HAL Id: inria-00528071
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Raccordement de développements asymptotiques pour la
propagation des ondes dans les milieux comportant des
fentes
Patrick Joly, Sébastien Tordeux
To cite this version:
Patrick Joly, Sébastien Tordeux. Raccordement de développements asymptotiques pour la
propaga-tion des ondes dans les milieux comportant des fentes. Séminaire de Mathématiques et de Physique
Appliquées, INSTN, CEA, 2005, Saclay, France. �inria-00528071�
Raccordement de développements
asymptotiques pour la propagation
des ondes dans les milieux
comportant des fentes
Patrick Joly et S ´ebastien Tordeux
Une application typique
Comment peut-on étudier la diffraction des ondes
dans les milieux incluant des
fentes minces
?
source
onde
réfléchie
transmise
onde
Un problème physique avec deux longueurs
caractéristiques
La
longueur d’onde
Une application typique
Comment peut-on étudier la diffraction des ondes
dans les milieux incluant des
fentes minces
?
source
onde
réfléchie
transmise
onde
La difficulté numérique
Un pas de maillage plus petit que
Quelques références
- Fentes minces:
Harrington, Auckland
(1980),
Tatout
(1996).
- Différences finies:
Taflove
(1995).
- Théorie des plaques, théorie des jonctions,...
Ciarlet
,
Le Dret
,
Dauge
-
Costabel
.
- Développements asymptotiques raccordés:
McIver, Rawlins
(1993),
Il’in
(1992).
Un problème simple
Equation des ondes
scalaires
:
Régime
harmonique
:
Equation de
Helmholtz
:
in
Un problème simple
Solution
sortante
à l’infini:
pour
grand
Condition aux limites de
Neumann
(mur rigide)
sur
Un problème simple
Solution
sortante
à l’infini:
pour
grand
Condition aux limites de
Neumann
(mur rigide)
sur
Une simulation numérique
Dirichlet
Neumann
Simulation numérique effectuée avec le code éléments finis
d’
ordre élevé
(
M. Duruflé
, INRIA)
Une simulation numérique
Dirichlet
Neumann
Une simulation numérique
Dirichlet
Neumann
Une simulation numérique
Dirichlet
Neumann
Objectifs
Développer des méthodes de calcul
précises
Introduction d’une
zone de transition
Une technique appropriée: les
développements
asymptotiques raccordés
Définir de
nouveaux modèles approchés
permettant de
calculer la solution.
Maîtriser l’utilisation de techniques “universelles” de
calcul numérique (raffinement de maillage).
Objectifs
Développer des méthodes de calcul
précises
Introduction d’une
zone de transition
Une technique appropriée: les
développements
asymptotiques raccordés
Définir de
nouveaux modèles approchés
permettant de
calculer la solution.
Maîtriser l’utilisation de techniques “universelles” de
calcul numérique (raffinement de maillage).
Objectifs
Développer des méthodes de calcul
précises
Introduction d’une
zone de transition
Une technique appropriée: les
développements
asymptotiques raccordés
Définir de
nouveaux modèles approchés
permettant de
calculer la solution.
Apports aux rac. de dév. asympt.
Reformuler les
principes de raccord
(pas toujours
clairs) proposés par l’école anglo-saxonne.
Justification mathématique de cette technique.
Méthode
inspirée
des techniques multi-échelles
Existence et unicité
des termes des
développements asymptotiques.
Apports aux rac. de dév. asympt.
Reformuler les
principes de raccord
(pas toujours
clairs) proposés par l’école anglo-saxonne.
Justification mathématique de cette technique.
Méthode
inspirée
des techniques multi-échelles
Existence et unicité
des termes des
développements asymptotiques.
Trois zones
Champ lointain
(champ 2D)
Champ proche
(couche limite)
Trois zones
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Trois zones
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Trois zones
Champ lointain
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Trois zones
Champ proche
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Trois zones
Champ de fente
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Trois zones
lointain et proche
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Trois zones
de fente et proche
Les
hypothèses asymptotiques:
.
Les temps de la méthode
Dérivation
des développements asymptotiques:
Partie
formelle
Les temps de la méthode
Dérivation
des développements asymptotiques:
Partie
formelle
Plusieurs présentations possibles
Description
des développements asymptotiques
Partie
rigoureuse
Définition
des termes de développements
Les temps de la méthode
Dérivation
des développements asymptotiques:
Partie
formelle
Plusieurs présentations possibles
Description
des développements asymptotiques
Partie
rigoureuse
Définition
des termes de développements
asymptotiques
Validation mathématique
du développement
asymptotique
Partie
rigoureuse
Estimations d’erreur
Les temps de la méthode
2
Dérivation
des développements asymptotiques:
Partie
formelle
Plusieurs présentations possibles
1
Description
des développements asymptotiques
Partie
rigoureuse
Définition
des termes de développements
asymptotiques
3
Validation mathématique
du développement
asymptotique
Partie
rigoureuse
Estimations d’erreur
Champ lointain
Contexte asymptotique:
.
Champ lointain
Contexte asymptotique:
.
Pas de
normalisation
:
Champ lointain
Contexte asymptotique:
.
Pas de
normalisation
:
Champ lointain
Contexte asymptotique:
.
dans
Champ lointain
Contexte asymptotique:
.
où les
vérifient l’équation de
Helmholtz homogène
Champ de fente
Champ de fente
Le contexte
asymptotique
:
.
La
normalisation:
Champ de fente
scaling
Le contexte
asymptotique
:
.
La
normalisation:
Champ de fente
scaling
Le contexte
asymptotique
:
.
La
normalisation:
Champ de fente
scaling
dans
Champ de fente
scaling
où les
vérifient l’équation de
Helmholtz 1D
:
Champ proche
Champ proche
Contexte
asymptotique
:
La
normalisation
:
Champ proche
Contexte
asymptotique
:
La
normalisation
:
Champ proche
scaling
Contexte
asymptotique
:
La
normalisation
:
Champ proche
scaling
Contexte
asymptotique
:
La
normalisation
:
Champ proche
scaling
Champ proche
scaling
où les
vérifient l’équation de
Laplace (in)homogène
.
si
ou
Ordre 0 :
,
,
Champ lointain:
Chercher
tel que
dans
sur
Ordre 0 :
,
,
Champ proche:
dans
Ordre 0 :
,
,
Champ de fente:
exp
dans
Ordre 1 :
,
,
,
,
Approximation
de la solution exacte :
Ordre 1 :
,
,
,
,
Forme explicite de
Ordre 1 :
,
,
,
,
Approximation
de la solution exacte :
Ordre 1 :
,
,
,
,
Champ proche :
Chercher
tel que:
dans
sur
Ordre 1 :
,
,
,
,
Le comportement `a l’infini
dans le demi-espace:
! " # $ &%
Ordre 1 :
,
,
,
,
Le comportement `a l’infini
dans le demi-espace:
! " # $ &%
Ordre 1 :
,
,
,
,
Ordre 1 :
,
,
,
,
Approximation
de la solution exacte :
Ordre 1 :
,
,
,
,
Le champ de fente:
Ordre 1 :
,
,
,
,
Le champ de fente:
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Les champs lointains
vérifient l’équation de
Helmholtz homogène
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Im
Les champs lointains d’ordre
Les champs
sont définis dans tout le
demi-espace
:
Im
Les champs proches d’ordre
Les
Les champs proches d’ordre
Les
sont définis sur le domaine
canonique
:
par des équations de
Laplace
:
ou
Les champs proches d’ordre
Les
sont définis sur le domaine
canonique
:
par des équations de
Laplace
:
par des
croissances
polynomiales à l’infini:
Les
croissances
dans le demi-espace sont fonctions
Les champs proches d’ordre
Les
sont définis sur le domaine
canonique
:
Preuve de l’
existence-unicité
:
Avec des fonctions de troncature, on retire le
comportement croissant à l’infini des
Les champs de fente d’ordre
Les
sont définis sur le domaine
canonique
:
Les champs de fente d’ordre
Les
sont définis sur le domaine
canonique
:
Les
ne dépendent que de
.
Quelques propriétés
On observe que:
Plus
est grand plus
est
singulier
à l’origine:
Termes en
Quelques propriétés
On observe que:
Plus
est grand plus
est
singulier
à l’origine:
Termes en
Plus
est grand plus
est
croissant
:
Termes en
Termes en
Quelques propriétés
On observe que:
Plus
est grand plus
est
singulier
à l’origine:
Termes en
Plus
est grand plus
est
croissant
:
Termes en
Termes en
Lorsque l’
ordre
augmente, on a
(
) termes à
Diagramme de dépendance des correcteurs
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
k=
Chaque point correspond au triplet (
,
,
).
Diagramme de dépendance des correcteurs
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
k=
Chaque point correspond au triplet (
,
,
).
Ordonnancement naturel des calculs
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
k=
Chaque point correspond au triplet (
,
,
).
Dérivation des termes des dév. asympt.
On recherche la solution sous la forme:
(Champ lointain)
(Champ proche)
(Champ de fente)
Dérivation des termes des dév. asympt.
On recherche la solution sous la forme:
(Champ lointain)
(Champ proche)
(Champ de fente)
Dérivation des termes des dév. asympt.
On recherche la solution sous la forme:
(Champ lointain)
(Champ proche)
(Champ de fente)
On
injecte les équations
volumiques et surfaciques
Obtention des conditions de
couplage
(
la difficulté
)
Raccord lointain-proche
Dans une
zone épaisse
du type:
On traduit le raccord:
Raccord lointain-proche
On
développe
la série de gauche suivant
proche de
la série de droite suivant
proche de l’
infini
Raccord lointain-proche
Nous obtenons ainsi des
systèmes matricielles
et non plus
des
égalités formelles
entre des séries:
Il n’y a qu’un
nombre fini
de
différents de
Le développement de
a donc un sens
Raccord lointain-proche
Nous obtenons ainsi des
systèmes matricielles
et non plus
des
égalités formelles
entre des séries:
Pour
, il n’y a qu’un
nombre fini
de
et
Raccord lointain-proche
Nous obtenons ainsi des
systèmes matricielles
et non plus
des
égalités formelles
entre des séries:
Pour
, nous montrons alors le
contrôle
:
Raccord lointain-proche
Nous obtenons ainsi des
systèmes matricielles
et non plus
des
égalités formelles
entre des séries:
Le développement de
a donc un sens
Le couplage entre les champs
Le couplage champ
lointain
-champ
proche
:
Le comportement
du champ lointain en l’origine
est couplé
avec le comportement
du champ proche à l’infini dans le
demi-espace
Le couplage entre les champs
Le couplage champ
lointain
-champ
proche
:
Le couplage champ
proche
-champ de
fente
Le comportement
du champ proche dans la fente à l’infini
est couplé avec le comportement à
l’origine du champ de
fente
(valeurs des dérivées)
Analyse mathématique
%Analyse mathématique
% %Analyse mathématique
% %Idée de la preuve
Nous souhaitons définir une
approximation
de la solution
exacte qui
coïncide
avec:
le développement
tronqué
du
champ lointain
loin de la
fente dans le demi-espace
Idée de la preuve
Nous souhaitons définir une
approximation
de la solution
exacte qui
coïncide
avec:
le développement
tronqué
en
champ proche
au
voisinage de l’embouchure de la fente
Idée de la preuve
Nous souhaitons définir une
approximation
de la solution
exacte qui
coïncide
avec:
le développement
tronqué
en
champ de fente
loin dans
la fente
Idée de la preuve
Introduction d’une partition de l’unité
avec
Idée de la preuve
Equation portant sur l’
erreur
dans
sur
est sortante.
est relié à l’
approximation
de l’équation de
Helmholtz
par le champ
proche
Idée de la preuve
Equation portant sur l’
erreur
dans
sur
est sortante.
est relié à l’
erreur de raccord
entre champ
lointain
et champ
proche
Idée de la preuve
Equation portant sur l’
erreur
dans
sur
est sortante.
est relié à l’
erreur de raccord
entre champ de
fente
et champ
proche
Idée de la preuve
Equation portant sur l’
erreur
dans
sur
est sortante.
Démarche asymptotique classique:
Stabilité
: raisonnement par l’
absurde
(Helmholtz)
Idée de la preuve
L’estimation d’erreur globale
Idée de la preuve
L’estimation d’erreur globale
On choisit
et
pour
optimiser
cette relation
Nous tirons
Idée de la preuve
Idée de la preuve
Idée de la preuve
Dans la zone de
champ lointain
:
Idée de la preuve
Dans la zone de
champ lointain
:
Idée de la preuve
Dans la zone de
champ lointain
:
Analyse mathématique
% %Perspectives
1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes
de
résonance
)
Perspectives
1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes
de
résonance
)
Perspectives
1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes
de
résonance
)
2. Comparaison avec les techniques
multi-échelles
Perspectives
1. Analyse mathématique des fentes finies (phénomènes
de
résonance
)
2. Comparaison avec les techniques
multi-échelles
3. Equations de
Maxwell
3D
4. Domaine
temporel
(équation d’évolution)
