ARTheque - STEF - ENS Cachan | Mécanique générale

(1)

MECANIQUE

111111111

MÉCANIQUE GÉNÉRALE

Par M. Gaillard, ancien élève de I'E.N.S. de Cachan, Professeur ENSAM à

1'/.U.

T. de Saint Etienne et J.C. Raffy, Ingénieur IN SA, Maitre de conférences

à

/'/.UT.

de Saint Etienne. .

Collection HB. T.S.-J.U. T.- Ecoles d'Ingénieurs H.

J,'idée directrice principale de ces deux tomes est de fournir aux

tecteurs tous les éléments nécessaires à la compréhension des

difficultés de la mécanique générale : principes, théorèmes, démonstra-tions, justificadémonstra-tions, exemples d'application. Cette "manière de penser• est utilisée depuis l'acquisition des éléments de base (géométrie vectorielle, géométrie des masses, ... ) jusqu'à la résolution de problè-mes assez complexes de dynamique du solide. Une méthode synthéti-que (analyse, écriture. des équations, résolution, interprétation des résultats) est proposée. A toutes les étapes, les auteurs se sont efforcés de mettre en évidence les modélisations physiques, mathématiques, mécaniques adoptées ... sans cacher quelques interrogations ou contra-dictions. Cette méthode est appliquée dans la résolution complète de nombreux exercices dont les solutions occupent plus de 80 pages.

Tome 1 :.. Géométrie Vectorielle. Géométne des masses Cinématique

1990, 17 X 24, 200 pages. N<' 501 128 F

Sommaire. - Espace, vecteur, torseur. Géométrie des masses :

Configuration d'un système matériel, masse d'un système matériel, centre de masse (ou d'inertie), éléments d'inertie. Eléments de cinémati-que : Vecteur rotation, dérivation de fonctions vectorielles, démonstra-tion de la reladémonstra-tion de . dérivadémonstra-tion composée, vecteur vitesse, vecteur accélération d'un point par rapport à un repère. composition des vitesses, des accélérations, champ des vitesses des points appartenant

à un solide, cinématique du contact entre deux solides. .

Tome 2 • Dynamique: méthode vectorielle

1990, 17 X 24, 176 pages. N<' 502 120 F

Sommaire. -Cinétique. Actions mécaniques, paramétrages,.liaisons:

Etude locale de l'action mécanique de contact entre deux solides, liaisons et paramétrages d'un système matériel, liaisons parfaites entre solides. Théorèmes généraux (à caractère vectoriel) de la dynamique, modélisations possibles: Principes de la mécanique classique et

repères galiléens, théorèmes généraux à caractère vectoriel, cas du

solide, modélisations possibles. Synthèse et résolution : Comment

traiter un problème en utilisant les théorèmes généraux à caractère

vectoriel, éléments sur les systèmes d'équations différentielles du

deuxième ordre, homogènes, linéaires, à coefficients constants, étude

qualitative des mouvements.

28 1111(1 ..., ll1!nt

isetlll--

m Ill ~sa·~ 1 1

(2)

-UN NOUVEAU LIVIE DE ...

Vous trouverez

dans les ~ages suivantes le sommaire et un extrait du

livre de "mécanique générale" que nous avons publié en mars 90.

Nous remercions

notre éditeur (EYR.OLLES) pour l'autorisation de

repro-duire ces documents.

Les pages

88 l 90 présentent essentiellement l'énoncé du problème

"ETUDE D'UNE SCIE" dont la solution figurent dans les pages 150 l1S4..

L'ensemble

des deux tomes contient environ 120 pagea d'énoncés et de

solutions.

Nous avons essayé

d'écrire un livre permettant "à quelqu'un qui n'y

connaît rien" de suivre les leçons, faire des exercices et vérifier ses résultats. Le sommaire montre que le niveau final est suffisant pour traiter

COMPLE-TEMENT les problèmes courant de mécanique des solides. L'utilisation en

cours libère les élèves de la copie et permet de consacrer plus de temps aux exercices ...

Ce livre s'adresse notamment :

- aux enseignants de mécanique ou de construction,

- aux étudiants des classes préparatoires technologiques, de

BTS, d'IUT et des premiers cycles des Ecoles d'Ingénieurs et de l'Universite,

- aux Ingénieurs et techniciens : ils trouveront ici les éléments

théoriques et pratiques utiles aux applications industrielles concrètes.

Ce livre

est disponible dans les LIBRAIRIE et aux EDITIONS EYR.OLLES

(61, Boulevard St-Germain 75240 Paris Cedex OS - Tel : (1) 46.34.21.99). En le demandant (gentiment 1) vous pourrez sans doute obtenir une réduction pour vous ou vos élèves ...

Les auteurs :

Marcel GAILLAim

ancien élève de l'E.N.S. de Cachan Professeur E.N.S.A.M. à l'I.U.T. de St-Etienne, membre de l'A.P.T.E.P

Jeàn Claude RAFFY

Ingénieur I.N.S.A. M_aître de conférence à l'I.U.T. de St-Etienne

(3)

~ Sommaire du livre .. MECANIQUE GENERALE .. pùblié en Mars 1990 aux éditions EYR.OLLES . par Marcel GAILLARD et Jean-Claude RAFFY professeurs de Mécanique à l'I.U.T. de SAINT-ETIENNE SOMMAIRE DU TOME 1 PREMIERE PARTIE : Introduction • Bibliographl~ • Introduction DEUXIEME fABI!f : espace -vecteur -torseur • Espace et reP.~r age • Vecteurs libres • Vecteurs li~s et ensembles de vecteurs lib • Tors~urs • Tableau d~s unités rranÇals~s et anglals~s TROISIEME PARTIE : g~om~trle des masses • Configuration d'un système matériel • Masse d'un système matériel • Centre de masse lou d'inertiel • Eléments d'Inertie : moments .• produits, tenseurs, matrices, elllpsoide OUATRIEME fMil.E : ~l~ments de cln~matlque • Définitions dlv~rses • Vecteur rotation • Dérivation de fonctions vectorielles • D~monstratlon de la relation de d~rlvatlon composée • Vecteur vitesse d'un point par rapport l un repère • Vecteur acc~l~ratlon d'un point par rapport A un repère a Composition des vitesses • Composition des accêlératlons • Champ des vitesses des points appartenant l un solide • Etude de mouvements particuliers • Cinématique du contact entre deux. solides .6tifiEXE : correction des exercices 2 5 ₁₃ ₁₅ ₁₉ ₂₃ ₂₇ ₄₂ 45 47 50 52 59 89 91 97 ₁₀₁ ₁₀₅ _f09 ₁₁₇ ₁₂₃ ₁₂₇ ₁₃₁ ₁₃₉ ₁₄₇ ₁₅₁ SOMMAIRE DU TOME· 2 CINOUIEME fA!illE : cln8tlque • Energie cinétique · • Tor seur cinétique • Tor seur dynamique SIXIEME f.ABilE : actions m~canlques -param~trages -liaisons • Actions mécaniques • Etude locale de l'action mécanique de contact entre deux solides • Liaisons et paramétrages d'un système matériel • liaisons parfaites entre solides SEPIIEME fMii1E : th~orèmet gé!l~raux tl caractère vector!ell de .la dynamique -modélisations ponlbles • Principes de la mécanique classique et repères galiléens • Théorèmes généraux l caractère vectoriel • Cas du solide -modélisations possibles HU!TIEME fAillLE : synthèse et résolution • Synthhe : comment traiter un problème. en utilisant les théorèmes généraux à caractère vectoriel (cas d'un système l contenu matér!el Invariable) • Consens et méthodes pratiques pour la résolution des problèmes usuels • Eléments sur les systèmes d'équations différentielles ,du deuxième ordre, homogènes, linéaires, à coefficients èonstants • Etude qualitative des mouvements • Exercices de synthèse Hit:l.EXf : 'correction des exercices 1 3 7 ₁₅ ₂₁ ₂₃ ₂₉ ₃₇ ₄₅ ₅₇ ₅₉ ₆₅ ₇₅ ₉₁ ₉₃ ₉₇ 101 105 115 121

(4)

lhl

nouveau

li~ne

...

horizon

ta

L'action mécanique du. pied sur la pédale est un torseur supposé spécial, de résultante F

1 ed verticale, dirigée vers le bas, d'Intensité 500 N et rencontrant

l'axe ABC

enPu~

point situé au milieu de AB.

\ .

Les poids des pièces et les résistances passives sont négligés

On demande "d'Isoler" (de considérer) les différents solides en adoptant, pour chacun d'eux, le modèle le plus efficace.

On déterminera toutes les actions mécaniques de contact, littéralement puis numériquement.

111.103. Etude d'une scie :

Hypothèses

m

JJ!§. caractéristiques

m

pjèces §1

ill

liaisons : · Les pièces et les liaisons sont symétriques par rapport au plan o.x

0y0. Les contacts en A, B, C, D, E et K sont supposés ponctuels et sans frotte-ment.

Le système bielle-manivelle réel est rempl.acé par une manivelle à coulisse car la longueur de la bielle est grande par rapport au rayon de la manivelle.

---+ ... ...

La force- de la pièce sur la scie est F P/

1

=

Xc

x0 + Y

c

y0 . On a mesuré :

• pendant la coupe : Y

c::

~ 200 N

• pendant le retour de la scie : Y

c::

100 N.

Les masses et les centres de masses des pièces sont : • m

1

=

20 kg et G1 (voir schéma) pour la pièce (1)

• m₂

=

20 kg et le point 0 milleu de CE pour la pièce (2) • m

3

=

100 kg et le point G3 dù schéma pour la pièce (3)

(5)

-1 oc= wt avec w=2.1t. rad.s .

questions de cinématique : l'axe de la coulisse de K Bâti (0) si ct

=

0'

c

est en C 1 et K est en K1

1°) Ecrire l'équation qui exprime 1 a 1 i ai son entre -- e,t y Gl

2°) Déterminer le vecteur accélération Y.

1

JG

1

1~) questions de dynamique :

Dans: tous, les systèmes considérés ct-dessous, le plan Ox.,Oy est un plan de. symétrie des masses et des liaisons. Pa~ conséquent, tous ces sytêmes seront consi-dérés comme 11_p.lans11

, sauf la pièce: 2 qui sera isolée dans 1 'espace. 1°) Considérer le solide 1 (en noir su~ la figure)

- nombre d'équations ?

-nombre d'inconnues 1

- conclusion ?

_{____.}

- détenni ner 1 a force K

211

(6)

• au cours du mouvement de coupe

• au cours du mouvement de retour

• tracer le diagramme des variations de cette force en fonction de

( el..

variant de- {

à

3 x~

)

La fonction représentée

est~elle

périodique

?

Période

?

Pulsation

?

2°) On admet que ·l'.àccouplement communique

à

la pièce (2) un couple

d'axe Oz

₀

et que cette pièce est équilibrée statiquement et dynamiquement autour

dec cet axe. Oêtenminer ,toutes les inconnues venant de l'isolement de cette pièce

(problème dans l'espace).

r

_{2 sera le moment d'inertie de (2) par rapport}

à

Ozo.

3°) Considérer le solide 3

- nombre d'équations

?

-nombre d'inconnues

?.

- conclusion

?

4°) Considérer

1

'ensernhle (3

+

1) (la

force~

étant connue d'après 1°)

- nombre d'équations

?

- nombre d'inconnues ?

-conclusion?

___...

- Déterminer la composante inconnue de FP/

₁

pendant le mouvement de

coupe

p~is

pendant le mouvement de retour.

(7)

Un

_{!iv-te ...}

--..

L 0 - 80 000 + 80 000 = 0 (4) soit, sur x

.

g

--..

M

0 + 30 000 = 0 (5) sur y : g

--..

No

=

0

(6) sur

z

.

g

d) Résultats : En résolvant les équations (1)

à

(6), on trouve

0 ax/m

=

(a~o ~

(en Nl

5o~)

.. ..

; g

7

.111.103. Etude d'une scie

Questions de cinématique et _Coax/m

=

(-3o

0

ooo)

(en mm.N)

.

0

"g" 1•) Equation !iant ex et yG

1 : on trouve yG1

=

0,45 + 0,1 sin wt (en m).

donne:

Questions ~ dynamique 1•) Considérons le solide

ill

~

IX.

A

fxa

A

8

YK

G1 ..._

-0 -+ "P.

Xc.

1 loj

--..

y(G₁/t)

=

-R w2 sin wt y 0 1/0

_--..

=

-0,4 n2sin 2n t y 0

a) Analyse (modèle plan, base de projec-tion "0")

a1) Eléments connus : -loi de mouvement :

y

G 1 -actions mécaniques :

--..

en G 1,

Pt

-m1g x0 ' en C, la composante Y c de l'effort de coupe est donnée (- 200 ou 100 N).

(8)

a2) Eléments Inconnus :

---+ ... _ . ...

-liaison glissière plane parf~ en A .!t 8: A

311

=

XA x0 et 8 311

=

X8x0 ,

compo-sante Xc de l'effort de coupe et K

211

=

Y K y0 représentant l'action mécanique de la

manivelle (2) sur (1).

a3) Bilan et conclusion nous avons 4 Inconnues et 3 équations de statique plane. La modélisation parait hyperstatique d'ordre

-

1. On peut cependant déterminer la

...

force K 211 =Y K y0• ·

-

,-b) Détermination de K 211

=

Y K y0 : c) Résultats :

- Mouvement de coupe

(~1t/2 ~ex ~

1t/2):

(Y

K)c

=

200-79 sin 21tt (en N) - Mouvement de retour (1t/2

~ex~

31t/2):

(v

K)R

=

-100-79 sin 21tt (en N) d) Diagramme des variations de Y K

Yc

(H)

La fonction représentée n'est pas harmonique mals elle est pér,lodlque de pé-riode 2n radians.

(9)

Un

li~e

...

2•) Considérons

li

manivelle

1Z.l :

nous vous donnons quelques éléments de solution.

Modèle "pièce statiquement et dynamiquement équilibrée en rotation uniforme autour de son axe", (voir 7 .III. 7), base de projection "0", centre des moments en D (conseillé). Vous trouverez facilement que cette pièce est modélisée de façon Isodynamique. Vous déterminerez les Inconnues dans les paliers D et E

X₀,

Y

0 , XE'

Y

E et ZE • Enfin vous trouverez .le couple moteur :

-mouvement de coupe

(cm

012

)c=

(20-7,9sin21tt) cos21tt (en m.N)

-mouvement de retour

(cm

012)R= -(10+ 7,9sin21tt) cos2'ltt (en m.N)

· En conclusion : couple variable d'où la nécessité d'une régulation de vitesse angulaire, généralement réalisée par un volant sur ce type de machine.

3•) Considérons

1!

solide

,Ul

-x

A

.. x,

Xo

---63

Pt

Xo

~0 'fo

a) Analyse (modèle plan, base de projec-tion "0")

a1) Eléments connus :

-loi de mouvement : aucune (on négli-ge le torseur dynamique dQ au mouvement de rotation autour de Oz

0. Nous adoptons

donc le modèle statique. -action mécanique :

.... -+

en G

3 , P3 =-m3gx0

En A et 8 les composantes -XA et -X

8 des actions mécaniques de (1) sur (3)

sont Inconnues (XA et X

8 n'ont pas· pu être déterminées au 1• 1)

En 0 , liaison pivot plane pari alte :

a;;

=

(~~)

0 "0"

a3) Bilan et conclusion : 4 inconnues et trois équations de statique plane. Le modè-le parait hyperstatique d'ordre 1.

(10)

4') Considérons l'ensemble (3+1) (3)

Gp+"

r- (1) J l

,.

1 G1 YK 1<. Xo

...

_-

-~0

-+ ·~

4 c..l~,.'

a) Analyse (mod~le plan, base de projec-tion "0")

a1) Eléments connus : · .:.loi de mouvement :

y

G 1, -action mécanique :

_{__,.}

en G 3, P 3

=

-m3g x0 ,

-

...

en

K , K

21{ Y Ky 1 (voir 1•) et, en C, la composante Y

c

(do~née). Il y a deux Inconnues en 0 (X 0 et Y 0 ) et une Inconnue en C (Xc).

a3) Bilan et conclusion :

Nous avons 3 équations de dynamique .plane et trots Inconnues. Le modèle paratt Isodynamique.

b) Equations :

Nous vous Invitons

à

écrire les trots équations pour déterminer les trots ln-connues. On peut aussi, comme l'énoncé le demande, déterminer seulement la composante Inconnue (Xc> de l'effort de coupe par l'équation de moment par rap-port à l'axe 0 z

0:

~M (F ext/3+1) + ~

C

ext/3+1

=

Ï:

0• 8(3+1/t)

/Oz0 zo 1010

(11)

Un

LLV"'2e ...

:)dbut de l'annexe de clndtlque

8(3+1/t)

=

8 (3/t) + 8 (1/t)

/0/0 /0/0 /0/0

--+

Le solide (3) est supposé fixe donc

8

(3/t)

=

0

/0/0

--+

Le solide (1) est mobile en translation donc

8

.(1/t)

=

0

/G1/0 ----~ ~ --+ Par ailleurs:

8

(1/t)

= 8

(1/t) + m 1

y

(G1/t) A G10

=

-4 sin 21ft

z

0 /0/0 /G1 /0 1/0 Fln de l'annexe de clnltlque.

L'équation cherchée s'écrit donc :

c) Résolution numérique : on trouve

(XC)

=

693,3 + 16,7 (sin 21ft+ COS 2Kt)- (10,7 COS 2Kt- 5,3) sin 21ft

coupa

(XC)

t

=

633,3 + 32 sin 2nt- 2,7 (5 +

4

sin 2nt) COS 2Kt

ra our

Conclusion g6n6rale:

La modélisation de la scie para1t Isodynamique car nous avons : - Deux systèmes "plans" et un système "dans l'espace", donc 12 équations,

-121nconnues:

XA' Y

₈,

Xc, XK' X

0,

Y

0 ,

X

0,

Y

0,

2

0,

Xc, Yc,

et Cmo/2'

Toutes les inconnues peuvent donc être déterminées pendant la coupe et pendant le retour de la scie. C'est notamment le cas de celles que nous vous laissons le soin de trouver en répondant à la cinquième question.