Solution d’Examen d'optique géométrique juin 2003
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Exercice 1. Définir le stigmatisme, les conditions de Gauss, le grandissement et le grossissement.
Le stigmatisme est la propriété d’un système optique à avoir tous les rayons émanant d’un point et tombant sur le système optique à passer par un seul et unique point image.
Les conditions de Gauss sont que les rayons lumineux considérés sont près de l’axe optique et peu inclinés par rapport à l’axe optique.
Le grandissement est la mesure algébrique de l’image, AB, divisé par la mesure algébrique l’objet, AB i.e.
AB B A
. Le grandissement est une fonction de la position de l’objet.
Grossissement :
Considérons un objet AB situé sur l’axe optique. Les rayons émanant du point B arrivent à l’œil en faisant un angle par rapport à l’axe optique
AO
AB
tan où O est la position de
l’œil (conditions de Gauss,
AO
AB
). Après passage par l’instrument optique, les rayons
arrivent sur l’œil avec l’angle
O A
B A
. Le grossissement, G , de l’objet est donné par le rapport G .
Pour un système afocal comme une lunette ou un télescope, on parle le plus souvent du grossissement d’un objet situé à l’infini. Pour une loupe, on parle du grossissement commercial d’un objet situé au punctum proximum, AOdm 25cm,
dm
B A
et ’
l’angle d’observation quand l’image se trouve à l’infini (i.e. l’objet se trouve dans le plan focal objet), AB. Le grossissement commerciale devient alors G dm f .
Exercice 2. Une lentille équiconvexe (convergente) en verre d'indice n2 est limitée par deux dioptres sphériques, notés 1 et 2, de centre C1 et C2 et dont les rayons respectifs R1 et R2 ont même valeur absolue : R R1 R2 . La lentille est un élément d'une paroi séparant deux compartiments, l'un rempli d'eau d'indice n1 et l'autre contenant de l'air d'indice n3.
Un objet réel A1B1, de longueur 10 mm, est placé dans l'eau, à 20 cm du centre optique S de la lentille. Les conditions de Gauss sont respectées.
1.a. Ecrire la relation de conjugaison pour le dioptre 1 de sommet S1 entre les points conjugués A1 et A2 (situés sur l'axe optique).
1.b. Exprimer la relation de conjugaison pour le dioptre 2 de sommet S2 entre les points conjugués A2 et A3.
2.a. La lentille L est mince : on confond S1, S2 et S, le centre optique de la lentille. La lentille L donne d'un objet A1 une image A3. On note S1A1 SA1 p, S2A3 SA3 p
Calculer (n3 p)-(n1 p) et déterminer la relation de conjugaison de la lentille entre les points A1 et A3.
A1
B1
S1 S2
Eau (n1) Air (n3)
Lentille L (n2) S
R n n C S
n n A S
n A S
n 2 1
1 1
1 2 1 1
1 2 1
2
R n n C S
n n A S
n A S
n 2 3
2 2
2 3 2 2
2 3 2
3
R n n SA
n p n
R n n p n SA
n
3 2 2 2 3
1 2 1 2 2
f n R
n n n p n p n
1 3 2 2 1 3 3
2.b. Calculer les distances focales objet et image, F et F, de la lentille A.N. : n1=1,325 ; n2=1,5 ; n3=1,0 ; R=0,25 m. Utilisant les résultats de 2.a et les définitions de F et F nous trouvons :
2.c. Calculer la position p de l'image A3B3 . Dans l’énoncé du problème
3.a. Calculer le grandissement linéaire 1 2 1
1 3
3 .
B A
B
A , où1 et 2 sont les
grandissements des dioptres 1 et 2.
3.b. Déterminer la taille de l'image A3B3 .
4.a. Calculer les foyers objet et image du deuxième dioptre : F2, F2.
4.b. Dessiner sur la figure 1 l'image A1B1 de A1B1 par le deuxième dioptre uniquement.
On ne demande que la construction ici, mais le résultat d’un calcul est :
. 04 , 37 3704 , 675 0 , 0
25 , 0 325 , 1 1 3
25 , 0 2
2
3 1 2
3 3
1 2
3 m cm
n n n F Rn S R f
n n n F S
p n
. 07 , 49 4907
, 325 0 , 1 1 3
325 , 1 25 , 0 2
2
3 1 2
1 3
1 2
1 m cm
n n n SF Rn R f
n n n SF
p n
cm SA
f p p
R n n n p n p
n 25,48
20 325 , 027 1 , 0
1 25
675 , 0 1 20 325 , 1 1 2
3 3
1 1 2
3
cm SA
p 1 20
69 , 20 1
48 , 25 1
325 , 1
3
1
p p n
n
mm B
A B
A3 3 1 1 16,9
R n n A S
n A S
n 2 3
1 2
2 1 2
3
cm
m F
S R f
n n F S
p n 0,5 50
1 5 , 1
25 , 0
2 2 2 3
2 2 2
3
36 . 2 1 , 2
3 20 5 , 5 5 100 , 1
18 , 5 18 , 5 100 100
5 , 7 100
2 1 20
5 , 1 50
1 1
2 2
1 ' 2
2 3 1 2
2 1 2
3
p p n n
cm A
f S n A S
n A S
n
cm m
F S R f
n n F S
p n 0,75 75
1 5 , 1
5 , 1 25 , 0
2 2 2 3
2 2 2
2
Exercice 3. Tracer sur la figure 2a l'imageAB de AB à travers les lentilles L1 et L2. Définir graphiquement les foyers objet F et image F sur la figure 2b ainsi que les plans principaux objet H et image H.
Le calcul n’est pas demandé, mais on peut trouver O2A par le calcul suivant : cm
A O p cm O
O a cm f
cm
f14,5 22 1 2 3 1 1 9
cm A
O A A O
O A O
cm A
O O O A O cm
A A O
O A
O A O
5 , 1 6 1 2 1
1 2
1 1 1
6 9 9
1 9 1 5 , 4
1 1 5
, 4
1 1 1
3 2 2
2 2 3 2
2 1 1 2 2 2 2
1 2
1 1
1 2 1
O 1 O 2
P P I
F ’2
F ’1
F i g . 2 b
F2
F1 F
F ’
P P O
L a p a r t i c u l a r i t é d e c e s y s t è m e e s t q u e l e p l a n p r i n c i p a l i m a g e e s t c o n f o n d u a v e c l e p l a n f o c a l o b j e t e t q u e l e p l a n p r i n c i p a l o b j e t e s t c o n f o n d u a v e c l e p l a n f o c a l i m a g e .
On peut également calculer les positions de F etF, ainsi que les positions des plans principaux par le calcul de h et h.
Si O1A1 , nous savons donc que O2A3 O2F:
Si O2A3 , nous savons donc que O1A1O1F :
Avec des formules basées sur l’intervalle optique, , nous trouvons
Ce qui nous donne les positions des plans principaux :
29 , 7 1
1 9 5 , 4
1 1 5
, 4
1 1 1
1 2
1 1 1 1
1 1
1 2 1
2 2 2 1 2 1 2
2 2 2 3
2
cm A
O F A O
O A
O A O
cm A
O O O A O cm
F O A O A
O
cm cm
A O F A O
O A
O A O
cm A
O O O A O A
O A
O
86 , 7 0
6 3
2 2 1 1 2
1 1 1
5 , 1 5
, 4
3 2 2
3 2 2
2 3 2
2 1 1 2 2 2 2
1 1
1
f cm HF f
F H f
cm f
O O f F
O O O O F F F
57 , 7 2 18 5 , 3
2 5 , 4
5 , 3 2 3 5 , 4
2 1
2 2 1 1 2
2 2 1 1 1 2 1
cm H
F F O H O h
cm FO
HF HO h
71 , 12 1 6 18
86 . 7 3 27 7
9 7 18
2 2
1 1
Bonus : Trouver l'imageAB de AB du problème 3 en utilisant les plans principaux objet H et image H.
O 1 O2
P P I F i g . 3
F H ’
P P O
I m a g e d é t e r m i n é e à p a r t i r d e s p l a n s p r i n c i p a u x e t l e s p o i n t s f o c a u x d u s y s t è m e
I m a g e f i n a l e f o r m é e p a r l e s y s t è m e o p t i q u e
A B
A ’ B ’
T r a j e t r é e l l e m e n t p a r c o u r u p a r l e r a y o n l u m i n e u x e n t r e l e s d e u x l e n t i l l e s
F ’ H
Si les lentilles sont placées dans un milieu homogène comme l’air, il existe un autre rayon lumineux particulier qui aurait pu être utilisé afin de déterminer l’image
O 1 O2
P P I
F H ’
P P O
I m a g e f i n a l e f o r m é e p a r l e s y s t è m e o p t i q u e
A B
A ’ B ’
T r a j e t r é e l l e m e n t p a r c o u r u p a r l e r a y o n l u m i n e u x e n t r e l e s d e u x l e n t i l l e s
F ’ H
Trouver la position de l’image par un calcul qui utilise les plans principaux.
cm A
H H O A O
A H p p
f p p
cm A
O HO HA p
5 , 2 1 3 14
21 14
24 45 14 45 7 12
14 ' 45
45 14 90 28 18
7 90
7 ' 1 1 1 ' 1
7 9 90 7 27
2 2
1 1
