,

/' /

~

/' /' /'

,

/' /' /'

,

, /

-6-..

l\\

ltf..,~;t)

Figure 2.). Hodl1e 11 deux couches.

~ -,

,

" ~:; ~

.-/

/

1 , , ,

,

, , , , ,-, ,

y

...

\ ~

""

/

,

/ /

,

(18)

'" '

-7-"

mations suivantes: -Fluide non-visqueùx

-Approximation d'" annulus" -Equilibre hydrostatique

On a alors:

/

~

Mot -\-

-'lM. Jrrt\tI... -\-

:-r

Mo }.rrl\-'tr -\-

ur

Mo' 'wM ~

•

')

avec comme conditions aux limites:

)".~~.M.~ ~'~/IL

+

,J.J",

~~'lr ~

U>'l.

..u.

~

ri\.

ri.. -\-

~...

f'l\.

~::

\).f"

l..

..

_a à /' (2.1)

~1~

-\

JJ.",

~

-=

~~

(2.2)

----~~

1 1 1 1 -1

l

(19)

-

8-J

)

Ici,

A ,

Jor' et ~ sont les composante's g!1 vent et <V est la

cons-/,'~'l'ïr' )

tante gravitationnelle. ktapproximation du plan b~ta est appliquée en

, ,':t,

posant: M_

(2.3)

*' '

où ~, la yariation latitudinale du tourbillon pl~néta1reJ est égale à une constante et

\0

est la valeur

c'aractéristiqu~

du

para~tre

\ .

On non-dimensionnalise les variables comme suit:

~.

~<

(~)~),=, L(~\1)

~

-

\-\~

;

i

-

_-

(L/Ù)

i'

---r

[

i

+

R~\: l~

/1 '

.1

-

_-

_\i

% \-\ .

~J

/

"'",

(2.4)

~'" ~

I-\/il

G

1 +

R~

\;

\..~

~

i

\\N\

~\~J

'C~~ )}S"~)

U~

(AM

~ ~~)

US--rt\

-

R~

_L

\\ \}

ur

_-" _('{\\ \

fYl.

=

\-\

~~

rYl

\

~~-~\

,"cr

-

_-

_~

1;(,

-'

•

(20)

-9-1

, L

et \-\

/

,

u

sont les échelles de vitesse, de longueur et de hauteur;

Rb

-=-

o/~.l

est le nombre de Rossby. On re~place dans les équations du mouvement et l'approximation quasi-géostrophique ~st appli-quée en considérant le cas pour lequel

Ro«1..

Les variables dépendantes sont alors développées en séries de puissances de ce petit para~tre et on obtient ainsi un

probl~me

'A chaque ordre de

Ro.

Les équations du problème à l'ordre un ne font qu'exprimer le fait qu'à cet ordre, l'écoulement ~st géostrophique et non-divergent.

Le problème ~ l'ordre

Rb

conduit

à..

une paire

ci

1 équations du

tour-billon quasi-géostrophique. En laissant tomber les primes, on a:

[~+

i ..

~ -~~ [<1~i

..

+

f>~ -(;f)"'f",l\,-\J+~

...

~

,,0 (2.5)

~ ~~ ~~

Ici, on a fait usage de l'opérateur Laplacien ('V =btc..'2... .lr-'~ )

et du delta de 'Kronecker (~~. () ~~ -::. ~ ). De plu~, ~ (,facteur de tourbillon planétaire) et

F

C(\ (nombre de Froude' rotationnel interne) sont

définis comme suit:

..

{2.6)

Les fonctions de courant sont définies de la façon suivante:

.

(21)

. "

-10- .

< (

L'écoulement est limité au sud et au nord en imposant

comme/condi-1

aux limites: /

(2.8) .'

Le syst~me (1.5) est celui que nous allons considérer au chapitre 3. Evidemment, le probl~me est trop ardu pour qu'on puisse. trouver une

80lu-.

tion générale. Nous allons cependant montrer qu'en considérant certaines _, limites (ondes longues, etc ••• ), on peut séparer les variables et obtenir

\

deux problèmes, l'un décrivant la structure zonale de l'onde (équation

•

KdV) et l'autre sa structure méridionale.

J

• 1

.

,

, ,

(22)

~ ,.,',

"'"'r' ,

-11-CHAPITRE 3 L'EQUATION KdV FORCEE

S'i on linéarise.le syst~me d'équations (2.5) en posant:

't •

;1 .~~ _(3.1)

où

e.

est un petit param~tre et Ul:\ll<.~. Il s' av~re que west une

fonc-t • '

tien impaire de ~ ; donc, quand on développe en série de Taylor et qu'on

"-consid~re

la limite d'ondes longues

(~,:~O)

, on

p~ut ~preximer

par:

(3.2)

Il s'ensuit que dans ce.tte limite, i l existe une solution plus

1

générale dont la forme est donnée par:

%"

.

~rL, ~,Ï\

=

~

t

UJ~') ~r +'tJ~~

\\(ti.,'I.')

où (\

lN.):.)

satisfait l'équation KdV linéaire suivante:

"-(3.4)

On peut voir que l'équation (3.4) possède une relation de disper-sion identique à (3.2)'et que le terme ayant Comme coefficient

C>\

est

"1

celui qui produit la dispersion.

:)

(23)

,1"

,

112-, ,

Ainsi, en considérant la limite d'ondes longues, il est possible de garder dans le problème seulement l'effet dispersif dominant; celui-ci est représenté dans l'équation d"volution' d'amplitude par le terme

-~, ~rJ.~tf..,

• De la

~me

façon, quand on

consid~re

des ondes

d'a~plitu-,r •

de petite mais finie (théorie de faible non-linéarité), on peut garder

,

dans le probl~me l'effet non-linéaire dominant qui va produire un terme

non-linéaire d~ns l'équation d'évolution d'amplitude.

Il y a donc, pour les, solutions de l'équ~tion KdV non-l~néaire, une balance entre l'effet dispersif et l'effet de cassage des ondes dB au terme non-linéaire. Nous allons considérer le cas pour lequel il y arune balance entre ces deux effets e~ celui dO à la topographie; ainsi, nous trouverons une équa~1on d'évolution d'ampH,tude KdV non-linéaire forcée.

La procédure employée >est similaire à ce,lle (ftivie par Hukuda (1979) pour le cas non-forcé.

3.1 Définition des échelles

Nous appliquons' d'abord la limite d'ondes l_ongues et posons ensuite 'une nouvelle échelle pour la topographie. On a donc:

Î

.,

où

(3.5)

Ainsi, les effets de dispersion et ceux dBs à la topographie sont éliminés du probUme li l'ordre ~nj de la même façon, quand on conàidère que l'écoulement est composé d'un co'urant de base plus une perturbatiôn

q.

de petite amplitude mais finie, on en élimine l'effet de non-linéarité.

On pose:

, ,

(24)

-13-l}

~

'" ('1-:

'ls

,'l;!

1 ~

-Ill '" (. {\

4-

+

t

~

'"

(i.,

'ht<.)

o~

(3.6)

~ci, ao'us avons ti'os'é que le variation de la perturbàtion se fait

",,-• _ f ~

sur une échelle de ~emps lente. C'est en fait le seul cas qui nous

in-,

téresse puisque c'~st celui pour lequel 11 y 8 une interaction signifi-~

eative entre la perturbation et la topographie. Pour l'instant, nous

1

, • t

allons prendr~ pour ac~uis qu'i~ existe un mpde normal stationnaire pour

le problème à l'ordre un.

een

nous oblige h imposer une restriction'sur

,

le vent de' base pour que ce mode normal puisse exis~er. Ce,pendant, nous verrons plus loin que, cette restriction Peut @tre élargie, car il peut aussi y avoir interaction quand la vitesse de phase de la solution ~ l'or-dre un' est suffisamment petite; l'équation d'4volutio~ d'amplitude sera 8lbrs généralisée pour tenir compte d-e"_ce fait'. En su1'Jstituant (3~5) et

(3.6) dan; (2'.5), on obtient:.

,

.

,

- t.

(~ ["l"'~i

-

(.(f",

~ ~

...

-~~

+

Ur4\

l

\J)~'k~

+

ç",,~

Q)

'J,.

(3.7)

~

J

[III""

'Il,," -

<':l)"'F",

l

~~'II~]

t

(Jl~~)

0 ,

J

oh:

(3.8)

(25)

..

\ " l: 1

t

-14-lei, la

quan~i,té ~~

.. est le gradient du tourbillon potentiel

~

" '

(~dlOSkY(1964,

1979» et

J"{~)~):~~ t·~ ~

;~)

est l'opérateur Jacobien. On voit que dans (3.7), les effets dispersif, non-linéaire

-===----ainsi que celui

dO

à la. topog~aphie apparaissent tous trois

.

l

l'ordre

'-, ~

o

~

ce qui justifie le choix. des échelles que ~nous avons fait en posant

.

~

(n..

et

(3.9)

..

\

_"'"

'

En

remplaçant (3.9) dans (3.7), nous ob,tenons un~ séqijence de pr~ blèmes. Le

probl~me

à

l'oràrë un de

cett~ s~quence'possède

une

sol~~on

d'onde' dont l.~ structure zonale est indétermin~e. C'est en considérant ie problème' à l'

ord~e ~

"Qu'

0I!

pourra la connattre· en imposant une con-dition d'existence à la solution.

\ 1

3.2 Probrème h l' ordr.e un.

, E~ ne retenant que les .termes d'or~re un, on· a:

.r '

(3.10)

'~ous supposons une solution de la" forme:

(3.11)

(26)

0

; "

-15-'.

En remp1açant--(3.,ll) dàns (3.\0) on trouve que

~M.l~

doit sa-tisfaire le système suivant:

' -

_!",

_(~\

_~'D

~ ; (3.12)

,

.

~ft\: ~~):: ~

li

~

-;:

~)

1-'""

tl

Ici, la condition aux limites prov,ient du fait qu'on a limité , '

1 récoulement au nord et au sud. Le système (3.12) détermine la struc-'

J .,

ture méridionale de l'onde. Théoriquement, quand on connait

Ù~~~)

,

on peut t,rouver

~~

t~

,

mais, en général ce n'est pas une tAche facile. Nous, abordons ce sujet au chapitre 4,.

3.3 problême l I ' ordre

'è \

c'est le probl~me l ce~ ordre qui doit nous ~nduire l l'~quation KdV forcée. Nou~ avons:

"'-Quand on remplace la solution trouvée l l'ord~e un, on obtient: " u

.,

.. / ,

.

\

'...:"

"

(27)

..

/

-16-.

..

1~ (~~'\) "'~ù~

1 ~.: ~'l;

(3.14)

- b",'l.

U",.cL,/-

+

~~~1~'~:

(\(\'!-,

' o '

A ce stade, nous allons utiliser la relation d'orthogonalité ad-.. jointe associée

~

l' opérateur linéaire

"i..,S ).

Pour deux paires de

fonctions quelconques

n...""

et

\r~

satisfaisant la condition aux limites

<l.M,\\\

0:

~~

l~

-=

~

1

\~C)~

,

celle-ci 8 'exprime de la façon

suivante:

~~~

C

(3.15)

rN\

: l\)

\

'l~

En utilisant cette relation avec 6.. -:

'Y

~

et

~""

W"''J.

<.').)

\

M\. 11\

une condition _d'existence pour~,... Elle s'exprime:

nous obtenons

,-L'équation KdV forcée découle directement de la relation (3.16); on peut la poser comme suit:

(28)

-17--~, r , ,

{\~

+

.J..~ t\~'f...

.9-

ô

~ '1.:x.

'k -:::

~~0J...'\

(3.17) 1 1

~~" ~!

~~

f-

(\"'kJ

,!

""

~~

-'-.Q

C't'\, C)

\l

If\.

Jt \\

JI\ ~~~

~

. r

~(t\

~M ~~

~

~<:) ~ () _(3.18)

, .

1-\<..~,

l~J ~~~~

,

_~C) 0

"

~~~r~

,

~:

~~

-

~

_"\

.

~

Dans le cas où ~a topographie est identiquement égalé l zéro, le terme de droite disparatt et

onobtie~t

l'équation KdV. Dans, ce

ças,) .

notre ~sultat se ram~n~ à celui obtenu par Hukuda (1979).

On

voit qu'en

';),.

-ajoutant une topographie d'ordre

t, :

un terme de forçage indépendant du temps est ajouté.

L'équation KdV forçée, quand on peut la résoudre, donne la forme qu'une onde de Rossby doit av~ir quand il y a résonance linéaire avec

..

", la ~opographie et que cette résonance est contrebalancée par lès effets non-linéaire et dispersif. Dans l'analyse que nous venons de faire, nous

prenons pour acquis qu'u?e onde linéaire doit ~tre exactement

station-car

qu'il y ait résonance , Cel~ n'est cependant pas nécessaire

N;.-EH:re·~ia

vitesse de phase soit suffisélmment petite. _,

_.

Dans une variante plus générale du développement qui ~récède, une

J , \

-\

:, , " ,/

J

(29)

! " perturba~on d'ordre (3.6) devient: -18-/

au vent de base. Al ••

~"~atlon

1- .

~"' ('h)~

,'1:.) ,. •

l .

[U ...

l>\i)H

V

1'\.

(~~

cl\*

t 1\1 ...

(.'I..,'I!

,'t'.1

(3.19)

o

De cett,e façon, on considère que' le vent de base est, tel que la vitesse Ide phase de la solution à l'ordre un n'est plus exactement égale

~ zéro, mais est plutet d'ordre

E.

(c'est' à dire, du ~me ordre que la vitesse de la solution. du probl~me à l'ordre

E.).

En refaisant l'analyse, on trouve que celà n'affecte en rien le

probl~~e

à l'ordre un. Cependant, dans le problème l l'ordre

t, ,

on se retrouve avec un terme en plus dans l'équation KdV forcée. ,Celui-ci s'écrit )..,~ , où:

1.

'(3.20)'

~\:

;., %.

~.1 ~J

~

\j ...

~:~

-\-

~"'\'\

\-

(;:i)'"

F~

l

\JI -

\f

~

}lt .

Alors, l'équ'ation KdV forcée devient:

(3.21)

c'est cette version de l'équation que nous allons étu~r. Co~

on le verra, le terme .sl\~ , conjointement avec le terme 9....

Ç\

,

déter-3 ",x.~

mine le ca~actère de la solution'stationnaire de (3.21). Cependant, avant de chercher h solutionner celle-ci, il faut d'abord résoudre le problème aux conditions limites de l'équation (3.12) et de là, déduire les valeurs des coefficients de l'équation KdV forcée. Le chapitre 4 trai,te de ce sujet. Nous revenons l l'équation KdV forcée dans les chapitres subséquents.

""

(30)

--L19~

CHAPITRE 4

STRUCTURE MERIDIONALE DE LIONDE ET

COEFFICIENTS DE LrEQUATION KdV FORCEE

Au chapitre 3, nous avons vu que pour détermine~. complètement la forme

de l'onde, nous devons d'abord r~soudre le probl~me aux conditionit'Jlimites du

Byst~me

d'équations (3.12); nous conntttrons ainsi sa structure méridio-nale et, serons en mesure dl évaJ,.uer les coefficients de l'équation KdV forcée. La structure zonale.de l'onde sera alors trouvée en solutionnant cette

der-" ,1

nière.

('C

Dans le ~résent chapitre, nous tra.itons du probl~me aux conditions

,

limites et des coefficients de l'équation KdV forcée. Dans la section 4.1, _, nous établissons les r~stri9fions qui doiven~ ~tre imposées sur le vent de base. -A la sect·ion 4.2, nouS verrons quel type de solution et quelles valeurs de coefficients on ob~ient pour un profil de vent ~ cisaillement horizo~-tal faible.

4.1 Restrictions sur le vent de base

A cause du fait que nous avons pris pour acquis quli! existe un mode normal stationnaire comme solution du'problème ~ l'ordre un, on 'n~ peut avoir n'importe quel courant de base; il nous faudra en tenir compte.

,De plus, nous ne voulons évidemment considérer que des'~nf1gurations

dU"vent de base qui sont stab"les. Selon, Pedlosky (1964,1979), la stabilité du vent de base est assurée si le gradient du tourbillon potentiel, défini au chapitre 3, est partout du m~me signe. Nous nous intéresserons donc

(31)

-20-!

J-,

.

.~

seulement aux profils de vent pour lesquels cette condition es1:"'r'emplie.

"

Finalement, la vitesse du courant de base doit être partout diffé-rente de zéro; ce1à nous garantit que le problème linéaire (à l'ordre un)

\

.

est rfgulier.

Il serait souhaitable qu'on puisse établir certains critères géné-raux à propos des types de profils donnant une solution et des valeurs des coefficients de l'équation KdV forcée en résultant. Il semble cepen-dant que ce soit impossible à moins qu" on ne restreigne notre étude à cer-taines catégories de vents de base,~our lesquelles le probl~me se slmpli-fie que lque peu.

~.2 Cisaillement ho~izontal faible

,<

La démonstration qui suit, quoique plus générale, est en grande partie similaire à ce Ile de Hukuda (1979) .. On pose:

(4.1)

où:

:: Ù

o'

US'

,~

sont des constantes.

..

'

-

1s-<~1.

-.

\;~

sont des fonctions artitraires de

~

soumises à certaines

j

contraintes que nous allons spécifier plus loi'n.

'7

Comme on l'a expliqué

p~écédemment,

pour-

q~'

problème régulier, nous devons avoir:

.

,

". linéaire soit \

(4.2)

(32)

'.

-21.-::/

De plus, notre condition suffisante de stabilité s'exprime cÔffime suit: ['

Ds (

(~/r~)~a(~)

pOUT

U

-)0

\ :)

\jsl-l~/~\)

-()lL-)

pour

Ù

5(

0

(4.3) ~

Quand on remplace

(4.1)

dans, ~3.l2). on oh tien t:..

[\Jo

-1-<;;:, • ..'\

~

+

~\J

[t.

'!r~

-<.-\""

r"l

~

...

-It>~

(4.4)

)

+~"' [~-

(.-1)"1'",

\\S -

~\"'ls'!r

-'\-l-i\'

l'",

~\,-~~ ~

a

On développe alors

~

/tI.\~}

en séries de puissances du petit

para~-, "

tre ~:

• (4.5)

(

. .1

_,

En remp1àçant (4.5) dans ,.-(4.4), obtient un prob1~me pour chaque .ordre de

~

• A l'ordre un, on

à:

(4.6)

<" La solution de ce système d'équations

_.

est:

'

.

(33)

"

\

-22-•

(4. B)

F

~

\l()

t

\\5)

d: -

~((~'l:t.I']

l

~

-1-

(<. ...

11:\'\\;(

<.. ...

11:](,,<>.)

H\\"'l'q~

0-

~~'l:l"'[ (O.-.~

...

,..f' ] \

".l.. -

':I.l--.r)'I.

[~

...

nrJ

(4.9) La aecond;

e.preS~l\n

noua donne

U.

en fonction de

1iJ.

tandis, que la

premi~re

nous donne " en

fonction~

de \lo et

Us .

On peut

d~duire

immé-diatement que:

.

,

(4.10)

A l'autre bout du spectre des valeurs acceptables de

Ù

_{s '}

detx possibilités se présentent, soient:

.

,

O·

_')

(4.11)

,,-Dans le cas où

f~)l"",)/~,

UC)

est toujours positif entre

llS':.Q;

et

US"

~/F

. Dans les graphiques qui suivent, sont représentées les valeurs de

U:

et ..

\1:,

ai.nsi que les valeurs de_'6 correspondantes, en fonction de

,UsfC)

pour

f-::~,:~.()

et

~<...().

On remarque que dans ce cas,'1>our

rtr\":I1.,

on a

r~/~T.)"l'l..

,

tandis que c'est le contraire pour

N'f\''l.. .

Ainsi, dans le premier graphique de \Jo en fonction de

Us ' U

_{o est toujours positif et} dans le second,

tJ

_o

prend des valeurs négatives pour certaines valeurs

d~

(34)

l '

04 ,0.3

0.2

_~ \\\T~f'

0.1

0

1

, J

-1

~

~--~--~--~--~~~~---4Us

0.1 0.2' 0.3

004,

0.5 •

" ~

1-

_0,.~1~-=0T=.2~a:::;:.3=---=O:;....4~'..;::O:;:::5:.-_u

s " ",

Figure 4.1 ~~ et ~ versus

Us

pour

f ':

\~.~, '~~ <'.0 ~t M\.C

1..

-)

J

,)

(35)

, / -24-~' .f

'.h

U

_o

U

_\ 0

0.2

~

<

...

"l'}'i'

0.1 ('t",

., !

ri ; ...

0 -0.1

If

-0.2

'----,

'---"- ~ ~ ,\~

')

"(U+ )

0 , ", , '

1

_~

"(U~

)

'TI 0.2 03 OA as

US

Il,;

1

•

Figure 4.2 U~ et

'6

ve.rsus, ~,pour r=\l.~

,

,~$(..~ et ('('(\: ~.

J' ,_

~

""

(

j

(36)

-25-Us .

Evidenunent, la valeur

Ua'

:lS

est inacceptable puisqu'en ce point:

\

Il est intéressant de remarquer que le cas de la figure

.

_,

4.2 est le , mêl!ie que pour

t{(\~ 1. , ~

':1:

~.c

et

~~

i.Ç .

De plus, notons que

f ':

i.~.Ç) , .

.

et ~ -:

<0.<:>

sont des v~eurs tout à fait appropriée,S ~quand on a une échel-, le horizontale de longueur de quelques milliers de kilomètres.

Al' ordre.\r , on a:

(U

6

+~

.. \

\ls) [

~:~~

-<:-i)"'

r"J

,~-~~\\~

+

~~ [~

-

(--{)"'.F",

\lJ

, ' , ,

.~~

[-\

..

-F", l\.-\~ ]

(4.12)

"-Afin que la condition aux- limites du syst~me (4.12) soit sat,i,faite, i l nous faut poser une condition d'elCJstE;nce qui s'applique de la façon'

,

-habituelle en se servant du .problème' à l'ordre un. Celà nous donne, par lé fait ml!me, la

r~s~rict10n

qu'on doit

~vOir, ~ur ~It\vt) p~ur

que la

so-I

lution du problême linéaire soit stationnaire. Cette condition d'existence

..

s'exprime comme suit:

"

Il v.1·de soi qu'en posant chacune des fonctions

\l'f\(~)

comme étant une certaine fonction de ~ plus une constante, on peut toujours ajuster'

(37)

-26-les constantes pour satisfaire (4.13) . . par exemple, ''On@ourra vérifier , qu'e!1 posant:

(4.14)

,If'

la .,re1ation (4.13) est satisfaite.

Avec ceci

:n

main, on

~ouira

aussi verifier qu'on peut

ca1cul~

en laissant tO,mber

le~ermes

d',ordre

~,

les coefficiept-!i

~C)

et

~:..

,-Afin .de simplifier les expressions, nous posons encore une foi,.s

t,

-:~\.

...

_.

f

j , , "~ on trouve: ,

~

ri

~~:~)~'

+-f

(~.15) (4.16)'

Noton's que pour F\-::f~":.F toute l'équation KdV forcé~ peut être'

mu1t~p1iée par

F

et on obtient le résultat ci-haut. Donc, quand on a un profil; de vent ~ cisaillement ~orizonta1 faible, pour lequel, la condition • suffisante de stabilité est remplie,

~b

et

~'l

sont toujours positifs et

s l t en

génér~1

d

~oiare

un. Cependant, en examinant l'expression que noua avons obtenu pour~, on se rend compte que ce 'coefficient est nécessai-'" 'rement

d'ord~e ~

quand le cisaillement horizontal du

ven~

de base èst

faible. En fait, en laissant tomber les termes dfordre

~,

on trouve:

(38)

":c

..

-27- 0

(4.17)

Si on choisit

~ct. (~\

_{te 1 que donné par (4.14) et qu'on}

"

pose

ri'::

fl."

f

et fW\1C1.. ~ l'expression (4.17) devient:

.J

1 P ' , .5L').. '::.

~k

G=\)s~e

+

,,~

- FUs+

(3

l-j~4.18)

3Tl..C)

t

Ùo-\-~s)~

\Je:

,1 J ,

Pour le Dl~me ~s et ~'I.').,., on trouve ~~':. 0 ; ce qui implique que

.~",

est d'ordre

1,."a.. •

Cependant, d'un point de vue météorologique', (V(\-:.1..

est le mode qui présente 1~ plus d'intérêt; en effet, pour les autres modes, la vitesse ainsi que le tour~i1lon associés au cour~t de base sont nuls à

un ou plusieurs endroits à t'ravers le 'canal.

" \

Nous avons calculé JL,.. pour "les valeurs de \) ,

U

o et

'b

de la

U-r S

gure 4.1. Dans le tableau qui suito , nous ne donnons que le signe de .Jl..~

11

résultant de ce calcul, puisque c'est ce qui nous intéresse en premier lieu. Comme l'expression (4.18) l'indique, le signe de

Jt~ dépe~d

du signe de

~

..

En anticipant quelque peu sur ce que nOU8 allons couvrir 'au~hapitre

1

5,

nou~.

constatons que dans le cas

pure~~t

borot,.r0pe

t"":

1) ,

notre ré sul-"

tat se ramène 1l celui de Long (1964). En effet, pour un courant de base à

cisaill~ment horizontal faiblf!, celf.Ji-cF trouva ·une solution d'onde solitaire positive (négative), quand le tourbillon assoc,ié au courant de base est

légl-"

",

,rement négatif (positi.f). De même, comme on

le

verra au chapitre 5, nous avons une onde 8olitair~ positive (négative) comme solution de l'équation KdV non-forcée qU3nd ."g"'),,

<.0

lJ\.'),,)

01 ..

e~ ~'l),t:::>~

(39)

..

'\

.

1 •

.,

_,

•

.,

"

~,..~~ ~- ï~

-\)t)

~

ù:

Il

-:·0-1

o

,()

F:

\~.() 4 \ ~-;: (..()

.

'b)

~.

~'j~O

N'I\-:

1

,

.

_.,

-" ~)()

_-

,

.

'\: \::) '-- [ \

l~

1

;~d. <~

.

~6.>~

\

-TQURBILLON(O

. .

2. , ~ _.-/'

,

4 ~

i

1) '\ 1 _\ / ~

~{é

....

• -.

.

.:::-.

~

\.

.

~

.. 'tc)

~ _,

~~<a

1 :

.TOUR8ILLON)o

c

.

S'igne de

-?-~

en fonction de

~

,et

'b .

,. t.

.:,~

v

~

~I

(

~ ~ ... ~ , (

.

'

..

, 1 _\ _' _ _ _ _ _ _ _ _ ~1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~~·_

(40)

l' .

-29-Nous venons' de d~montrer que dans le cas, p:j.en pt'i~c:Cs que nous avons

• J

consid~ré, .5L1) et

Jt...a

sont toujours positifs tandis que J)..~ peut' être

posl---....

tif ou négatif et que cel~ d~pend du profil de vent de base. Cependant, il semble bieq que dans le cas général, ces trois paramètres peuvent prendre une vale,ur positive ou négative. Quant à

Soi'

i l est évident que cette quan-tité peut ~tre choisie positive ou négative.

Pour ce qui est du terme de forçage, nous allons cdrtsidérer que.l'am-plitude de la, fotfction

CL('k)

1 peut êt~e ramenée à un en choisissant le

pare-o

r

\

mètre

E.

d' une façon appropriée; de plus, i l est évidént que cette fonction peut pr~ndre les aeux signe,

Dans les chapitres qui viennent, n0';1s allons seulement étudier les cas . pour lesquels

~~)tl

. et

~<:J.'))è.

Il est facile de

démont~er

que'

l~

solution d'un, autre cas L~~<'c e~/ou \<.~)<~)', peut être d~duite de la solution d'un cas pour lequel ~~).<:) ét ,(:J..·'i)D. Par exemple, supposons qu'on veuille con-nartre le comportement de la solution ~our le cas \~i)<.o li partir d'un cas

,l'1..)'l~. On 8:

~'"è.

T

~\~",'-\- ~~

\\Ç\'1. -

~~ \\'1..X~

-

\~

(1.)

'.' (4.19) , ' 1 (4.20)

,~ci ~) est une fonction positive et on suppose qu'on connart 'le com-,

portement de la solution pour ni importe 2u~~le valeur de.st, et~". On peut

~ .f

donc déduire

,~\"k~)

l partir de

,~.l1.)j).

ptI'-' •.

~

\ " Il IL , \ ' , . ,,' -'

(41)

f

\ '

"

-30-CHAPITRE 5

SOLUTIONS ANALYTIQUES LIBRES

k

/

Dans ce chapitre, nous allons présenter deux types de soiutions ana-lytiques de l'équation KdV non-forcée; l'une est périodique dans l'espace

"-(onde cnoïdale) et l'autrè localisée "-(onde solitaire). Ce dernier type de solution pos~fde des propriétés très intéressantes que nous allons décrire bri~vement.

"

5.1' Ondé cnoïdale

Sa forme est donnée par:

(5.1)

L'onde cnoïdale tient son nom de le fonction elliptique ~ • Sa longueur d'onde est donnée par:

..

₁

où: (5.2)

où:

Quap,d on remplace (5.1) dans (3.21) en posant

~(.,q::(Y,

on obtient: (5.3)

"

...

--.-...--

,-_ ... -_--.._~---...

(42)

-31-(5.4)

A,chaque '{sIeur de ~ correspond une fonction différente. Une fois'

"

cette quantité fixée, une ceTtaine amplitude correspond à une certaine vi1 tesse. C'est Il un phénomène courant en théorie non-linéaire n'ayant aucun

équivalent linéaire. "

L'onde cnoYdale est stationnaire quand:

.Jt..1. -\-

0 ~

~

.]

't"~a

l1. -

~ ~?)

J

(5.51

", '

Celà implique, par le fait même, 'que l'amplitude de l'onde cnoYdale stationnaire est donnée par:

\

5.2 onde solitaire

'3

~ ~'

<...

.s.\~ \)~~)

~

.. (1.

-i~~)

\

La solution d'onde solitaire est donnée par:

~

f\l~~::,I\ ~as~ (t-c.s~~

+

D

(5.6)

"-(5.7)

~s

est l'amplitude de l'onde et

~~

est un par!ltœtre contralant Q '1

sa largeur. Plus C\S est grand.

plu~

1

r~nde

a

u~,e

for:me aiguë. Qdant l

;..

-

.

J

,Cs'

c'es'î la vitesse à laquelle l'onde se dépla e. '

Quand on remplace (S.7) d.n. (3.21; en J a n ;

,\~"f,.\7·'\)

•

on obtient:

.

_.

,/

~J/"

,\

(

"

, " "

(43)

,--,~

c\'à.

t

-s

~S

-

.sL\

+

-32-"

\

_\~

_.s\.

_ô _"-"

D~~

+

Ç\~~~

'3

~"."."

""-~4

/ ," (5.8) (5.9)

.,

On peut

v~Iifier

que la solution d'onde

solitai~stftonnée~ar

la

",",'

.,

solution d'onde cnoïdale dans la\imite oh ~:.

1..

C'est "donc une Hnde 14!

cnoïda1e de période infinie (d~ par (5.2».

\

Dans le cas de l'onde solitaire, quand on fixe son amplitude, on dé-termine par le fait ~me sa largeur et sa v'itesse. En 'utilisant (5.8) et

(5.9), on trouve que la solution d'onde solitaire stationnaire est donnée par:

(\ (-k)=

~ 3(~\~~,'lj ~

[~~~~~v~

'r \)

(S.lO)

'"

,

On peut ici faire le lien avec ce que nrus avon~dit au chapitre 4 \

l propos de la relation entre le signe de ~'I\. et celui de l'onde solitaire dans le cas o~ le cisaillement horizontal du vent de base' est faible.

Ii

faut se rappeler q : d-ans ce cas,

~~:,C);

ainsêi la vue de (,5.8), on se rend compte que quand

.sté),.

<0 (~C) l'onde solitaire ne peut être que positive (négative).

Le

fait le plus caractéristique l propos des ondes solitaires de l'é-quation ~V es.t qu'elles ont la _{propriété, d'interagir entre élles, en} pré-~ servant leurs identités.

On

appelle les ondes solitaires ayant cette

pro-> ,

ç •

priété: SoU.1ns. Imaginons qu'?! un temps

don~é

nous ayons> la situation,

C

,

(44)

.

-33-....

.w

...

o·

_0)

::>

1-\ -.J (

a..

f{'

2:

«

( f - ~

~

'

-}x

,,'

.,.

r---~----~--~--~x

..

1 nteraction

b)

.

,

/ '

1

1 /,'

,

1 1 /

(®

...

CD //

,

/ ,> '

/

1 ,/'

_'/

/

/,'

_,

,

1 1

/

/,,'

1 /

/ /

1 '/

/,'

1

"

_/

p

"-..

₁ /

"

/

L

"-"

'fi

.

~

.

\

Figure 5.1 Interaction d'ondes solitaires •

a) Position initiale.

..

b) Diagramme ~.t:

.

(l

J 'l, \ ' .:..,t"

(45)

-34-1

des vitesses différentes, vont se rapprocher l'une de

l':~utre

et il va 't' avoir interaction. Ultérieurement, l'onde ~ va se trouver h l'ouest de l' oQde ~. ~endant l',interaction, l'onde de plus grande amplitude est pro~ jetée vers l'ouest tandis que l'autre est projetée dans la direction oppo-sée. On peut quantifier le ~phasage subit par les deux ondes; il est donné respectivement pour l' onde ~ et

®

pAr (Whitham (1914»:

",

~ ~Sd 4.,~";).

i

-a.

i

_.1..

~

[

~$\

+

cl,s~J

(5.11)

-~~

~~\ - ~s ..

~ol..~~

_~~\,

_-

_~~~

f

Dans la figure 5.lb, nous avons indiqué ~es trajectoires des sommets des ondes solitaires en traits discontinus longs. Les tràits discontinus courts indiquent les trajectoires qui auraient été suivies pa,r les on4és

soUtai-/

res s'il n'y avait pas eu d'interaction.

Il va de soi que lorsque (~\-\-t).l.~) est positif et 'suffisamment gran~, une opde ou les deux vont" se déplacer ver~ Pest; alors, ce qu'on vient de dire , demeure valide pourvu qu'on ait toujours l'onde de plus grande amplitude h

l'est de l'autre.

Une autre facette de l'équation KdV non-forcée qui présente beaucoup

"

d'intér~t est ce qu'il est convenu d'appeler la décomposition en solitons

1

d'une condition

init~al~

quelconque. Par exempJ.e-;J si on pose comme condition initiale une fonction de

'J..

localisée et\qu'on laisse passer le temps, cette

,,"-.,

-fonction vs évoluer graduellement vers un certain nombre de solitons plus un train d'onde dispersif. Dans le cas otl Sl..~O, 'il s'av~re que toutes les ondes solitaires se'_,d~p1acent l une vitesse plus petite que t1.\Jf~JI.~ tandis que tout le train d' o!ltje se déplace l une vitesse supérieure ~ \,l.\~~~~. Nous

présen-\f

(46)

,

-,

...

0--'. ,

''t:::Q

-35-1 1 1 1

,

1 1 1 1 •

---~---L-J---~--~----~x

_{• 1}

X=Q

W Cl :::J 1-....J

t: :::

t:~

a..

2:

<i X 1 1

'I.~~'r

...

~

't~

.;

"

'---...

'---Figure 5.2

.

D~campos~ tian en so!itbns

U i',

--..

~

(47)

•

.-

-36-•

peut le, voir, apr~s la décomposition, les solitons sont arrangés par ordre de ,

grandeur; le meneur étant le plus grand; de cette façon, la distance entre ceux-ci s' accro~ indéfinirœnt. Pour qu'il y ait création de solitons, i l faut que la situation initiale remplisse

"

nous ne nous attarderons pas l cell pour

certaines'conditions; cependant,

~

l'instant; disons simplement

qw:

dans certains cas, il,n~y aura pas de, soliton, génér'; i l n'y a alors qùe for-mation d'un train d'onde.

La littérature traitant des deux phé~œnès dont on vi'ent de parler est abondante; nous ne donnerons qu'une seule réfêrence: Miura (1976); Ion 'Y trouve (avec détails et fondemen(j mathématiques) ce que nous venons d'ex-pliquer.

/

\

(48)

fi

..

,

,...

-37-a CHAPITRE 6 " l '

SOLUTIONS STATIONNAIRES ANALYTIQUES FORCEES

Nous sommes particuli~rement intéress~s par la ou les solutions sta-tionnaires de l'équation KdV forcée associées l une fonction de forçage 10-caÙsée (Le.

\<.~\~O

pour

\'k\+

ac). Il s'avhe que certaines de ces

solu-'- - 4

tions sont elles aussi localisées tandis que d'autres sont non-localisées; elles comprennent alors un train d'onde statibnnaire s'établissant sur un· _-...

se \\1 ceté de la' montagne.

~

Afi~ de mieux comprendre la relation de cause l effet qui existe entre

---les coefHcients de l'équation et le type de solution stationnaire obtenu,

,

nous allons. d'abord considérer une version linéaire de l'équation KdV forcée.

"-

..

Dans cette limite, la relation est clairement définie. Par 18 suite, nous

1

allons présenter une solution analytique de l'équation non-linéaire.

OeIl

nous permettra de voir qu'en pré~nce d'un terme non-linéaire, la fronti~re

(dans l'espace des para~tres) entre les cas d'états stationnaires localisés et ceux non-,localisés se trouve déplacée par rapport au cas linéaire.

6.1 Cas lipéaire

-En laissant tomber le terme non-linéaire de l'équation KdV'"fc;rCM

1 '

on a:

".

_,

/

(6.1)

La relation de dispersion associée l l'équàtion linéaire non-forcée est donnée par: .

(49)

Il ,

-38-(6.2)

Ici,

l\

et

c::

représenteht comme d'babit-ude le n'ombre d'on.de et la vitesse de phase. Nous allOns nous intéresser h' la solut1.on stationnaire , de l'équation (6.1)., Nous utilisons la transformée d .. Fourier dt's variables;

\

par exemple, nous avons Piur ~t'#.)

:

(6.3)

!(

On a une e'xpression ana1fftue pour

f\(~).'

Quand on remplace dans (6.1), c,>n obtient:

...

'

(6.4)

~