Chapitre n°6 : « Le parallélogramme Le parallélogramme » »

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Chapitre n°6 : « Le parallélogramme Le parallélogramme » »

I. L'essentiel

1/ Rappels

a. Droites parallèles

Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.

b. Quadrilatère

Un quadrilatère est une figure fermée constituée de quatre segments appelés côtés.

Vocabulaire

• A, B, C et D sont les sommets.

•

• [AB], [BC], [CD] et [DA] sont les côtés.

• Noms possibles : ABCD, BADC, CDAB…

• Côtés opposés : [AD] et [BC] ; [AB] et [DC]

• Côtés consécutifs : [BA] et [AD] ; [DC] et [CB]…

• Diagonales : [AC] et [BD].

• Angles opposés : DAB et DCB.

2/ A savoir parfaitement !

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Construction à la règle et à l'équerre

On a construit deux paires de droites parallèles :

• d₁//d₂

• ^d1'//d₂'

Ces quatre droites forment quatre points : A, B, C et D.

ABCD est un parallélogramme.

Construction à la règle et au compas

• On suppose les points A, B et C déjà placés.

On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

• On prend l'écartement entre A et B et on pointe sur C pour former un premier arc de cercle.

• On prend l'écartement entre B et C et on pointe sur A pour former un deuxième arc de cercle.

• On place le point D puis on trace le parallélogramme ABCD. Autre exemple

A, B et C sont trois points quelconques. Construis le point D tel que BACD soit un parallélogramme.

II. Propriétés

1/ Sur les côtés

Propriété

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.

Figure pour illustrer.

Les côtés opposés sont :

• [IJ] et [LK]

• [LI] et [KJ]. Donc IJ=LK et IL=JK.

2/ Sur les diagonales

Rappels

• A et A' sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment [AA'].

• On rappelle aussi qu'un centre de symétrie est un point autour duquel la figure peut effectuer un demi-tour puis revenir à sa place initiale (voir page 156)

Définition

Le centre d'un parallélogramme est l'intersection des diagonales

Activité

On considère un parallélogramme ABCD de centre O. Il semble que les longueurs OB et OC soient

égales. De même pour les DO et OA.

Il semble donc que O soit le milieu des diagonales.

Propriétés

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

• Le centre du parallélogramme est aussi le centre de symétrie.

Exemple

• Les parallélogrammes sont : ABFE ;

ADEC.

• Dans ABFE les longueurs égales sont :

AB=EF AE=BF AH=HF EH=HB

• Dans ADEC les longueurs égales sont :

DG=GC AG=EG AD=CE DE=CA

3/ Sur les angles

Propriétés

Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure.

Exemple

Dans le parallélogramme ci-contre, on a :

• CBA=CDA

• BCD=BAD

Propriété

Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires.

Exemple

On a CBABAD=14535=180 .

Rappels

• Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme fait 180°.

• Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme fait 90°.

III. Constructions de parallélogramme (exemples)

Méthode générale

• On fait une figure à main levée la plus réaliste possible.

• On élabore une stratégie de construction.

• On fait la figure aux instruments.

Exemple 1

Construire un parallélogramme ABCD tel que AD=4 cm et DAB=60°. AB=5 cm

• Figure à main levée :

• Je trace AD=4cm ; je fais un angle à 60° ; je trace AB=5 cm. Pour construire le point C, j'utilise le compas.

A

C B

D 4 cm 60° 5 cm

(é che lle 1/2)

Exemple 2

Construire le parallélogramme IJKL tel que IJ=3,5 cm ; JK=4,7 cm et IK=2,8 cm

• A main levée

• Avec les instruments

Exemple 3

Construire un parallélogramme EFGH tel que FH=9 cm et EG=5 cm. FOG=35°

• A main levée

• Aux instruments

IV. Propriétés réciproques

Propriété caractéristique n°1

Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme.

I J

L K

3,5 cm

4,7 cm

2,8 cm

E F

H G

9 cm^{5 cm} O

35°

(é che lle 1/2)

Application

C'est la construction au compas vue au début du chapitre.

On a construit le parallélogramme ABCD tel que AB=CD et BC=AD

Propriété caractéristique n°2

Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme.

Propriété caractéristique n°3 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.