Intégration
Intégration sur un segment
Sommes de Riemann
Si f : [0, 1] → K est continue, lim
n→+∞ 1 n n−1 X k=0 f k n = Z1 0 f (t) dt.
Théorème fondamental de l’analyse
Si f : I → K est continue et a ∈ I, l’application F : x 7→ Zx
a
f (t) dt est de classeC1, et F0= f .
Formules de Taylor
Aspect global : Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange
Si f : I → K est de classeCn+1alors pour tout a ∈ I, pour tout x ∈ I,
f (x) = n X k=0 (x − a)k k! f (k)(a) +Zx a (x − t)n n! f (n+1)(t) dt =⇒ f (x)− n X k=0 (x − a)k k! f (k)(a) 6 |x − a|n+1 (n + 1)! kf (n+1)k ∞,[a,x]
Aspect local : formule de Taylor-Young
Si f : I → K est de classeCn+1, alors pour tout a ∈ I, f (a + h) =
0 n X k=0 hk k!f (k)(a) + O(hn+1).
Intégration sur un intervalle
On dit que f : I → K est intégrable sur I lorsque l’intégrale Z I |f | converge. On a : f intégrable ⇐⇒ Z I |f | converge =⇒ Z I
f converge (la réciproque est fausse)
Schémas de convergence et de divergence
Lorsque I = [a, b[ et f , g : [a, b[ → K telles que f (x) =
bO(g(x)) on a : Zb a |g(t)| dt converge =⇒ Z b a |f (t)| dt converge et Z b a |f (t)| dt diverge =⇒ Zb a |g(t)| dt diverge
Inégalités de Cauchy-Schwarz
Si f2et g2sont intégrables il en est de même de f g, et Z I |f g| 6 Z I |f |2 1/2Z I |g|2 1/2 .
Intégrales à paramètre
Soit f : J × I → K telle que ∀x ∈ J, t 7→ f (x, t) estCpm0 et intégrable sur I. On définit g : J → K en posant g(x) =
Z
I
f (x, t) dt.
Continuité sous le signe intégral
(i) Pour tout t ∈ I, x 7→ f (x, t) est continue sur J ;
(ii) il existe φ : I → R+Cpm0 et intégrable sur I telle que ∀x ∈ J, |f (x, t)| 6 φ(t).
Alors g est continue sur J.
Dérivabilité sous le signe intégral
(i) Pour tout t ∈ I, x 7→ f (x, t) est de classeCpsur J et ∀k ∈ ~0, p − 1, ∀x ∈ J, t 7→∂
kf
∂xk(x, t) estC
0
pmet intégrable sur I ;
(ii) pour tout x ∈ J, t 7→∂
pf
∂xp(x, t) estCpm0 sur I ;
(iii) il existe ψ : I → R+Cpm0 et intégrable sur I telle que ∀x ∈ J,
∂pf ∂xp(x, t) 6ψ(t). Alors g est de classeCpsur J, et ∀k ∈ ~1, p, g(k)(x) =
Z
I
∂kf
