Développement asymptotique et sommabilité des solutions des équations linéaires aux q -différences

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 515–518

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Systèmes dynamiques

Développement asymptotique et sommabilité des solutions des équations linéaires aux q -différences

Jean-Pierre Ramis

, Jacques Sauloy

, Changgui Zhang

aLaboratoire Emile-Picard, CNRS UMR 5580 et IUF, UFR MIG, université Paul-Sabatier de Toulouse, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 4, France

bLaboratoire P. Painlevé CNRS UMR 8524, UFR Math., université des sciences et technologies de Lille, cité scientifique, 59655 Villeneuve d’Ascq cedex, France

Reçu le 9 décembre 2005 ; accepté le 20 janvier 2006 Disponible sur Internet le 24 février 2006

Présenté par Jean-Pierre Ramis

Résumé

Nous décrivons desq-analogues des développements asymptotiques et des séries multisommables et nous les appliquons à la classification analytique locale des équations auxq-différences linéaires irrégulières, répondant ainsi à des questions de G.D.

Birkhoff.Pour citer cet article : J.-P. Ramis et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Asymptotic expansion and summability of solutions of linearq-difference equations.We describeq-analogs of asymptotic expansions and of multisummable series and we apply them to the local analytic classification of irregular linearq-difference equations, thus answering questions of G.D. Birkhoff.To cite this article: J.-P. Ramis et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

1. Introduction

Soitq un nombre complexe de module>1. Pour toutλ∈C^∗, on note[λ] = [λ;q] =λq^Zlaq-spiralepassant par λ, que l’on peut identifier à un point de la courbe elliptiqueEq=C^∗/q^Z. Un diviseur effectif deEq(en abrégé, un diviseur) est une somme finie de spirales pondéréesΛ=ν1[λ1] + · · · +νm[λm], oùνi∈N^∗et où[λi] = [λj]sii=j. Son support est la réunion desq-spirales[λ1], . . . ,[λm].

Dans [4] nous avons décrit en termes de modules auxq-différences filtrés et de formes normales polynomiales les invariants des classes analytiques isoformelles résolvant ainsi, suivant une approche de Birkhoff [1], le problème des modules pour ces classes. Nous résolvons ici ce problème en termes de q-analogues de la sommabilité et des multiplicateurs de Stokes des équations différentielles. Dans [7] et [5], est introduite une notion de développement asymptotique le long desq-spirales. Lorsqu’une équation auxq-différences non homogène admet 1 pour seule pente,

Adresses e-mail :ramis@math.ups-tlse.fr (J.-P. Ramis), sauloy@math.ups-tlse.fr (J. Sauloy), zhang@math.univ-lille1.fr (C. Zhang).

1631-073X/$ – see front matter 2006 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

doi:10.1016/j.crma.2006.01.019

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à toute spirale générique correspond une et une seule solution méromorphe à pôles simples, asymptotique à une solution formelle donnée et possédant la spirale pour support de ses pôles. Cela nous conduit à la question suivante : existe-t-il des solutions méromorphes asymptotiques à diviseurs prescrits pour une équation analytique linéaire aux q-différences arbitraire ? Nous prouvons un résultat d’existence et d’unicité pour un choix convenable des diviseurs.

La notion de développement asymptotique évoquée plus haut est liée à une versionq-analogue de la sommation de Borel–Laplace, d’où une notion de fonctionsq-Borel sommables méromorphes sur(C^∗,0)à pôles simples sur une q-spirale. Une généralisation aux cas de fonctionsq-multisommables [2,3] à diviseurs généraux, serait la bienvenue : nous ne savons définir un procédé explicite de sommation que pour des diviseurs très particuliers. Nous définirons ici des espaces de fonctions méromorphes à développements asymptotiques munies de diviseurs prescrits dans les- quels nos équations ont une unique solution. C’est la version asymptotique abstraite de la résolution algébrique de J. Sauloy [6]. Comme dans [7] et [5] et [6], un rôle essentiel est joué par la fonction thêta de Jacobi (avec ici un petit décalage d’indice . . . ) :

θ (z)=

n∈Z

q^−n(n+1)/2zⁿ=

n∈N

1−q⁻ⁿ⁻¹

1+zq⁻ⁿ⁻¹

1+q⁻ⁿ/z .

Introduisons les notations et la terminologie suivantes :

– Soient|Λ| =ν₁+ · · · +ν_m ledegrédu diviseurΛetΛ =(−1)^|Λ|λ^ν₁¹· · ·λ^ν_m^m sonpoids(défini moduloq^Z).

Si z∈C^∗, on note d_q(z; [λ])=infξ∈[λ]|1 − ^z_ξ| la « distance » entre les spirales [z] et [λ] et d_q(z;Λ) = inf1im{d_q(z; [λ_i])}^νi ladistance de zau diviseur Λ. On poseθ_Λ=θ_λ^ν1

1· · ·θ_λ^νm

m où chaqueθ_λ(“=”θ_[λ])dé- signe la fonctionz→θ (−z/λ)analytique dansC^∗.

– Une fonctionanalytique en0 en dehors deΛest une fonction analytique dans un voisinage de 0 dansCsauf éventuellement en 0 et sur le support deΛ. Une telle fonction f sera ditebornée(en 0) si, pour tout >0, il existeK>0 tel qu’on ait|f (z)|< Kpour toutz=0 de module suffisamment petit et vérifiantd_q(z;Λ) > ; on notera alorsf ∈B^Λ.

– Soitk∈R. Une suite(a_n)sera diteq-Gevrey d’ordrek si elle est majorée par une suite du type(CAⁿ|q|^kn2/2) (pourC, A >0 convenables) ; de même, une fonction sera diteq-Gevrey d’ordreken 0 si elle est majorée par une fonction du typeC|z|^µ(θ (|z|))^k au voisinage de 0. L’anneau des germes de fonctions holomorphes (resp.

méromorphes) en 0 sera notéC{z}(resp.C{z}[z⁻¹]).

2. Asymptotique subordonnée à un diviseur

Définition 2.1.SoientΛ=ν₁[λ₁] + · · · +ν_m[λ_m]etf∈B^Λ. On noteraf ∈A^Λ_q;|Λ|et l’on dira quef admet undéve- loppement asymptotiqueq-Gevrey d’ordre|Λ|dansΛen0, s’il existe une série entière

n0a_nzⁿet des constantes C >0,A >0 telles que : pour tout >0 et tout entierN0, on a :

f (z)−

0n<N

anzⁿ <C

A^N|q|^N2/(2|Λ|)|z|^N,

pourvu que 0<|z|< Rpour unR >0 suffisamment petit et quedq(z;Λ) > .

Notons que, siΛ= [λ]etf ∈A^[_q^λ_;^]₁, alors les singularités près de 0 appartiennent toutes à la spirale[λ], sont des pôles simples et leurs résidus forment une suiteq-Gevrey d’ordre−1. Cela implique que la fonctionθ_λf admet une croissance au plus géométrique en 0 sur la spirale[λ]; voir [7,5].

Définition 2.2.SoitF une fonction analytique au voisinage de chacun des points du support deΛprès de 0. Les|Λ| (germes à l’infini de) suites{(F^{(j )}(λiq⁻ⁿ))n0: 1im, 0j < νi}, oùF^{(j )}est laj-ième dérivée deF, sont appeléesvaleurs deF surΛen0 et notéesΛF (0). On dira queF estq-Gevrey d’ordrekdansΛen0 si ses valeurs y sont toutes des suitesq-Gevrey d’ordrek. On noteraF ∈E^Λ₀ siF est analytique au voisinage de 0 épointé en 0, q-Gevrey d’ordre|Λ|en0etq-Gevrey d’ordre0dansΛen0.

Théorème 2.3. Soientf∈B^ΛetF =θΛf. Les assertions(i)f ∈A^Λ_q;|Λ|et(ii)F ∈E^Λ₀ sont équivalentes entre elles et à l’assertion suivante:

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(iii)Il existe|Λ|suitesq-Gevrey d’ordre−|Λ|,(α_i,j,n)_n0(1im,0j < ν_i)et une fonctionhméromorphe en0∈Ctelles quef (z)=

n0

1im

0j <ν_i

α_i,j,n

(z−λiq⁻ⁿ)^j+1 +h(z).

3. Diviseurs relatifs et fonctions multisommables Définition 3.1. SoientΛ=

1imν_i[λ_i] etΛ=

1imν_i[λ_i]deux diviseurs tels que Λ< Λ, c’est-à-dire : 0ν_iν_i,ν_i >0 et|Λ|>|Λ|. SoitF une fonction analytique au voisinage de chaque point du support deΛprès de 0. Les|Λ| − |Λ|(germes de) suites{(F^{(j )}(λiq⁻ⁿ))n0: 1im, ν_ij < νi}sont appelléesvaleurs deF sur le diviseur relatifΛ/Λen0 et notées(Λ/Λ)F (0). On dira queF estq-Gevrey d’ordreksurΛ/Λen0 si ses valeurs y sont toutesq-Gevrey d’ordrek. SoientΛ=Λ1+Λ2,Λ=Λ1. On dira queF ∈E^Λ_(Λ1,Λ2) siF est analytique au voisinage de 0 épointé en 0,q-Gevrey d’ordre|Λ|en 0,q-Gevrey d’ordre|Λ2|surΛ/Λ2en 0 etq-Gevrey d’ordre 0 surΛ2en 0.

Dans ce cas, le Théorème 2.3 prend la forme suivante.

Proposition 3.2.SoientΛ₁< Λ=Λ₁+Λ₂. On a les décompositions suivantes: E^Λ(Λ₁,Λ₂)=E^Λ₀²+θ_Λ2E^Λ₀¹,

1

θ_ΛE^Λ(Λ₁,Λ₂)

∩B^Λ=A^Λ_q;|¹_Λ1|+ 1

θ_Λ1A^Λ_q;|²_Λ2|.

Plus généralement, soientΛ₁< Λ₁+Λ₂<· · ·< Λ₁+Λ₂+ · · · +Λ_m=Λ; pouriallant de 1 àm+1, posons Λ_i =

jiΛ_j,Λ_i =

jiΛ_j; on noteraΛ_m+1=Λ₀=0,Λ₀=Λ_m=Λ, où0désigne le diviseur nul.

Pour simplifier, on dira que(Λ₁, Λ₂, . . . , Λ_m)est unepartition ordonnée deΛ.

Théorème 3.3.Soit(Λ₁, Λ₂, . . . , Λ_m)une partition ordonnée deΛ. On définitE^Λ_{(Λ1,Λ2,...,Λm)}comme étant l’ensemble des fonctions analytiques au voisinage de0épointé en0,q-Gevrey d’ordre|Λ|en0et, pouri allant de1à m,q- Gevrey d’ordre|Λ_i+1|surΛ_i/Λ_i+1en0. Alors on a:

E^Λ_{(Λ1,Λ2,...,Λm)}=E^Λ₀^m+θ_ΛmE^Λ₀^m−1+ · · · +θ_Λ2E^Λ₀¹. Autrement dit, si l’on definit et noteO^Λ_{(Λ1,Λ2,...,Λm)}=(_θ¹

ΛE^Λ_{(Λ1,Λ2,...,Λm)})∩B^Λ, l’ensemble desfonctions multisom- mables en 0 suivant la partition(Λ1, Λ2, . . . , Λ_m)on a:

O^Λ(Λ₁,Λ₂,...,Λ_m)=A^Λ_q;|¹_Λ1|+ 1

θ_Λ1A^Λ_q;|²_Λ2|+ · · · + 1

θ_Λm−1A^Λ_q;|^m_Λm|.

4. Classification analytique des équations auxq-différences linéaires

Reprenons les notations de [4]. SoientK le corps des fractions deC{z}, etK celui de l’anneauC[[z]]des sé- ries entières formelles. SoientP1, . . . , Pk des modules purs de rangsr1, . . . , rk et de pentes entièresµ1>· · ·> µk. Soit M0=P1⊕ · · · ⊕Pk, c’est un module de rang n=r1+ · · · +rk. Nous définissons l’ensemble F(M0) des classes d’équivalence de couples(M, g)formés d’un moduleMet d’un isomorphismeg: gr(M)→M₀, deux couples (M, g),(M, g)étant dits équivalents s’il existe un isomorphismeu:M→Mavecg=g◦gr(u). On identifieraP_ià (K^ri, Φ_z−µiAi), oùA_i∈GLr_i(C). La donnée d’un couple(M, g)revient alors à celle d’une matriceAsous la forme

A=







z^−µ1A₁ U₁₂ · · · U_1k 0 z^−µ2A₂ · · · U_2k ... ... . .. ... 0 0 · · · z^−µkA_k





 (1)

où A_i ∈GLri(C)etU_ij ∈Matri×rj(K). Deux telles matrices A,A sont équivalentes (resp. formellement équiva- lentes) s’il existe une matrice F ∈G(K) (resp. G(K)) telle que (σqF )A=AF. (On a noté G le sous-groupe algébrique de GLn formé des matrices triangulaires supérieures dont la diagonale est formée de blocs unité.) Soit

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A₀=diag(z^−µ1A₁, z^−µ2A₂, . . . , z^−µkA_k)la matrice diagonale par blocs formée dez^−µ1A₁, z^−µ2A₂, . . . , z^−µkA_k. Toute matriceAdu type (1) est formellement équivalente àA₀, ce qui veut dire qu’il y a une seule classe isofor- melle lorsque la diagonaleA0est fixée. Dans [4], on a démontré que les classes analytiques attachées à cette classe isoformelle forment une variété de dimension

1i<jk(rirj)(µi−µj). En notantC[z]ij=

−µi<−µjCz⊂ C[z, z⁻¹], ces classes peuvent être représentées par l’ensemble des matricesAde la forme (1) dont les sous-matrices U_ij sont toutes à coefficients dansC[z]ij pour 1i < jk; celui-ci sera notéCA0.

Définition 4.1.SoitΛun diviseur de degré|Λ| =µ₁−µ_k. Une partition(Λ₁, . . . , Λ_m)sera ditecompatible avecA₀ sim=k−1 et si pouriallant de 1 à(k−1),|Λ_i| =µ_i−µ_i+1; lorsque c’est le cas, elle sera ditegénérique pour A₀si, en plus, elle vérifie la condition suivante de non résonnance :Λ_i =_α^α_jⁱ modq^Zquelles que soient les valeurs propresαi deAi etαj deAj,j > i.

Le théorème suivant précise un résultat de [6] (Théorème 3.7). Ici la solution « unique »F =F_{(Λ1,...,Λk−1)}est non seulement méromorphe, mais asymptotique à l’unique solution formelleF(au sens du paragraphe 2). De plus ici la fa- çon de la construire est différente [8]. (On pourra comparer en utilisant le dictionnaire suivant : « partition=summation divisor », « compatible=adapted », « générique=allowed ».)

Théorème 4.2 (Sommabilité). Soient A∈ CA0, Λ un diviseur et (Λ₁, . . . , Λ_k−1) une partition générique de Λ pour A₀. Alors l’équation de conjugaison (σ F )A₀=A₁F admet une unique solutionF =(F_ij)avec : F_ii=1, F_ij∈OΛi,...,Λj−1, notéeF_{(Λ1,...,Λk−1)}.

On en déduit une application(Λ1, . . . , Λ_k−1)→F_{(Λ1,...,Λk−1)}. Le phénomène de Stokesq-analogue se manifeste par l’existence de « sommes » différentes deF.

Théorème 4.3(Phénomène de Stokes). Dans le théorème précédent, on aA=A₀si, et seulement si, cette application n’est pas, au sens évident, injective.

Références

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[8] C. Zhang, Solutions asymptotiques et méromorphes d’équations auxq-différences, in : Proceedings Théories Asymptotiques et Équations de Painlevé, confèrence à Angers, juin 2004, à paraître dans la serie “Seminaires et Congres” de la SMF.