L18 [V2-VàC] – Équations du second degré à coefficients réels ou complexes

9

Équations du second degré à

coefficients réels ou complexes

18

Leçon

n°

Niveau Première S (mise sous forme canonique, coef réels, résolution dans R) ; Terminale

S (coef réels, résolution dans C) ; BTS groupement A (coef complexes).

Prérequis nombres complexes, définition et propriétés, polynôme, trinôme, résolution

d’équations, fonctions du second degré.

Références [20], [49], [56], [57], [58], [59]

18.1

Premières définitions et mise sous forme canonique

18.1.1 Définition d’une équation du second degré

Définition 18.1 On appelle équation du second degré à coefficients réels (resp. complexes), une équation du type

ax2+ bx + c = 0 avec (a, b, c) ∈ R3_{(resp. C}3_{), a 6= 0} (E)

Exemple 18.2 2x2− 3x + 1 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels.  18.1.2 Mise sous forme canonique

Théorème 18.3 Pour tout trinôme f : ax2 _{+ bx + c avec a 6= 0 et (a, b, c) ∈ R}3_{, il existe deux} nombres α et β tels que :

f(x) = a[(x − α)2_{− β].} Cette écriture est appelée forme canonique.

Dv

•Démonstration —_{Comme a 6= 0, on peut écrire}

ax2+ bx + c = a  x2+ b ax+ c a  . On reconnaît le début du développement de x+ b

2a
2 avec x2+ b ax. En effet  x+ b 2a 2 = x2₊b ax+  b 2a 2 , d’où x2+ b ax=  x+ b 2a 2 −  _b 2a 2 .

Ainsi : ax2+ bx + c = a  x+ b 2a  −_4ab2₂+_ac  = a"x+ b 2a 2 −b2_4a− 4ac₂ # = a[(x − α)2_{− β] avec α= −} b 2a et β= b2− 4ac 4a2 •

Exemple 18.4 Mettre sous forme canonique2x2− 6x − 1. 

Dv •Solution —On a : 2x2 − 6x − 1 = 2  x2_{− 3x −}1 2  . x2− 3x est le début du développement de x −32
2.

 x₋3 2 2 = x2 − 3x +9₄ x2_{− 3x =}  x₋3 2 2 −9₄. Ainsi : 2x2− 3x −1₂  = 2"x−3₂ 2 −9_{4 −} 1₂ # = 2"x₋3 2 2 −11₄ # . et on trouve : α= 3 2et β=114. •

18.2

_{Résolution dans C des équations du second degré à coefficients}

réels

18.2.1 Discriminant

Définition 18.5 On appelle discriminant de l’expression ax2+ bx + c, avec a 6= 0, le nombre ∆ = b2_{− 4ac.}

18.2.2 Résolution

Théorème 18.6 Soit l’équation ax2+ bx + c = 0, avec a 6= 0, de discriminant ∆. Si ∆ > 0 l’équation a deux solutions réelles distincts x1et x2:

x1 = −b−_2a√∆ et x2 = −b+√∆ a

18.2 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels 11

On a : ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2). Si ∆ = 0 l’équation admet une solution x0 = − b

2a.

Si ∆ < 0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : x1 = −b− i √ −∆ 2a x2 = − b+ i√−∆ 2a . Dv

• Démonstration — Soit l’équation ax2+ bx + c = 0 (avec a 6= 0 et (a, b, c) ∈ R3_).

L’équation s’écrit : a " x+ b 2a 2 −b 2_{− 4ac} 4a2 # = 0.

On pose∆ = b2_{− 4ac, elle s’écrit donc}

a " x+ b 2a 2 −_4a∆2 # = 0, soit à résoudre : _ x+ b 2a 2 −_4a∆₂ = 0 car a 6= 0.

Si ∆ > 0 alors ∆ est le carré de√∆ :  x+ b 2a 2 − √ ∆ 2a !2 = x+ b 2a+ √ ∆ 2a ! x+ b 2a − √ ∆ 2a ! . L’équation s’écrit : x+ b 2a+ √ ∆ 2a ! x+ b 2a − √ ∆ 2a ! = 0. Donc soit x+ b 2a + √ ∆ 2a = 0 ou soit x +2ab − √ ∆ 2a = 0 et ainsi : x= −b− √ ∆ 2a ou x= − b+√∆ 2a . Si ∆ = 0 alors x + b

2a
2−4a∆2 = 0 s’écrit x + _2ab
2= 0. Ce carré est nul si et seulement

si, x+ b

2a
= 0, soit x = −2ab.

Si ∆ < 0 pas de solutions réels mais en passant par les complexes, ∆

4a2 est le carré de i √

−∆ 2a

et l’on revient au cas∆ > 0.

•

18.2.3 Exemples de résolution

2. Résoudre, dans C, 2z2+ 10z + 25 = 0.



Dv

•Solution —

1. Soit à résoudre2x2_{− 5x − 4 = 0. Le discriminant de l’expression 2x}2_{− 5x − 4 est}

∆ = 25 + 4 × 4 × 2 = 25 + 32 = 57 > 0. Donc l’équation 2x2_{− 5x − 4 = 0 admet}

deux solutions :

x1=5 +₄√57 et x2=5 −₄√57.

2. Soit à résoudre2z2_{+ 10z + 25 = 0. Le discriminant de l’expression 2z}2_{+ 10z + 25 est}

∆ = 102_{− 4 × 25 × 2 = −100 < 0. Il y a donc deux racines complexes :}

z1= −10 + 10i_{2 × 2} = −5₂ +5₂i = 5₂(−1 + i)

z2= −10 − 10i_{2 × 2} = −5_{2 −} 5₂i.

Ne nous arrêtons pas en si bon chemin. Calculons la forme exponentielle de z1et z2. Tout

d’abord, on calcule le module de z1et z2:

|z1| = |z2| = 5₂p12+ (−1)2=5√2₂ . On calcule maintenant l’argument θ1de z1:

z1 |z1| = cos θ1+ i sin θ1= e iθ1 = 5 2(−1 + i) 5 2√2 = − √2 2 + √2 2 i donc : cos θ1= −√22 sin θ1=√22 ) ⇒ θ1=3π₄ (mod 2π). Donc : z1=5√2₂ e3iπ/4.

Pour z2, son argument θ2est tel que :

z2 |z2| = cos θ2+ i sin θ2= e iθ2 = 5 2(−1 − i) 5 2√2 = √2 2 − √22 i donc cos θ2= −√2₂ sin θ2= −√2₂ ) ⇒ θ2= −3π₄ (mod 2π) et ainsi, z2= 5√2₂ e−3iπ/4. •

18.3 Applications 13

18.3

Applications

18.3.1 Nombres consécutifs

Déterminer deux nombres entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés est221. Dv

•Solution —On forme l’équation :

n2+ (n + 1)2= 221 ⇔ n2+ n2+ 2n + 1 = 221 ⇔ 2n2+ 2n + 1 = 221 ⇔ 2n2+ 2n − 220 = 0 ⇔ n2+ n + 110 = 0

Le discriminant de l’expression n2 _{+ n + 110 est ∆ = 1 + 4 × 110 = 441 > 0, d’où}

√

∆ =√441 = 21 et il y a deux solutions pour l’équation n2_{+ n + 110 = 0 :}

n1= 1 + 21₂ = 11 et n2= 1 − 21₂ = −10.

•

18.3.2 Périmètre et diagonale d’un rectangle

Soit ABCD un rectangle dont la diagonale[BD] mesure 15 cm et le périmètre P du rectangle vaut42 cm. Quels sont les dimensions du rectangle ABCD ?

15 cm PABCD= 45 cm A B C D Dv

•Solution —Soit L la longueur du rectangle (ce qui correspond à la mesure du côté[AB]) et ` la largueur du rectangle (ce qui correspond à la mesure du côté[AD]). ` et L vérifient le système d’équations suivant :

     2(` + L) = 42 `2+ L2= 152(d’après le thm. de Pythagore) (`, L ≥ 0, ` < L) ⇔ ( `+ L = 21 `2+ L2= 152 ⇔ ( L= 21 − ` `2+ (21 − `)2= 225 (2)

On résoud l’équation(2) :

(2) ⇔ `2<sub>+ (21 − `)</sub>2_{= 225 ⇔ `</sub>2<sub>+ `}2

− 42` + 441 − 225 = 0 ⇔ 2`2− 42` + 216 = 0 ⇔ `2− 21` + 108 = 0.

Le discriminant de l’expression `2− 21` + 108 est ∆ = 441 − 432 = 9 > 0 donc√∆ = 3 et l’équation(2) admet deux solutions :

( `1=21+3<sub>2</sub> = 24<sub>2</sub> = 12 L1= 21 − 12 = 9 et ( `2= 21−3₂ = 18₂ = 9 L2= 21 − 9 = 12.

Or L > `, donc les dimensions du rectangle ABCD sont `= 9 cm et L = 12 cm. •

18.3.3 Nombre d’or

Soit R un rectangle. On note Q(R), le rapport de la longueur avec la largueur du rectangle R. Soit R1le rectangle ABCD de longueur L et de largueur `. On trace un carré AEF D (qu’on nomme C) avec E ∈ [AB] et F ∈ [CD] puis on obtient le rectangle EBCF (qu’on nomme R2). On dit que R1 est un rectangle d’or si Q(R1) = Q(R2) (on notera Φ = Q(R1)). Quelle est la valeur exacte de Φ ?

R1= ABCD C = AEF D R2= EBCF A B C D E F Dv

•Solution —On forme l’équation :

Q(R1) = Q(R2) ⇔L ` = ` L− ` ⇔ L(L − `) `2 = 1 ⇔ L2− L` = `2⇔ L2− L` − `2= 0 On noteΦ =L

`, on peut diviser par `2(car ` 6= 0) :

⇔ L 2 `2 − L ` − 1 = 0 ⇔ Φ 2_{− Φ − 1 = 0.}

18.3 Applications 15

Le discriminant de l’expressionΦ2_{− Φ − 1 est ∆ = 1 + 4 = 5 > 0. Donc :}

Φ = 1 +₂√5≥ 0. À noter qu’on trouve une autre solution de l’équation :

˜Φ = 1 −₂√5<0. Comme le rapport L

` est positif, on prend juste la valeur deΦ. •

18.3.4 Intersection d’une parabole et une droite

Soit f : R → R x 7→ x2 2 − x − 1 et g : R → R x 7→ x + 1 .

On note Cf (resp. Cg) la courbe représentative de la fonction f (resp. g). Quelles sont les coordonnées

des points d’intersection de Cf et Cg?

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 6 0 A B Dv

•Solution —On cherche les coordonnées des points d’intersections A et B des courbes Cfet

Cg. Trouver les coordonnées des points d’intersections revient à résoudre l’équation f(x) =

g(x).

f(x) = g(x) ⇔ x

2

2 −x− 1 = x + 1

Le discriminant de l’expression 2x2_{− 3x − 3 est ∆ = 9 + 4 × 3 × 2 = 33 > 0. Donc}

√

∆ = 33 et l’équation admet deux solutions : ( xA=3+√33₄ yA=7+√33₄ et ( xB= 3−√33₄ yB =7−√33₄ . •

18.4

Résolution d’équations du second degré à coefficients

com-plexes

18.4.1 Résolution

Théorème 18.8 L’équation az2 + bz + c = 0 avec (a, b, c) ∈ C3 _{et a 6= 0 admet deux solutions} (distinctes ou confondues) :

z1= −b_2a− δ et z2 = −b_2a+ δ où δ2 = ∆ = b2_{− 4ac.}

Dv

•Démonstration —_{Soient a, b, c ∈ C et a 6= 0. On considère l’équation :}

az2+ bz + c = 0. (18.1)

On met l’équation (18.1) sous la forme canonique :

(18.1) ⇔ a  z2+ b az+ c a  = 0 ⇔ a  z+ b 2a 2 +c a− b2 4a2 = 0 ⇔  z+ b 2a 2 = b2− 4ac_4a2 . On pose∆ = b2_{− 4ac et w = z +}b 2. D’où : (18.1) ⇔ w2= _4a∆₂.

Soit δ une racine carrée de∆, les deux solutions de (18.1) sont donc :

z1= −b_2a+ δ, z2= −b_2a− δ.

•

18.4.2 Un exemple

18.4 Résolution d’équations du second degré à coefficients complexes 17

Dv

•Solution —On obtient : ∆ = (3 + 8i)2

− 4i(13 + 13i) = 9 + 48i − 64 − 13 × 4(i(1 + i)) = −55 + 48i − 52(i − 1) = −55 + 52 + 48i − 52i = −3 − 4i.

On cherche δ = a + ib tel que δ2_{= −3 − 4i. On a : δ}2_{= a}2_{− b}2_{+ 2iab et |δ|}2 _{= a}2_{+ b}2_.

De plus |∆| =√9 + 16 = 5. On en déduit :      a2+ b2= 5 a2_{− b}2= −3 2ab = −4 d’où      a2= 1 b2= 4 ab= −2 On trouve ainsi les racines de∆ :

δ1= 1 − 2i et δ2= −1 + 2i.

D’où :

z1= (3 + 8i) − (−1 + 2i)_2i =4 + 6i_2i = 3 − 2i;

z2= (3 + 8i) + (−1 + 2i)_2i =2 + 10i_2i = 5 + i.

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/

wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://

bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/

~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL : http://}

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/

marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.

xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_

JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.

http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

BIBLIOGRAPHIE 21

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[48] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[49] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[50] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[51] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[52] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[53] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr

[54] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[55] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.}

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[56] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[57] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[58] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp