Table des séries de base
1 1−u =
∑
∞ n=0un = 1+u+u2+u3+u4+u5+... u∈]−1 ; 1[
eu =
∑
∞ n=0un
n! = 1+ u 1!+u2
2!+u3 3!+u4
4!+u5
5!+... u∈]−∞;∞[
sin(u) =
∑
∞ n=0(−1)n u2n+1
(2n+1)! = u−u3 3!+u5
5!−u7 7!+u9
9!−... u∈]−∞;∞[
cos(u) =
∑
∞ n=0(−1)n u2n
(2n)! = 1−u2 2!+u4
4!−u6 6!+u8
8!−... u∈]−∞;∞[
arctan(u) =
∑
∞ n=0(−1)nu2n+1
2n+1 = u−u3 3 +u5
5 −u7 7 +u9
9 −... u∈[−1 ; 1]
ln(1+u) =
∑
∞ n=0(−1)nun+1
n+1 = u−u2 2 +u3
3 −u4 4 +u5
5 −... u∈]−1 ; 1]
(1+u)k = 1+ k
1!u+k(k−1)
2! u2+k(k−1) (k−2)
3! u3
+...+k(k−1) (k−2)...(k−n+1)
n! un +... u∈]−1 ; 1[
Test du rapport Soit la série
∑
∞ n=0un = u0+u1+u2+u3+u4+...+un+un+1+...
On calcule le rapport R entre deux termes successifs de la série lorsque n→∞ R=lim
n→∞
un+1 un
et on en conclut que 1.
∑
∞ n=0unconverge si R<1
2.
∑
∞ n=0undiverge si R>1
3. on ne peut rien conclure si R=1.
Lorsque R<1, le test du rapport nous permet de déterminer l’intervalle de convergence d’une série ∑∞
n=0
unoù les termes undépendent d’une variable x.
