colles PTSI 13

R. DUPERRAY Lycée F.BUISSON PTSI

Colles n°13 : Mécanique 12/05/2021

Exercice n°1 : Trajectoires dans le champ de gravité d’un astre

On considère un vaisseau spatial ponctuel de masse m et mobile par rapport à un astre de masse M (Mars par exemple) de centre O. La constante de gravitation est notée G. La distance entre le vaisseau et le centre de l’astre est _r. On se placera dans le référentiel galiléen lié à l’astre.

Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon r₀ décrite à la vitesse v₀. a) Exprimer la relation existant entre r₀,G, M, v₀.

b) On allume le moteur pendant un bref instant, de sorte que la vitesse varie, mais pas la distance au centre de l’astre. Evaluer la vitesse v₁ qu’il faut communiquer au vaisseau pour qu’il échappe au champ gravitationnel de l’astre en fonction de v₀.

c) Le commandant de bord dispose d’un « budget vitesse » Δv égal à 4v₀. Cela signifie que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesse n’excède pas 4v₀.

Le commandant utilise tout son budget d’un seul coup en amenant sa vitesse à 5v₀. Evaluer sa vitesse finale (à l’infini) en fonction de v₀.

Exercice n°3 : Changement d’orbite

Le mouvement d’un satellite artificiel de la terre est étudié dans le référentiel géocentrique ℜ_g supposé galiléen. Ce référentiel a pour origine le centre O de la terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles éloignés et fixes. La terre tourne, dans ce référentiel, autour de son axe avec une période de révolution T et une vitesse angulaire Ω. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique, sa masse m est négligeable devant celle de la terre.

On désignera par M_T et R_T respectivement la masse et le rayon de la terre. G est la constante de gravitation universelle et g₀ l’intensité du champ de pesanteur : On donne : R_T= 6370 km, g₀ = 9,8 m.s-2_{,T = 86164 s.}

Le satellite _S est en orbite circulaire

( )

B rasante de rayon R_T autour de la terre, on veut le transférer sur l’orbite géostationnaire

( )

G de rayon R_G. Pour effectuer le transfert, une variation brusque de vitesse est communiquée au satellite en P par éjection d’un gaz pendant une durée très brève et dans le sens opposé de la vitesse du satellite. _A son arrivée en A, on communique au satellite le supplément de vitesse qui lui permet de sa stabiliser sur l’orbite géostationnaire.

a) Dans quel plan particulier se situent les trois orbites ? b) Calculer la vitesse vB du satellite sur son orbite basse.

c) Calculer le rayon RG de la trajectoire du satellite en orbite géostationnaire et sa vitesse vG.

d) Exprimer l’énergie Em du satellite sur l’ellipse de transfert. Calculer sa valeur pour un satellite de masse m = 1000 kg. En déduire le supplément de vitesse _ΔvP qu’il faut fournir au satellite pour qu’il passe en P sur l’ellipse de transfert et le supplément de vitesse

ΔvA qu’il faut lui fournir en A pour qu’il se cale en orbite géostationnaire. Quelle énergie faut-il fournir en P et A pour réaliser le transfert du satellite ?

e) Quelle est la durée de ce transfert ?

Exercice n°5 : Fusée

Exercice n°6 : Attraction gravitationnelle

Exercice n°7 : Balle et tige

Une balle de masse

_m

= 2,59 g

et de vitesse initiale

v = 374,5 m.s

−1

rentre en collision avec un tige au

repos de masse M = 3,00 kg et de longueur

ℓ = 2,00 m

. La tige peut tourner librement autour

d’un axe qui passe par son centre de masse avec

J

tige

= Mℓ

2

₁₂

_{. La balle se fige dans la tige à}

ℓ 3

par

rapport à son centre de masse (cf. figure). En

conséquence, la tige peut se mettre en rotation.

a) Déterminer le moment cinétique du système

balle-tige. Penser à utiliser la conservation du

moment cinétique.

b) Déterminer l’énergie cinétique de rotation du

Exercice n°9 : Tige

Une tige uniforme de longueur

_L

et de masse

_M

est attachée à l’une de ses extrémités par une liaison pivot sans frottement et est libre de tourner autour de ce pivot. La tige est lâchée sans vitesse initiale à partir d’une position horizontale (cf. figure).

a) Quelles sont l’accélération angulaire initiale de la tige et l’accélération linéaire initiale de l’extrémité droite de la tige ? Que vaut la norme de la force exercée sur la tige par le pivot à cet instant ?

b) On place une pièce à l’extrémité droite de la tige et on la lâche. La pièce reste-t-elle en contact avec la tige ? Dans le cas d’une réponse négative, où faudrait-il placer la pièce pour qu’elle reste en contact ?

c) Déterminer la vitesse angulaire de la tige lorsqu’elle atteint la position verticale ainsi que la vitesse linéaire de l’extrémité de la tige pour cette même position.

Exercice n°11 : Poulie

Exercice 12 : Pendule pesant

Le solide de la figure ci-contre est libre de

tourner autour d’un pivot parfait qui passe

par le point

_O

et qui est différent de son

centre de masse

_CM

. Si l’on écarte ce solide

de sa position d’équilibre, il va se mettre à

osciller à la manière d’un pendule simple.

Cependant, il n’est plus possible de traiter

ce solide comme un point matériel, c’est

pour cela que l’on parle de pendule pesant.

a) Imaginons que le solide soit lâché sans

vitesse initiale avec un angle

_θ

₀

. Déterminer

l’équation différentielle du mouvement qui

gouverne l’évolution de l’angle

θ

par

application du théorème du moment

cinétique.

b) Retrouver cette équation par une

approche énergétique.

c) Dans le cas de petites oscillations, résoudre l’équation différentielle précédente.