Etude de fonctions 4eme Sc Expérimentales Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé , , .
Exercice 1
1) Soit la fonction définie sur ℝ par : = 2 + 3 + 1 a) Dresser le tableau de variation de la fonction .
b) Montrer que l’équation = 0 admet dans ℝ une unique solution et que −2 < < −1 c) Dresser alors le tableau de signe .
2) Soit la fonction définie par : = et soit sa courbe représentative. a) Déterminer le domaine de définition de la fonction .
b) Montrer que est dérivable sur et que pour tout ∈ on a ; ! = " # c) Dresser alors le tableau de variation de la fonction .
3) Déterminer les asymptotes de .
4) a) Déterminer une équation de la tangente $ à la courbe au point d’abscisse 0. b) Préciser la position de par rapport à $.
c) Tracer $ et . (on prendra ≃ −1,1)
Exercice 2
Soit la fonction définie sur ℝ par : = # & et soit sa courbe représentative. 1) a) Déterminer les réels ' et ( tel que pour tout ∈ ℝ on a : = ' + )#
b) Montrer que la fonction est impaire. Que peut-on déduire pour la courbe ? 2) a) Montrer que ∀ ∈ ℝ, on a ; ! = + ##,+ ## &,
b) Dresser le tableau de variation de .
3) Donner une équation de la tangente $ à à l’origine. 4) Soit la droite d’équation - = − .
a) Etudier la position de relativement à la droite .
b) Montrer que pour tout réel non nul on a : + = .
/ 0#1
En déduire lim
→ ∞ + . Que peut-on déduire pour la courbe ?
5) Tracer , $ et .
Exercice 3
Soit la fonction définie par : = ## et soit sa courbe représentative. 1) a) Déterminer le domaine de définition de
b) Montrer que est dérivable sur ℝ et que ∀ ∈ ℝ on a : ! = #+# # # 6, c) Dresser le tableau de variation de
2) a) Montrer que ∀ ∈ ℝ on a : = + 2 − #.
b) Montrer alors que la droite : - = + 2 est une asymptote oblique à . c) Etudier la position de et .
3) a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente $ à au point d’abscisse 0 b) Montrer que $ est parallèle à
c) Etudier la position de et $. 4) Tracer $, et .
Exercice 4
Soit la fonction définie par : = 1 − √ − 2 + 5 et soit sa courbe représentative. 1) a) Montrer que est définie sur ℝ.
b) Montrer que la droite : = 1 est un axe de symétrie de . 2) a) Montrer que est dérivable sur ℝ et déterminer ′ . b) Préciser le sens de variation de sur <1 , +∞<.
c) Montrer que lim
→ ∞ = −∞
d) Dresser le tableau de variation de .
3) a) Vérifier que ∀ ∈ ℝ on a : − − + 2 = >
√ # &
b) Montrer que la droite : - = − + 2 est une asymptote oblique à au voisinage de +∞. c) En déduire que la droite : - = est une asymptote oblique à au voisinage de −∞. 4) Tracer , et .
Exercice 5
Soit la fonction définie sur ℝ par : = √ + 8 − et soit sa courbe représentative. 1) a) Montrer que lim
→ ∞ = 0
b) Montrer que ∀ ∈ ℝ on a : > 0 2) a) Montrer que ∀ ∈ ℝ on a : ! = −
√ # .
b) Dresser le tableau de variation de .
c) Etudier la branche infinie de au voisinage de −∞ 3) Soit A la fonction définie sur ℝ par : A = −
a) Montrer que l’équation A = 0 admet dans ℝ une unique solution et que 1,6 < < 1,7 b) En déduire le signe de A sur ℝ.
b) Etudier les positions relatives de et de la droite ∆: - = c) Construire et ∆.
Exercice 6
Soit la fonction définie sur E−∞ , 1E par = −√1 − et soit sa courbe représentative.
1) a) Etudier la dérivabilité de à gauche en 1 et interpréter le résultat graphiquement. b) Montrer que est dérivable sur E−∞ , 1<
c) Dresser le tableau de variation de .
2) a) Etudier la branche infinie de au voisinage de −∞.
b) Montrer que l’équation = admet dans E−∞ , 1E une unique solution et que −2 < < −1 c) Tracer .
3) a) Montrer que∀E−∞ , 0E on a : ! ≤ b) En déduire que | − | ≤ | − |
Exercice 7
Soit la fonction définie par = √1 − et soit sa courbe représentative. 1) a) Montrer que E−∞ , 1E est le domaine de définition de .
b) Montrer que est dérivable sur E−∞ , 1<.
c) Etudier la dérivabilité de à gauche en 1 et interpréter le résultat graphiquement d) Dresser le tableau de variation de .
2) Soit la fonction ℎ définie sur E−∞ , 1E par ℎ = − . a) Dresser le tableau de variation de ℎ.
b) Montrer que l’équation ℎ = 0 admet dans E−∞ , 1E une unique solution et que 0 < < 1 c) En déduire le signe de ℎ sur E−∞ , 1E.
d) Etudier les positions relatives de et de la droite : - = 3) a) Montrer que lim
→ ∞ = −∞ et interpréter le résultat graphiquement.
b) Construire et la droite (unité graphique 3 cm).
4) a) Montrer que réalise une bijection de E−∞ , 1E sur un intervalle I que l’on déterminera. b) La fonction est-elle dérivable en 1 ? Justifier.
c) La fonction est-elle dérivable à droite en 0 ? Justifier d) En déduire que est dérivable sur <0 , 1< ∪ E1 , +∞<
Exercice 8
Soit la fonction définie sur E0 , +∞< par : = 1 +
√ et soit sa courbe représentative.
1) a) Etudier les variations de .
b) Montrer que réalise une bijection de E0 , +∞< sur un intervalle I que l’on déterminera. 2) Soit la réciproque de et soit ′ sa courbe.
a) Calculer / 1 puis ′ / 1. b) Dresser le tableau de variation de . c) Expliciter pour tout ∈ I.
3) Soit A la fonction définie sur E0 , +∞< par : A = − .
a) Dresser le tableau de variation de A.
b) Montrer que l’équation A = 0 admet dans E0 , +∞< une unique solution et que 1 < < 2 c) En déduire le signe de A sur E0 , +∞<.
c) Etudier la position de et la droite ∆: - = . 4) Construire et ′ .
Exercice 9
Soit la fonction définie sur par : = − +
√ et soit sa courbe représentative.
1) Donner le domaine de définition de . 2) a) Calculer lim
→ ∞ et →limK
b) Dresser le tableau de variation de .
3) a) Montrer que la droite : - = − est une asymptote à . b) Etudier la position relative de par rapport à .
4) a) Donner une équation cartésienne de la tangente $ à la courbe au point d’abscisse 0. b) Tracer ; et $.
5) Montrer que l’équation = admet dans E−1 , +∞< une unique solution et que 1 < < 1,5 6) a) Montrer que réalise une bijection de E−1 , +∞< sur un intervalle I que l’on déterminera.
b) Montrer que la réciproque de est dérivable sur I. c) Calculer en fonction de ; ′ .
d) Tracer la courbe ′ de .
