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Devoir Maison 06

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

DM06: Suite périodique /

Correction

Exercice n°123p137.

On donne la suite

( )

u

n , définie pour tout entier

n

par :

0 1 1 1 3 1 n n n u u u u + =   −  =  +a) 1 1 1 0 3 1 u − = = + 2 0 1 1 0 1 u = − = − + 3 1 1 2 1 3 1 2 u − − − = = = − + − , on retrouve la valeur de 0 u 4 1 1 0 3 1 u = − = + , on retrouve la valeur de 1

u , puisqu'on a fait le calcul à partir de

3 0 u =u 5 0 1 1 0 1 u − = = − + , on retrouve la valeur de 2

u , puisqu'on a fait le calcul à partir de u4 =u1...

b) Soit

n

un entier naturel. Démontrons que un+3 =un. 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 3 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 6 2 1 2 3 1 3 1 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u u u u u + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − + − − − − + + = = = ÷ − + + + + + − − − + = = − + ÷ + + 1 1 2 3 1 n u + × × + 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 3 3 3 1 1 1 n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u + + + + = − − − − + + − + + + = − = − × − + − + 3 3 n u − − 4 1 3 1 n n u u − − = + 3 1 n u × + 4 4 4 n n u u − − = = −

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