Analyse géostatistique quasi-3D des propriétés
hydrauliques d’un noyau de barrage en remblai
Mémoire
Étienne Hébert
Maîtrise en génie civil Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
Analyse géostatistique quasi-3D des propriétés
hydrauliques d’un noyau de barrage en remblai
Mémoire
Étienne Hébert
Sous la direction de:
Jean Côté, directeur de recherche Marc Smith, co-directeur de recherche
Résumé
La performance de l'eet de barrière hydraulique d'un noyau de barrage en remblai est hau-tement dépendante des conditions au compactage observées au cours de la construction, et conjointement aux propriétés géotechniques des matériaux, peuvent varier signi cativement dans l'espace. Des études récentes (Qin,2015;Venkovic et al.,2013;Smith et Konrad, 2011) ont montré que les géostatistiques peuvent être utilisées pour modéliser la variabilité spatiale des propriétés géotechniques des barrages, tel que la conductivité hydraulique, à l'aide de données géoréférencées issus des essais de contrôle réalisés au cours de la construction. Ces études ont permis une meilleure compréhension de divers problèmes liées à nature strati ée de la structure des barrages et ont élargi le champ d'application des géostatistiques dans le cadre de l'analyse des barrages en remblai.
Ce mémoire porte sur l'amélioration de l'approche géostatistique utilisée pour modéliser la conductivité hydraulique du noyau en till compacté d'un barrage en remblai. Le site étudié est le barrage Sainte-Marguerite-3 (SM-3), érigé sur la rivière Sainte-Marguerite au nord-ouest de la ville de Sept-Îles au Québec. Une démarche de calcul faisant appel au taux d'agréga-tion des matériaux a d'abord été développée a n d'obtenir une évaluad'agréga-tion plus représentative de la conductivité hydraulique. Une structure d'interpolation spatiale quasi-3D a été utili-sée dans le cadre de l'analyse géostatistique a n d'estimer la conductivité hydraulique du noyau en tout point de la structure. La priorité d'analyse des paramètres géotechniques uti-lisés dans le calcul de la conductivité hydraulique a ensuite été étudiée. Pour cet aspect du projet, les géostatistiques ont été utilisées pour analyser chaque paramètre individuellement, puis les estimations obtenues ont servi à calculer la conductivité hydraulique. Finalement, une analyse géostatistique par domaine a été réalisée dans le but de modéliser plus dèlement l'importante variabilité spatiale des propriétés géotechniques, observées dans certaines zones du noyau, engendrée par la variation de l'origine des matériaux. Les résultats montrent que l'utilisation d'une structure d'interpolation spatiale quasi-3D est une alternative e cace à une analyse en 1D utilisée dans le cadre de travaux précédents et que ce type de structure d'in-terpolation respecte la continuité spatiale des matériaux. Les résultats montrent aussi qu'une analyse multi-paramétrique par domaine, motivée par la réalité du terrain, ore une meilleure estimation, particulièrement en ce qui concerne l'évaluation de l'in uence des conditions au compactage.
Abstract
The hydraulic barrier performance of the compacted till core of embankment dams is highly dependent on compaction conditions during construction, which alongside with basic geotech-nical properties, may signi cantly vary spatially. Recent studies showed that geostatistics can be used to represent the spatial variability of the geotechnical properties of dam materials, such as hydraulic conductivity, using georeferenced construction control data. These studies led to advances in the understanding of various issues related to the strati ed nature of dams' structure and broadened perspectives for geostatistical analyses of large embankment dams. This research focuses on the improvement of the geostatistical approach used to model the hydraulic conductivity of an embankment dam's compacted till core. The studied site is the Sainte-Marguerite-3 (SM-3) dam, built on the Sainte-Marguerite river, northwest to the city of Sept-Îles in Québec. A mathematical approach using an aggregation rate was rst developed as a way to obtain a more representative assessment of the dam's hydraulic conductivity. A quasi-3D spatial interpolation structure was used for the geostatistical analysis to estimate the hydraulic conductivity for every location in the core. A priority analysis of the multiple geotechnical parameters used to compute hydraulic conductivity was then performed. For this aspect of the project, geostatistics were used to individually analyze the spatial variability of the parameters measured during construction, which were then used to compute the hydraulic conductivity. Finally, in order to provide a solution to a speci c problem observed in the SM-3 dam, a geostatistical analysis using multiple domains was performed. This approach was used to accurately model the important spatial variability of the geotechnical parameters, observed in some areas of the dam, caused by variations in the origins of the materials. Results showed that the quasi-3D spatial interpolation structure used for this project is an eective alternative to a 1D analysis used in past projects and that this type of interpolation structure respects the materials' spatial continuity. The results also showed that a multi-parametric approach using domains, motivated by the terrain's reality, oers a better estimation, especially when it comes to assessing the in uence of compaction conditions.
Table des matières
Résumé iii
Abstract iv
Table des matières v
Liste des tableaux vii
Liste des gures viii
Symboles x
Remerciements xiii
Introduction 1
1 Revue de littérature 4
1.1 Propriétés hydrauliques des tills du Québec . . . 4
1.1.1 Tills naturels et compactés . . . 4
1.1.2 Anisotropie des tills compactés . . . 6
1.1.3 Eets du compactage . . . 7
1.1.4 Méthodes d'estimation de la conductivité hydraulique . . . 10
1.2 Géostatistiques . . . 11
1.2.1 Variabilité spatiale . . . 12
1.2.2 Analyse variographique . . . 13
1.2.3 Interpolation par krigeage . . . 18
1.3 Analyse géostatistique de barrages existants . . . 20
1.3.1 Analyse variographique des données de contrôle . . . 21
1.3.2 Analyse géostatistique d'essais in situ . . . 21
1.3.3 Analyse géostatistique des conductivités hydrauliques . . . 22
1.3.4 Analyse géostatistique bidimensionnelle . . . 24
2 Description du site d'étude 26 2.1 Barrage SM-3 . . . 28
2.2 Propriétés des dépôts. . . 29
3 Méthodologie 32 3.1 Traitement des données de terrain . . . 32
3.1.2 Estimation de la fraction argileuse . . . 36
3.2 Analyse géostatistique . . . 38
3.2.1 Grille d'interpolation et mise en forme des données . . . 39
3.3 Outils de calcul . . . 41
4 Données du site d'étude 43 4.1 Paramètres mesurés . . . 44 4.1.1 Essais in situ . . . 44 4.1.2 Essais en laboratoire . . . 46 4.2 Paramètres estimés . . . 49 4.2.1 Fraction argileuse. . . 49 4.2.2 Conductivité hydraulique . . . 50
5 Analyse géostatistique de la conductivité hydraulique 53 5.1 Analyse variographique. . . 53
5.2 Résultats de krigeage . . . 57
5.2.1 Paramètres géotechniques . . . 57
5.2.2 Conductivité hydraulique . . . 59
6 Modélisation par domaine 62 6.1 Analyse géostatistique par domaine . . . 63
6.2 Analyse variographique par domaine . . . 63
6.3 Résultats de krigeage par domaine . . . 65
6.3.1 Paramètres géotechniques . . . 65
6.3.2 Conductivité hydraulique . . . 67
7 Discussion 70 7.1 Visualisation 2D-3D . . . 70
7.2 Validation des résultats . . . 74
7.2.1 Validation croisée. . . 75
7.2.2 Estimation des débits . . . 76
7.2.3 Approche d'analyse optimisée . . . 80
7.3 Fréquence d'essais de contrôle . . . 81
7.3.1 Critères d'optimisation. . . 81
7.3.2 Recommandations . . . 83
Conclusion 84
Liste des tableaux
2.1 Granulométrie des matériaux mis en place . . . 31
3.1 Propriétés géotechniques moyennes . . . 35
3.2 Approches d'analyse géostatistique . . . 39
4.1 Résultats des statistiques exploratoires des paramètres in situ . . . 45
4.2 Paramètres de forme des essais in situ . . . 46
4.3 Résultats des statistiques exploratoires des paramètres de laboratoire . . . 48
4.4 Paramètres de forme des essais en laboratoire . . . 48
4.5 Résultats des statistiques exploratoires de la fraction argileuse . . . 49
4.6 Paramètres de forme de la fraction argileuse . . . 50
4.7 Résultats des statistiques exploratoires de la conductivité hydraulique . . . 51
4.8 Paramètres de forme de la conductivité hydraulique . . . 52
5.1 Paramètres des modèles variographiques . . . 56
7.1 Résultats de la validation croisée . . . 76
Liste des gures
1.1 Dépôts de surface du Québec . . . 5
1.2 Conductivités hydraulique de tills du Québec . . . 6
1.3 Conditions au compactage . . . 9
1.4 Relation entre la conductivité hydraulique et le degré de saturation normalisé Sr/Sropt. pour un till de LG-2 . . . 9
1.5 Étapes de l'analyse géostatistique . . . 12
1.6 Formation de paires d'observations . . . 14
1.7 Variogramme expérimental . . . 15
1.8 Estimation de la variabilité spatiale directionnelle . . . 16
1.9 Modèles variographiques . . . 18
1.10 Relations entre la conductivité hydraulique, la fraction ne et la texture . . . . 23
1.11 Conductivités hydrauliques estimées et champs thermique mesuré de la digue QA-01 . . . 24
2.1 Barrage Denis-Perron (SM-3) . . . 26
2.2 Rivière Sainte-Marguerite . . . 27
2.3 Schéma du barrage SM-3 . . . 28
2.4 Carte des dépôts d'emprunt . . . 28
2.5 Origine et localisation des matériaux du noyau . . . 29
2.6 Courbes granulométriques des matériaux mis en place . . . 31
3.1 Relation Fraction argileuse - Conductivité hydraulique . . . 34
3.2 Relation Degré de saturation - Conductivité hydraulique . . . 35
3.3 Courbes granulométriques . . . 36
3.4 Courbe granulométrique dans l'espace log-log . . . 37
3.5 Fraction argileuse mesurée et estimée . . . 38
3.6 Démarche d'analyse géostatistique . . . 38
3.7 Déconstruction des levées du noyau . . . 40
3.8 Structure spatiale des points de mesure du barrage SM-3 . . . 41
3.9 Structure spatiale continue des points de mesure du barrage SM-3 . . . 41
4.1 Observations de la teneur en eau in situ . . . 44
4.2 Observations de la masse volumique sèche in situ . . . 45
4.3 Observations du degré de saturation in situ . . . 45
4.4 Distributions expérimentales des paramètres in situ . . . 46
4.5 Observations de la teneur en eau optimum . . . 47
4.6 Observations de la masse volumique sèche maximum . . . 47
4.8 Distributions expérimentales des paramètres optimum . . . 48
4.9 Observations des estimations de la fraction argileuse . . . 49
4.10 Distributions expérimentales de la fraction argileuse . . . 50
4.11 Observations des estimation de la conductivité hydraulique . . . 51
4.12 Distributions expérimentales de la conductivité hydraulique . . . 52
5.1 Variogrammes : Masse volumique sèche . . . 54
5.2 Variogrammes : Teneur en eau . . . 54
5.3 Variogrammes : Degré de saturation . . . 55
5.4 Variogramme : Fraction argileuse . . . 56
5.5 Variogramme : Conductivité hydraulique . . . 56
5.6 Résultats de krigeage : Masse volumique sèche. . . 57
5.7 Résultats de krigeage : Teneur en eau . . . 58
5.8 Résultats de krigeage : Degré de saturation . . . 59
5.9 Résultats de krigeage : Fraction argileuse . . . 59
5.10 Résultats de krigeage : Conductivité hydraulique . . . 60
6.1 Fraction argileuse et dépôts d'origine des matériaux . . . 62
6.2 Fraction argileuse et domaines d'analyse . . . 63
6.3 Variogrammes par domaines : Fraction argileuse. . . 64
6.4 Résultats de krigeage par domaine : Masse volumique sèche . . . 65
6.5 Résultats de krigeage par domaine : Teneur en eau . . . 66
6.6 Résultats de krigeage par domaine : Degré de saturation . . . 67
6.7 Résultats de krigeage par domaine : Fraction argileuse . . . 67
6.8 Résultats de krigeage par domaine : Conductivité hydraulique . . . 68
7.1 Distribution de la conductivité hydraulique : Approche A . . . 71
7.2 Distribution de la conductivité hydraulique : Approche B . . . 72
7.3 Distribution de la conductivité hydraulique : Approche C . . . 73
7.4 Distribution de la conductivité hydraulique : Coupes multiples . . . 74
7.5 Schéma de l'établissement des sous-ensembles pour la validation croisée . . . . 76
7.6 Schéma de la formule de Dupuit . . . 77
7.7 Pro l réel du barrage SM-3 et schéma de la subdivision en tranches. . . 78
7.8 Débit d'écoulement mesuré du barrage SM-3. . . 79
7.9 Patrons d'échantillonnage . . . 82
A.1 Variogrammes par domaines : Masse volumique sèche in situ . . . 93
A.2 Variogrammes par domaines : Masse volumique sèche maximum . . . 94
A.3 Variogrammes par domaines : Teneur en eau in situ. . . 95
A.4 Variogrammes par domaines : Teneur en eau optimum . . . 96
A.5 Variogrammes par domaines : Degré de saturation in situ . . . 97
A.6 Variogrammes par domaines : Degré de saturation optimum . . . 98
Liste des symboles
A Surface d'une section d'écoulement (m2) a Portée varigoraphique
a0 Portée variographique pratique C Seuil variographique
C0 Eet de pépite variographique
CH Coe cient empirique de Hazen
DR Densité des grains
D10 Diamètre eectif, Diamètre des grains correspondant à 10% en poids de tamisat
d Longueur d'un chemin d'écoulement (m) E[v] Valeur espérée d'une variable
EQM Erreur quadratique moyenne e Indice des vides
g Constante d'accélération gravitationnelle (m/s2) H Épaisseur d'un élément de sol (m)
H1 Hauteur du niveau d'eau en amont (m)
H2 Hauteur du niveau d'eau en aval (m)
h Distance de séparation entre deux observations d'une variable aléatoire k Conductivité hydraulique (m/s)
kA Conductivité hydraulique agrégée (m/s)
kH Conductivité hydraulique homogène (m/s)
kin situ Conductivité hydraulique in-situ (m/s)
k20oC Conductivité hydraulique à 20oC (m/s)
kh Conductivité hydraulique horizontale (m/s)
kv Conductivité hydraulique verticale (m/s)
K Perméabilité intrinsèque (m2)
L Longueur du cheminement d'écoulement (m) n Nombre d'observation d'une variable
P2µm Pourcentage passant le tamis 2 microns (%)
P80µm Pourcentage passant le tamis 80 microns (%)
p Probabilité associée à chaque valeur d'un intervalle p Pente de la fonction entre l'état agrégé et l'état homogène Q Débit volumique ltrant (m3/s)
q Débit d'écoulement unitaire (L/s) rk Rapport d'anisotropie
S Surface spéci que (m2/m3) Sr Degré de saturation (%)
Sropt. Degré de saturation à l'optimum proctor (%)
V Variable aléatoire
V (xi) Variable aléatoire observée au point xi
v Variable dénombrable comprise dans un intervalle de valeurs attendues
w Teneur en eau (%)
wopt. Teneur en eau à l'optimum proctor (%)
ˆ
x Moyenne des valeurs d'un ensemble de donnée
x0, x1 Limites de la phase de transition de l'état agrégé à l'état homogène
xi Valeur comprise dans un ensemble de donné
γ(h) Estimateur expérimental de la variabilité spatiale ˆ
γio Valeur estimée d'une variable aléatoire
ˆ
γij Observation d'une variable aléatoire
µ Viscosité dynamique (Pa·s)
µ20oC Viscosité dynamique de l'eau à 20oC (Pa·s)
µin situ Viscosité dynamique de l'eau in-situ (Pa·s)
µw Viscosité dynamique de l'eau (Pa·s)
ρ Masse volumique (kg/m3) ρd Masse volumique sèche (kg/m3)
ρd max Masse volumique sèche à l'optimum proctor (kg/m3)
ρs Masse volumique des grains solides (kg/m3)
ρw Masse volumique de l'eau (kg/m3)
σ Écart-type
σ2 Variance
À la mémoire de mon grand-père, Armand Therrien
Remerciements
Je remercie d'abord les partenaires de la Chaire de recherche industrielle CRSNG/Hydro-Québec sur l'optimisation du cycle de vie des barrages en remblai (CRIBAR) pour leur sup-port nancier au cours de la réalisation de ce projet de recherche. Je remercie spécialement Hydro-Québec, pour nous avoir généreusement donné accès à la documentation nécessaire à la réalisation de cette étude.
Je remercie mon directeur de recherche, le professeur Jean Côté, pour m'avoir oert cette opportunité, pour les nombreux conseils qu'il a su me donner au cours de la réalisation de ce projet et pour avoir suscité mon intérêt pour ce champ de recherche. Je remercie également mon co-directeur de recherche, monsieur Marc Smith, pour le grand intérêt qu'il a porté à mon projet et pour l'aide indispensable qu'il m'a apportée.
Je remercie aussi mes collègues et amis, Pierre-Gilles, Manuel, Jean-Sébastien, Valérie, Shervin et Olivier, pour leur écoute et leurs conseils, j'ai eu beaucoup de plaisir à travailler en leur compagnie.
Je remercie tout spécialement mes parents, Mireille et Jacques, pour m'avoir permis de grandir dans un milieu épanouissant, leurs nombreux encouragements et leur soutien inconditionnel. En n, je remercie par dessus tout ma copine, Marielle, pour son appui, sa patience, pour m'avoir écouté parler en interminables détails de mon projet et pour le simple fait d'être dans ma vie.
Introduction
Mise en contexte
La performance de l'eet de barrière hydraulique du noyau en till compacté d'un barrage en remblai est fortement liée aux propriétés géotechniques du till utilisé pour la construction de l'ouvrage et aux conditions de compactage. Ces facteurs varient signi cativement dans l'espace, ce qui rend l'évaluation de la performance d'un barrage complexe si cette variabilité est prise en compte. Pour le dimensionnement et l'analyse des barrages, l'approche privilégiée consiste à utiliser des valeurs moyennes pour diérentes sections de l'ouvrage. Cependant, bien que cette façon de faire ore des résultats représentatifs, les simpli cations utilisées ne permettent pas d'apprécier dans les détails toute l'étendue des impacts engendrés par la variabilité des propriétés géotechniques. Par exemple, lors de l'évaluation du comportement d'un barrage, procéder de la sorte ne permet pas de localiser des zones potentiellement plus perméables et pouvant signi cativement aecter la performance de l'ouvrage. Ces simpli cations mènent aussi à diverses incompréhensions lorsque des essais in situ ne présentent pas des résultats attendus.
Des travaux dans lesquels la variabilité spatiale des propriétés géotechniques a été considérée ont permis d'expliquer certaines de ces incompréhensions, par exemple, l'anomalie thermique de la digue QA-01 du complexe hydro-électrique LG-4 (Smith,1999;Smith et Konrad,2008,
2011;Qin,2015). Plutôt que d'utiliser des valeurs moyennes, ces travaux ont traité la variabilité spatiale des matériaux à l'aide des géostatistiques pour estimer, à partir de données de contrôle ponctuelles géoréférencées, les propriétés géotechniques des matériaux en tous points du noyau. Ces analyses ont permis d'expliquer la cause de l'anomalie thermique en montrant la présence d'une zone du noyau dont la conductivité hydraulique était plus élevée et à mettre en évidence la structure strati ée du barrage.
Un outil à améliorer
Le développement récent de nouveaux outils et une meilleure compréhension de la variabilité des propriétés des sols permet aujourd'hui de ra ner l'approche géostatistique utilisée pour étudier le comportement des barrages en remblai de façon à intégrer cette méthodologie dans
le cadre d'analyses plus complexes.
Dans le but d'améliorer la précision et la abilité de la démarche, les objectifs de ce mémoire sont :
d'obtenir des estimations plus représentatives des conditions in situ servant à l'analyse géostatistique,
l'optimisation de l'approche géostatistique utilisée pour l'analyse d'un barrage en remblai de façon à obtenir une meilleure compréhension du comportement du barrage,
la représentation spatiale des propriétés géotechniques d'un barrage en remblai et la visualisation 2D-3D de celles-ci,
d'établir des fréquences d'essais de contrôle lors de la construction, optimisées selon la variabilité spatiale des diérentes propriétés géotechniques,
De façon à faire le pont entre la théorie et la pratique, les propriétés hydrauliques du noyau en till compacté du barrage hydro-électrique Sainte-Marguerite 3 (SM-3) seront étudiées dans le cadre de ce projet. L'utilisation des données de ce barrage permettra de mettre en pratique les approches étudiées et à développer une démarche d'analyse géostatistique optimisée pour la modélisation des barrages en remblai.
Structure du mémoire
Ce mémoire est divisé en 7 chapitres :
Le Chapitre 1 porte sur les aspects théoriques du projet et vise à présenter l'état des connais-sances reliées à l'analyse géostatistique de barrages en remblai. Ce chapitre comprend une description des propriétés des tills du nord du Québec, une revue de la théorie liée aux géo-statistiques et une présentation des divers projets de recherche déjà réalisés sur le sujet. Le Chapitre 2 porte sur le site étudié dans le cadre de ce projet. Ce chapitre présente la structure du barrage SM-3, la répartition des matériaux utilisés pour la construction dans la structure de l'ouvrage et une description des propriétés géotechniques de ces matériaux selon leur origine.
Le Chapitre 3 porte sur la méthodologie utilisée pour la modélisation des propriétés hydrau-liques du barrage. Les calculs utilisés pour estimer certains des paramètres géotechniques et la démarche d'analyse géostatistique y sont présentés, ainsi qu'une brève description des outils de calcul utilisés.
Le Chapitre 4 porte sur les données disponibles pour la modélisation du barrage. Ce chapitre comprend la présentation et la description des résultats d'essais de contrôle in situ et en
laboratoire réalisés au cours de la construction, en plus des paramètres estimés à partir de ceux-ci.
Le Chapitre 5 porte sur les résultats de l'analyse géostatistique réalisée sur les données du barrage SM-3.
Le Chapitre 6 porte sur les résultats d'une analyse géostatistique par domaine. Cette dé-marche a été utilisée a n de mieux tenir compte de la variabilité des paramètres géotechniques engendrée par la variation de l'origine des matériaux du noyau.
Le Chapitre 7 est une discussion portant sur les résultats obtenus dans le cadre du projet. La représentation 2D-3D des estimations, la validation des résultats et l'optimisation de la fréquence des essais de contrôle sont les thèmes abordés dans ce chapitre.
Chapitre 1
Revue de littérature
La revue de littérature comprend trois sections. La première section porte sur l'origine, les caractéristiques et les propriétés hydrauliques des tills du Québec. La deuxième section vise à décrire les géostatistiques, le principal outil d'analyse utilisé dans le cadre de ce projet. Finalement, des travaux antérieurs dans lesquels les géostatistiques ont été utilisés dans le cadre de l'analyse de barrages en remblai sont présentés à la troisième section.
1.1 Propriétés hydrauliques des tills du Québec
Tel que présenté à la gure 1.1 (en vert pâle), les tills sont un type de dépôt de surface om-niprésent au Québec, ils recouvrent approximativement 75% du territoire et sont notamment retrouvés sous la forme de dépôts morainiques. Il s'agit de matériaux post-glaciaires non strati- és, déposés directement par les glaciers sans intervention majeure des eaux de fonte et laissés en place suite à la dernière déglaciation. Ceux-ci forment des dépôts d'épaisseur variable et sont généralement hétérogènes et de granulométrie étalées. Ils sont constitués d'une matrice de farine de roche qui renferme des éléments plus grossiers comme des sables, des graviers, des blocs et des galets. Les particules qui constituent la matrice peuvent être d'un diamètre inférieur à 2 µm et dont les propriétés géotechniques sont analogues à celles de l'argile. Les caractéristiques de la matrice gouvernent le comportement de certains paramètres du maté-riau comme la teneur en eau et la conductivité hydraulique (Dreimanis, 1976, 1988; Landry et Mercier,1992;Strahler et Strahler,2005). L'abondance, la facilité d'accès et les propriétés géotechniques des tills en font un matériau fréquemment utilisé dans la construction de grands ouvrages de rétention comme les digues et les barrages. Cette section abordera les diverses propriétés hydrauliques des tills du Québec.
1.1.1 Tills naturels et compactés
Les tills peuvent être classés en deux catégorie : a) le till basal (aussi appelé till de fond) et b) le till d'ablation. Cette distinction entre les deux types de matériau est déterminée par les
Figure 1.1 Dépôts de surface du Québec Source :Agriculture Canada(1991)
mécanismes ayant mené à la formation du dépôt et le type de moraine dans lesquels ils sont localisés. Le till basal forme un dépôt compact et dense accumulé sur le lit glaciaire par la friction entre le substrat et le glacier provoquée par le déplacement de ce dernier. La friction et la pression appliquées à la base du glacier ont pour eet de broyer les particules qui y sont situées. Le till basal est par conséquent riche en particules nes (silt et argile). Le till d'ablation forme plutôt un dépôt lâche et peu compact, constitué de débris supraglaciaires et intraglacialires qui ont migré du lit glaciaire vers la surface du glacier et qui ont été laissés en place au moment de la fonte de celui-ci. Les particules constituantes de ce type de dépôts n'ont pas subi autant de broyage que les particules situées à la base du glacier. La proportion de particules nes contenues dans un till d'ablation est signi cativement moins importante que dans un till basal et on y retrouve une plus grande quantité de particules plus grossières (sables, graviers, galets et blocs). Les particules nes (< 80 µm) représentent typiquement environ 50% de la masse d'un till basal, alors que pour un till d'ablation, cette proportion est d'environ 30% (Dreimanis,1976). Dans les faits, les tills sont généralement constitués des deux types de matériaux retrouvés en diverses proportions.
La conductivité hydraulique des tills du Québec à l'état naturel n'a pas été étudiée abon-damment, bien que certains travaux aient déjà été réalisés sur le sujet. Des mesures visant à
évaluer la conductivité hydraulique in situ d'un till ont été réalisées dans le but d'obtenir des résultats sur un matériau à l'état naturel (Konrad,2014; Konrad et al., 2013). Ces mesures ont été réalisés à l'aide d'essais in situ dans un puit de forage et des conductivités hydrauliques allant de 1 × 10−8 à 8 × 10−10 m/s ont été obtenues pour des tills de la rivière Chaudière.
D'autres travaux, réalisés en laboratoire, ont permis d'évaluer les propriétés hydrauliques de tills reconstitués de façon à représenter la matrice du matériau et compacté du côté humide de l'optimum Proctor. Ces essais ont été réalisés dans le but de reproduire les caractéristiques in situ du matériau en laboratoire.Leroueil et al. (2002) ont obtenu des valeurs de conductivité hydraulique allant de 10−6 à 10−8 m/s pour des tills provenant des régions de Caniapiscau, la
rivière La Grande et la rivière Sainte-Marguerite,Paré et al.(1982) ont obtenu des conductivi-tés hydrauliques de l'ordre de 10−6 m/s pour des tills de la rivière La Grande et en n Loiselle
et Hurtubise (1976) ont obtenu des conductivités hydrauliques allant de 6 × 10−8 à 2 × 10−10
m/s pour des tills des régions de la rivière Manicouagan et de la Rivière-aux-Outardes. Ces études montrent que les tills du Québec présentent des conductivités hydrauliques allant de 10−8 à 10−10 m/s à l'état naturel et de 10−6 à 10−10 m/s pour des tills reconstitués.
Figure 1.2 Conductivités hydraulique de tills du Québec
1.1.2 Anisotropie des tills compactés
L'écoulement dans un barrage ne s'eectue pas dans un seul plan, mais bien dans un espace tridimensionnel. L'hétérogénéité des sols et tout spécialement des tills fait en sorte que les propriétés hydrauliques de ce type de matériau peuvent varier dans l'axe de l'écoulement, ils sont donc quali és d'anisotropes. L'anisotropie d'un barrage est due à l'eet conjoint de deux phénomènes. Elle peut d'abord être due aux propriétés inhérentes du sol utilisé, lorsque c'est le cas, le phénomène est appelé anisotropie intrinsèque. Ce type de variabilité peut être expliqué par la forme et l'orientation des particules, des caractéristiques pouvant in uencer la tortuosité des chemins d'écoulement dans le sol et par conséquent la vitesse d'écoulement. L'anisotropie peut ensuite être expliquée par l'hétérogénéité du massif de sol, soit une aniso-tropie d'origine structurelle. Ce phénomène à plus grande échelle est relié à la variabilité des
propriétés géotechniques des tills utilisés et aux conditions au compactage. Les barrages étant typiquement construits par la mise en place de matériaux en levées successives sur une durée de temps pouvant s'étirer sur plusieurs années, la variation de l'origine des matériaux utilisés et des conditions climatiques peut donc in uencer les propriétés du matériau mis en place et provoquer la strati cation du massif de sol.
L'anisotropie peut être décrite comme le rapport entre la conductivité hydraulique verticale et horizontale d'un élément de sol donné (Eq. 1.1) et deux équations permettent d'estimer la conductivité hydraulique horizontale et verticale (Eq. 1.2et1.3) d'un élément de sol ( Ceder-gren,1989). rk= kh/kv (1.1) kh = P(kH) P H (1.2) kv = P H P(H/k) (1.3)
où rk est le rapport d'anisotropie, kh et kv sont respectivement les conductivités hydrauliques
horizontale et verticale, k la conductivité hydraulique isotrope d'un élément de sol et H l'épais-seur d'un élément de sol, typiquement d'une levée dans le cadre de l'analyse des performances d'un barrage en remblai.
Le rapport d'anisotropie (rk) des échantillons de tills du nord du Québec étudiés par Watabe
et al. (2000) et Leroueil et al. (2002) était compris entre 1,0 et 1,4. Les auteurs concluent que l'anisotropie des échantillons de till compacté est la résultante de la variabilité de la granulométrie, des conditions au compactage et de l'état d'agrégation. Brault (2010), dans une étude plus approfondie de l'anisotropie de tills compactés, mentionne que les conditions au compactage in uencent fortement le rapport d'anisotropie. Selon ses résultats obtenus sur des échantillons de till compactés en laboratoire, un till compacté du côté sec de l'optimum Proctor (Sr < Sropt.) est caractérisé par un rapport d'anisotropie variant de 3,0 à plus de 7,0
selon la provenance du matériau étudié alors qu'un till compacté du côté humide (Sr ≥ Sropt.)
a un rapport d'anisotropie d'environ 1,4. Il ressort donc de ces travaux que la variabilité des propriétés géotechniques joue un rôle important dans la création d'un rapport d'anisotropie, mais que les conditions au compactage in uencent de façon plus signi cative celui-ci.
1.1.3 Eets du compactage
Les propriétés hydrauliques des sols ns ou d'un sol dont le taux de particules nes est élevé, comme c'est le cas pour certains tills, sont fortement in uencées par la structure des pores de
ce dernier. En eet, deux échantillons d'un même sol présentant des tailles et des distributions de pores diérentes, mais ayant pourtant le même indice des vides, peuvent présenter des conductivités hydrauliques qui dièrent de plusieurs ordres de grandeur. Cette caractéristique a été observée pour une grande variété de sols, notamment les argiles et les silts (Delage et Lefebvre, 1984; Tavenas et Leroueil, 1980; Diamond, 1970; Lambe, 1958), les tills (Watabe et al., 2006, 2000; Leroueil et al.,2002; Vanapalli et al., 1999) et d'autres types de sols ns tels que les loess (Zhang et al.,1999).
La compréhension de ce phénomène est intimement liée à l'évolution des modèles conceptuels expliquant le comportement et la structure des argiles. Lambe (1958) a émis un des premiers modèles permettant d'expliquer ce phénomène en se basant sur l'hypothèse que la plus petite particule d'une argile soit une simple plaquette. Selon lui, lorsqu'une argile ou un sol contenant des argiles est compacté du côté humide de l'optimum Proctor (Sr ≥ Sropt.), les plaquette
s'agglomèrent de façon ordonnée, alors que s'il est compacté du côté sec (Sr < Sropt.), la
faible quantité d'eau contenue dans le sol favorise la oculation de ce dernier et fait donc en sorte que les plaquettes forment des agrégats. Le modèle proposé par Lambe a par la suite été amélioré par Aylmore et Quirk (1960), qui ont déterminé que la plus petite structure d'une argile n'était en fait pas une plaquette, mais bien des domaines constitués d'agrégats de plaquettes et que ces agrégats, lorsque hydratés, forment une pâte. Ce modèle a permis de conclure que l'augmentation de la teneur en eau d'une argile a pour eet de réduire la succion matricielle dans les agrégats (Delage et al., 1996), ce qui entraine une diminution de la résistance de ceux-ci. Les agrégats hydratés deviennent par conséquent plus malléables et sont donc plus facilement remodelés lors du compactage, alors que ceux dont la teneur en eau est restée constante conservent leur intégrité. Il en découle que lorsqu'un sol argileux est compacté du côté humide de l'optimum Proctor, la cohésion interne des agrégats sera su samment aectée pour que le martèlement les remanient et qu'ils forment une pâte, on parlera alors de texture homogène. Les pores d'un sol ainsi compacté seront formés par les vides situés entre les agrégats de particules remaniées et seront de petite taille (micropores) et la conductivité hydraulique d'un tel sol sera par conséquent très faible. Si un sol est compacté du côté sec, la résistance des agrégats ne sera pas su samment aectée pour que le martellement puisse les briser, si bien qu'ils formeront l'essentiel du squelette granulaire du sol compacté, on parlera alors de texture agrégée. Deux types de pores seront observés dans un sol agrégé : des micropores, comme dans le cas d'un sol homogène, mais aussi des pores de plus grande taille (macropores) formés par les vides entre les agrégats. En présence de macropores, le réseau d'écoulement se développera dans ceux-ci, ce qui fera en sorte que la conductivité hydraulique de ces sols pourra être signi cativement plus élevée que dans le cas d'un sol homogène. Si un sol est compacté à l'optimum Proctor, une fraction su samment importante des agrégats de particules sera remaniée et formera une pâte capable d'enrober les plus gros agrégats. La conductivité hydraulique d'un tel sol se situe entre les valeurs observées pour les sols agrégés et homogènes, bien qu'elle soit plus apparentée aux propriétés d'un sol homogène puisque
la matrice du sol, composée de particules nes, gouvernera ses propriétés hydrauliques. La relation entre la texture et les conditions au compactage est illustrée à la gure 1.3.
Des essais sur des tills compactés à diérents degrés de saturation réalisés par Watabe et al.
(2000) viennent valider ces a rmations concernant les sols argileux(Fig. 1.4). En eet, les auteurs de cette étude ont mesuré des conductivités hydrauliques de l'ordre de 10−7à 10−8m/s
lorsque le matériau était compacté du côté humide alors que des conductivités hydrauliques de l'ordre de 10−6 m/s ont été mesurées du côté sec.
Figure 1.3 Conditions au compactage
Figure 1.4 Relation entre la conductivité hydraulique et le degré de saturation normalisé Sr/Sropt. pour un till de LG-2
1.1.4 Méthodes d'estimation de la conductivité hydraulique
La mesure en laboratoire de la conductivité hydraulique d'un sol n étant un procédé pouvant s'avérer très long, diverses équations ont été développées au l du temps a n d'estimer cette variable à partir des propriétés géotechniques du sol étudié. Ces équations ne s'appliquent qu'aux sol argileux, silteux ou sableux. Le débit d'écoulement d'un uide incompressible dans un milieu poreux peut être décrit à l'aide de la loi de Darcy (Eq. 1.4).
Q = kA∆H
L (1.4)
où Q est le débit volumique ltrant (m3/s), k la conductivité hydraulique du milieu poreux
(m/s), A la surface de la section étudiée (m2), ∆H la diérence des hauteurs piézométriques
en amont et en aval de l'échantillon (m) et L la longueur de l'échantillon (m). La conductivité hydraulique k peut être exprimée par l'équation 1.5.
k = Kρg
µ (1.5)
où k est la conductivité hydraulique du milieu poreux (m/s), K la perméabilité intrinsèque du milieu poreux (m2), ρ la masse volumique du uide (kg/m3), g la constante d'accélération
gravitationnelle (m/s2) et µ la viscosité dynamique du uide (Pa·s).
La perméabilité intrinsèque K d'un milieu poreux introduite dans l'équation 1.5 peut être estimée sur la base de mesures de la taille et de la distribution des pores. Cette variable peut ainsi être mesurée par des essais de porosimétrie en laboratoire, des techniques d'imagerie ou par des méthodes statistiques basées sur les propriétés du matériau. Les essais de porosimétrie peuvent être réalisés par l'intrusion ou l'extrusion d'un uide dans un échantillon, comme l'eau (Childs, 1969, 1940), le mercure (Washburn, 1921; Ritter et Drake, 1945; Diamond,
1970) ou l'azote (Everett et Stone,1958;Aylmore et Quirk,1967). Des méthodes d'estimation statistiques basées sur la taille des grains, la distribution granulométrique et la distribution des vides inter-granulaires ont aussi été proposées, certaines des plus notables par Childs et Collis-George (1950) (Eq. 1.6), Marshall (1958) (Eq. 1.7) et Garcia-Bengochea (1978) (Eq.
1.8). K = M ρ=R X ρ=0 σ=R X σ=0 σ2f (ρ)δrf (σ)δr (1.6)
où M est une constante empirique déterminée en comparant des données théoriques et expéri-mentales, σ et ρ le rayon des pores pour une coupe transversale associée à la séquence ρ −→ σ, f (r) la fonction de distribution des pores, f(r)δr la fraction du volume total apparent occupé
par des pores de rayon appartenant à l'intervalle allant de r à r + δr et R le rayon du plus grand pore restant saturé.
K = 2n−2r21+ 3r22+ 5r32+ · · · + (2n − 1)r2n /8 (1.7) où est la porosité, n le nombre de subdivisions de la surface d'une coupe transversale du matériau et rn le rayon capillaire des pores associé à chacune de ces subdivisions.
K = Cs× P SPb (1.8)
où Cs est un facteur d'ajustement variant pour chaque modèle, b un paramètre de régression
linéaire et P SP un paramètre de distribution des pores pouvant être basé sur diérents modèles (modèle capillaire à diamètre variable, modèle de Marshall, modèle du rayon hydraulique). Des équations permettant l'estimation directe de la conductivité hydraulique k (sans passer par l'estimation de la perméabilité intrinsèque K) ont aussi été développées. Celles-ci sont basées sur des paramètres géotechniques plus faciles à mesurer comme le diamètre eectif et l'indice des vides, ce qui en fait des modèles beaucoup plus polyvalents et largement plus utilisés dans la pratique. Les modèles les plus connus sont l'équation de Hazen (Eq. 1.9), formulée par Hazen (1892, 1911) et qui est principalement applicable aux sables. L'équation de Kozeny-Carman (Eq. 1.10), formulée par Kozeny (1927) et Carman (1938, 1956) et est quant à elle applicable à une plus grande variété de sols.
k = CHD210 (1.9)
où CH est le coe cient empirique de Hazen et D210 le diamètre eectif.
k = C g µwρw 1 S2D2 R e3 (1 + e) (1.10)
où C est un facteur de forme et de tortuosité du réseau d'écoulement, g la constante d'accé-lération gravitationnelle, µw la viscosité dynamique de l'eau, ρw la masse volumique de l'eau,
S la surface spéci que, DR la densité des grains et e l'indice des vides.
1.2 Géostatistiques
La discipline des géostatistiques est basée sur l'idée que deux observations rapprochées l'une de l'autre soient plus susceptibles de présenter des valeurs similaires que deux observations éloignées. Ainsi, en se basant sur cette logique, il devient possible d'analyser la variabilité de
1) Données spatiales 2) Analyse de la variabilité 3) Estimation par krigeage Figure 1.5 Étapes de l'analyse géostatistique
données spatiales et d'estimer les valeurs de celles-ci sur l'ensemble d'une zone par interpolation spatiale (Fig. 1.5).
L'idée de base de la géostatistique est donc de prévoir la valeur d'une variable régionalisée étudiée en un site non échantillonné par une combinaison linéaire de données ponctuelles adjacentes, de façon à tenir compte de la structure de dépendance spatiale des données. La démarche statistique utilisée pour réaliser ces estimations est appelée krigeage. Elle a été nommée ainsi en l'honneur de l'ingénieur minier sud-africain Danie Krige, dont les travaux ont été les précurseurs de la méthode (Krige, 1951). Le krigeage a par la suite été ra né et formalisé par le mathématicien et géologue français George Matheron, premier à avoir utilisé l'appellation krigeage dans ses travaux (Matheron,1962,1963a,b) et à qui on doit notamment le développement du Centre de Géostatistiques de l'École des Mines de Paris.
1.2.1 Variabilité spatiale
Lorsqu'une variable est modélisée de façon à en connaître le comportement en tout point de l'espace ou du temps, il est possible de faire appel à deux types de modèles : un modèle déterministe ou probabiliste (stochastique). Une fonction déterministe donnera toujours le même résultat chaque fois qu'elle est appelée avec un ensemble spéci que de valeurs d'entrée. Une fonction probabiliste ne donnera pas toujours le même résultat chaque fois qu'elle est appelée. Lorsqu'une variable présente un comportement de ce type, on parlera alors de variable aléatoire. Une telle variable est liée à un processus connu, mais dont le résultat est incertain et appartient à un intervalle de valeurs auxquelles sont associées une densité de probabilité. Le résultat d'une fonction probabiliste est sa valeur espérée (Eq. 1.11).
E[v] =
n
X
i=1
vipi (1.11)
pro-babilité associée à chaque valeur de l'intervalle et n le nombre d'observations de la variable v étudiée.
La variabilité des probabilités associées à chaque valeur peut changer en fonction du nombre d'observations et peut converger vers des valeurs de probabilité stables si le nombre d'ob-servations est su samment grand. Cette notion est très importante lorsqu'il est question de variabilité spatiale, de krigeage et de taille d'échantillon.
La variabilité spatiale d'une variable aléatoire est donc une fonction aléatoire de la diérence mesurée entre deux observations ayant des coordonnées spatiales et leur distance de sépara-tion dans l'espace. Pour que cette a rmasépara-tion soit vraie, les variables mesurées doivent par conséquent être aléatoires, c'est-à-dire qu'il doit être impossible de les prédire de façon dé-terministe, que les valeurs pouvant être prises par celles-ci soient comprises dans un certain intervalle et que certaines valeurs de cet intervalle apparaissent plus fréquemment que d'autres. Il est possible que le comportement d'une variable aléatoire comporte une composante déter-ministe (Isaaks et Srivastava,1989). De façon à bien étudier la variabilité spatiale de celle-ci, il peut être nécessaire d'isoler cette composante déterministe des observations étudiées. Il est cependant important d'être prudent lorsqu'il est question de retirer une composante détermi-niste d'une variable aléatoire. La composante détermidétermi-niste que l'on souhaite traiter doit être expliquée par un processus physique qu'il est possible de mesurer. Cette procédure ne devrait pas être utilisée comme une boîte noire servant seulement à corriger des données de façon à arti ciellement produire un variogramme de meilleure qualité (Isaaks et Srivastava, 1989). Il est aussi important de noter que les coordonnées d'un ensemble d'observations peuvent être de nature spatiale (x, y, z) et/ou temporelle (t).
Les caractéristiques d'une fonction de variables aléatoires peuvent être inférées statistiquement à l'aide de diérents paramètres décrivant la distribution des observations. Ces paramètres sont classés sous l'appellation statistiques exploratoires et comprennent typiquement le minimum, le maximum, la moyenne, la médiane, l'écart-type et la variance. Ceux-ci peuvent mener à la formulation d'une loi de distribution permettant de calculer les probabilités et les valeurs espérées associées à l'ensemble d'observations.
1.2.2 Analyse variographique
Le variogramme est une fonction permettant l'analyse et la modélisation de la variabilité spatiale des observations d'un ensemble donné. Il s'agit d'une étape essentielle du krigeage puisque c'est à cette étape de la démarche géostatistique qu'est évaluée la continuité spatiale d'une variable, opération rendant possible la quanti cation de sa variabilité.
Estimateur de la variabilité spatiale
L'estimateur expérimental de la variabilité spatiale γ(h) (Eq. 1.12) est une fonction faisant l'analyse de la variabilité entre les observations d'un ensemble de données en fonction de la distance de séparation entre celles-ci.
γ(h) = 1 2n n X i=1 [V (xi) − V (xi+ h)]2 (1.12)
où V est une variable aléatoire, V (xi) la valeur de la variable aléatoire observée au point xi,
V (xi+ h)la valeur de la variable aléatoire observée au point xi+ h, h la distance de séparation
entre les deux points et n le nombre de paires d'observations pour une distance de séparation donnée.
L'analyse variographique consiste donc à calculer la somme des diérences au carré entre chaque paire d'observations séparées l'une de l'autre une distance de séparation h (Fig. 1.6), à répéter cette sommation pour diérentes distances de séparation et à porter en graphique l'estimateur de la variabilité spatiale en fonction de la distance de séparation (Fig. 1.7). Ce graphique est appelé le variogramme expérimental.
Figure 1.6 Formation de paires d'observations Source : Fortier(2014)
Figure 1.7 Variogramme expérimental Propriétés du variogramme expérimental
Le variogramme expérimental (Fig. 1.7) est habituellement une fonction croissante selon h pouvant atteindre un ou plusieurs plateaux successifs.Bien que plus rarement, il peut aussi ne pas atteindre de plateau selon l'ensemble d'observations étudié.
Le palier (C0 + C) est la valeur de l'estimateur expérimental lorsque le premier plateau est
atteint et correspond typiquement à la variance (σ2) (Eq. 1.13) de l'ensemble d'observation
étudié. σ2 = 1 n n X i=1 (xi− ¯x)2 (1.13)
où n est le nombre d'observation dans un ensemble donné, xi une valeur de l'ensemble et ¯x la
moyenne des valeurs.
La portée (a) représente la distance de séparation h maximale entre deux observations pour que celles-ci soient spatialement corrélées. Si un palier est atteint, la portée correspond à la distance de séparation à laquelle le palier est atteint. Dans le cas contraire, la portée du variogramme est théoriquement in nie, mais une portée pratique (a0) correspondant à la distance de séparation
correspondant à 95% du palier est utilisée. L'eet de pépite (C0) est la valeur de l'estimateur
expérimental à l'origine. Cette valeur peut être causée par des variations à très courte échelle ou à la précision des variables étudiées. Un eet de pépite faible par rapport au palier témoigne
généralement d'une bonne corrélation spatiale et d'un bon échantillon. Finalement, le seuil (C) est la diérence entre le palier et l'eet de pépite.
La variabilité spatiale d'un ensemble d'observations peut présenter une plus forte corrélation dans certaines directions, on parlera alors d'anisotropie géométrique ou zonale. L'anisotropie géométrique est caractérisée par la présence d'une portée signi cativement plus importante dans une direction spéci que, alors que l'anisotropie zonale est caractérisée par un palier qui dépend aussi de la direction. Pour étudier ce phénomène, un azimuth et une tolérance angulaire sont imposés au calcul de l'estimateur de la variabilité spatiale de façon à obtenir un variogramme directionnel (Fig.1.8). Par exemple, pour un azimuth de 60o et une tolérance de
15osur cet azimuth, seules les paires d'observations comprises dans cet intervalle de recherche
sont utilisées dans le calcul de l'estimateur de la variabilité spatiale.
Figure 1.8 Estimation de la variabilité spatiale directionnelle Source : Fortier(2014)
Modélisation du variogramme expérimental
Le variogramme expérimental représente la variabilité spatiale de l'ensemble d'observations étudié que pour un nombre de distances de séparation h ni. De façon à rendre possible l'utilisation des informations du variogramme dans le cadre du krigeage et ainsi d'estimer la variable étudiée, un modèle variographique doit donc être ajusté au variogramme. Le modèle variographique est une relation analytique qui doit être ajustée au variogramme. Il existe une grande variété de ces modèles, dont notamment les modèles linéaire avec palier (1.14), sphérique (1.15), exponentiel (1.16), gaussien (1.17) et pépitique pur (1.18).
γ(h) = 0 pour h = 0 C0+Cah pour 0 < h ≤ a C0+ C pour h > a (1.14) γ(h) = 0 pour h = 0 C0+ C h 3 2 h a − 1 2 h a 3i pour 0 < h ≤ a C0+ C pour h > a (1.15) γ(h) = 0 pour h = 0 C0+ C1 − e(−h/a) pour h > 0 (1.16) γ(h) = 0 pour h = 0 C0+ C h 1 − e(−h2/a2) i pour h > 0 (1.17) γ(h) = 0 pour h = 0 C0 pour h > 0 (1.18) Les modèles linéaire avec palier et sphérique sont des modèles dont la portée est exacte, c'est-à-dire que la portée utilisée dans ces équations est la même que celle observée dans le variogramme. Les modèles exponentiel et gaussien ont des portés asymptotiques. Dans ces deux cas, des portées pratiques a0 sont utilisés plutôt que d'utiliser une portée réelle.
Ces portées pratiques (a0) sont égales à 3a et a√3 dans le cas des modèles exponentiel et
gaussien respectivement, où a correspond à 95% de la distance de séparation h à laquelle le premier plateau est atteint. Finalement, il est possible que le seuil d'un variogramme soit nul, c'est-à-dire que l'eet de pépite et le palier soient égaux. Lorsque c'est le cas, l'ensemble d'observations ne présente pas de corrélation spatiale et le modèle pépitique pur est utilisé. La forme des modèles typiquement utilisés est présentée à la gure 1.9.
Il est important de noter que l'objectif premier de l'ajustement d'un modèle analytique à un variogramme expérimental est de capturer le comportement général de la variabilité des ob-servations étudiées et qu'il est inutile d'essayer de modéliser trop nement variogramme expé-rimental. Un modèle variographique ajusté parfaitement aux points du variogramme n'orira pas nécessairement de meilleurs résultats. Il est par conséquent préférable que le modèle le plus simple soit privilégié si deux modèles diérents semblent correspondre au comportement d'un variogramme (Goovaerts,1997).
a) Modèle linéaire b) Modèle sphérique c) Modèle exponentiel
d) Modèle gaussien e) Modèle pépitique pur Figure 1.9 Modèles variographiques
1.2.3 Interpolation par krigeage
Le krigeage est décrit comme le meilleur estimateur linéaire sans biais. Il s'agit du meilleur estimateur parce qu'il minimise la variance de l'erreur d'estimation, linéaire puisqu'il s'agit d'une estimation eectuée par une combinaison linéaire d'observations et sans biais puisque la moyenne des erreurs d'estimation est nulle. Plusieurs méthodes de krigeage ont été développées depuis l'ébauche de la méthode par Krige (1951).
Les méthodes de krigeage les plus souvent utilisées sont le krigeage simple, le krigeage ordinaire et le krigeage universel. Le krigeage simple est la méthode de krigeage la moins complexe et ne peut être utilisée que si l'espérance (Eq. 1.11) de la fonction aléatoire étudiée est connue et constante sur l'ensemble de la zone étudiée. Comme l'espérance de la fonction aléatoire est rarement connue, il est fréquent que le krigeage simple ne puisse être utilisé. Le krigeage ordinaire, une généralisation du krigeage simple, a été développé pour permettre l'utilisation du krigeage lorsque l'espérance de la fonction aléatoire est inconnue et supposée constante localement. Cependant, cette hypothèse d'une espérance constante peut être perçue comme une simpli cation. Le krigeage universel, aussi appelé krigeage avec modèle de tendance ou krigeage avec dérive externe, a été développé dans le but d'orir une méthode d'estimation respectant le plus dèlement possible le comportement spatial du phénomène étudié. Dans
le krigeage universel, l'espérance est fonction des coordonnées spatiales des observations de la variable aléatoire et ne fait donc pas appel à des hypothèses ou des simpli cations, ce qui mène à une estimation de meilleure qualité. Finalement, plusieurs autres variantes du krigeage existent aussi, comme par exemple : le krigeage robuste, le krigeage par indicatrices, le krigeage disjonctif et de nombreuses autres, la complexité de ces dernières dépasse cependant le cadre de ce mémoire.
La méthode de krigeage utilisée dans le cadre de ce projet est le krigeage ordinaire, cette dernière étant celle dont l'utilisation est la plus répandue et qui ore un intéressant compromis entre la simplicité d'exécution du krigeage simple et la précision du krigeage universel. De plus, l'expérimentation a montré que pour les données de ce projet, l'utilisation de méthodes de krigeage plus complexes comme le krigeage universel, en plus de nécessiter un temps de calcul beaucoup plus important, ne présentent pas d'avantages signi catifs par rapport au krigeage ordinaire au niveau de la qualité de l'estimation.
Hypothèse de stationnarité
Pour que le krigeage ordinaire soit applicable, la fonction aléatoire dé nie par l'ensemble d'observations étudiée doit respecter la condition de stationnarité de second ordre intrinsèque. Ainsi, l'espérance de tout accroissement V (xi) − V (xi + h) doit être nulle (Eq. 1.19) et la
variance de tout accroissement V (xi) − V (xi+ h)doit exister et dépendre uniquement de h
(Eq.1.20) (Isaaks et Srivastava,1989;Cressie,1993). En d'autres mots, l'espérance des écarts doit être égale à zéro et l'estimateur de la variabilité spatiale γ(h) doit seulement varier en fonction de la distance de séparation h. Par conséquent, les observations de la variable aléatoire doivent suivre la même loi de probabilité, ne pas être aectées par une tendance spatiale et la variance entre une paire d'observations doit être indépendante de leur position dans l'espace.
E {V (xi) − V (xi+ h)} = 0 (1.19)
V ar {V (xi) − V (xi+ h)} = 2γ(h) (1.20)
Transformation des données
Le krigeage repose sur une hypothèse de normalité des données, c'est-à-dire que cette méthode suppose que la distribution expérimentale des données étudiées s'approche d'une loi normale. Il est possible d'appliquer le krigeage à un ensemble de données dont la distribution n'est pas normale, mais de façon à obtenir des estimations représentative des données et amélio-rer la performance du système, une transformation de ceux-ci peut s'avéamélio-rer nécessaire. L'une des transformations les plus courantes est la transformation logarithmique, une méthode de krigeage y est même dédiée, le krigeage log-normal (Cressie,1993). Les méthodes de
norma-lisation possibles ne se limitent cependant pas au logarithme naturel, le logarithme en base 10 est aussi très souvent utilisé, ou d'autres méthodes comme par exemple la transformée de Box-Cox (Box et Cox, 1964) ou la transformée arcsine (Cressie, 1993). Ce qui est essentiel de retenir de cette caractéristique du krigeage est que si un ensemble de données suit une loi de distribution qui n'est pas normale, les données devraient, dans la mesure du possible, être transformées de façon à appliquer une forme de normalité à sa distribution.
Expression mathématique du krigeage ordinaire
L'estimation d'une variable aléatoire à un endroit où il n'y a pas d'observation peut être obtenue de la combinaison linéaire pondérée des observations disponibles de cette variable près de l'endroit où l'estimation est réalisée. L'expression mathématique du krigeage ordinaire est présentée à l'équation 1.21(Matheron,1970;Cressie,1993).
ˆ γio = n X j=1 ωjγˆij− µ ∀ i = 1, 2, ..., n (1.21)
où ˆγioest la valeur estimée d'une variable aléatoire au point io, ˆγij la valeur d'une variable
aléa-toire au point ij, ωj le poids donné pour chaque observation (P ω = 1) et µ le multiplicateur
de Lagrange.
Il s'agit donc d'un système de n + 1 équations à n + 1 inconnues qui peut être résolu par élimination gaussienne et dans lequel le poids d'estimation ω est l'inconnue à déterminer. Ce dernier peut être développé sous la forme d'une matrice (Eq. 1.22) a n de mieux illustrer l'opération mathématique. ˆ γ11 γˆ12 · · · ˆγ1n −1 ˆ γ21 γˆ22 · · · ˆγ2n −1 ... ... ... ... ... ˆ γn1 ˆγn2 · · · ˆγnn −1 1 1 · · · 1 0 ω1 ω2 ... ωn µ = ˆ γ1o ˆ γ2o ... ˆ γno 1 (1.22)
1.3 Analyse géostatistique de barrages existants
Les géostatistiques ont d'abord été largement utilisées dans les domaines de la géologie, du génie minier et pétrolier. La polyvalence de cette démarche a intéressé nombre de chercheurs et celle-ci a été appliquée avec succès dans une grande diversité de domaines d'étude. Les géostatistiques sont aujourd'hui utilisées en hydrologie, en sciences de l'atmosphère, en sciences de l'environnement et dans divers domaines de génie. La géotechnique a notamment béné cié de l'utilisation de cet outil, qui a permis d'étudier des phénomènes qui étaient jusqu'alors mal compris, spécialement en ce qui concerne la variabilité des propriétés géotechniques des sols.
On retrouve entre autres l'utilisation des géostatistiques dans le domaine de la géotechnique pour traiter des problèmes reliés à la mécanique des sols, aux routes et aux barrages. Des travaux utilisant les géostatistiques pour étudier des barrages en remblai en till compacté du nord du Québec ont été réalisés au cours des dernières années. Ils seront présentés dans cette section de façon à présenter les avancées faites dans de domaine et à illustrer l'évolution de la démarche d'analyse géostatistique des barrages.
1.3.1 Analyse variographique des données de contrôle
Les données de contrôle mesurées sur le noyau du barrage LG-3, situé dans la région de la Baie James, ont été étudiés à l'aide des géostatistiques par Soulié et al. (1983). Il s'agit d'un des premiers projets visant à appliquer la démarche géostatistique au domaine des barrages et portait sur l'étude des données relatives au degré de compactage et la procédure de contrôle utilisée pendant la construction. La démarche d'analyse, inspirée des travaux deFavre(1982), a été réalisée par blocs dont le volume unitaire a été déterminé à partir de la fréquence des essais de contrôle. Les propriétés géotechniques abordées dans cette étude sont les poids volumiques secs (mis en place, maximum et maximum corrigé) et le degré de compactage.
Les auteurs ont d'abord réalisé une analyse géostatistique pour des coordonnées 3D. Cette approche ayant été quali ée d'échec, une approche alternative basée sur les coordonnées tem-porelles des essais de contrôle a été utilisée et a mené à des résultats beaucoup plus satisfaisants. L'échec de la méthode 3D est expliquée par la façon dont les barrages sont construits. En eet, lors de la construction d'un barrage, les matériaux sont mis en place séquentiellement sous la forme de couches de sols d'épaisseurs constantes (levées), ainsi les matériaux utilisés dans deux blocs adjacents dans l'axe vertical peuvent présenter des propriétés géotechniques largement diérentes dues au temps nécessaire à la mise en place des deux blocs. Cette caractéristique de la méthode de construction rend donc di cile l'évaluation d'une continuité spatiale dans l'axe vertical et l'analyse géostatistique d'un barrage doit toujours tenir compte de la séquence de construction.
Les auteurs concluent que l'approche géostatistique permet de quanti er la variabilité spatiale des paramètres analysés, que l'analyse de la distribution des valeurs de degré de compactage est insu sante pour caractériser l'état du barrage et qu'il est nécessaire de revoir les procédures de contrôle de façon à les adapter à d'éventuelles analyses géostatistiques réalisées à partir de celles-ci.
1.3.2 Analyse géostatistique d'essais in situ
Les géostatistiques ont été utilisés en géotechnique a n d'analyser des résultats d'essais in situ et de caractériser la variabilité spatiale de divers paramètres géotechniques (Chiasson et al.,
1995). Ce type d'analyse a aussi été réalisé dans le cadre de projets menés sur des barrages a n d'étudier certains phénomènes pouvant s'avérer problématiques quant à l'exploitation de
tels ouvrages. Une étude réalisée par Smith (2002) a notamment visée à évaluer l'état de la fondation de sable et d'argile d'un barrage du nord du Québec suite à la détection de zones d'écoulement en aval de celui-ci. Une étude de risque a déterminé que le mode de rupture le plus probable était lié à l'érosion des matériaux granulaire au travers d'un exutoire non- ltrée de la fondation.
Des données de puits de forage et de piézomètres ont été étudiés à l'aide des géostatistiques a n de modéliser l'élévation du plan de contact entre le sable et l'argile et d'évaluer la profondeur et l'épaisseur de la couche d'argile dans le but de délimiter les zones les plus critiques dans la fondation. Les résultats de l'analyse géostatistique ont montré que l'épaisseur de la couche d'argile sous le barrage avait une épaisseur de 10 à 15 mètres, mais qu'en aval du barrage, l'épaisseur de cette dernière pouvait atteindre un minimum de 3 m en certains endroits. L'utilisation des géostatistiques pour analyser des données d'essais in situ a permis d'obtenir un aperçu approfondi des conditions in situ et de localiser des zones critiques dans la fondation du barrage. Finalement, les résultats de cette étude ont pu être utilisés pour plani er d'éventuelles inspections additionnelles à moindres coûts et à développer des pistes de solutions optimisées pour d'éventuels travaux de réfection.
1.3.3 Analyse géostatistique des conductivités hydrauliques
Les géostatistiques ont aussi été utilisées pour étudier le comportement hydraulique des bar-rages présentant des comportements problématiques. Les travaux de Smith (1999);Smith et Konrad (2011); Qin (2015) portent sur les résultats d'essais de contrôle réalisés pendant la construction de la digue QA-01 du complexe hydro-électrique LG-4. La surveillance de l'ou-vrage a permis de détecter une anomalie thermique dans le noyau en till compacté du barrage qui suggère l'existence d'une zone présentant une conductivité hydraulique plus élevée. Ces travaux ont donc porté sur la modélisation des propriétés hydrauliques du noyau dans le but d'expliquer ce phénomène et d'étudier l'hétérogénéité de l'ouvrage.
La démarche utilisée dans ces travaux est basée sur l'approche proposée parSoulié et al.(1983). La structure spatiale utilisée pour la modélisation de la digue QA-01 est unidimensionnelle et représente la structure dépliée du barrage, de façon à respecter la séquence de mise en place, sur laquelle ont été disposées les observations en fonction du volume de sol mis en place. Les paramètres utilisés pour modéliser la conductivité hydraulique des matériaux du noyau sont le pourcentage de particules nes (% passant < 75 µm) et l'état d'agrégation du sol. Dans le cas de Smith (1999), la conductivité hydraulique a été déterminée à l'aide d'une relation entre la fraction ne et la texture (Fig. 1.10a) développée à partir d'essais réalisés sur les matériaux du barrage. La fraction ne a été estimée à l'aide des géostatistiques, alors que des valeurs moyennes journalières de le teneur en eau ont été utilisés pour déterminer la texture des matériaux. La méthode utilisée par Smith et Konrad (2011) se rapproche de celle
utilisée parSmith (1999). Pour cette étude, les estimations de la fraction ne ont été obtenus à l'aide des géostatsitiques et la texture a aussi été déterminée à partir de valeurs moyennes journalières de la teneur en eau. La conductivité hydraulique a cependant été calculée à l'aide d'une relation entre la conductivité hydraulique, la fraction ne et la texture du sol plus complète (Fig. 1.10b).
a)Smith(1999)
b)Smith et Konrad(2011)
Figure 1.10 Relations entre la conductivité hydraulique, la fraction ne et la texture Finalement, dans le cas de Qin (2015), la conductivité hydraulique a été calculée à l'aide d'équations développées parVenkovic et al.(2013) à partir de la relation entre la conductivité
hydraulique, la fraction ne et la texture des matériaux proposée parLeroueil et al.(2002), et permettant de calculer la conductivité hydraulique à partir de ces deux derniers paramètres. Dans le cadre de ce projet, la fraction ne, la teneur en eau et la masse volumique sèche ont été estimées à l'aide des géostatistiques, les valeurs estimées de la teneur en eau et de la masse volumique sèche ayant ensuite servi à déterminer la texture des matériaux avec plus de précision que dans le cas des travaux précédents.
Les résultats obtenus à l'aide des géostatistiques montrent que les conductivités hydrauliques du noyau de la digue QA-01 varient de trois ordres de grandeur, de 10−8 à 10−6 m/s, en
fonction de l'élévation et qu'un secteur du noyau présente une conductivité hydraulique signi- cativement plus élevée entre 350 et 360 m d'élévation (Fig. 1.11). De plus, la zone à plus haute conductivité hydraulique observée dans les résultats correspond bien avec une anomalie thermique détectée précédemment, ce qui tend à expliquer celle-ci. En eet, la présence d'un écoulement hétérogène provoqué par les diérences de conductivités hydrauliques observées dans le noyau cause la présence d'une zone dans laquelle le transport de chaleur est contrôlé par l'écoulement de l'eau, soit par advection (illustré par un trait noir dans la gure1.11). Les auteurs concluent que l'hétérogénéité des propriétés hydrauliques du barrage peut être expli-quée par la variabilité de la teneur en nes et de l'état d'agrégation des matériaux mis en place, qu'il est possible de modéliser la variabilité de la conductivité hydraulique à l'aide des géosta-tistiques et que la performance du barrage est fortement in uencée par l'état d'agrégation et donc des conditions de compactage.
Figure 1.11 Conductivités hydrauliques estimées et champs thermique mesuré de la digue QA-01
Source :Smith et Konrad(2011)
1.3.4 Analyse géostatistique bidimensionnelle
Les travaux de Venkovic et al.(2013) portent sur la modélisation des propriétés hydrauliques de la digue QA-01 et visent à améliorer les performances de l'approche d'analyse géostatistique utilisée pour étudier les barrages en remblai. Dans une approche semblable aux travaux de
Smith et Konrad(2011), la conductivité hydraulique a été estimée à l'aide de la relation entre le pourcentage de particules nes (% passant < 75 µm), l'état d'agrégation et la conductivité hydraulique. Ainsi, des estimations du pourcentages de nes, de la masse volumique sèche et de la teneur en eau ont été modélisés à l'aide des géostatsitiques pour une structure spatiale 2D représentant une coupe du barrage et ne tenant pas compte de la séquence de mise en place des matériaux lors de la construction.
Les conductivités hydrauliques obtenues à l'aide de la modélisation 2D sont signi cativement diérentes des résultats de Smith et Konrad(2011) et ne parviennent pas à représenter aussi dèlement l'anomalie thermique. Les auteurs concluent que la modélisation de la masse volu-mique sèche et de la teneur en eau pour déterminer l'état d'agrégation, plutôt que d'utiliser des valeurs moyennes, présente des avantages en ce qui concerne la qualité des résultats, mais qu'une approche géostatistique ne tenant pas compte de la séquence de mise en place ne permet pas de modéliser correctement les propriétés hydrauliques du noyau.
Chapitre 2
Description du site d'étude
Le site étudié dans le cadre de ce projet est le barrage Sainte-Marguerite-3 (SM-3) du com-plexe hydro-électrique SM-3 (Fig. 2.1). Il a été érigé par Hydro-Québec sur la rivière Sainte-Marguerite au nord-ouest de la ville de Sept-Îles (Fig. 2.2). Il s'agit d'un barrage en remblai dont la construction s'est étendue sur trois ans, de mars 1996 à septembre 1998, et dont la mise en eau a débuté le 1eravril 1998. Il retient un réservoir d'une longueur de 140 km, d'une
profondeur maximale de 145 m, d'une super cie de 253 km2 et d'un volume de réserve utile
établi à 3,3 milliards de m3 sur un volume total de 12,5 milliards de m3. Le réservoir alimente
une centrale souterraine d'une puissance de 882 MW (Hydro-Québec,1999a). Le barrage SM-3 a été renommé barrage Denis-Perron en 2000.
Figure 2.1 Barrage Denis-Perron (SM-3) Source : Hydro-Québec
Figure 2.2 Rivière Sainte-Marguerite Source :Hydro-Québec(1999a)
2.1 Barrage SM-3
Le barrage SM-3 est d'un volume total de 6,3 millions de m3, d'une longueur et d'une largeur
en crête de 378 m et 10 m respectivement et d'une hauteur maximale de 171 m, ce qui en fait le plus haut barrage de ce type au Québec. Il est constitué d'un noyau en moraine (till compacté) supporté par de l'enrochement. Un schéma du barrage est présenté à la gure 2.3.
Figure 2.3 Schéma du barrage SM-3 Source :Hydro-Québec(1999a)
Les matériaux utilisés pour la construction du noyau proviennent de cinq dépôts (9, DE-9A, DE-9B, DE-9Est et DE-12) localisés en périphérie du site de construction (Fig. 2.4). La gure 2.5présente l'origine et la localisation des matériaux utilisés dans le noyau.
Figure 2.4 Carte des dépôts d'emprunt Source : Hydro-Québec
