DM06: Suite périodique /
Correction
Exercice n°123p137.
On donne la suite
( )
u
n , définie pour tout entier
n
par :
0
1
1
1
3 1
n
n
n
u
u
u
u
+
=
−
=
+
a) 1
1 1
0
3 1
u
−
= =
+
2
0 1
1
0 1
u = − = −
+
3
1 1 2
1
3 1 2
u
− − −
= = =
− + − , on retrouve la valeur de 0
u
4
1 1
0
3 1
u = − =
+ , on retrouve la valeur de 1
u , puisqu'on a fait le calcul à partir de
3 0
u =u
5
0 1
1
0 1
u
−
= = −
+ , on retrouve la valeur de 2
u , puisqu'on a fait le calcul à partir de u4 =u1...
b) Soit
n
un entier naturel.
Démontrons que
un+3 =
un.
1
2 1 1 1 1 1
3
1
2 1 1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1 3 1 1 3 1 3 3 3 1
1
3 1 3 1 3 1
3 1
3 1
2 2 6 2 1
2
3 1 3 1 3 1
n
n n n n n n
n
n
n n n
n
n n n
n n n
u
u u u u u u
u
u
u u u
u
u u u
u u u
+
+ + + + + +
+
+
+ + +
+
+ + +
+ +
+
−
−
− + − − − − + +
= = = ÷
−
+ + +
+
+
− − − +
= = −
+ ÷ + +
1
1
2
3 1
n
u
+
× × + 1
1 1
1
3 1 3 1
1
1
3 1 1 3 1 3 1
1
3
3
3
3
1
1
1
n
n n
n
n n n n
n n
n
n
u
u u
u
u u u u
u u
u
u
+
+ +
+
= −
− −
−
+
+ − + + +
= − = − ×
− +
−
+
3
3
n
u
− −
4
1 3 1
n
n
u
u
−
− = +
3 1
n
u
× +
4
4
4
n
n
u
u
−
−
= =
−